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逐项求导法求泰勒级数

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4.3 泰勒级数

4.3 泰勒级数
1 2i f (z)
| z | .
n 0


(1 i ) n (1 i ) n n z n!
n 0


( 2 )n nπ n sin z , | z | . n! 4
15
§4.3 泰勒级数
2 f ( z ) sin z 在 z 0 点展开为幂级数。 例 将函数 第 四 2 4 6 1 1 ( 2 z ) ( 2 z ) ( 2 z ) 章 解 sin2 z (1 cos 2 z ) [1 (1 )] 2 2 2! 4! 6! 解 ( 2 z ) 2 ( 2 z )4 ( 2 z )6 析 , | z | . 2 2! 2 4! 2 6! 函 数 的 例 将函数 f ( z ) sin z 在 z 1 点展开为幂级数。 级 数 解 sin z sin[1 ( z 1)] sin1 cos(z 1) cos1 sin(z 1) 表 2n ( z 1 ) 示 sin1 ( 1)n ( 2n)! n 0
a0 a n 1 f (z) n 1 n 1 2 ( z z0 ) ( z z0 ) ( z z0 )
C
R
z0
l D
an a n 1 , z z0
f (z) l d z 0 2π i a n 0 , n 1 ( z z0 ) 1 an 2π i f (z) 1 ( n) l ( z z0 )n1 dz n! f ( z0 ) .
n 1 1 1 ' n ( z i ) (2) 2 n 1 (1 z ) ( 1 i ) 1 z n 1

n 0

泰勒级数展开讲解

泰勒级数展开讲解

f (? )d? C (? ? z0 )n?1 ?
f (n) ( z0 ) n!
(n ? 0,1,2,
),
且展式是唯一的。
? 特别地，当 z0 ? 0 时，级数
? f (n) (0) z n 称为麦克劳林
n?0 n!
级数。
数学物理方法
【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z ? z0 ? R 内解析，任取一点 ? ? D ，以 z0 为
中心， ? 为半径( ? ? R )作圆周 C: ? ? z0 ? ? ，如图
z?
z0
?
C
由柯西积分公式知
R
f (z)
?
1 2πi
f
?C ?
(? )d?
?z
(3.3.2 )
数学物理方法
其中z在C的内部,，而 ? 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z ? z0 ? ? ? ? z0 ? ?
从而 z ? z0 ? 1
解：多值函数 f (z) ? ln z 的支点在 z ? 0, z ? ?
现在展开中心 z0 ? 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z ) ? ln z
f (1) ? ln1 ? n2? i
f '(z) ? 1 z
f '(1)? 1
f
''(z) ?
数学物理方法
陈尚达 材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
数学物理方法
1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.3 泰勒级数展开
数学物理方法
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值 .

泰勒极数

泰勒极数

2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .

10(6)泰勒级数

10(6)泰勒级数

∴ (1 + x ) s′( x ) α (α 1) 2 α 2 (α 1)(α n + 1) n1 x ++ x + = α + α 2x +
= α s( x )
2! n!
s ′( x ) α , 且 s(0) = 1. ∴ = s( x ) 1 + x
20
泰勒级数
两边积分 得
∫0
x
x α s ′( x ) dx = ∫ dx , 0 1+ x s( x )
解 ∵ f ( n ) ( x ) = α (α 1)(α n + 1)(1 + x )α n ,
f ( n ) (0) = α (α 1)(α n + 1), ( n = 0,1,2,)
1 + αx +
α (α 1)
2!
x ++
2
α (α 1)(α n + 1)
n!
xn +
a n +1 α n = ∵ lim =1 n→ ∞ a n+1 n
3
泰勒级数
回顾
泰勒公式: 泰勒公式
若函数f 在 若函数 (x)在x0
的某邻域内有 阶导数, 可表为: 的某邻域内有n+1阶导数 则 f (x)可表为 阶导数 可表为
f ′′( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) (1) ( x x0 )n + Rn ( x ) + + n! f ( n +1) (ξ ) ( x x0 ) n +1 , ξ 介于 与x0之间 介于x与 之间. 其中 Rn ( x ) =

21.Taylor级数展开的唯一性

21.Taylor级数展开的唯一性
n
则 f ( z ) 是 z z0 R内的解析函数, 且在收敛圆
z z n 0 2 3
2
n 1 )n , fz (3 z ) c( ( z z n1) 0 n

n
z
z 1 .
例5
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 z 1
1 z
n 0
逐项求导，得
1 2 n n 1 2 z 3 z ( 1) ( n 1) z 2 (1 z )
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n 2n 2 4 >> syms z; ( 1) z z z n z n 2 n z z , 则在 cos z e z1 ( 1) , z 半径分别为 R (2n )! 1 z R1 和 z . 2 4! 2! n (2n)! n 0 n 0 n ! 2! >> ! f=sin(z);g=cos(z);


n 0 n 2 n 1 n
n 0
n 0
1 点邻域内 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 (1 z ) 的Taylor级数.
解 z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例题 中，用z替换-z, 则
1 n 1 z z 2 ( 1)n z z 1 , 1 n z z 1 . 1 z
>> f=log(1+z);

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

1、绪论泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。

由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明。

使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识。

只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。

2、布鲁克·泰勒简介布鲁克·泰勒（1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦）是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

他的母校为剑桥大学圣约翰学院。

进入大学之前，他一直在家里读书，他的全家尤其是他的父亲都喜欢音乐和艺术，并且经常在家里招待艺术家。

这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的俩个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来。

1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士、1714年获得法学博士学位。

他也学习数学。

1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。

因此导致约翰·白努利与他争谁首先得到解法的问题。

他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。

除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。

他是第一个成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。

在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。

直到1772年约瑟夫·路易斯·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。

第十章 无穷级数 6 泰勒级数


2. 函数能展开成幂级数的充要条件
定理 2: 设函数 f (x)在含有点 x0的某个区间 (a,b) 内有任意阶 的导函数,则
f ( x)在(a,b)内能 展开成泰勒级数
lim
n
Rn
(
x
)
0,
x (a,b)
其中Rn( x)为 f ( x)的泰勒公式的余项. (lagrange)
3. 函数展开成幂级数
R2n ( x)
sin[ (2n 1) ]
2 (2n 1)!
x 2n1
x 2n1 (2n 1)!
x (,),
lim
n
R2n
(
x)
0,
故,
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,).
方法二:间接展开法
利用已有的展开式，通过适当的变换 (变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分)，求出 未知的展开式的方法. 由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是 所求函数的泰勒级数 .
若存在,系数是多少 ? 级数表示式唯一吗 ?
1. Taylor级数的概念
幂级数展开的唯一性
定理 1:
设级数 an( x x0 )n在区间( x0 R, x0 R)内收敛于f ( x),
n0
即
f ( x) an( x x0 )n
n0
那么,该幂级数的系数 an与函数 f ( x)有如下关系:
收敛,
故
arctan x (1)n x2n1 n0 2n 1
x 1,1.
例5
将
f (x)
x2
1 4x 3
展开成 (x 1)的幂级数.

复变函数4-2Taylor级数


f
( n) ( z0
)
,
n 0,1,2,
例如，求 ez 在 z 0的泰勒展开式.
因为(ez )(n) ez ,
(ez )(n) z0 1, (n 0,1, 2,)
故有 ez 1 z z2 zn zn
2!
n!
n0 n!
因为ez 在复平面内处处解析,
[ln(1 z)] 1 1 z z2 1 z

(1)n zn
(1)n zn
( z 1)
n0
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz z (1)n zndz
01 z
2! 4!
(2n)!
(R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分
等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor
展开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
1 z
n0
z3 z5 4) sin z z
(1)n
z 2n1

( z 1)
3! 5!
(2n 1)!

= (1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
( z )
z2 z4 5) cos z 1
(1)n z2n
2! 4!
(2n)!
0 n0
即 ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 z 1

泰勒Taylor级数展开


zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k


z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k cos(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0

(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
奇次幂全部消去
(1) k z 2 k cos(z ) (2k )! k 0

(| z | )
e iz e iz 1 (iz ) k (iz ) k 同理 sin(z ) 2i 2i k 0 k! k ! k 0 1 i 2 k 1 z 2 k 1 i k 0 (2k 1)!
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z0 | R)

k 0
f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
k a ( z z ) k 0 的每一项都是z的解析函数，且在

其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。
z0=0点展开成泰勒级数。
1 ∵ f ( z) 2 有一个奇点z=-1 (1 z )

复变函数泰勒级数展开



n 0

f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D：
z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C

R

由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) d 2πi C z
1 因为 ln(1 z ) (1)n z n , ( z 1), 1 z n 0
所以
z 1 ln(1 z ) dz (1) n z n dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n

n
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数 .
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n 0 n 0 1 n (1 n ) z 2 n 0
' 解： 函数 f1 ( z) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z) cos z
f1'' ( z) sin z f1(3) ( z) cos z
f1(4) ( z) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
'' f f (0) 1 且在 z0 0 有 1 (0) 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
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逐项求导法求泰勒级数
今天我们将讨论“逐项求导法求泰勒级数”，这是一种用于计算函数在某一点处的泰勒级数展开式的方法。

首先，我们回顾一下泰勒级数，泰勒级数是一系列多项式的和，用来对函数f（x）进行展开。

它有如下形式：
f（x）= f（x0）+f（x0）（x-x0）+f（x0）/2！（x-x0）2 + f （x0）/3！（x-x0）3+……
其中，f（x0），f（x0），f（x0），f（x0）……是函数f在某一点x0处的值和其对应的n次导数。

它表明，只要我们知道函数在某一点处的值和导数，就可以用它来求函数的泰勒级数展开式。

因此，当需要求某一函数的泰勒级数展开式时，可以采用逐项求导法。

所谓“逐项求导法”，就是指，首先求出函数f（x）在某一点x0处的值，然后再对它求出第一次导数f（x0），继续求出f（x0），依此类推，求出f（x）在x0处的各次导数，直到求出f（n）（x0）。

有了函数f（x）在x0处的值和导数，就可以把它们代入到上面的泰勒级数展开式中，就可以求出f（x）在x0处的泰勒级数展开式了。

除此之外，如果对某一函数能够求出它的高阶导数，那么就可以用它来求出函数的泰勒级数展开式了。

目前，许多数值分析软件都支持这种应用逐项求导法求泰勒级数的方法。

例如，MATLAB、Maple和Mathematica等软件都提供了一些
内置的函数，可以用来求出函数的泰勒展开式。

此外，还有一些书籍对逐项求导法求泰勒级数提供了更多的细节说明，例如《数值计算法》和《常微分方程数值解》等。

总之，逐项求导法是一种常用的求泰勒级数的方法，它可以用来求出函数在某一点处的泰勒级数展开式。

通过它，可以大大降低计算的复杂性，也可以准确地求出一个函数的泰勒展开式，从而帮助我们更好地理解函数特。