西南大学2016《初等数论》网上作业(共4次)

初等数论练习题答案初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12; ϕ(2420)=_880_2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =-1。

9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理)第一次作业1：[填空题]名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测参考答案：1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。

5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。

7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。

8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。

9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。

10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。

11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。

12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育） 2015年12月课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷大作业满分：100 分一、填空题（每小题2分，共14分）1. 5除21的商是 4 。

2. [4.7] = 4 。

3. 24的标准分解式为。

4. 555的个位数是 5 。

5. 4的所有正因数的和是 7 。

6. 模5的最小非负简化剩余系是。

7. 大于10且小于15的质数是 11、13 。

二、简答题（每小题5分，共30分）1. 叙述整数a被整数b整除的概念。

2. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。

3. 不定方程cbyax=+有整数解的充分必要条件是什么？4. 写出两条同余的基本性质。

5. 196是否是3的倍数，为什么？6. 叙述孙子定理的内容。

三、计算题（每小题8分，共40分）1. 求210与55的最大公因数。

2. 求8！的标准分解式。

3. 求810除以7的余数。

4. 求不定方程132=-yx的一切整数解。

解：因为（2，3）=1，所以不定方程有整数解。

由观察知x0=-1，y0=-1是不定方程2x-3y=1的一个整数解，所以不定方程2x-3y=1的一切整数解是，其中t取一切整数。

5. 解同余式)5(mod23≡x。

四、证明题（每小题8分，共16分）1. 证明：若a，b都是m的倍数，则ba-也是m的倍数。

2. 证明：如果p和p + 2都是大于3的质数，那么6 | p + 1。

3. 不定方程cbyax=+有整数解的充分必要条件是什么？答：不定方程cbyax=+有整数解的充分必要条件是。

4. 写出两条同余的基本性质。

答：利用同余的定义，我们可以得到同余的若干基本性质。

性质1m为正整数，a，b，c为任意整数，则1.a≡a（mod m）；②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。

性质２整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt，t是整数。

《初等数论》网络作业11、证明整数105L02个3001能被1001 整除。

n n n 1 n 2 n 2 n 1 证明：利用公式：若n 是正奇数，则a b (a b)(a a b L ab b ) ∴ 10L2 301 10511 (103)171 (103 1)[(103)16 (103)15 L 103 1] 50个03∴ 103 1 1001 能够整除10L2 30150个02、若n 是奇数，证明8|(n2 1)。

证明：设n 2k 1,k Z ，则n2 1 (2k 1)2 1 4k(k 1)∵ k，k ＋1 中必有一个是偶数∴ 8|(n2 1)3、设正整数n 的十进制表示为n a k L a1a0 ，其中0 a i 9,0 i k,a k 0 ，且S(n) a k a k 1 L a1 a0，证明9 | n的充分必要条件是9|S(n) 。

k证明：∵ n a k L a1a0 a k 10 L a1 10 a0，S(n) a k a k 1 L a1 a0k∴ n S(n) a k (10k 1) L a1 (10 1)对所有的0 i k ，有9|(10i 1)∴ 9|(n S(n))∴ 9|n 的充分必要条件是9|S(n)4 、设r 是正奇数，证明对任意的正整数n，n 2不能整除(1r 2r L n r) 。

证明：当n＝1 时，结论显然成立。

面设n 2，令S 1r 2r L n r则2S 2 (2r n r) [3r (n 1)r] L (n r 2r )利用公式：若n 是正奇数，则a n b n (a b)(a n 1 a n 2b L ab n 2 b n 1)∴ 对2 i n，(n 2) |(i r (n 2 i)r )∴ 2S 2 (n 2)q ，q 是整数∵ n 2 2∴ n＋ 2 不能整除2S∴ n＋ 2 不能整除S5 、设n 为正整数，证明(n! 1,(n 1)! 1) 1。

《初等数论》习题解答作业3一．选择题1，B 2，C 3，D 4，A二．填空题1，自反律 2，对称性 3，13 4，十进位 5，3 6，2 7，1三．计算题1， 解：由Euler 定理知：（a,m ）=1 则 a φ (m)≡1 (modm)∵(3,100)=1. 3φ (100)=340≡13360≡13364=3360×34≡34 (mod 100)∴34≡81 (mod 100)故：3364的末两位数是81.2, 解：132=169≡4 （mod 5）134=16≡1 (mod 5)1316≡1 (mod 5)1332≡1 (mod 5)1348≡1 (mod 5)1350=1348×1321350≡132≡4 (mod 5)3, 解： ∵(7,9)=1. ∴只有一个解7X －5≡9Y (mod 9)7X －9Y ≡5 (mod 9)解之得：X=2，Y=1∴X=2+9≡11=2 (mod 9)4, 解： ∵（24，59）=1 ∴只有一个解24X ≡7 (mod 59)59Y ≡﹣7 (mod 24)11Y=﹣7 (mod 24)24Z=7 (mod 11)2Z=7 (mod 11)11W=﹣7 (mod 2)W =﹣7 (mod 2)W=﹣1 (mod 2)Z=2711+-= －2 Y=117242-⨯-=－5X=247595+⨯-=2288-=－12 =47(mod59)5 解 ∵（45，132）=3，∴同余式有三个解。

45X ≡21（mod32）15x ≡7 (mod44)44y ≡-7 (mod15)14y ≡-7 (mod15)15z ≡-7 (mod14)z ≡7 (mod14) y=147715-⨯=7 x=157744+⨯=21 ∴x=21+31322⨯=109 (mod132) x=21+31321⨯=65 (mod132) x=21 (mod132)6、解 ∵（12，45）=3, ∴同余式有三个解。

2016年西南大学初等数论第四次作业证明题1． 设n 是整数，证明6 | n (n + 1)(2n + 1)。

证明：n (n + 1)(2n + 1) = n (n + 1)(n – 1) + n (n + 1)(n + 2)。

n (n + 1)(n – 1)是三个连续整数的积，n (n + 1)(n + 2)也是三个连续整数的积， 而三个连续整数的积可被6整除，所以6 | n (n + 1)(n – 1)，6 | n (n + 1)(n + 2)。

由整出的性质可得6 | n (n + 1)(2n + 1)。

2． 设n 是整数，证明：n n -3|6。

证明：)1)(1(3+-=-n n n n n 。

由于)1)(1(+-n n n 是3个连续整数的积，所以n n -3|3。

由于)1(-n n 是2个连续整数的积，所以n n -3|2。

又（2,3）= 1，所以n n -3|6。

3． 设x ，y 均为整数。

证明：若y x 2|7+，则y x 610|7+。

证明：)2(37610y x x y x ++=+，因为y x 2|7+，所以)2(3|7y x +, 因为7|7，所以7|7x ，从而)2(37|7y x x ++，所以y x 610|7+4． 设x ，y 均为整数。

证明：若y x 9|5+，则y x 78|5+。

证明：y y x y x 65)9(878-+=+。

因为y x 9|5+，所以)9(8|5y x +。

又因为5|65，所以5|65y 。

从而y y x 65)9(8|5-+，所以y x 78|5+。

5.设x 是实数，n 是正整数，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][。

证明：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n x a ，则1+<≤a n x a ，所以)1(+<≤a n x na 。

因为na 与n (a +1)都是整数，所以)1(][+<≤a n x na ， 于是1][+<≤a n x a ，从而a n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡][，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][。

《初等数论》习题集第1章 第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。