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全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc

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感谢你的阅读 2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知2ba，4)1()1(22abba，则ab的值为 （ B ）

A．1. B．1. C．21. D．21.

2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为

（ B ）

A．5. B．6. C．7. D．8.

3．方程)2)(324(|1|2xx的解的个数为 （ C ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ）

A．5组. B．7组. C．9组. D．11组.

5．如图，菱形ABCD中，3AB，1DF，60DAB，15EFG，BCFG，则AE （ D ）

A．21. B．6.

C．132. D．31.

6．已知2111zyx，3111xzy，4111yxz，则zyx432的值为 （ C ）

A．1. B．23. C．2. D．25.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．在△ABC中，已知AB2，322,2ABBC，则A15．

2．二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则cb2 2 ．

3．能使2562n是完全平方数的正整数n的值为 11 ．

4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果CEDE43，58AC，D为EF的中点，则AB＝ 24 ．

GCBDAFEDFBOACE感谢你的阅读

感谢你的阅读 第二试 （A）

一、（本题满分20分）

已知三个不同的实数cba,,满足3cba，方程012axx和02cbxx有一个相同的实根，方程2x0xa和02bcxx也有一个相同的实根．求cba,,的值．

解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．

设1x是方程①和方程②的一个相同的实根，则,0,01121121cbxxaxx 两式相减，可解得bacx11．

设2x是方程③和方程④的一个相同的实根，则,0,0222222bcxxaxx两式相减，可解得12cbax。

所以 121xx．

又方程①的两根之积等于1，于是2x也是方程①的根，则01222axx。

又 0222axx，两式相减，得 1)1(2axa．

若1a，则方程①无实根，所以1a，故12x．

于是 1,2cba．又3cba，解得 3,2bc．

二．（本题满分25分）

如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点．求证：（1）30PBD；（2）DCAD．

证明 （1）由已知得 90ADC，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．

作BDPM于点M，知M为BD的中点，所以BPM＝12BPD＝60A，从而30PBM．

（2）作BPSN于点N，则12SNSB．

又BDMBDMSBDS21,2，

∴ SNSBSBSBDMDSMS21232，

∴ Rt△PMS≌Rt△PNS，∴ 30NPSMPS，

又PBPA，所以1152PABNPS，故DCADAC45，所以DCAD．

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三．（本题满分25分）

已知pnm,,为正整数，nm．设(,0)Am，(,0)Bn，(0,)Cp，O为坐标原点．若90ACB，且)(3222OCOBOAOCOBOA．

（1）证明：3pnm；

（2）求图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式．

解 （1）因为90ACB，ABOC，所以2OCOBOA，即2pmn．

由)(3222OCOBOAOCOBOA，得)(3222pnmpnm．

又)(2)(2222mpnpmnpnmpnm)(2)(22mpnpppnm

)(2)(2pnmppnm))((pnmpnm，

从而有3pnm，即3pnm．

（2）由2pmn，3pnm知nm,是关于x的一元二次方程

0)3(22pxpx ①

的两个不相等的正整数根，从而04)]3([22pp，解得31p。

又p为正整数，故1p或2p．

当1p时，方程①为0142xx，没有整数解．

当2p时，方程①为0452xx，两根为4,1nm．

综合知：2,4,1pnm．

设图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为)4)(1(xxky，将点)2,0(C的坐标代入得

)4(12k，解得21k．

所以，图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212xxxxy．

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第二试 （B）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）

如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且DS2SB．求证：DCAD．

证明 由已知得 90ADC，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径．

设P为AC的中点，则P为四边形ABCD的外接圆的圆心．

作BDPM于点M，则M为BD的中点,所以BPM＝12BPD＝60A，从而30PBM．

作BPSN于点N，则12SNSB．又BDMBDMSBDS21,2，

∴ SNSBSBSBDMDSMS21232，

∴ Rt△PMS≌Rt△PNS，∴30NPSMPS，

又PBPA，所以1152PABNPS，所以DCADAC45，所以DCAD．

三．（本题满分25分）

已知pnm,,为正整数，nm．设(,0)Am，(,0)Bn，(0,)Cp，O为坐标原点．若90ACB，且2OA＋2OB＋2OC＝3(OA＋OB＋OC）．求图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式．

解 因为90ACB，ABOC，所以 2OCOBOA，即2pmn．

由)(3222OCOBOAOCOBOA，得)(3222pnmpnm．

又)(2)(2222mpnpmnpnmpnm)(2)(22mpnpppnm

)(2)(2pnmppnm))((pnmpnm，

从而有3pnm，即3pnm．

又2pmn，故nm,是关于x的一元二次方程

0)3(22pxpx ①

的两个不相等的正整数根，从而04)]3([22pp，解得31p。

又p为正整数，故1p或2p． NMSDCPAB感谢你的阅读

感谢你的阅读 当1p时，方程①为0142xx，没有整数解．

当2p时，方程①为0452xx，两根为4,1nm．

综合知：2,4,1pnm．

设图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为)4)(1(xxky，将点)2,0(C的坐标代入得

)4(12k，解得21k．

所以，图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212xxxxy．

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）

如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作ABACBC,,的垂线，垂足分别为FED,,，BM为ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N．如果PFPEPD，求证：CN是ACB的平分线．

证明 如图1，作BCMM1于点1M，ABMM2于点2M，BCNN1于点1N，ACNN2于点2N．

设NMNP，∵ 11////MMPDNN， ∴111MNDN．

若11MMNN，如图2，作1MMNH，分别交PDMM,1于点1,HH，则△1NPH∽△NMH，∴NMNPMHPH1，∴ MHPH1，

∴ 111NNMHHHPHPD11111)1()(NNMMNNNNMM．

若11MMNN，则1111)1(NNMMMMNNPD． N2N1M1M2DEFNMCBAPH1HN1M1DNMP感谢你的阅读

感谢你的阅读 若11MMNN，同理可证11)1(NNMMPD．

∵2//NNPE，∴ 12NMPMNNPE，∴2)1(NNPE．

∵ 2//MMPF，∴NMNPMMPF2，∴2MMPF．

又PFPEPD，∴ 2211)1()1(NNMMNNMM．

又因为BM是ABC的平分线，所以12MMMM，∴ 21)1()1(NNNN．

显然1，即01，∴ 21NNNN，∴CN是ACB的平分线．

三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.

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初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

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一、填空题

1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.

答案：-1

2. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.

答案：7

3. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.

答案：6

4. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.

答案：45°

二、选择题

5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.

A. 水平的直线

B. 斜率为 1 的直线

C. 斜率为 -1/3 的直线

D. 竖直的直线

答案：B

6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.

A. 4

B. 5

C. 8

D. 10

答案：A

7. 已知 tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.

A. 5

B. -5

C. -1/5

D. 1/5

答案：B

8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（ ）

A. 1/2

B. 3/2

C. 2/3

D. 3/4

答案：B

三、解答题

9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标

答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)

可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。点 P

全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)

全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)

全国初中数学联赛决赛试题(江西卷) 1 / 3

全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）

一、选择题（此题满分 42 分，每题 7 分）

此题共有 6 小题，每题均给出了代号为 A, B,C , D 的四个答案，此中有且仅有

一个是正确的 . 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 . 每题选对得 7 分；

不选、选错或选出的代号字母超出一个（无论能否写在括号内） ，一律得 0 分.

1、从分数组 1,1,1,1, 1 , 1 中删去两个分数，使剩下的数之和为 1，则删去

2 4 681012

两个数是（ ）

（A） 1与1 (B) 1 与 1 (C) 1 与 1 (D) 1 与 1

4 8 4 10 8 10 8 12

2、化简 3 2 5 的结果是（ ）

1 5

（A） 1 (B) 5 (C) 3 (D) 1 5

2 4 8 7

3、 555 的末端三位数字是（ ）

（ A）125 (B)375 (C)625 (D)875

xy (1)

x 1.........

2 y

4、若实数 x, y, z 知足方程组： yz.......... (2) ,则有（ ） 2

y 2z

zx........... (3)

3

z 2x

（ A）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=0

5、将正三角形每条边四等份，而后过这些分点作平行于其余两边的直线，则以

图中线段为边的菱形个数为（ ）

（ A）15 (B)18 (C)21 (D)24

6、某人将 2008 当作了一个填数游戏式： 2□□8，于是 全国初中数学联赛决赛试题(江西卷) 2 / 3

他在每个框中各填写了一个两位数

2001年全国初中数学联赛试题

2001年全国初中数学联赛试题

2001年全国初中数学联赛

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．a，b，c为有理数，且等式62532cba成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）

（A） 1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定

2．若1ab，且有5a2+2001a+9=0及05200192bb，则ba的值是（ ）

（A）59 （B）95 （C）52001 （D）92001

3．已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）

（A）32 （B）32 （C）30 （D）23

4．如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）

（A）BDABBCAD•• （B）ACADAB•2

（C）∠ABD=∠ACB （D）BDACBCAB••

5．①在实数范围内，一元二次方程02cbxax的根为aacbbx242；②在△ABC中，若222ABBCAC，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和111CBA中，a，b，c分别为△ABC的三边，111,,cba分别为111CBA的三边，若111,,ccbbaa，则△ABC的面积S大于111CBA的面积1S。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

6．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）

1995-2011全国初中数学联赛试题(包含大纲)

1995-2011全国初中数学联赛试题(包含大纲)

1 全国初中数学联赛参考考试大纲（2006年通过）

全国初中数学联赛以其严格的规范性著称，试题的命制参考初中数学竞赛大纲（2006年通过）版本。

1．数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；

素数和合数，最大公约数与最小公倍数；

奇数和偶数，奇偶性分析；

带余除法和利用余数分类；

完全平方数；

因数分解的表示法，约数个数的计算；

有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2．代数式

综合除法、余式定理；

因式分解；

拆项、添项、配方、待定系数法；

对称式和轮换对称式；

整式、分式、根式的恒等变形；

恒等式的证明。 •

3．方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；

含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；

含绝对值的一元一次不等式；

简单的多元方程组；

简单的不定方程(组)。

4．函数的图象和性质；

二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；

含字母系数的二次函数。

5．几何

三角形中的边角之间的不等关系；

面积及等积变换；

三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；

相似形的概念和性质；

圆，四点共圆，圆幂定理；

四种命题及其关系。

6．逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；

简单的组合问题；

简单的逻辑推理问题，反证法；

极端原理的简单应用；

枚举法及其简单应用。

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２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案 35 36