换元法在高中数学解题中的应用

解题技巧与方法 ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ１１０ 换元法在高中数学解题中的应用技巧换元法在高中数学解题中的应用技巧◎梁茸茸　（甘肃省临夏中学，甘肃　临夏　７３１１００） 【摘要】通过“换元”分析题目、梳理思路、简化运算、解决问题，是高中一种至关重要的解题技巧．文章参考２０１９年人教版高中数学教材核心知识点，从内涵、价值、方法、类型题等多个维度层层深入，探究换元法的具体应用，希望对一线教师的教学有一定启发，帮助学生在高中数学解题中全面掌握换元法．【关键词】高中数学；换元法；解题教学引　言换元法是一种数学解题方法，体现着重要的数学思想，在高中数学方程、不等式、函数等问题中有着十分广泛的应用．教师应使学生充分认识换元法在高中数学解题中的应用价值，掌握其应用技巧，以培养学生高中数学解题能力，使其数学思想、能力等实现良好的发展．这要求教师立足实际研究换元法在高中数学解题中的应用技巧，全面把握其基本方法与关联题型，为学生提供恰到好处的指导．一、换元法的内涵换元法也称“变量代换法”“辅助元素法”，是一种在数学解题过程中以新的变量取代原有变量的方法．展开来说，换元法是在数学解题过程中引入一个或多个新的变量代替题目中原有的某些复杂或干扰变量，从而将分散在题目中的已知条件准确联系起来，突出隐含条件，将题目变成学生更容易理解的形式，简化烦琐的运算过程．二、换元法在高中数学不同类型题中的应用掌握换元法在高中数学解题中的应用技巧，应准确理解其适用题型．这样，学生才能在面对换元法相关题目时，及时确定“换元”解题思路，节约思考时间．因此，教师还应引导学生归类典型题，探索换元法在高中数学不同类型题中的应用．比如，方程问题、函数问题、不等式问题、数列问题．（一）方程问题方程问题是高中数学最基础的一项知识，是学生解答高中数学函数、导数等其他问题的重要基础．以人教版高中数学教材为例（２０１９年版），其在高一必修第一册便编排了“一元二次方程”知识点，足见方程在整个高中数学学习过程中的重要性．而对于一些复杂的方程问题，只有通过换元才能顺利求解．例如，人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章“一元二次函数、方程和不等式”教学中，有下列题目：解方程：ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２＋ｘ２＋１ｘ－２＝０．方程最高次项为４次，使其具有较大难度，不能直接运用解一元二次方程的解题经验，由此可考虑应用换元法，将方程最高次“降次”，具体思路和过程如下：观察方程未知数，可知ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２与ｘ２＋１ｘ为平方关系．因此可设ｘ２＋１ｘ为ｙ，则ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２可表示为ｙ２，原方程转化为ｙ２＋ｙ－２＝０，（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０，ｙ值可取－２或１．当ｙ值取－２时，ｘ２＋１ｘ＝－２，ｘ２＋１＋２ｘ＝０，ｘ＝－１；当ｙ值取１时，ｘ２＋１ｘ＝１，ｘ２＋１－ｘ＝０，ｘ－１２æèçöø÷２＝－３４，无解．所以原方程解为ｘ＝－１．一方面，基于换元法在方程问题中的“降次”优势解题，将方程最高次项由４次转化为２次．另一方面，应用整体换元法，将方程中代数式ｘ２＋１ｘ视为一个整体，整体代入未知数ｙ．通过换元法在方程问题中的混合应用，非常见一元四次方程被转化为学生再熟悉不过的一元二次方程，解方程难度大大降低．此外，高中数学“圆锥曲线方程”解题中，也需要应用换元法解题技巧．例如，人教版高二选择性必修第一册（２０１９年版）第三章“椭圆”，有下列题目：在椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１上有一移动的点Ｐ，其坐标可表示为（ｘ，ｙ），求函数ｕ＝ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２＋ｘ＋２ｙ的最大值．基于换元法，其解题思路与过程如下：设ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθ，θ∈［０，２π）．ｕ＝４ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎθｃｏｓθ＋４ｓｉｎ２θ＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＝２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＋２． ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ 解题技巧与方法１１１ 再设ｇ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎπ４＋θæèçöø÷，ｇ∈［－２，２］ｕ＝２ｇ２＋２ｇ＋２＝２ｇ＋１２æèçöø÷２＋３２，ｇ＝２时，ｕ最大，值为６＋２２．某种意义上，圆锥曲线方程问题可以视为高一方程问题的升级，其复杂性更高，难度有显著提升，因此要求学生掌握更加灵活的解题方法．例题解题思路为三角换元法在圆锥曲线方程问题中的运用，是先根据椭圆参数方程ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ特点还原，然后依据三角函数ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１等知识点化简方程，求出最终解．（二）函数问题高中数学函数问题可概括为“基础函数问题”与“三角函数问题”，前者还可细分为“二次函数基础问题”“指数函数基础问题”“对数函数基础问题”等，后者由于在“三角形”背景下，因此被单独归类．换元法不仅可以用于解决“二次函数”等基础函数问题，还在三角函数问题的解答中有特殊功能．教师应使学生全面掌握函数问题中的换元技巧．而“换元法在基础函数解题的应用”中，主要题型有“函数解析式问题”与“最值问题”，下面将结合具体例题一一论述．１．函数解析式问题一般情况下，高中数学函数解析式问题可以通过待定系数法求解，若题中已知条件无法满足待定系数法解题需要，换元法便派上了用场．例如：已知函数，ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，求ｆ（ｘ）．这是一个典型的求对数函数解析式问题，题目所给条件十分有限，不能直接套用待定系数法．换元法解题思路与过程如下：令２ｘ＋１＝ｕ，则ｘ＝２ｕ－１，ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１．结合题意ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，可知ｘ＞０，则ｕ＞１，则ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１成立．以未知数ｘ表示ｕ，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ２ｘ－１ｘ＞１()．直接将已知函数关系式中２ｘ＋１视为一个整体，用未知数ｕ进行表示，求出换元后的函数解析式．之后再次换元，代入新的未知数替换ｕ，解得原函数ｆ（ｘ）解析式．通过变量的多次替换，轻松求出原复杂函数解析式．但是需要注意的是，由于在多次换元中，“新元”取值范围存在变化，所以在最终确定函数解析式时，要着重关注ｘ的取值范围．此外，教师还可以视此题目为典型，引导学生归纳函数解析式问题换元规律：形如ｙ＝ｆｇ（ｘ）[]的函数中，求解其解析式，可以先对ｇ（ｘ）换元，再求解原函数解析式．学生由此形成对函数解析式问题换元技巧的规律性掌握，可在自主求解函数解析式问题时，更加自信、巧妙地应用换元法．２．最值问题高中数学最值问题包括“最大值”“最小值”问题，在二次函数、指数函数等函数中均有应用．而且，在某种意义上，圆锥曲线方程问题也属于函数问题，上述“三角换元解椭圆方程最大值”问题，本质上也是换元法在函数最值问题中的应用．因此在本部分，将不再对圆锥曲线方程最值问题展开赘述，以二次函数为重点讨论对象．例如：求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的最小值．题目只有寥寥一句话，却能困扰很大一部分学生．这并非常见的一元二次函数，应该采取何种方法求最小值？解题思路与过程如下：应用换元法可以将函数关系式“根号”部分的变量视为一个整体，令ｘ－１＝ｕ，则ｘ＝ｕ２＋１，函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕ≥０）．此时，函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的求解问题，被顺利转化为函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕ≥０）的求解问题．通过顶点式表达ｆ（ｕ）函数关系式，ｆ（ｕ）＝２ｕ－１４æèçöø÷２＋１５８，函数开口向上，在顶点处取最小值，ｕ＝１４，ｆ（ｕ）＝１５８．通过整体换元，函数由一次函数被转化为易于求最值的二次函数形式，然后将二次函数表达式转化为“顶点式”，可根据二次函数顶点坐标特征顺利求解．但是在换元过程中，同样要明确与“元”相对应的变量取值范围变化情况．３．三角函数问题三角函数是特殊的一种高中数学函数问题，因此换元法在其实际解题过程中的应用也具有一定特殊性，包括角换元、三角式、ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１换元等．例如：求三角函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．这是一个典型的“三角式换元”问题，可以通过三角式换元将三角函数转化为二次函数，使“求值域”更加简单，思路与过程如下：设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ，则ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２．根据三角函数诱导 解题技巧与方法 ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ１１２ 公式，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，则ｔ取值范围为ｔ∈［－２，２］，ｆ（ｘ）＝ｔ＋ｔ２－１２＝ｔ＋１()２－２２，其对称轴为ｔ＝－１，因此在区间ｔ∈［－２，２］内，其值域为ｆ－１()，ｆ２()[]．ｆ－１()＝－１，ｆ２()＝２２＋１２，求得原函数值域为－１，２２＋１２éëêêùûúú．通过将三角函数中某一个三角函数关系式换元，引发原函数其他变量的相应变化，将原函数由三角函数转化为二次函数，根据“换元”后函数变量取值范围变化情况确定二次函数定义域，求出其值域，该值域也是原函数待求值域．在换元法与三角函数问题的紧密融合中，高中数学三角函数解题难度也大大降低．（三）不等式问题不等式问题同样是人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章“一元二次函数、方程和不等式”部分教学内容，其典型题目包括求不等式某一变量取值范围、证明不等式等．例如：求证－１２≤ｘ１－ｘ２≤１２．这是典型的证明不等式问题，初读题目，除待证不等式外，题目并未给出其他已知条件，使很多学生毫无头绪．但是应用换元法，将式中ｘ设为ｃｏｓθ，结果将天差地别，解题过程与思路如下：令ｘ＝ｃｏｓθ，且θ∈０，π[]，则ｘ１－ｘ２＝ｃｏｓθｓｉｎθ＝１２ｓｉｎ２θ．θ∈０，π[]，－１≤ｓｉｎ２θ≤１，则－１２≤１２ｓｉｎ２θ≤１２，－１２≤ｘ１－ｘ２≤１２．具体来说，此题应用三角换元法，通过设原不等式变量ｘ为三角函数ｃｏｓθ，同时设定角θ取值范围，将不等式转化为与ｓｉｎθ相关的关系式．之后，可根据角θ在特殊取值范围下的值域确定ｓｉｎθ取值范围，从而反证不等式，降低不等式证明难度．但是在应用此技巧时，还要注意换元的等价性，不仅要保持题目各个变量之间的关系不变，还要使各变量取值范围在换元前后保持一致．（四）数列问题换元法在数列解题中的应用，主要包括在数列的递推通项公式或前ｎ项和公式过程中，构造等差数列或等比数列；在关于数列的不等式问题中，求解数列最值．例如，人教版高二选择性必修第二册（２０１９年版）第四章“数列”教学中，有下列题目：已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，当ｎ≥２时，数列前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，求Ｓｎ的表达式．结合题意，解决此问题，需要根据ａ１＝１以及ｎ≥２时数列前ｎ项和Ｓｎ所满足条件逆推前ｎ项和公式，而逆推数列前ｎ项和公式，需要构造新的数列，由此可应用换元法．解题思路如下：任意一个数列中，都有ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１，当ｎ≥２时，将其代入Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，得到２ＳｎＳｎ－１＋Ｓｎ－Ｓｎ－１＝０．若题目成立，则Ｓｎ≠０，等式两边可同时除以ＳｎＳｎ－１，得到２＋１Ｓｎ－１－１Ｓｎ＝０，１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２．应用换元法，可设Ｃｎ＝１Ｓｎ，则Ｃｎ－Ｃｎ－１＝２，Ｃｎ{}为首项为１、公差为２的等差数列，表达式为２ｎ－１．将Ｃｎ＝２ｎ－１代入Ｃｎ＝１Ｓｎ，则１Ｓｎ＝２ｎ－１，Ｓｎ＝１２ｎ－１．首先，根据题意以及数列特征消掉题目的ａｎ，使其只存在Ｓｎ与Ｓｎ－１两个变量，突出数列前ｎ项和与前ｎ－１项和的数学联系．其次，将Ｓｎ与Ｓｎ－１其中一个变量设为新的变量，通过还原构造新的数列，求出其表达式．最后，将新数列表达式代入之前所求得的数学关系式，求出数列｛ａｎ｝真正的前ｎ项和表达式．将换元法渗透在运算过程中，及时设元，减少无关运算，顺利逆推出数列问题答案．结　语综上所述，在高中数学解题中，换元法既可以保障解题效果，又可以使学生感悟数学思想，感悟换元法应用在高中数学解题中具有的极高现实意义．教师应使学生领会换元法在高中数学解题中的常见方法，同时区分适用于换元法的不同题型，使学生全面掌握换元法应用技巧．此外，教师还需让学生建立“勿忘换元”意识，使其“换元”有始有终．【参考文献】［１］李志明．巧妙换元　解决难题———换元法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３６）：１４－１６．［２］刘延群．高中数学换元解题“六法”［Ｊ］．中学数学，２０２２（９）：８１－８２，９５．［３］雷文发，张红霞．灵活换元　巧妙转换［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（６）：６８．

第1页 2013.3.20 高中数学解题方法

2013年高考数学二轮复习 换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224xx，先变形为设)0(2ttx，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现1,0x，设2sinx22,0，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量yx,适合条件)0(222rryx时，则可作三角代换sin,cosryrx化为三角问题。

均值换元，如遇到Syx形式时，设tSytSx2,2等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

题型一：代数换元

例1：（1）方程1313xx＝3的解是_______________

（2）xxxf2)(的值域是___________.

(3)2loglog)12(2)22(2xx的解为_____________________________.

换元法在高中数学解题中的应用

换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。

一、函数换元法

1. 基本思想

函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。

2. 具体应用

函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。例如，在求函数

$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将

$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到

$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times

\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times

2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。

二、微分方程的换元法

微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到

$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到

$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为

利用换元法解数学题的关键在于能否恰当地选择“新元”，然后再进行恰当的代换，找到较清晰的解题思路，能用来简化问题。使用换元法时必须注意新元的取值范围是否和旧元取值范围保持对应、换元时所受到的限制条件，还要注意根据题设环境检验结果。换元的目的是变换研究对象，将问题转换致新对象的知识背景中去研究。用一句话来概括换元法的作用就是“复杂结构简单化，混乱思路清晰化”。换元法从方法上可以分为：“以元代数”，“以元代元”和“以数代元”等。从思想上可以分为：“整体换元”、“三角换元”、“对称换元”、“均值换元”、“设差换元”等。换元法在高中数学范围内主要应用于四种问题，即不等式的证明问题，解方程问题，求函数最值问题和化简问题。下面将对这四种问题进行逐个分析。

一、换元法在不等式问题中的应用

不等式的证明有三大难点：切入点难找，可利用条件模糊，变形方向更是难以把握，利用换元法引入新元，有时可以有效地将分散条件整合，隐含条件再现，从而使问题也变的易于处理。以下是换元法在几种常见类型不等式问题的应用情况。

评：通过观察本题的结构特点，会发现左式两个分母：x,1-x与三角函数中的sin2x,1-sin2x的结构相似，因此本题采用三角换元法，将x换成sin2θ（以数代元）便可利用三角公式，将式子由分式结构转化成整式结构，简化解题难度.

恒成立，求实数a的取值范围.

解：令，则原问题等价于不等式对x∈r恒成立，因为t 2=0时不成立，所以，即.

评：本题将不等式中的看成一个整体，用t代换，即用以元代数的方法去整体换元。这样可以排除干扰，将问题转化为我们最熟悉不过的一元二次不等式问题，从而使问题变的易于解决。

通过以上几个例子我们可以知道：在较为复杂的不等式证明中，有许多不等式在利用换元法变形之后，就可以使分散条件整合，隐含条件显现，使问题变的易于处理。

二、换元法在解方程中的应用

在高中数学中，方程问题是最常见的数学问题之一，其解题方法也较为简单明了。然而一些特殊的方程用一般的方法却难以解决，比如一些高次方程，分式方程，对数方程等。这些方程的未知数较复杂，难以处理。而换元法的作用就是化繁为简，所以当使用换元法来解决某些解方程问题时，作用会很明显。以下几种类型的方程问题具有代表性。