新版高中数学北师大版必修2习题：第2章解析几何初步 2.1.4
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公众号：惟微小筑
1.4 两条直线的交点
1.以下直线中,与直线2x -y -3 =0相交的是( )
A.2ax -ay +6 =0(a≠0) B.y =2x
C.2x -y +5 =0 D.2x +y -3 =0
解析:选项A,B,C中的直线均与直线2x -y -3 =0平行.
答案:D
2.假设三条直线2x +3y +8 =0,x -y -1 =0和x +ky =0相交于一点,那么k的值等于( )
A. -2 B. -12
C.2 D.12
解析:由{2𝑥+3𝑦+8=0,𝑥-𝑦-1=0,得{𝑥=-1,𝑦=-2.
代入x +ky =0,有 -1 -2k =0,解得k = -12.
答案:B
3.点A(0, -1),点B在直线x -y +1 =0上,直线AB垂直于直线x +2y -3 =0,那么点B的坐标是( )
A.( -2, -3) B.(2,3)
C.(2,1) D.( -2,1)
答案:B
4.直线l经过l1:x +y -2 =0与l2:x -y -4 =0的交点P,且过线段AB的中点Q,其中A( -1,3),B(5,1),那么直线l的方程是( )
A.3x -y -8 =0 B.3x +y +8 =0
C.3x +y -8 =0 D.3x -y +8 =0 公众号：惟微小筑
解析:由{𝑥+𝑦-2=0,𝑥-𝑦-4=0,得两直线交点P为(3, -1),又因为点Q为(2,2),所以直线l的斜率为 -3,所以所求直线l的方程为y +1 = -3(x -3),即3x +y -8 =0.
答案:C
5.假设点A(3, -4)与点A'(5,8)关于直线l对称,那么直线l的方程是( )
A.x +6y +16 =0 B.6x -y -22 =0
C.6x +y +16 =0 D.x +6y -16 =0
解析:AA'中点为(4,2),kAA' =8-(-4)5-3 =6,所求直线为y -2 = -16(x -4),即x +6y -16 =0.
答案:D
★6.直线l:y =kx -1与𝑦-2𝑥-1=12不相交,那么k的值是 ( )
A.12或3 B.12 C.3 D.13或2
解析:𝑦-2𝑥-1=12表示直线x -2y +3 =0去掉点(1,2),所以直线l:y =kx -1与𝑦-2𝑥-1=12不相交只有直线l与x -2y
+3 =0平行或直线l过点(1,2),所以k的取值为12或3.
答案:A
7.过点A(ln 1,log28)及直线3x -y +3 =0与x轴的交点的直线的一般式方程为 .
解析:点A的坐标为(0,3),直线3x -y +3 =0与x轴的交点坐标为( -1,0),由截距式得所求直线方程为𝑥-1+𝑦3 =1,即3x -y +3 =0.
答案:3x -y +3 =0
★8.入射光线在直线l1:2x -y -3 =0上,经过x轴反射的直线为l2,再经过y轴反射的直线为l3,那么直线l3的方程为 . 公众号：惟微小筑
解析:2x -y -3 =0与x轴交点为(32,0),所以2x -y -3 =0关于x轴的对称直线为2x +y -3 =0,而直线经过互为直角的两直线反射后斜率不变,所以l3的方程为2x -y +3 =0.
答案:2x -y +3 =0
9.求证:不管m为何实数,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5都过某一定点.
证明方法一:取m =1时,直线方程为y = -4;取m =12时,直线方程为x =9,两直线的交点为P(9, -4),将点P的坐标代入原方程左边,得(m -1)×9 +(2m -1)×( -4) =m -5 =右边.
故不管m为何实数,点P(9, -4)总在直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5上,即直线恒过点P(9, -4).
方法二:原方程可化为(x +2y -1)m +( -x -y +5) =0.
假设对任意m都成立,那么有{𝑥+2𝑦-1=0,𝑥+𝑦-5=0,解得{𝑥=9,𝑦=-4,
故不管m为何实数,所给直线都过定点P(9, -4).
10.直线l1:(a +3)x +4y =5 -3a与l2:2x +(a +5)y =8,求当a为何值时,
(1)直线l1与l2相交且交点在x轴上方;
(2)直线l1与l2平行.
解(1)由{(𝑎+3)𝑥+4𝑦=5-3𝑎,2𝑥+(𝑎+5)𝑦=8,
消去x得(a2 +8a +7)y =14(a +1),
即y =14(𝑎+1)𝑎2+8𝑎+7=14𝑎+7>0,
且a +1≠0,所以a> -7且a≠ -1.
(2)假设l1∥l2,
那么{(𝑎+3)(𝑎+5)-8=0,8(𝑎+3)-2(5-3𝑎)≠0,解得a = -7.
11.直线l经过直线3x +4y -2 =0与直线2x +y +2 =0的交点P,且垂直于直线x -2y -1 =0. 公众号：惟微小筑
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解(1)由{3𝑥+4𝑦-2=0,2𝑥+𝑦+2=0,解得{𝑥=-2,𝑦=2.
所以点P的坐标是( -2,2).
又所求直线l与直线x -2y -1 =0垂直,
所以可设直线l的方程为2x +y +C =0.因为直线l过点P,把点P的坐标代入得2×( -2) +2 +C
=0,即C =2.故所求直线l的方程为2x +y +2 =0.
(2)由直线l的方程知,它在x轴、y轴上截距分别是 -1, -2,所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×1×2 =1.
★12.平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x -y -1 =0上求一点M:(1)使||MA| -|MB||最|大;(2)使|MA|
+|MB|最|小.
解(1)先作点B关于l的对称点B',连接AB'并延长交l于点M,那么点M即为所求.由图①知A,B',M三点共线且M在线段AB'的延长线上时,||MA| -|MB||最|大.
设线段BB'的中点坐标为(x,3x -1),又由BB'关于l对称得点B'的坐标为(2x,6x -6),
且kBB'·kl = -1,即6𝑥-6-42𝑥-0 = -13,解得x =32.
∴点B'的坐标为(3,3).
∴AB'所在直线方程为𝑦-13-1=𝑥-43-4,即2x +y -9 =0.
此时,由{2𝑥+𝑦-9=0,3𝑥-𝑦-1=0,得{𝑥=2,𝑎=5.
即点M的坐标为(2,5). 公众号：惟微小筑
图①
图②
(2)连接AB,交l于点M,那么点M即为所求.由图②知A,M,B三点共线且M在线段AB上时,|MA|
+|MB|最|小.
由题意知AB所在直线方程为𝑦-14-1=𝑥-4-4,
即3x +4y -16 =0.
此时由{3𝑥+4𝑦-16=0,3𝑥-𝑦-1=0,解得{𝑥=43,𝑦=3.
所以点M的坐标为(43,3).
