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2007考研数三真题及解析

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2007

数学(三)试题 第1页 (共23页)

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题:110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 当0x时,与x等价的无穷小量是( )

A.1xe .ln(1)Bx .11Cx .1cosDx

(2) 设函数()fx在0x处连续,下列命题错误的是( )

A.若0()limxfxx存在,则(0)0f .B若0()()limxfxfxx存在,则(0)0f

.C若0()limxfxx存在,则'(0)f存在 .D若0()()limxfxfxx存在,则'(0)f存在

(3) 如图,连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间2,0,0,2上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xFxftdt则下列结论正确的是( )

.A(3)F3(2)4F .B(3)F5(2)4F

.C(3)F 3(2)4F .D(3)F5(2)4F

(4) 设函数(,)fxy连续,则二次积分1sin2(,)xdxfxydy等于( )

.A 10arcsin(,)ydyfxydx .B 10arcsin(,)ydyfxydx

.C 1arcsin02(,)ydyfxydx .D 1arcsin02(,)ydyfxydx

3 2 -1 O 1 -2 -3 y

x 2007

数学(三)试题 第2页 (共23页)

(5) 设某商品的需求函数为1602Qp,其中Q,p分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( )

.A 10 .B 20 .C30 .D40

(6) 曲线1ln(1)xyex渐近线的条数为( )

.A 0 .B1 .C2 .D3

(7) 设向量组123,,线性无关,则下列向量组线性相关的是 ( )

.A122331,, .B212331,,

.C1223312,2,2 .D1223312,2,2

(8) 设矩阵211121112A,100010000B,则A与B( )

.A 合同,且相似 .B 合同,但不相似

.C 不合同,但相似 .D 既不合同,也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)pp,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

A.23(1)pp B. 26(1)pp

C.223(1)pp D.226(1)pp

(10) 设随机变量(,)XY服从二维正态分布,且X与Y不相关,(),()XYfxfy分别表示表示,XY的概率密度,则在Yy条件下,X的条件概率密度()XYfxy为( )

A.()Xfx B.()Yfy

C.()()XYfxfy D.()()XYfxfy

二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上

(11) 3231lim(sincos)____________2xxxxxxx 2007

数学(三)试题 第3页 (共23页)

(12) 设函数123yx,则()(0)___________ny

(13) 设(,)fuv是二元可微函数,(,),yxzfxy则zzxyxy_________

(14) 微分方程31()2dyyydxxx满足11xy的特解为y=_____________

(15) 设距阵01000010,00010000A则3A的秩为＿＿＿＿＿

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿.

三、解答题:17－24小题,共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本题满分10分)

设函数()yyx由方程ln0yyxy确定,试判断曲线()yyx在点(1,1)附近的凹凸性.

(18)(本题满分11分)

设二元函数 222.1.(,)1,12.xxyfxyxyxy

计算二重积分(,).Dfxyd其中(,)2Dxyxy

(19)(本题满分11分)

设函数()fx,()gx在,ab上连续,在(,)ab内二阶可导且存在相等的最大值,又()fa＝()ga,()fb＝()gb,证明:

(I) 存在(,),ab使得()()fg；

(II) 存在(,),ab使得''()''().fg

(20)(本题满分10分)

将函数21()34fxxx展开成1x的幂级数,并指出其收敛区间. 2007

数学(三)试题 第4页 (共23页)

(21)(本题满分11分)

设线性方程组123123212302040xxxxxaxxxax (1)

与方程 12321xxxa (2)

有公共解,求a得值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征值12311,2,2,(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记534BAAE,其中E为3阶单位矩阵.

(I) 验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量；

(II) 求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)XY的概率密度为 2,01,01.(,)0,xyxyfxy其他

(I) 求2PXY；

(II) 求ZXY的概率密度()Zfz.

(24)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

1,0,21(;),1,2(1)0,xfxx其他.

其中参数(01)未知,12,,...nXXX是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.

(I) 求参数的矩估计量；

(II) 判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由.

2007

数学(三)试题 第5页 (共23页)

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

2007

数学(三)试题 第6页 (共23页)

一、选择题

(1)【答案】B

【详解】

方法1:排除法:由几个常见的等价无穷小,当0x时,

11;11;2xexxx2221cos2sin2(),222xxxx当0x时,此时0x,所以11();11;2xexxx211cos(),2xx可以排除A、C、D,所以选(B).

方法2: 1ln1xx1ln1xxxxln[1]1xxx

当0x时,11x,01xxx,又因为0x时,ln1xx,

所以ln[1]~~1~11xxxxxxxxxxx,选（B）.

方法3:0001111ln()ln()()1111limlimlim12xxxxxxxxxxxxxx洛

2001111211221limlim1112xxxxxxxxxxxxxx

设2211111xxxABxxxx,则11422AxBxxxxx

对应系数相等得:2,1AxB,所以

原式0022121limlim1111xxxxxxxxxx

0021limlim0111xxxxx1,选(B).

2007

数学(三)试题 第7页 (共23页)

(2)【答案】D

【详解】

方法1:论证法,证明,,ABC都正确,从而只有D不正确。

由0()limxfxx存在及()fx在0x处连续,所以

0(0)lim()xffx0000()()()limlimlim0limxxxxfxfxfxxxxxx0,所以(A)正确；

由选项(A)知,(0)0f,所以00()(0)()limlim0xxfxffxxx存在,根据导数定义,

0()(0)'(0)lim0xfxffx存在,所以(C)也正确；

由()fx在0x处连续,所以()fx在0x处连续,从而

000lim()()lim()lim()(0)(0)2(0)xxxfxfxfxfxfff

0000()()()()()()2(0)limlimlim0lim0xxxxfxfxfxfxfxfxfxxxxx,

即有(0)0f,所以(B)正确,故此题选择(D).

方法2:举例法,举例说明(D)不正确。例如取()fxx,有

00()()limlim00xxxxfxfxxx存在

而0000limlim100xxfxfxxx,0000limlim100xxfxfxxx,左右极限存在但不相等,所以()fxx在0x的导数'(0)f不存在。(D)不正确,选(D).

(3)【答案】C

【详解】由题给条件知,()fx为x的奇函数,则()()fxfx,由0()(),xFxftdt 知

000()()()()()()()()xxxFxftdttufudufufufuduFx令因为,

故()Fx为x的偶函数,所以(3)(3)FF.

而20(2)()Fftdt表示半径1R的半圆的面积,所以220(2)()22RFftdt,

323002(3)()()()Fftdtftdtftdt,其中32()ftdt表示半径12r的半圆的面积

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2007年考研英语真题及解析.pdf

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1

2007年全国硕士研究生招生考试英语（一）试题

Section I Use of English

Directions:

Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark [A], [B], [C] or [D] on

ANSWER SHEET 1. (10 points)

By 1830, the former Spanish and Portuguese colonies had become independent nations. The roughly 20

million 1 of these nations looked 2 to the future. Born in the crisis of the old regime and Iberian colonialism,

many of the leaders of independence 3 the ideals of representative government, careers 4 to talent, freedom of

commerce and trade, the 5 to private property, and a belief in the individual as the basis of society. 6 there was a

belief that the new nations should be sovereign and independent states, large enough to be economically viable

and integrated by a 7 set of laws.

On the issue of 8 of religion and the position of the Church, 9 , there was less agreement 10the leadership.

考研数学概率真题解析(2007年)

考研数学概率真题解析(2007年)

读书人

考研数学概率真题解析（2007年）

一、数一、三、四（9）：

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(pp，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

（A）2)1(3pp （B）2)1(6pp

（C）22)1(3pp （D）22)1(6pp

解答：C

解：

第4次命中，前3次中1次命中，2次没有命中，对前3次使用伯努列概型：213)1(ppC，加上第4次命中，概率为pppC213)1(＝22)1(3pp。选C。

点评：

考察考生对于伯努列概型（或者二项分布）中的基本特征：“只知次数，不知位置”。

类似题：

例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为：

A．32)1(4pp B．3)1(4pp C．32)1(10pp

D．32)1(pp E．3)1(p

二、数一、三、四（10）：

设随机变量),(YX服从二维正态分布，且X与Y不相关)(),(yfxfyx分别表示X，Y的概率密度，则在yY的条件下，X的条件概率密度为)|(/yxfYX

（A）)(xfx （B）)(yfy

（C）)()(yfxfyx （D）)()(yfxfyx

解答：A

解：

在）（YX,服从二维正态分布时，若）（YX,不相关，则独立。

所以)()()()()(),()/(/xfyfyfxfyfyxfyxfXYYXYYX，与条件概率的简化类似。选A。 读书人

点评：

考察考生两点：不相关与独立在二维正态分布时的互推关系；独立时联合密度等于边缘密度的乘积。

类似题：

在新东方考研数学辅导班上和年底的全国串讲中详细强调过这两个考点。

已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数21XY，设.23YXZ

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数XZ；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

2007年考研数一真题及解析

2007年考研数一真题及解析

2007年考研数学一真题及参考答案

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）

（1） 当0x

时，与x

等价的无穷小量是 (B)

A. 1x

e

B.1

ln

1x

x

C. 11x

D.1cosx

(2) 曲线y= 1

ln(1x

e

x

), 渐近线的条数为 (D)

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，

在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=

0()x

ftdt

.则下列

结论正确的是 (C) A. F(3)=3

(2)

4F

B. F(3)=5

(2)

4F

C. F(3)=3

(2)

4F

D. F(3)= 5

(2)

4F

(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)

A. 若

0()

lim

xfx

x

存在，则f（0）=0 B. 若

0()()

lim

xfxfx

x



存在，则f（0）=0

C. 若

0()

lim

xfx

x

 存在，则'

(0)f

=0 D. 若

0()()

lim

xfxfx

x



存在，则'

(0)f

=0

(5)设函数f（x）在（0, +

）上具有二阶导数，且"()fxo

, 令

nu

=f(n)=1,2,…..n, 则下列

结论正确的是(D)

A.若

12uu

，则{

nu

}必收敛 B. 若

12uu

，则{

nu

}必发散

C. 若

12uu

，则{

nu

}必收敛 D. 若

12uu

，则{

nu

}必发散

(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内

的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B)

A. (,)

rxydx

B. (,)

rfxydy

C. (,)

rfxyds

D. '(,)'(,)

xy

rfxydxfxydy

07东南大学考研真题

07东南大学考研真题

宏韬东大考研网 /

东南大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试卷

请考生注意：试题解答务请考生做在专用“答题纸”上！

做在其他答题纸上或试卷上的解答将被视为无效答题，不予评分。

科目代码：942 科目名称：材料科学基础

一、选择题（单项选择，每题2分，共40分）

1、在三元相图的水平截面的两相区中，连接线之间

（a）必定相交； （b）必定平行；

（c）可以相交或平行； （d）不能相交也不能平行。

2、非均匀形核的形核功（ 非 ）和接触角（ ）和 （晶核和杂质之间的界面能）之间的关系为：

（a） 越小， 越大， 非 越大； （b） 越大， 越大， 非 越小；

（c） 越小， 越小， 非 越大； （d） 越小， 越小， 非 越小。

3、引入极射赤面投影的目的是

（a）表示晶体结构的周期性；

（b）晶体结构的对称性；

（c）表示晶面之间或晶向之间的取向关系；

（d）表征晶体中阵点或原子的投影位置。

4、单相固溶体凝固时，若k0<1，则：

（a）ke=1时，偏析最严重； （b）ke=k0时，偏析最严重；

（c）k

5、二元材料形成伪共晶的必要条件之一是：

（a）两种组元必须都是金属元素；

（b）溶液在凝固时必须以足够慢的速度冷却；

（c）溶液在冷却时必须有适当的过冷度；

（d）某一组元的含量必须高于相图中共晶点所示的值。

6、纳米材料的特征之一是：

（a）具有与单晶体相近的性能特征； （b）具有超塑性；

（c）具有超高强度效应； （d）具有表面效应。

7、空间点阵是用来描述晶体结构的周期性，因此

（a）自然界存在的晶体结构和空间点阵的数量相同；

（b）任何一个晶体的晶体结构和空间点阵完全等同；

（c）表征晶体结构周期性的空间点阵的数量少于自然界晶体结构的种类； 宏韬东大考研网 /

（d）表征晶体结构周期性的空间点阵的数量多于自然界晶体结构的种类。