2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕

数学〔理科〕

第Ⅰ卷〔共50分〕

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

〔1〕【2016年山东，理1，5分】假设复数z满足232izz，其中i为虚数为单位，则z〔 〕

〔A〕12i 〔B〕12i 〔C〕12i 〔D〕12i

【答案】B

【解析】设,,zabiabR，则2()i23i32izzzzzabaab，所以1,2ab，故选B．

【点评】此题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

〔2〕【2016年山东，理2，5分】已知集合22,,10xAyyxRBxx，则AB〔 〕

〔A〕1,1 〔B〕0,1 〔C〕1, 〔D〕0,

【答案】C

【解析】由题意0,A，1,1B，所以1,AB，故选C．

【点评】此题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

〔3〕【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是〔 〕

〔A〕56 〔B〕60 〔C〕120 〔D〕140

【答案】D

【解析】由图可知组距为，每周的自习时间少于小时的频率为(0.020.1)2.50.30，

所以，每周自习时间不少于小时的人数是20010.30140人，故选D．

【点评】此题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

〔4〕【2016年山东，理4，5分】假设变量x，y满足22390xyxyx，则22xy的最大值是〔 〕

〔A〕4 〔B〕9 〔C〕10 〔D〕12

【答案】C

【解析】由22xy是点,xy到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点0,2,0,3,3,1，

所以3,1是最优解，22xy的最大值是10，故选C．

【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

〔5〕【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该

几何体的体积为〔 〕

〔A〕1233 〔B〕1233 〔C〕1236 〔D〕216

【答案】C

【解析】由三视图可知，半球的体积为26，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236，

故选C．

【点评】此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据已知的三视图，判断几何体的形状

是解答的关键．

〔6〕【2016年山东，理6，5分】已知直线,ab分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的〔 〕

〔A〕充分不必要条件 〔B〕必要不充分条件 〔C〕充要条件 〔D〕既不充分也不必要条件 2

【答案】A

【解析】由直线a和直线b相交，可知平面、有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相

交，直线a和直线b不一定相交，故选A．

【点评】此题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．

〔7〕【2016年山东，理7，5分】函数()3sincos3cossinfxxxxx的最小正周期是〔 〕

〔A〕2 〔B〕 〔C〕32 〔D〕2

【答案】B

【解析】由()2sincos3cos22sin23fxxxxx，所以，最小正周期是，故选B．

【点评】此题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．

〔8〕【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,mn满足143,cos,3mnmn ，假设ntmn则实数t的值为〔 〕

〔A〕4 〔B〕4 〔C〕94 〔D〕94

【答案】B

【解析】因为21cos,4nmmnmnn，由ntmn，有20ntmntmnn，即2104tn，4t，

故选B． 【点评】此题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．

〔9〕【2016年山东，理9，5分】已知函数()fx的定义域为R，当0x时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，1122fxfx，则6f〔 〕

〔A〕2 〔B〕1 〔C〕0 〔D〕2

【答案】D

【解析】由1122fxfx，知当12x时，fx的周期为1，所以61ff．又当11x时，

fxfx，所以11ff．于是3611112fff，故选D．

【点评】此题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．

〔10〕【2016年山东，理10，5分】假设函数yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yfx具有T性质．以下函数具有T性质的是〔 〕

〔A〕sinyx 〔B〕lnyx 〔C〕xye 〔D〕3yx

【答案】A

【解析】因为函数lnyx，xye的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3yx的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T性质，故选A．

【点评】此题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

第II卷〔共100分〕

二、填空题：本大题共5小题，每题5分

〔11〕【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，假设输入的的值分别为0和9，则输出i的

值为 ．

【答案】3

【解析】i1时，执行循环体后1,8ab，ab不成立；i2时，执行循环体后3,6ab，ab

不成立；i3时，执行循环体后6,3ab，ab成立；所以i3，故填 3.

【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进

行解答． 3

〔12〕【2016年山东，理12，5分】假设521axx的展开式中5x的系数是80，则实数a ．

【答案】2

【解析】由23222355551CC80axaxxx，得2a，所以应填2．

【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．

〔13〕【2016年山东，理13，5分】已知双曲线2222:10,0xyEabab，假设矩形ABCD的四个顶点在E上，,ABCD的中点为E的两个焦点，且23ABBC，则E的离心率为 ．

【答案】2

【解析】由题意BC2c，所以2AB3BC，于是点3,2cc在双曲线E上，代入方程，得2222914ccab，

在由222abc得E的离心率为2cea．

【点评】此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出ABCD，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．

〔14〕【2016年山东，理14，5分】在1,1上随机的取一个数k，则事件“直线ykx与圆2259xy相交”发生的概率为 ．

【答案】34

【解析】首先k的取值空间的长度为2，由直线ykx与圆22(5)9xy相交，得事件发生时k的取值空间为33,44，其长度为32，所以所求概率为33224．

【点评】此题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．

〔15〕【2016年山东，理15，5分】在已知函数2,24,xxmfxxmxmxm，其中0m，假设存在实数b，使得关于x的方程fxb有三个不同的根，则m的取值范围是 ．

【答案】3,

【解析】因为224gxxmxm的对称轴为xm，所以xm时224fxxmxm单调递增，只要b大于224gxxmxm的最小值24mm时，关于x的方程fxb在xm时有一根；又hxx在xm，0m时，存在实数b，使方程fxb在xm时有两个根，只需0bm；故只需24mmm即可，解之，注意0m，得3m，故填3，．

【点评】此题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24mmm是难点，属于中档题．

三、解答题：本大题共6题，共75分．

〔16〕【2016年山东，理16，12分】在ABC中，角,,ABC的对边分别为a,b,c，已知tantan2tantancoscosABABBA．

〔1〕证明：2abc；

〔2〕求cosC的最小值．

解：〔1〕由tantan2tantancoscosABABBA得sinsinsin2coscoscoscoscoscosCABABABAB，2sinsinsinCBC，

由正弦定理，得2abc．

〔2〕由222222cos22ababcabcCabab222333111122222ccabab．所以cosC的最小值为12． 4

【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222abab的应用，不等式的性质．

〔17〕【2016年山东，理17，12分】在如下图的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底

面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．

〔1〕已知,GH分别为,ECFB的中点，求证：//GH平面ABC；