第十讲 洛朗级数.ppt

2、 Laurent 级数复变量的复值函数()()(),,f z u x y i v x y =+，f z ∈⊂C D ，（1） 全纯性（解析性） ——()f z 在0f z ∈D的邻域0z z R -<中解析，可展开成Tayler 级数()()()()000!n nn f z f z z z n +∞==-∑；且在收敛圆周0z z R-=上，至少存在一个点~z，使得级数()()~000!n nn f z z zn +∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散.（2） 亚纯性 ——()f z 以0f z ∈D为孤立奇点，在邻域00z z R <-<中解析，()f z 可展开成Laurent 级数()()()()10nnnnnnn n n f z z z z z z z ααα+∞-+∞=-∞=-∞==-=-+-∑∑∑主要部分解析部分，其中()()112n n C f dz i z ρςαπς+=-⎰，0,1,2,n =±± ，0:C z z ρρ-=，0R ρ<<.（3）()f z 的孤立奇点的分类 —— 设()f z 以0f z ∈D为孤立奇点，① 可去奇点： 若 ()00lim z z f z α→=，则0z称为可去奇点；② 极点： 若存在一正整数0m >，使得 ()()00lim 0mm z zz z f z α-→-=≠，则称0z 为m 级极点；③ 本性奇点： 若Laurent 级数中含有无穷多0z z -负幂次项，则称0z 为本性奇点.（4） 将()f z 在其孤立奇点的邻域内展开成Laurent 级数补充例1 将函数()()()112f z z z =--分别在圆1z <、12z <<、2z <<+∞中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑.解 函数()()()112f z z z =--在1z =、2z =分母为零，是()f z 的不连续点（显然()f z也不会在这些点解析，因此是()f z 的孤立奇点），不能在它们的任何邻域中展开，于是，只能分别考虑三个圆周.① 在圆1z < 中 ——()()()112f z z z =--解析，因此展开成幂级数. 故()()()11111112121212f z z z z z z ==-=-------1000111222nnn n n n n z z z +∞+∞+∞+===⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，1z <；② 在环12z << 中 ——由1121,12z z z<<⇔<<，故()()()112f z z z =--在此环中可展开成 1z 的Laurent 级数，()()()1111111112122112f z z z z z z z z ==-+=--------110001111222nn n n n n n n z z z z z+∞+∞+∞++===⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，12z <<；注意：使用公式011nn z z +∞==-∑，只能在圆1z <中！③ 在区域2z <<+∞ 中 ——由 1122z z <<+∞⇔<、 1111212z z z z<<<<+∞⇔<<<，故 ()()()112f z z z =-- 在此区域中可展开成 1z 的Laurent 级数，故()()()111111112121211f z z z z z z z z z==-+=-+------1000111221nnn n n n n z z z z z+∞+∞+∞+===-⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，2z <<+∞.补充例2 将函数 ()1ze f z z =-（1） 分别在圆1z <、1z >中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑；（2） 在环011z <-<中展开成级数()()1nnn f z z α+∞=-∞=-∑.解 函数()1ze f z z=- 在 1z <解析，故可展开成幂级数；在环1z >中可展开成Laurent 级数； 在1z =时，1z <的分母为零，是()f z 的不连续点；故在 011z <-< 应展开成()1z -幂次的Laurent 级数.（1） ① 在圆1z <中 ——(){}221111!2!!z nn e z z zf z z z z z n ⎧⎫==++++++++++⎨⎬-⎩⎭()12110n n n n a b a b a b +∞-==+++∑ ， 1z <，（作Cauchy 乘积）；② 在1z >中 ——注意到，在1z >中，函数ze解析，故仍展开成幂级数；函数11z- 则只能考虑11z<，故 ()2111111!2!!1z ne z z zf z z z n z⎧⎫-==+++++⎨⎬-⎩⎭-221111111!2!!n n z zz z z z z n ⎧⎫-⎧⎫=++++++++++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2231111111!2!!n n z zz z z z z n +⎧⎫⎧⎫=-++++++++++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭1z >，作Cauchy 乘积，即为()f z 在1z >的、z 幂次的Laurent 级数；（2） 在环011z <-<中展开成()1z -幂次的Laurent 级数，由111z <<+∞-，故()()1111111z z z e e f z e e z z z -+--===⋅⋅---()()()()2311111111!2!3!!n n z z z e z z n ⎧⎫-----⎪⎪=++-++-+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭ ()()()211111111!2!3!!n z z z e z n -⎧⎫---⎪⎪=-++++++⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，011z <-< .补充例3 将函数()sin 1z f z z =-（1） 在圆 1z <、1z >中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑； （2） 在环011z <-<中展开成级数()()1nnn f z z α+∞=-∞=-∑.解 （1） 函数()sin 1zf z z=- 在1z <解析，故可展开成幂级数；在1z >中可展开成Laurent 级数.① 在圆1z < 中 ——()3511sin 113!15!1z z z z f z z z z z ⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭35111000113!5!n n n n n n z z z +∞+∞+∞+++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ()()21101121!k kn n z k ++∞+=⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∑ ，1z <；② 在1z > 中 ——由111z z>⇔<，故展开成Laurent级数()1sin sin11z f z z z==--- ()()3211111111113!21!k k z z k z +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----++--+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 1z >；（2） 在环 011z <-< 中展开成 ()1z -的Laurent 级数()111sin sin sin sin 11111z z z f z z z z z -+⎛⎫==-=-=-+ ⎪----⎝⎭()()32111111111113!121!1k k z z k z +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 011z <-< .Taylor 级数、 Laurent 级数的通项较难归纳，因此很多问题要求写出前几项的表 示式就够了.补充习题1、 求函数()()21ze f z z z =+在01z <<中的Laurent 展开式. 2、 求函数()()()4111f z z z =--在1z <与1z <中的Laurent 展开式. 3、 求函数1ze 在0z <<+∞中的Laurent 展开式. 4、 求函数()2ln 1zf z z =-（在解析分支ln10=中）在011z <-<与011z <+< 中的Laurent 展开式.二、 Fourier 变换1、Fourier 变换的定义2、Fourier 变换的分析性质3、用Fourier 级数与Fourier 变换解微分方程三、 方阵1、方阵的对角化方法2、方阵的正交化方法3、二次型的标准化4、应用（四个）补充例题配方法、初等变换法例 将二次型()222123123121323,,3422f x x x x x x x x x x x x =+++++通过配方法化为标准型.解 （1） 配方法 由()222123123121323,,3422f x x x x x x x x x x x x =+++++()2221121323234232x x x x x x x x x =+++++()222221232323232324432x x x x x x x x x x x =++---+++()22212323232322x x x x x x x =++-+-()22222123223333211232393x x x x x x x x x ⎛⎫=++-++++ ⎪⎝⎭ ()2222212323331123233x x x x x x x ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭， 令 112322333213y x x x y x x y x =++⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，于是，()2221231237,,33f x x x y y y =-+；也可再令11233322323z x x xzz x⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，就可化为()222123123,,f x x x y y y=+-.（2）初等变换法将相应的矩阵121211113A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦经过初等变换化为对角型，但是变换方阵要另外求.2332213132121121121121 211031012012 113012031005L L L LL LL LA↔---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→--−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2212332112555121100100010010010005005001 L L L L L L-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故()222123123,,f x x x y y y=-+.寄语：做一个高尚的人 —— 有道德、有素质，有益社会；知识的人 —— 有科学思维、有智慧技能，服务人民； 阳光的人 —— 身心健康、光明磊落、豁达乐观。

科技英语洛朗级数
洛朗级数（Laurent series）是数学分析中的一种级数表示方法，由法国数学家皮埃尔·阿尔方斯·洛朗（Pierre Alphonse Laurent）于1843年提出。

洛朗级数是将复变函数表示为幂级数与幂级数的倒数之和的形式。

一般而言，洛朗级数适用于复平面上除去有限个孤立奇点的函数。

洛朗级数的一般形式为：
f(z) = Σ(a_n (z - z_0)^n) + Σ(b_n (z - z_0)^(-n))
其中，a_n和b_n是复数，z_0是函数的奇点。

第一项Σ(a_n (z - z_0)^n)是幂级数，对应于函数在z_0处的收敛部分，第二项Σ(b_n (z - z_0)^(-n))是幂级数的倒数，对应于函数在z_0处的发散部分。

洛朗级数的优点在于它能够提供比泰勒级数更广泛的函数表达形式。

通过洛朗级数，我们可以描述那些在某些点附近的函数，即使这些点是奇点。

洛朗级数的应用涵盖了数学、物理、工程等多个领域。

在实际应用中，洛朗级数经常用于解析函数的研究、复变函数的积分计算以及计算复杂函数的留数。

洛朗级数也为研究奇点的性质提供了有力的工具，例如确定奇点的类型（可去奇点、极点或本性奇点），
以及计算奇点的留数等。

总结起来，洛朗级数是复变函数的一种级数表示方法，能够用于描述具有奇点的函数，并且在数学和应用领域中有广泛的应用。

对于研究和计算复杂函数的性质和行为，洛朗级数提供了一种重要的数学工具。

【大学复变函数课件-洛朗级数】洛朗级数第一节洛朗展式双边幂级数设级数（）它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；考虑函数项级数（）作代换则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数，从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域，此时，称为双边幂级数。

关于双边幂级数的性质，见p185 定理定理1 （洛朗定理）设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内其中，是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。

证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。

由柯西积分公式，其中现考虑而沿，，（在上一致收敛）由于函数沿有界，所以故当：，其中展式的唯一性：设任意取某正整数，在上有界，，故，展式唯一。

注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。

例1、求函数分别在圆环1|z|2及内的洛朗级数式。

解：如果1|z|2，那么利用当时的幂级数展式我们得如果，那么同样，我们有例2、及在内的洛朗级数展式是：例3、在内的洛朗级数展式是：。

例4、求函数在圆环1|z|3内的洛朗级数展式。

解：由于1|z|3，那么利用当时的幂级数展式我们得，而所以，有第二节解析函数的孤立奇点1．解析函数的孤立奇点的定义设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。

在D内，f(z)有洛朗展式其中是圆。

例如，0是的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)；⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点；⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。

例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。

2．孤立奇点的判定定理1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：，其中是一个复数。

证明：（必要性）。

1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域---见第三章第18：、且作圆周：解析在设D D k k R z z k k R D z f ⊂=−≤121021,,:.:)(有，对1D z ∈∀ζπf iz f k ∫=221)(2. 双边幂级数定义形如)(00 +++=−+∞−∞=∑n nnc c z z c 正幂项(包括常数项))(00+=−∑∞=n nnc z z c 及其中1,0(0±=n c z n 负幂项部分：)(110=−−∞=−−∑n nnc z z c3. 函数展开成双边幂级数定理()()(21:)5()()(:)(010001的任何一条简单闭曲线内绕是其中在设z D c n d z f i c z z cz f R z z R D z f k n n n nn=−=−=<−<∫∑+∞+−∞=ζζζπ在称为R z z R D z f 201:)(<−<内的在称为R z z R D z f 201:)(<−<4. 展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是的洛朗级数。

事实上，)()(:)(01∑∞+−∞=−=<n nz z az f R D z f 可表示为在设∑∞+−∞=−=n nnz af )()(0ζζcz D c ∈∀ζ的简单闭曲线，内任何一条绕为设。