历年2014-2009全国自考线性代数试题及答案
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全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，
若|B|=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12
2．计算行列式32320200051020203（ ）A.-180 B.-120C.120 D.180
3．设A=4321，则|2A*|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有
A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关
C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示
5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（ ）A．2 B 3C．4 D．5
6．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（ ）A．A与B相似 B．|A|=|B|C．A与B等价 D．A与B合同
7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A+2E|=（ ）A．0 B．2C．3 D．24
8．若A、B相似，则下列说法错误．．的是（ ）A．A与B等价 B．A与 B合同C．|A|=|B| D．A与B有相同特征
9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t)正交，则t=（ ）A．-2 B．0C．2 D．4
10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（ ）A．A正定 B．A半正定C．A负定 D．A半负定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1l.设A=421023,B=010112，则AB=________.
12．设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=________.
13．三元方程x1+x2+x3=0的结构解是________.
14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．
15．设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．
16．设A为3阶方阵，特征值分别为-2，21，l，则|5A-1|=_______．
17．若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则R(AB)=________．
18．二次型f(x1，x2，x3)=21x-2x1x2+22x-x2x3所对应的矩阵是________.
19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=321，α2=321，且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.
20.设α=321，则A=ααT的非零特征值是_____. 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21．计算5阶行列式D=2000102000002000002010002 22.设矩阵X满足方程200010002X010100001=021102341求X.
23.求非齐次线性方程组
0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx的结构解.
24.求向量组α1=（1，2，3，4），α2=（0，-1，2，3），α3=（2，3，8，11），
α4=（2，3，6，8）的秩.
25.已知A=2135212ba的一个特征向量=（1，1，-1）T，求a,b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=32232221422xxxxx为标准形，并写出所用的正交变换.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1，α1+α2，α2+α3也是Ax=0的基础解系.
全国2011年1月
说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(，)表示向量，的内积，E表示单位矩阵．
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无
1．设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=( )A．44 B．45C．46 D．47
2．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=( )A．A+E B．A-EC．-A-E D．-A+E
3．设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=( )
A．A-1CB- B．CA-1B-1 C．B-1A-1C D．CB-1A-1
4．设A是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )
A．ATA是s×s对称矩 B．ATA=AAT C．(ATA)T =AAT D．AAT是s×s对称矩阵 5．设1，2，3，4，5是四维向量，则( )
A．l，2，3，4，5一定线性无关B．l，2，3，4，5一定线性相关
C．5一定可以由1，2，3，4线性表出D．1一定可以由2，3，4，5线性表出
6．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则( )A．A=0 B．A=EC．秩(A)=n D．0
7．设矩阵A与B相似，则以下结论不正确．．．的是( )
A．秩(A)=秩(B) B．A与B等价C．A与B有相同的特征值 D．A与B的特征向量一定相同
8．设1，2，3为矩阵A=200540093的三个特征值，则123=( )A．10 B．20C．24 D．30
9．二次型f(x1，x2，x3)=323121232221222xxxxxxxxx的秩为( )A．1 B．2C．3 D．4
10．设A，B是正定矩阵，则( )
A．AB一定是正定矩阵B．A+B一定是正定矩阵C．(AB)T一定是正定矩阵 D．A-B一定是负定矩阵
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
11．设A=1101，k为正整数，则Ak= ．12．设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=4321，则矩阵A=__________．
13．设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_________.
14．设向量=(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量满足2+=3,则=____________.
15．实数向量空间V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的维数是_______．16．矩阵A=541420713032的秩=___________.
17．设21,是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3217）=_________.
18．设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=__________.
19．设P为正交矩阵，若（Px, Py）=8, 则（x, y）=_________.
20．设f(x1，x2，x3)=31212322212224xxxtxxxx是正定二次型，则t满足_____.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式bacc2c2b2cabb2a2a2cba
22．判断矩阵A=7600650000320014是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．
23．求向量组1=(1，2，-1，-2),2=(2，5，-6，-5),3=(3，1，1，1), 4=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来． 24．求齐次线性方程组03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系及其结构解．
25．求矩阵A=3142281232的特征值和特征向量．
26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．
f(x1，x2，x3)=32312122216223xxxxxxxx
四、证明题(本大题共1小题，6分)
27．设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0．
全国2011年4月高等教育自学考试
说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
1.下列等式中，正确的是（ ）
A.2001002001021B. 1233693456456C.1051002 D.120120035035
2.设矩阵A=100220340，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ）A.3 B.2C.1 D.0
3.设向量1=（-1，4），2=（1，-2），3=（3，-8），若有常数a,b使a1-b2-3=0,则（ ）
A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2
4.向量组1=（1，2，0），2=（2，4，0），3=（3，6，0），4=（4，9，0）的极大线性无关组为（ ）
A.1，4B.1，3 C.1，2 D.2，3
5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）
A.111010001B.200020002 C.108010001 D.108018001
