几种换元法在解题中的应用
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几种换元法在解题中的应用
作者：辛德钰
来源：《中学教学参考·文综版》2009年第10期
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一变量去代替它,从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法的解题关键是根据题目的结构形式及相关数学性质恰当地选择新变量,同时还应注意替换后变量取值范围的变化.
一、整体换元法
将欲证或待求的式子用一个未知量表示,然后根据题设条件求出该未知量,使问题获得解决.
【例1】 若0≤x≤2,则函数y=4■-3·2■+5的最值是 .
解析:原式可变形为y=4■·4■-3·2■+5,
即y=■·(2■)■-3·2■+5(0≤x≤2).
令2■=t,则问题转化为y=■t■-3t+5(1≤t≤4),
即y=■(t-3)■+■(1≤t≤4).
根据二次函数区间最值,可知当t=3,即2■=3时,函数取得最小值,最小值为■;当t=1,即x=0时,函数取得最大值,最大值为■.
填最大值■、最小值■.
注:这是一个复合函数的最值问题,通过整体换元化函数的二次函数,再由二次函数在区间上的单调性确定最值而得解.切记在换元过程中,一定要明确中间变量t的取值范围.注意所换“元”取值范围的制约作用.
二、“1”的代换法
在解题中,进行“1”的代换常能起到化难为易,化隐为显的作用.
【例2】 已知tanθ=■,求■的值.
解析:∵1=sin■θ+cos■θ, 龙源期刊网
∴原式=■
=■
=■(分子分母同除以cos■θ).
∵tanθ=■,
∴上式=■=-■.
三、三角换元法
将代数问题通过三角代换转化为三角问题称为三角换元法.
【例3】 求函数y=■+■的值域.
解析:函数的定义域为[0,1],故可设x=sin■θ,
则原函数化为y=■+■=sinθ+cosθ=■sin(θ+■).
∵0≤θ≤■,∴■≤θ+■≤■,
∴■≤sin(θ+■)≤1,
∴1≤■sin(θ+■)≤■,∴1≤y≤■.
注:若a■+b■=1,可想到a=cosθ,b=sinθ;若出现■可考虑到a=cos■θ(θ∈[0,■])或a=sin■θ(θ∈[0,■]);若a■-b■=1,则可考虑a=secθ,b=tanθ,与此类似的有很多,同学们不妨自己归纳一下.
四、均值换元法
我们知道,对于任意实数a,b,有a=■+■,b=■-■,令■=p,■=q,则a=p+q,b=p-q,这种代换称为和差代换.特别地,若a=p+q,可设p=■+t,q=■-t(t为参变量)进行代换,这种代换称为均值代换.
【例4】 若cosα+2sinα=-■,则tanα等于( ).
A.■ B.2 C.-■ D.-2
解析:设cosα=-■+t,2sinα=-■-t,
则(-■+t)■+(■)■(-■-t)■=1, 龙源期刊网
解得t=■,∴cosα=-■+■=-■,
sinα=■(-■-■)=-■,∴tanα=2.
五、常值换元法
当题中的常值特征比较特殊、规律不明显时,若用字母来代替常值,往往能使题中所隐含的规律明朗化,从而获得简解.
【例5】 已知a=■(2010■-2010■)(n∈N*),则(a-■)■的值为( ).
A.(-1)■2010■ B.(-1)■2010
C.2010■D.-2010■
解析:设t=2010,则a=■(t■-t■)(n∈N*),解得t■=a+■或t■=a-■(舍去),而a-■=-(a+■)■=-t■,∴原式=(-t■)■=(-1)■2010■.
六、比(或等)值换元法
当题中出现等比(值)的形式时,我们往往令该比(或值)为k,从而化分式为整式.
【例6】 设a,b,c都是正数,且3■=4■=6■,则以下正确的是( ).
A.■=■+■ B.■=■+■
C.■=■+■ D.■=■+■
解析:设3■=4■=6■=k,则k>0且k不等于1,两边同时取对数得a=log■k,b=log■k,c=log■k,
∴■=log■3,■=log■2,■=log■6=log■2+log■3,
∴■+■=2log■3+2log■2=2(log■2+log■3)=■.
七、增量换元法
对于实数,若a≥b,a=b+m(m≥0),则称m为增量.用增量换元可将不等量变为等量,将不等关系化为相等关系.
【例7】 若-4
A.有最小值1B.有最大值1 龙源期刊网
C.有最小值-1 D.有最大值-1
解析:设x+m=1,则x=1-m(0
f(x)=■=■=■(-m-■)(0
又■(-m-■)=-■(m+■)≤-1(当且仅当m=1时取“=”号),∴ f(x)≤-1,则有最大值-1.
(责编 金 铃)
