【三维设计】2022届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第九章 概率 Word版含答案

第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础盘查一分类加法计数原理(一)循纲忆知1．理解分类加法计数原理．2．会用分类加法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( )答案：(1)×(2)√2．(人教A版教材习题改编)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是________．答案：93．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．答案：36基础盘查二分步乘法计数原理(一)循纲忆知1．理解分步乘法计数原理．2．会用分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材例题改编)若给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G，或U～Z，后两个要求用数字1～9.则最多可以给________个程序命名．答案：1 0530，1， 2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其3．从集合{}中虚数有________．答案：36考点一分类加法计数原理|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法．[提醒] 分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．[题组练透]1．(2015·辽宁五校联考)甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方案共有( )A．20种B．30种C．40种D．60种解析：选A 可将安排方案分为三类：①甲排在周一，共有A24种排法；②甲排在周二，共有A23种排法；③甲排在周三，共有A22种排法，故不同的安排方案共有A24＋A23＋A22＝20种．故选A.2．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O 和A→C→O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．答案：53．(2015·济南模拟)若椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{}1，2，3，4，5，n∈{}1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为________．解析：当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7共6种当m＝2时，n＝3,4,5,6,7共5种；当m＝3时，n＝4,5,6,7共4种；当m＝4时，n＝5,6,7共3种；当m＝5时，n＝6、7共2种，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20种．答案：20[类题通法]利用分类加法计数原理解题时的注意事项(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．考点二分步乘法计数原理|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．[提醒] 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．[典题例析]有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种．[类题通法]一类元素允许重复选取的计数问题，可以采用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．[演练冲关](2014·大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种解析：选C 从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.考点三两个原理的应用|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]角度一：涂色问题涂色问题大致有两种解答方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计数；(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数．1．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种(用数字作答)．解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．答案：4802．如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．解析：区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．答案：260角度二：几何问题主要与立体几何、解析几何相结合考查．3．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A．48 B．18C．24 D．36解析：选D 分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．角度三：集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有{}a1，a2，a3，…，a n的子集有2n个，真子集有2n－1个．4．(2015·黄冈质检)设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有( ) A．50种B．49种C．48种D．47种解析：选B 从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类加法计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．故选B.[类题通法]在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．一、选择题1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．2．从集合{}1，2，3，4，…，10中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A ．32个B ．34个C ．36个D ．38个解析：选A 先把数字分成5组：{}1，10，{}2，9，{}3，8，{}4，7，{}5，6，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个这样的子集．3．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )A ．56B ．54C ．53D ．52解析：选D 在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log 24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15个．5．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．6种B ．12种C ．18种D ．20种解析：选D 分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C 23＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．6．(2015·商洛一模)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )A ．3 360元B ．6 720元C ．4 320元D ．8 640元解析：选D 从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6＝4 320(种)选法，故至少需花4 320×2＝8 640(元)．二、填空题7．(2015·河北保定调研)已知集合M ＝{}1，2，3，4，集合A ，B 为集合M 的非空子集，若对∀x ∈A ，y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有________个．解析：A ＝{}1时，B 有23－1种情况； A ＝{}2时，B 有22－1种情况；A ＝{}3时，B 有1种情况；A ＝{}1，2时，B 有22－1种情况；A ＝{}1，3，{}2，3，{}1，2，3时，B 均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．答案：178．如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步，A 区域有5种颜色可选；第二步，B 区域有4种颜色可选；第三步，C 区域有3种颜色可选；第四步，D 区域也有3种颜色可选．由分步乘法计数原理，可得共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．答案：1809.(2015·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：10810．在2014年南京青奥会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24种．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880种．答案：2 880三、解答题11．为参加2014年云南昭通地震救灾，某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C37种抽调方法．故共有C17＋A27＋C37＝84种抽调方法．12.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？解：先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着色，有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种方法．第二节排列与组合基础盘查一 排列与排列数(一)循纲忆知(1)理解排列概念．(2)能用计数原理推导排列数公式．(3)能用排列解决简单的实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( )(2)A m n ＝n (n －1)(n －2)×…×(n －m )( )(3)A m n ＝n ！n －m ！( ) (4)A m n ＝nA m －1n －1( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．(人教A 版教材例题改编)用0到9这10个数字，可以组成________个没有重复数字的三位数．组成没有重复数字的四位偶数有________个．答案：648 2 2963．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或23(舍去)，∴x ＝5. 答案：54．室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1,2号相邻，3,4号相邻，5,6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法．(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两个同学捆成一捆，这3捆之间有A 33＝6种排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中有A 24＝12种插法，而捆好的3捆中每相邻的两个同学都有A 22＝2种排法．所以不同的排法种数为23×6×12＝576.答案：576基础盘查二 组合与组合数(一)循纲忆知1．理解组合概念．2．能用计数原理推导组合数公式．3．能用组合解决简单的实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(2)若组合式C x n ＝C m n ，则x ＝m 成立( )(3)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ( )(4)C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 3n ＋1( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(北师大版教材习题改编)平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可以画________个三角形．答案：2203．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则C m 8＝________. 解析：由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ，m ！－m ！5！－m ！－m ！6！＝－m ！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.故C m 8＝C 28＝28. 答案：284．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C 14C 212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种．答案：472考点一 排列问题|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n －m！(m，n∈N*，并且m≤n)A n n＝n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.规定：0！＝1.[提醒] 排列与排列数是不同概念，易混淆，排列数是问题中所有不同排列的个数．[题组练透]1．(2014·四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种．故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种．2．(2015·四川绵阳一模)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( ) A．280种B．240种C．180种D．96种解析：选B 根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A46＝360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作，有A35＝60种，乙从事翻译工作，有A35＝60种，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360－60－60＝240种．3．(2015·合肥质检)某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．解析：当甲、乙在第二排且相邻时有4A 44＝4×4×3×2×1＝96种排法，当甲、乙在第三排且相邻时有A 22A 44＝2×4×3×2×1＝48种排法，所以不同的安排方法总数为144种．答案：144[类题通法]解决排列问题的主要方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．考点二 组合问题|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．组合与组合数 (1)组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作C mn .2．组合数公式 C m n＝A mn A m m＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！(m ，n ∈N *，并且m ≤n )3．组合数的性质 (1)C mn ＝C n －mn (2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n[提醒] 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．[典题例析](2014·广东高考)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0，1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．130B ．120C ．90D ．60解析：选A 易知|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C 15C 12＝10种情况；其二：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C 25＋C 25C 12＝40种情况；其三：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 35＋C 35C 13＋C 35C 23＝80种情况．综上知，满足条件的元素个数共有10＋40＋80＝130(种)，故答案为A.[类题通法]两类组合问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．[演练冲关](2015·温州十校联考)已知直线x a ＋yb＝1(a ，b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．52条B ．60条C ．66条D ．78条解析：选B 由于满足x 2＋y 2＝100的整数点(x ，y )有12个，它们分别为(±10,0)，(±6，±8)，(±8，±6)，(0，±10)，故直线x a ＋yb＝1与圆的交点必须经过这些点，但a ，b 为非零常数，故在以这些点为公共点的直线中有这样几类：一类公共点为2个点，去除垂直坐标轴和经过原点的直线，共有C 212－10－4＝52条；一类为公共点为1个点(即圆的切线)，同样去除垂直坐标轴的直线，共有8条．综上，所求的直线共有60条，故选B.考点三 分组分配问题|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.常见的命题角度有： (1)整体均分问题； (2)部分均分问题； (3)不等分问题.角度一：整体均分问题1．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．答案：90角度二：部分均匀问题2．(2015·广州调研)有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．解析：先把4名学生分为2、1、1的3组，有C 24C 12C 11A 22＝6种分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6种情况，则共有6×6＝36种不同的保送方案．答案：36角度三：不等分问题3．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法． 根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法． 再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． 答案：360[类题通法]解决分组分配问题的策略1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．一、选择题1．(2015·兰州，张掖联考)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是( ) A．150 B．300C．600 D．900解析：选C 若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．2．(2015·北京海淀区期末)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A．50种B．51种C．140种D．141种解析：选D 因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0,1,2,3，共4种情况，所以共有C06＋C16C15＋C26C24＋C36C33＝141种，故选D.3．(2015·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为( )A．72 B．324C．648 D．1 296解析：选D 核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.4．(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120。

第九章 概率、统计与算法初步第一节随机事件的概率对应学生用书P1301．概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例fn(A)＝nAn 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[试一试]1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不分也不必要”)．解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立． 答案：必要不充分2．在2013年全国运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为________．解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：310利用集合方法判断互斥事件与对立事件1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． [练一练]1．(2014·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________． 解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.答案：782．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是________．解析：连续射击2次，所有可能情况是“2次都不中靶”、“2次中恰有1次中靶”、“2次都中靶”，而事件“至少有1次中靶”即为“2次中恰有1次中靶”或“2次都中靶”，故其对立事件为“2次都不中靶”． 答案：2次都不中靶 对应学生用书P1311，两人下成和棋的概率为________．解析：乙输与甲胜是同一事件，而甲胜的概率为0.3，由对立事件的概率公式可知乙不输的概率为1－0.3＝0.7. 答案：0.72．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件有________．①至少有一个红球，都是红球 ②至少有一个红球，都是白球③至少有一个红球，至少有一个白球 ④恰有一个红球，恰有两个红球解析：由互斥对立的关系及定义知，①不互斥，②对立，③不互斥，④互斥不对立． 答案：④3．给出下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②A ，B 是两个事件，则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则事件A ，B 是对立事件． 其中所有不正确命题的序号为________．解析：对立一定互斥，但互斥未必对立，①正确；仅当A ，B 互斥时，②成立；对于④，可举反例进行说明：如抛掷骰子，记“向上点数不小于4”为事件A ，“点数为奇数”为事件B ，则A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不对立． 答案：②③④[备课札记] [类题通法]判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．[典例] (2013·广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数． (1)求点数之积是4的概率；(2)设a ，b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a －b ＝1成立的概率． [解] 将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果．(1)将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为a ，b ，点数之积是4对应以下3种情况：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.因此，点数之积是4的概率为P1＝336＝112.(2)由2a －b ＝1得2a －b ＝20，∴a －b ＝0， ∴a ＝b.而将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数相等对应以下6种情况：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6.因此，式子2a －b ＝1成立的概率为P2＝636＝16.解：(1)由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.(2)此事件对应(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)9种情况，∴P ＝936＝14.[类题通法]求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法， (2)列表法，(3)利用树状图列举． [针对训练](2013·江苏高考)现有某类病毒记作XmYn ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：2063互斥事件与对立事件的概率[典例] (2014·唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，则A 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝16＋12＝23.(或设“甲不输”为事件A ，则A 可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23)[答案] 16，23[备课札记][类题通法]求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便． [针对训练](2014·北京东城模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球． (1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个． (1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P(A)＝315＝15；记“取出的两个球是黑球”为事件B ，同理可得P(B)＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P(D)＝1－P(C)＝1－25＝35.对应学生用书P132[课堂练通考点]1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 答案：17352．(2014·昆明调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是________．解析：“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P(A)＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P(A )＝1－P(A)＝1－310＝710.答案：7103．(2014·黄冈一模)设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P(x ，y)，我们记“点P(x ，y)满足条件x2＋y2≤16”为事件C ，则C 的概率为________．解析：分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，得到(x ，y)的可能结果有36种情况，满足x2＋y2≤16的(x ，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，故所求概率为P(C)＝836＝29.答案：294．(2014·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A ，则P(A)最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大． 答案：75以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为________．解析：从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，所以概率为25.答案：252．每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以1,2,3,4,5,6)．连续抛掷2次，则2次向上的数字之和不小于10的概率为________． 解析：有三种情况：和为10时，有(4,6)、(6,4)、(5,5)，故其概率为336＝112；和为11时，有(5,6)、(6,5)，概率为236＝118；和为12时，只有(6,6)，概率为136.且以上三个事件皆互斥，故向上的数字之和不小于10的概率为112＋118＋136＝16.答案：163．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n)与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为________．解析：依题意得a ＝(m ，n)共有36种情况，其中与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4需满足nm＜1，即m ＞n ，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共15种情况．所以所求概率为1536＝512. 答案：5124．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M(x ，y)．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为________．解析：画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.答案：165．(2014·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l1：ax ＋by ＝2与l2：x ＋2y ＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则点P(36P1,36P2)与圆C ：x2＋y2＝1 098的位置关系是________．解析：易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P1＝236＝118.两条直线相交的概率P2＝1－336＝1112，∴点P(2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为4＋1 089＝ 1 093＜ 1 098，故点P 在圆C 内．答案：点P 在圆C 内6．某城市其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为________． 解析：由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为 P ＝110＋16＋13＝35. 答案：357．(2014·北京海淀区期末)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1. 答案：18．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________． 解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件A 的概率，“出现2点”的概率是事件B 的概率，事件A ，B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.答案：239．从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第一次摸到黄球的概率； (2)第二次摸到黄球的概率．解：(1)第一次摸球有4种可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第一次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第一次摸到黄球的概率是24＝0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果：(a ，b)、(a ，c)、(a ，d)、(b ，a)、(b ，c)、(b ，d)、(c ，a)、(c ，b)、(c ，d)、(d ，a)、(d ，b)、(d ，c)，其中第二次摸到黄球的结果有6种：(a ，b)、(b ，a)、(c ，a)、(c ，b)、(d ，a)、(d ，b)． 故第二次摸到黄球的概率为612＝0.5. 10．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛． (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．解：基本事件空间包含的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个．(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件有：甲乙丙，乙甲丙，共2个， 则P(A)＝26＝13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共4个， 则P(B)＝46＝23.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件Cn(2≤n≤5，n ∈N)，若事件Cn 的概率最大，则n 的所有可能值为________． 解析：P(a ，b)的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P(C2)＝16，若在直线x ＋y ＝3上的概率P(C3)＝26，落在直线x ＋y ＝4上的概率P(C4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P(C5)＝16.答案：3和42．(2014·南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E1，E2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为，，，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13第二节古_典_概_型对应学生用书P1321．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(2)概率公式：P(A)＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A ，B 互斥时，P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. [试一试] 1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________． 解析：P ＝3×210＝35.答案：352．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是________． 解析：取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P ＝420＝15. 答案：15古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同． [练一练]从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为________． 解析：依题意k 和b 的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时应有k ＞0，b ＜0，一共有2×2＝4种，所以所求概率为49.答案：49对应学生用书P133古典概型1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．解析：基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.答案：3642．(2014·温州调研)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．解析：共有(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑1，红1)、(黑1，红2)、(黑2，黑3)、(黑2，红1)、(黑2，红2)、(黑3，红1)、(黑3，红2)、(红1，红2)10个结果，同色球为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(红1，红2)共4个结果，∴P ＝410＝25.答案：253．(2014·深圳第一次调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个． (1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？解：(1)连续取两次的基本事件有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个， 故所求概率为416＝14.(2)连续取三次的基本事件有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件如下：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个． 故所求概率为1564.[备课札记] [类题通法]计算古典概型事件的概率可分三步(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P.古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：古典概型与平面向量相结合； 古典概型与直线、圆相结合； 古典概型与函数相结合.角度一 古典概型与平面向量相结合1．(2014·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n)，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n)所有可能的取法共36种．使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118. (2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为636＝16. [备课札记] 角度二 古典概型与直线、圆相结合2．连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a)2－(y －b)2＝4相切的概率为________．解析：连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝4相切，则|3a －4b|5＝2，即满足|3a －4b|＝10，符合题意的(a ，b)有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝118.答案：118角度三 古典概型与函数相结合3．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f(x)＝12ax2＋bx ＋1.(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f′(x)＝ax ＋b ，由题意f′(－1)≤0，即b≤a，而(a ，b)共有(2,1)，(2,3)(4,1)，(4,3)四种，满足b≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.[备课札记] [类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 对应学生用书P133[课堂练通考点] 1．(2014·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是________．解析：记2名来自A 大学的志愿者为A1，A2,4名来自B 大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.答案：352．(2014·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b)|a ∈M ，b ∈M}，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与y ＝x2＋1相切的直线为y ＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.答案：143．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________．解析：用ai 表示男性，其中i ＝1,2,3，bj 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个基本事件，事件B 包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个基本事件，事件C 包含(b1，b2)，共1个基本事件．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.答案：7104．(2014·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P(m ，n)，则点P 在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析：点P(m ，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为26＝13.答案：135．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X>0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X<0就去下棋． (1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有2OA ·5OA ，共1种；数量积为－1的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA ，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA ，共4种； 数量积为1的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA ，共4种．故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为P1＝715；因为去唱歌的概率为P2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P2＝1－415＝1115.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是________． 解析：从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15个基本事件．满足b>a 的基本事件共有3个．因此b>a 的概率P ＝315＝15.答案：152．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为________．解析：设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个． 答案：63．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W1，W2，W3，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为________． 解析：该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(W 1，W2，W3)，(W1，W 2，W3)，(W1，W2，W 3)，(W 1，W 2，W3)，(W 1，W2，W 3)，(W1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)．有两个A 的情况为(W 1，W2，W3)，(W1，W 2，W3)，(W1，W2，W 3)，共3种，从而其概率为P ＝38.答案：384．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是________． 解析：小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为81 000＝1125. 答案：11255．(2014·杭州联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：5186．(2014·宣武模拟)曲线C 的方程为x2m2＋y2n2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m ＞n ，又只剩下一半情况，即有15种， 因此P(A)＝1536＝512.答案：5127．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m ，n ；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1， 即m ＋n ＝0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种．记事件A 为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A 包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种． 故所求概率为P(A)＝410＝0.4.8．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z ＝a ＋bi.(1)若集合A ＝{z|z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b)满足a2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b)满足a2＋(b －6)2≤9”的事件为B. 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个． 所以所求概率P ＝1124.第Ⅱ组：重点选做题(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6(2) 在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A 组抽到的B 组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P ＝418＝29.第三节几_何_概_型对应学生用书P1341．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积。

§9.5椭圆1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( √ )1．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.2．(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 16解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝10＋6＝16.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 答案3－1解析 设过左焦点F 1的正三角形的边交椭圆于A ，则|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，有2a ＝(1＋3)c ， ∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.题型一 椭圆的定义及标准方程例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________．(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义； (2)要分焦点在x 轴和y 轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解．答案 (1)B (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(3)x 29＋y 23＝1 解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |， 又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1、P 2，∴点P 1、P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①、②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(2)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________． 答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋32y 2＝1解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b2＝1， 得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二 椭圆的几何性质例2 (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．思维点拨 (1)根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a 、b 的值．(2)求出C 的坐标，利用F 1C ⊥AB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性， 可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.思维升华 求椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a 、c 来求解e ，通过已知条件列方程组，解出a 、c 的值；(2)构造a 、c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a 、c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．22(2)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)C (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性，得|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.题型三 直线与椭圆位置关系的相关问题例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．思维点拨 直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a)，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.高考中求椭圆的离心率问题典例：(1)(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．思维点拨 (1)利用点差法得出关于a ，b 的方程． (2)由正弦定理将已知等式转化为|PF 1|、|PF 2|的等量关系．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.(2)依题意及正弦定理， 得|PF 2||PF 1|＝ac (注意到P 不与F 1F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝ac，∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c， 即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1. 答案 (1)22(2)(2－1,1) 温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得； (2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．失误与防范1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆． 则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 答案 A解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1. 由题意知a 2＝1m，b 2＝1，∴a ＝1m ，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋2 C ．7＋ 2D ．62答案 D 解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 答案 B解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55.5．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6．(2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案 3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 7．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.8．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355.10.(2014·重庆)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知x 1＝－x 2，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2，得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2，又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 12．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a， 把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b2＝1， 而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C. 13．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 答案 33 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2. 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝ 3.∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 14．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．答案 83解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8 ＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .所以y P ＝83. 15．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.16．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在， 设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12. 又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4]·(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。

一、重视教材习题的母题功能你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．教材这样练《人教A 版·必修4》P119 B 组第1题第(4)小题．已知D ，E ，F 分别是△ABC的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则①EF ＝12c －12b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0中正确的等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12ADC ．BC D.12BC教材这样练《人教A 版·选修2－1》P69例4.斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A. 写出下面数列{a n}的前5项：1．a1＝2，a n＝12a n－1(n＝2,3,4，…)；2．a1＝3，a n＝a n－1＋2(n＝2,3,4，…)；3．a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n＝2,3,4，…)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝11－a n，a8＝2，则a1＝________.教材这样练《人教A版·必修5》P14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.教材这样练《人教A版·必修1》P39B 组第3题．已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．示例：利用基本不等式求最值(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________. 本题的条件变为：已知a ＞0，b＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________. 本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b的最小值为________.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1b的最小值为________．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.[答案] 4已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．本题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________.利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.角度三：解函数不等式 ⇑角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 由单调性求参数范[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合对应学生用书P5基础盘查一元素与集合(一)循纲忆知1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验1．判断正误(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )(4)零不属于自然数集( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x－5<3的解集．答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．(二)小题查验1．判断正误(1)若A＝B，则A⊆B( )(2)若A B，则A⊆B且A≠B( )(3)N*N Z( )(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．答案：{a}，{b}，{a，b}，∅基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．(二)小题查验1．判断正误(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________.答案：{2,4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.答案：{x|x≤2或x≥10}对应学生用书P6考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用N *或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示．[提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[题组练透]1．(2015·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．2．现有三个实数的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由已知，得b a＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＝－1.答案：－13．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )； (2)真子集：若集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则A B (或B A )；(3)性质：∅⊆A ；A ⊆A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B . [提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[典题例析]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014＜0}，B ＝{x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014＜0，解得1＜x ＜2 014，故A ＝{x |1＜x ＜2 014}． 而B ＝{x |x ＜m }，由于A ⊆B ，如图所示，则m ≥2 014.答案：[2 014，＋∞)[类题通法](1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况！[演练冲关]1．(2015·中原名校联盟一模)设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝________. 解析：由B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x ＝－2或x ＝0.答案：0或－22．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1， 则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．集合的并、交、补运算： 并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； 交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }；U 为全集，∁U A 表示集合A 相对于全集U 的补集． 2．集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .[提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．[一题多变][典型母题]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .[解析] y ＝x 2－2x ＝x －2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－x －2＋7≤7，∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， 故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}. [答案] {y |－1≤y ≤7}[题点发散1] 若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B . 解：因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 若集合A 、B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：A ∩B ⊆{y |－1≤y ≤7}，又因为y ∈Z ， 故A ∩B ＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．[题点发散3] 若集合A 、B 不变，试求∁R A ∪∁R B . 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故∁R A ∪∁R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．[类题通法]解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．考点四 集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B.[类题通法]解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[演练冲关]1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个．解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个．答案：15对应A 本课时跟踪检测一一、选择题1．(2015·广州测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．(2014·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)解析：选C 由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B.4．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]， 所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.5．(2015·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．二、填空题7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－28．(2014·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}9．(2015·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2－9x ＜0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈N *，则A ∩B中元素的个数为________．解析：解不等式x 2－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.答案：310．(2015·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] 三、解答题11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.12．(2015·福州一模)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件对应学生用书P8基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)“x 2＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( )(3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材习题)已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为____________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0基础盘查二充分条件与必要条件(一)循纲忆知理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(二)小题查验1．判断正误(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件( )(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立( )(3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立( )答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要对应学生用书P8考点一命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．[题组练透]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．充分条件与必要条件的相关概念(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．2．从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[典题例析]1．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．[类题通法]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[提醒] 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[演练冲关]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件．2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.考点三 充分必要条件的应用(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变][典型母题]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P . ∴[－－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .对应B 本课时跟踪检测二一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2014·陕西高考)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.3．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．4．(2014·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是A ∩B ≠∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：选C 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.二、填空题7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围。

第3讲 几何概型,[同学用书P179])1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成大事A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本大事只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本大事与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本大事就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1. 教材习题改编 如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( )A ．16B ．19C ．112D ．118[答案] C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观察的是红灯的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45B [解析] P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编 如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规章图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2nmB ．4n mC ．n 2mD ．n 4mB [解析]S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n 落在正方形中的豆子数m，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．[解析] 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求大事的概率为P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.[答案]1π5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．[解析] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.[答案] 12与长度、角度有关的几何概型[同学用书P180][典例引领](1)(2022·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34(2)(2021·烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)由于∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？[解] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？[解] 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A 包含的基本大事转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．[通关练习]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则大事“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [解析] 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16与面积有关的几何概型(高频考点)[同学用书P181]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为简洁题或中档题． 高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划学问交汇命题的几何概型． [典例引领](1)(2022·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n(2)(2021·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C. (2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C (2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[题点通关]角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1B ．1πC ．1－1πD ．2πA [解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝⎛⎭⎫14×π×12－12×12＝4－π，又由于圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 角度二 与线性规划学问交汇命题的几何概型2．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． [解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.由于a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.[答案] 34与体积有关的几何概型[同学用书P181][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2021·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事求解．(2021·长春其次次调研) 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为________．[解析] 由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE -D 1DCGH 和EB 1F -HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910.[答案]910,[同学用书P182])——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学商定周日上午在某电影院旁见面，并商定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．假如甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12C [解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一大事对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的大事对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., [同学用书P349(独立成册)])1．设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45C [解析] 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C [解析] 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14C [解析] 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2021·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C [解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，由于PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.6．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78D [解析] 建立如图所示的坐标系，由于|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.7. 如图，在一不规章区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此试验数据为依据，可以估量出该不规章图形的面积为________平方米．[解析] 设该不规章图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以依据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x ，解得x ＝83.[答案] 838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．[解析] 令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.[答案] 0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．[解析] 设大事M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD＝16.[答案] 1610．(2021·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.[答案]π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． [解] (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记大事M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2021·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． [解] (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.由于x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为b . ①记“a ＋b ＝2”为大事A ，求大事A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求大事“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解] (1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能状况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为大事B ，则大事B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而大事B 构成的区域为B＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。

第十章算法初步、统计、统计案例第一节算法初步基础盘查算法及程序框图对应学生用书P147(一)循纲忆知1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、选择、循环．3．了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)．4．能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．5．了解结构图，会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．(二)小题查验1．判断正误(1)任何算法必有条件结构( )(2)算法可以无限操作下去( )(3)▱是赋值框，有计算功能( )答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材例题改编)已知程序框图如图所示，则输出的结果是________．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是____________．解析：运行框图：第一步：S＝1，k＝1;第二步：S＝3，k＝2；第三步：S＝11，k＝3；第四步：S＝11＋211＞100，k＝4.故输出的k＝4.答案：44．(2015·广州模拟)执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是________．解析：由程序框图可得p＝1×3×5×7＝105.答案：105对应学生用书P147考点一算法的基本结构|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]程序框图的三种基本结构(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．(2)条件结构当需要对研究对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．(3)循环结构两种循环结构的特点直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．[题组练透]1．(2015·威海一模)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选A 输入－1，满足x≤0，所以f(－1)＝4×(－1)＝－4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)＝22＝4，即f(－1)＋f(2)＝0.故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S ＝( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D 在循环体部分的运算为：第一步，M＝2，S＝5，k＝2；第二步，M＝2，S＝7，k＝3.故输出结果为7.3．(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45解析：选C 当输出k 的值为6时，s ＝1×910×89×78＝710，结合题中的程序框图知，选C.[类题通法]1．解决程序框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二 算法的交汇性问题|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有：(1)与统计的交汇问题； (2)与函数的交汇问题； (3)与线性规划的交汇问题； (4)与数列求和的交汇问题.角度一：与统计的交汇问题1．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入( )A ．T ＞0？，A ＝M ＋W50 B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50 C ．T ＜0？，A ＝M －W 50D ．T ＞0？，A ＝M －W50解析：选D 依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的是某女生的成绩的相反数．结合题意得，选D.角度二：与函数的交汇问题2．(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]解析：选D 由程序框图可知S 是分段函数，且S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－2，t ∈[－2，，t －3，t ∈[0，2]，其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.角度三：与线性规划的交汇问题3．(2014·四川高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，由线性规划的图解法知，目标函数S ＝2x ＋y 的最大值为2，否则，S 的值为1.所以输出的S 的最大值为2.角度四：与数列求和的交汇问题4．(2015·湘潭模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．解析：共循环 2 014次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12 013×2 014＋12 014×2 015＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013－12 014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案：2 0142 015[类题通法]解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂程序框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．考点三基本算法语句|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．条件语句的格式及框图(1)IF－THEN格式：(2)IF－THEN－ELSE格式：2．循环语句的格式及框图(1)UNTIL语句：(2)WHILE语句：[典题例析]1．(2015·湖北八市联考)按照如图程序运行，则输出K的值是________．解析：第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15，K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3；终止循环，输出K的值是3.答案：32．(2015·西安模拟)如图所示的程序中，输出的S的值为________．解析：根据多次赋值的意义，有a＝5，b＝6＝c，∴S＝5＋6＋6＝17.答案：17[类题通法]1．输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．2．在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．[演练冲关](2015·南京三模)执行下边的程序，输出的结果是________．i ＝3WHILE S ＜＝200 S ＝S*ii ＝i ＋2WEND PRINT i END解析：根据循环结构可得：第一次：S ＝1×3＝3，i ＝3＋2＝5，由3≤200，则循环； 第二次：S ＝3×5＝15，i ＝5＋2＝7，由15≤200，则循环； 第三次：S ＝15×7＝105，i ＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S ＝105×9＝945，i ＝9＋2＝11，由945＞200，则循环结束，故此时i ＝11. 答案：11一、选择题1．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( ) A ．15 B ．105 C ．245D ．945解析：选 B 逐次计算的结果是T ＝3，S ＝3，i ＝2；T ＝5，S ＝15，i ＝3；T ＝7，S ＝105，i ＝4，此时输出的结果为S ＝105.选B.2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选A 当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.对应B 本课时跟踪检测（五十八）3．(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1解析：选C 由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n，故选C.4．(2014·江西高考)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.5．(2015·北京西城一模)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 值为( )A ．4B ．16C ．256D ．log 316解析：选C log 32＞4不成立， 执行第一次循环，a ＝22＝4； log 34＞4不成立，执行第二次循环，a ＝42＝16； log 316＞4＝log 334＝log 381不成立， 执行第三次循环，a ＝162＝256；log 3256＞4＝log 381成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.6．(2014·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析：选B 由题中程序框图(算法流程图)知：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，跳出循环．故输出结果是55.7．(2015·辽宁五校联考)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是6，则满足条件的整数S0的个数有( )A．31 B．32C．63 D．64解析：选B 输出k的值为6说明最后一次参与运算的k＝5，所以S＝S0－20－21－22－23－24－25＝S0－63，上一个循环S＝S0－20－21－22－23－24＝S0－31，所以31＜S0≤63，总共32个满足条件的S0.8．(2015·石家庄模拟)某程序框图如图所示，若输出的S＝120，则判断框内为( )A．k＞4? B．k＞5?C．k＞6? D．k＞7?解析：选B 依题意，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26；进行第四次循环时，k＝4＋1＝5，S＝2×26＋5＝57；进行第五次循环时，k＝5＋1＝6，S＝2×57＋6＝120，此时结束循环，因此判断框内应为“k＞5？”，选B.二、填空题9．(2015·南京模拟)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为________．S ＝0For I From 1 To 10S ＝S ＋I End ForPrint S解析：解析：这是一个1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出的S 的值为55.答案：5510．关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，1＜x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是________．解析：由程序框图的第一个判断条件为f (x )＞0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．答案：[0,1]11．(2014·江苏高考改编)如图是一个程序框图，则输出的n 的值是________．解析：该程序框图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5.答案：512．(2014·湖北高考)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123；当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198；当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792；当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693；当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594；当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495.答案：495第二节随机抽样基础盘查一 简单随机抽样(一)循纲忆知1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本(抽签法、随机数表法)．(二)小题查验1．判断正误(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大( )(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样对应学生用书P150( )答案：(1)×(2)×2．(2015·广东七校联考)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：由随机数表，可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是，第4个样本个体的编号是068.答案：068基础盘查二系统抽样(一)循纲忆知了解系统抽样方法(编号、分组抽取)．(二)小题查验1．判断正误(1)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体( )(2)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平( )答案：(1)√(2)×2．(人教B版教材习题改编)某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为________．答案：04103．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．答案：5基础盘查三分层抽样(一)循纲忆知了解分层抽样的方法(计算抽样比、分层抽取样本)．(二)小题查验1．判断正误(1)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( )(2)分层抽样时，为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同( )答案：(1)×(2)√2．(人教B版教材例题改编)某校高中生有900名，其中高一有400名，高二有300名，高三有200名，打算抽取容量为45的一个样本，则高三学生应抽取________人．答案：103．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人．为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．解析：设样本容量为n，则7210＝n480，解得n＝16.答案：16考点一简单随机抽样|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法．[提醒] 简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．[题组练透]1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( )①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查对应学生用书P151产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．3．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A ．08B ．07C ．02D ．01解析：选D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.[类题通法]抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．考点二 系统抽样|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识]系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号；(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．[提醒] 系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当Nn不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．[典题例析](2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析：由1 00040＝25，可得分段的间隔为25.故选C. 答案：C[类题通法]解决系统抽样问题的两个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．[演练冲关]已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，_________________________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：千克)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数 x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69， 则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34(2)62考点三 分层抽样的交汇命题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识](1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．[提醒] 分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n 总体个数N. [多角探明]分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.角度一：与频率分布相结合问题1．(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20解析：选D 易知(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，即样本容量；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.角度二：与概率相结合问题2．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值． 解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m 5，解得m ＝3. 抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78. ∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.[类题通法]进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．一、选择题1．(2014·湖南高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1、p 2、p 3，则( )对应A 本课时跟踪检测（五十九）A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故p 1＝p 2＝p 3，故选D.2．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 解析：选D 从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．故选D.3．(2015·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( )A ．54B ．90C ．45D ．126解析：选B 依题意得33＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90. 4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13解析：选B 间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.5．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，恰好抽到了4个男生、6个女生，则下列命题正确的是( )A ．该抽样可能是简单随机抽样B ．该抽样一定不是系统抽样C ．该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率D ．该抽样中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率解析：选A 本题看似是一道分层抽样的题，实际上每种抽样方法都可能出现这个结果，故B 不正确．根据抽样的等概率性知C ，D 不正确．6．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A．C．02 D．17解析：选C 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.二、填空题7．(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：设应从一年级本科生中抽取x名学生，则x300＝44＋5＋5＋6，解得x＝60.答案：608．(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．答案：1 8009．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n36＝n6，篮球运动员人数为12×n36＝n3，足球运动员人数为18×n36＝n2，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.答案：610．(2015·北京海淀区期末)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 015三、解答题11．用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：(1)求x，y的值；(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这2人都来自高二年级的概率．解：(1)由题意可得x99＝y27＝218，所以x＝11，y＝3.(2)记从高二年级抽取的3人为b1，b2，b3，从高三年级抽取的2人为c1，c2，则从这两个年级抽取的5人中选2人的所有等可能基本事件共有10个：(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b3，c1)，(b3，c2)，(c1，c2)，设所选的2人都来自高二年级为事件A，则A包含的基本事件有3个：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)．则P(A)＝310＝0.3，故所选的2人都来自高二年级的概率为0.3. 12．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：(1)得60分的人数为40×10%＝4. 设抽取x 张选择题得60分的试卷，则2040＝x4，则x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.第三节用样本估计总体基础盘查一 频率分布直方图 (一)循纲忆知1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图，体会他们各自的特点．2．会用样本的频率分布估计总体分布． (二)小题查验 1．判断正误(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率( ) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1( ) 答案：(1)× (2)√对应学生用书P153。