2019年中考数学压轴题专项训练：四边形(附解析)

2019年中考数学压轴题专项训练：四边形

1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD边上的中点，P是BC边上的一点，且BP＝2CP．

（1）求证：∠AED＝∠BEC；

（2）判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

（3）如图2，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB可以由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，直接写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）．

2．如图1，在正方形ABCD中，AD＝6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．

（1）求证：PC＝PE；

（2）延长AP交直线CD于点F．

①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；

②若△APE的面积是，则DF的长为 ；

（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M，作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N连接QN，若PQ＝5，MN＝，则△MNQ的面积是 ．

3．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD）．

（1）如图①，△AA′C是 三角形；

（2）如图②，当∠α＝60°，求AA′长度；

（3）如图③，当∠α＝∠AOB时，求证：A′D∥AC．

4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12，∠A＝60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AB的长是 ．

（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

5．如图1，四边形ABCD是菱形，CD＝5，过点D作DH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，且AH＝3．

（1）求DH的长；

（2）如图2，连接BM，求DM的长；

（3）如图2，动点P从点A出发，沿A→B→C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动．当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

6．知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．

知识探究：（1）在图1中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

知识应用：（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为 ；

知识拓展：（3）如图3，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB＝24，求DF的长．

7．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点．

（1）若四边形OABC为长方形，如图1，

①求点B的坐标；

②若BQ＝BP，且点B1落在AC上，求点B1的坐标；

（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，点F．若B1E：B1F＝1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示）．

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接

AC′，AD′．

（1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF＝BF；

（2）当AE＝时，求证：△AC′D′是等腰三角形；

（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．

9．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4），连接OB，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB，旋转角为α（0°＜α＜360°），得到矩形ADEF，点O，C，B的对应点分别为D，E，F．

（Ⅰ）如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下，AB与DE交于点H．

①求证△BDE≌△DBA；

②求点H的坐标．

（Ⅲ）α为何值时，FB＝FA．（直接写出结果即可）

10．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．

（1）求（AF+1）（CE+1）的值；

（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由；

（3）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长．

11．如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．

（1）求证：四边形AEFD是菱形；

（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；

（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ＝67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．

12．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝2．

（1）求点B的坐标；

（2）如图1，点P、点Q分别是边BC、AB上的点，且BQ：BP＝1：2，将△BPQ沿PQ折叠，使点B的对称点B1落到x轴上，求点B1的坐标；

（3）如图2，点B2为点B关于对角线AC的对称点，直接写出点B2的坐标．

13．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．

（1）问题发现

如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是 ，数量关系为 ；

（2）拓展探究 如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；

（3）解决问题

如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在BC边的延长线上，连接DE．过点B作DE的垂线，交CD于点M，交AD边的延长线于点N．

（1）连接EN，若BE＝BD，求证：四边形BEND为菱形；

（2）在（1）的条件下，求BM的长；

（3）设CE＝x，BN＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．

15．已知矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E为BC边上的动点（点E不与点B、C重合），如图1所示，沿折痕AE翻折得到△AEB，设BE＝m．

（1）当E、B′、D在同一直线上时，求m的值；

（2）如图2，点F在CD边上，沿EF再次折叠纸片，使点C的对应点C′在直线EB′上；

①求DF的最小值；

②点C′能否落在边AD上？若能，求出m的值，若不能，试说明理由．

16．设△ABC，点P是平面内的任意一点（A、B、C三点除外），若点P与点A、B、C中任意两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点．

（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，试说明点P是△ABC的一个勾股点．

（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，则CP＝ ；

（3）如图3，四边形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．则点D能否是△ABC的勾股点，若能，求出BC的长：若不能，请说明理由．

17．在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速度由B向CB延长线方向运动（不与B重合），连结PQ交AB于E．

（1）如图1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求点P运动几秒后，∠BQE＝30°；

（2）如图2，在（1）的条件下，作PF⊥AB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；

（3）如图3，当BC≠AB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

18．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E在边BC上，BE＝BC，AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．

（1）求证：OF＝OG．

（2）用含有n的代数式表示tan∠OBG的值．

（3）若BF＝2，OF＝1，∠GEC＝90°，直接写出n的值．