2019秋新版高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步 2.3.1-2.3.2 Word版含解析.docx
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§3 空间直角坐标系
3.1 空间直角坐标系的建立
3.2 空间直角坐标系中点的坐标
1.已知点A(3,5,-7),B(-2,4,3),则线段AB的中点坐标是( )
A.(1,9,-4) B.
-
C.(5,1,-10) D.(-5,-1,10)
解析:由中点坐标公式可得AB的中点坐标是 -
-
,即
- .
答案:B
2.已知空间直角坐标系中有一点M(x,y,z)满足x>y>z,且x+y+z=0,则点M的位置是( )
A.一定在xOy平面上 B.一定在yOz平面上
C.一定在xOz平面上 D.可能在xOz平面上
解析:因为x>y>z且x+y+z=0,所以x>0,z<0,y有可能为0,所以点M可能在xOz平面上.
答案:D
3.点P(1,2,-1)在xOz平面内的垂足为点B(x,y,z),则x+y+z=( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:由已知条件可知,x=1,y=0,z=-1,
则x+y+z=1+0+(-1)=0,故选D.
答案:D
4.在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的主视图和俯视图分别为( )
A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②
解析:在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的主视图为④,俯视图为②,故选D.
答案:D
5.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线
B.平行于xOz平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
解析:因为点P的纵坐标是任意实数,所以点P的集合是过xOz平面上一点(1,0,2)的一条垂直于xOz平面的直线.
答案:A
6.已知点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1,点A1关于xOz平面的对称点为A2,点A2关于z轴的对称点为A3,则线段AA3的中点M的坐标为
.
答案:(-4,0,0)
7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,5),则点C1的坐标为 .
解析:由已知得正四棱柱的底面边长为2,高为5,所以C1的坐标为(2,2,5).
答案:(2,2,5)
8.
如图所示,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,M是OB1与BO1的交点,则点M的坐标为
.
解析:因为|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,
所以O(0,0,0),B1(2,3,2).M是OB1的中点,所以M点的坐标为
,即
.
答案:
9.如图所示,有一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,以线段DA,DC,DD1的长度为单位长度,建立起一个空间直角坐标系,一只小蚂蚁从点A出发,不返回地沿着棱爬行了2个单位长.
请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.
解小蚂蚁由点A出发可从六条路线中任选一条前进,最后到达点C或点B1或点D1中的某一个点的位置.
小蚂蚁沿着A-B-C或A-B-B1或A-D-C或A-D-D1或A-A1-B1或A-A1-D1任一条路线爬行,其终点为点C或B1或D1.点C在y轴上,且DC=1,则其纵坐标为1,横坐标与竖坐标均为0,所以点C的坐标
是(0,1,0);点B1在xOy平面上的投影是点B,点B的坐标是(1,1,0),且|B1B|=1,则B1的竖坐标为1,所以点B1的坐标是(1,1,1);同理可知点D1的坐标是(0,0,1).
10.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BB1,D1B1,BD的中点,棱长为1,求点E,F的坐标.
解方法一:点E在xDy平面上的射影为点B(1,1,0),点E的竖坐标为
,所以E
.点F在xDy平面上的射影为BD的中点G,如题图,点G的坐标为
,点F的竖坐标为1,所以F
.
方法二:B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0),
E为B1B的中点,F为B1D1的中点,
故点E的坐标为
,点F的坐标为
.
11.在三棱锥S-ABC中,∠ASC=90°,AC=2,∠ACS=30°,平面SAC⊥平面ABC,建立适当的空间直角坐标系,求点S的坐标.
解由于平面SAC⊥平面ABC,取AC的中点O,过点O在平面SAC中作Oz⊥AC,则Oz⊥平面ABC,过点O在平面ABC中作Ox⊥AC,则Oz⊥Ox,以点O为坐标原点,Ox,OC,Oz所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示).
过点S作SD⊥AC于点D,在Rt△ASC中,∠ACS=30°,AC=2,∴AS=1,SC= .
在Rt△SDC中,SD=
,CD=
,
∵OC=
AC=1,∴OD=
.
∴点S的坐标为 -
.
★12.
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,有一动点P在正方体的各个面上运动.
(1)当点P分别在平行坐标轴的各个棱上运动时,探究点P的坐标特征;
(2)当点P分别在平行于坐标平面的各个面的对角线上运动时,探究点P的坐标特征.
解(1)当点P分别在平行于x轴的棱A1D1,B1C1,BC上运动时,动点P的纵坐标、竖坐标不变,横坐标在[0,1]上取值;当点P分别在平行于y轴的棱AB,A1B1,D1C1上运动时,动点P的横坐标、竖坐标不变,纵坐标在[0,1]上取值;当点P分别在平行于z轴的棱AA1,BB1,CC1上运动时,动点P的横坐标、纵坐标不变,竖坐标在[0,1]上取值.
(2)当点P分别在面对角线BC1,B1C上运动时,动点P的纵坐标不变;当点P分别在面对角线A1B,AB1上运动时,动点P的横坐标不变;当点P分别在面对角线A1C1,B1D1上运动时,动点P的竖坐标不变.
