福师《初等数论》在线作业二答卷

福师12秋《初等数论》练习题注：本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。

一、填空1、 20132013的个位数为解析：本题考核的知识点为同余2、求所有正约数的和等于15的最小正数为解析：本题考核的知识点为约数3、模13的绝对值最小的完全剩余系为解析：本题考核的知识点为完全剩余系4、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 1211315,315,,315b b b +++也是模11的剩余系。

解析：本题考核的知识点为完全剩余系5、 k 个整数12,,,k a a a 形成模m 的简化剩余系的充要条件是：解析：本题考核的知识点为简化剩余系6、求不定方程组: 1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 的正整数解为解析：本题考核的知识点为不定方程组7.不定方程222x y z +=的满足0,0,0,(,)1,2|x y z x y x >>>=的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解8.2160的正约数的个数为解析：本题考核的知识点为约数9. 设m 是一个大于1的整数，(,)1a m = ,若 12(),,,m b b b ϕ是m 的一个简化剩余系，则 12(),,,m ab ab ab ϕ也是模m 的 剩余系。

解析：本题考核的知识点为简化剩余系 10.模7的非负最小完全剩余系为解析：本题考核的知识点为完全剩余系 11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为解析：本题考核的知识点为倍数12. 叙述欧拉定理：解析：本题考核的知识点为欧拉定理13.157! 的标准分解式中中素数7的指数为解析：本题考核的知识点为标准分解式14、不定方程的1510619x y z ++=的全部整数解为解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解15．模13的互素剩余系为解析：本题考核的知识点为互素剩余系二、229|,3|,3|a b ab a b ++设证明：解析：本题考核的知识点为整除.提示：且由知或 若由知 若由知 如果 那么 且三、（若(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2解析：本题考核的知识点为最大公约数.提示：设 (a-b , a+b)= d ，则d | a-b, d | a+b ，根据条件得出d=1 或d=2四、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。

1.9x+11y=100的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷【参考答案】: B2.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B3.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C4.被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间A.[10,20]B.[20,30]C.[30,40]D.[40,50]【参考答案】: D5.100!的末尾0的个数是（）A.20B.21C.24D.25【参考答案】: C6.p为素数是2^(2^p)+1为素数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: B7.。

A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A8.整数202（）A.能够写成两数平方和B.能够写成两数平方差C.都可以D.都不能【参考答案】: A9.题见图片A.AB.BC.CD.D10.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B11.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B12.。

A.AB.BC.CD.D13.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B14.100!最高能被45的（）次幂整除A.20B.23C.24D.48【参考答案】: C15.题见下图A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A16.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B17.a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷【参考答案】: D18.。

A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A19.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B20.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B21.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B22.。

A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D23.。

A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A24.。

A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A25.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B26.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A27.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B28.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A29.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 30.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 31.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 32.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 33.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B34.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 35.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 36.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A37.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A 38.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 39.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A40.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 41.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B42.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 43.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: AA.错误B.正确【参考答案】: B 45.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A 46.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 47.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B48.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: AA.错误B.正确【参考答案】: A 50.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A。

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。

考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。

四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数．又且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 分别解出两个解即可。

第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。

∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。

福师[2021-2022]《初等数论》在线作业二注：本科目作业有多套随机试卷，请核实是否与您的试卷顺序相一致！！！
一、单选题（共25题，50分）
1、整数p,q互素，则p+q一定与（）互素
[A]p-q
[B]p*q
[C]p^2+q^2
[D]p!+q!
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
2、被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间
[A][10,20]
[B][20,30]
[C][30,40]
[D][40,50]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[D]
3、同余方程x^4-x^3+x^2-x≡0(mo[D] 5)的解的个数是（）
[A]0
[B]1
[C]2
[D]3
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
4、。

[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
5、
题见下图
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]。

初等数论1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。

A：0B：2C：5D：9参考答案：C2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。

A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。

A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题]下面的数是3的倍数的数是（）。

A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C5：[单选题]-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0参考答案：C6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。

A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。

A：3B：4C：7D：8参考答案：C8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。

A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。

A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。

A：6B：2C：3D：13参考答案：A11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。

A：0B：1C：2D：3参考答案：A12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。

A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。

A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。

A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。

福师15春《初等数论》在线作业一一、单选题：1.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D2.。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D3.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D4.题见图片(满分:2)A. AB. BC. C5.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D6.。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D7.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D8.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D9.。

(满分:2)B. BC. CD. D10.。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D11.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D12.。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D13.。

(满分:2)A. AB. BD. D14.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D15.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D16.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D17.题见下图(满分:2)A. AB. BC. CD. D18.。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D19.题见下图(满分:2)A. AB. BC. CD. D20.。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D21.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D22.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D23. 。

(满分:2)A. AB. BC. CD. D24.题见图片 (满分:2)A. AB. BC. CD. D25.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D三、判断题：1.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确2.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确3.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确4.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确5.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确6.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确7.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确8.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确9.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确10.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确11.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确12.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确13.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确14.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确15.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确16.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确17.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确18.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确19.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确20.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确21.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确22.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确23.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确24.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确25.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确福师《初等数论》在线作业二一、单选题：1.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D2.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D3.。