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02 原子的结构和性质【】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为、、和，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R 及整数n 1、n 2的数值。
221211()R n n ν=-解：将各波长换算成波数：1656.47nm λ= 1115233v cm --=2486.27nm λ= 1220565v cm --= 3434.17nm λ= 1323032v cm --=4410.29nm λ= 1424373v cm --=由于这些谱线相邻，可令1n m =，21,2,n m m =++……。
列出下列4式：()22152331R R m m =-+()22205652R Rm m =-+()22230323R R m m =-+()22243734R Rm m =-+(1)÷(2)得：()()()23212152330.7407252056541m m m ++==+用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。
将m=2带入上列4式中任意一式，得：1109678R cm -=因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式：221211v R n n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 式中，112109678,2,3,4,5,6R cm n n -===。
【】按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。
解：根据Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：22204n n n m e r r υπε= n=1，2，3，…… 式中，,,,,n n m r e υ和0ε分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为n r 时的线速度，电子的电荷和真空电容率。
同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为： 2n n nh m r υπ=将两式联立，推得：2202n h n r me επ=；202ne h n υε= 当原子处于基态即n=1时，电子绕核运动的半径为：2012h r me επ=()()23412211231196.62618108.854191052.9189.1095310 1.6021910J s C J m pm kg C π------⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯若用原子的折合质量μ代替电子的质量m ，则：201252.91852.91852.9470.99946h m pm r pm pme επμμ==⨯==基态时电子绕核运动的线速度为：2102e h υε=()21934122111.60219102 6.62618108.8541910C J s C J m -----⨯=⨯⨯⨯⨯612.187710m s -=⨯【】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。
02 原子的结构和性质【2.1】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29nm ，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R 及整数n 1、n 2的数值。
221211()R n n ν=-解：将各波长换算成波数：1656.47nm λ= 1115233v cm --=2486.27nm λ= 1220565v cm --=3434.17nm λ= 1323032v cm --=4410.29nm λ= 1424373v cm --=由于这些谱线相邻，可令1n m =，21,2,n m m =++……。
列出下列4式：()22152331R R m m =-+()22205652R Rm m =-+()22230323R R m m =-+()22243734R Rm m =-+(1)÷(2)得：()()()23212152330.7407252056541m m m ++==+用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。
将m=2带入上列4式中任意一式，得：1109678R cm -=因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式：221211v R n n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 式中，112109678,2,3,4,5,6R cm n n -===。
【2.2】按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。
解：根据Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：22204n n n m e r r υπε= n=1，2，3，…… 式中，,,,,n n m r e υ和0ε分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为n r 时的线速度，电子的电荷和真空电容率。
同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为： 2n n nh m r υπ=将两式联立，推得：2202n h n r me επ=；202ne h n υε= 当原子处于基态即n=1时，电子绕核运动的半径为：2012h r me επ=()()23412211231196.62618108.854191052.9189.1095310 1.6021910J s C J m pm kg C π------⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯若用原子的折合质量μ代替电子的质量m ，则：201252.91852.91852.9470.99946h m pm r pm pme επμμ==⨯==基态时电子绕核运动的线速度为：2102e h υε=()21934122111.60219102 6.62618108.8541910C J s C J m -----⨯=⨯⨯⨯⨯612.187710m s -=⨯【2.3】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。
目录第一章答案----------------------------------------------------------------------------1 第二章答案---------------------------------------------------------------------------26 第三章答案---------------------------------------------------------------------------47 第四章答案---------------------------------------------------------------------------63 第五章答案---------------------------------------------------------------------------711《结构化学》第一章习题答案1001 (D) 1002 E =h ν p =h /λ 1003,mvh p h ==λ 小 1004 电子概率密度 1005 1-241-9--34s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==-λhp T = m p 22 = 3123410109.92)10626.6(--⨯⨯⨯ J = 2.410×10-17J 1006 T = h ν- h ν0=λhc -0λhcT = (1/2) mv 2 v =)11(20λλ-m hc = 6.03×105 m ·s -11007 (1/2)mv 2= h ν - W 0 = hc /λ - W 0 = 2.06×10-19 J v = 6.73×105 m/s 1008 λ = 1.226×10-9ｍ/10000= 1.226×10-11 m 1009 (B) 1010 A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C 中用了λ= v /ν,这就错了。
一、填空题1. 已知:类氢离子He +的某一状态Ψ=0202/30)22()2(241a re a r a -⋅-⋅π此状态的n ，l ，m 值分别为_____________________.其能量为_____________________,角动量平方为_________________.角动量在Z 轴方向分量为_________.2. He +的3p z 轨道有_____个径向节面， 有_____个角度节面。
3. 如一原子轨道的磁量子数m=0，主量子数n ≤2，则可能的轨道为__________。
二、选择题1. 在外磁场下，多电子原子的能量与下列哪些量子数有关（ ）A. n,lB. n,l,mC. nD. n,m2. 用来表示核外某电子运动状况的下列各组量子数（n ，l ，m ，ms ）中，哪一组是合理的（）A. （2，1，-1，-1/2）B. （0，0，0，1/2）C. （3，1，2，1/2）D.（2，1，0，0）3. 如果一个原子的主量子数是4，则它（ ）A. 只有s 、p 电子B. 只有s 、p 、d 电子C. 只有s 、p 、d 和f 电子D. 有s 、p 电子4. 对氢原子Φ方程求解,下列叙述有错的是( ).A. 可得复函数解Φ=ΦΦim m Ae )(.B. 由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解.C. 根据Φm (Φ)函数的单值性,可确定|m|=0.1.2 (I)D. 根据归一化条件1)(220=ΦΦΦ⎰d m π求得π21=A5. He +的一个电子处于总节面数为3的d 态问电子的能量应为 ( ).A.1B.1/9C.1/4D.1/166. 电子在核附近有非零几率密度的原子轨道是( ).A.Ψ3PB. Ψ3dC.Ψ2PD.Ψ2S7. 氢原子处于下列各状态 (1)ψ2px (2) ψ3dxz (3) ψ3pz (4) ψ3dz 2 (5)ψ322 ，问哪些状态既是M 2算符的本征函数，又是M z 算符的本征函数?A. (1) (3)B. (2) (4)C. (3) (4) (5)D. (1) (2) (5)8. Fe的电子组态为[Ar]3d64s2,其能量最低的光谱支项( )A.5D4B. 3P2C. 5D0D. 1S09. 立方箱中在E 6h2/4ml2的能量范围内，能级数和状态数为（）。
一、填空题1. 已知:类氢离子He+的某一状态Ψ=此状态的n，l，m值分别为_____________________.其能量为_____________________,角动量平方为_________________.角动量在Z轴方向分量为_________.2. He+的3p z轨道有_____个径向节面，有_____个角度节面。
3. 如一原子轨道的磁量子数m=0，主量子数n≤2，则可能的轨道为__________。
二、选择题1. 在外磁场下，多电子原子的能量与下列哪些量子数有关（ B ）A. n,lB. n,l,mC. nD. n,m2. 用来表示核外某电子运动状况的下列各组量子数（n，l，m，ms）中，哪一组是合理的（A）A. （2，1，-1，-1/2）B. （0，0，0，1/2）C. （3，1，2，1/2）D.（2，1，0，0）3. 如果一个原子的主量子数是4，则它（ C ）A. 只有s、p电子B. 只有s、p、d电子C. 只有s、p、d和f电子D. 有s、p电子4. 对氢原子Φ方程求解,下列叙述有错的是( C ).A. 可得复函数解.B. 由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解.C. 根据Φm(Φ)函数的单值性,可确定|m|= (I)D. 根据归一化条件求得5. He+的一个电子处于总节面数为3的d态问电子的能量应为 ( D ).9 4 166. 电子在核附近有非零几率密度的原子轨道是( D ).A.Ψ3PB. Ψ3dC.Ψ2PD.Ψ2S7. 氢原子处于下列各状态 (1)2px (2) 3dxz (3) 3pz (4) 3dz2 (5)322 ，问哪些状态既是2算符的本征函数，又是M z算符的本征函数?CA. (1) (3)B. (2) (4)C. (3) (4) (5)D. (1) (2) (5)8. Fe的电子组态为[Ar]3d64s2,其能量最低的光谱支项( A )B. 3P2C. 5D0D. 1S09. 立方箱中在E6h2/4ml2的能量范围内，能级数和状态数为（C ）。
习 题 详 解2.1氢原子薛定谔方程中的能量E 包含哪些能量？答：氢原子薛定谔方程中的能量E 包含电子相对于原子核的运动的动能、电子与原子核之间的吸引能。
2.2令)()()(),()(),,(ϕθϕθϕθψΦΘ==r R Y r R r 将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。
解：将(,,)()(,)r R r Y ψθφθφ=带入定谔方程{)(2r r r ∂∂∂∂+21(sin )sin r θθθθ∂∂∂∂+22221sin r θφ∂∂222[()]}e m r E V r RY --=0 （1） 两边乘以2r ψ，且移项，得21()d d r R R d dr222()e m r E V +-1{(sin )sin Y θθθθ∂∂=-∂∂2221}sin Y Y θφ∂+∂ 令两边等于同一常数β，于是分解为两个方程：2()d dr R dr dr+222()mr E V R R β-= （2） 1(sin )sin Yθθθθ∂∂-∂∂2221sin Y Y βθφ∂-=∂ （3） 再令)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y ，带入方程（3）1[sin ]sin θθθθ∂∂ΘΦ∂∂22210sin βθφ∂Φ+Θ+ΘΦ=∂两边除以Y ,移项得1(sin )sin θθθθ∂∂ΘΘ∂∂2221sin βθϕ∂Φ+=-Φ∂sin (sin )θθθθ∂∂ΘΘ∂∂2221sin (4)βθϕ∂Φ+=-Φ∂今两边等于同一常数υ，于是又可将方程(4)方程分解为下列两个方程21(sin )sin sin d dd d θβθυθθθΘ+= （5）22d d ϕΦ=υ-Φ （6） 这样我们将关于(,,)r ψθφ的方程(1)，分解成(),()()R r θϕΘΦ和三个常微分方程(2)，(5)和(6), 于是，解方程(1)归结为解方程(2)，(5)和(6)。
2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为br e ar -+=)1(ψ的解？若有，求a 、b 和能量E 。
1.简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围解：原子轨道有主量子数 n ，角量子数|，磁量子数m 与自旋量子数s ,对类氢原子（单电子原子）来2说，原子轨道能级只与主量子数n 相关E Z R 。
对多电子原子，能级除了与n 相关，还要考虑电子n间相互作用。
角量子数|决定轨道角动量大小，磁量子数 m 表示角动量在磁场方向（z 方向）分量的大小,自旋量子数s 则表示轨道自旋角动量大小。
1n 取值为 1、2、3••…;| = 0、1、2、••…、n - 1; m = 0、±1 ±2 ……±l 取值只有一。
22.在直角坐标系下，Li 2+的Schr?dinger 方程为 ______________________ 。
解：由于Li 2+属于单电子原子，在采取 “-O'近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动量z 分量的平均值为多少(2)由于 |M I "J l(l1), l 1=1， l 2=1， l 3=1，又,210 ,211和 31 1 都是归一化的,2 h 2 h C 2 ■ l2 l 2 1 ——C3 ■ l3 l 3 1 o 2 2 2 ------------ h 2 ------------ hc 2 11 1 ——c 3 11 1 ——2 2 2h 222故C i 2 M iC 2 M1c ； M 2 C 3 M 3 能算符：T?h 2 8 2m2;体系的势能算符：\?Ze 2 3e 2 故Li 2+的 Schr?dinger 方程为:h 22式中:22 ____x 2y 23.对氢原子,C 1210的。
那么波函数所描述状态的（4 0r3e 22r = ( x 2+ y 2+ z 2F 2z 2C 2211C 331 能量平均值为多少（ 1，其中4 0r211和 31 1都是归一化2）角动量出现在 ..2h 2的概率是多少，角动解：由波函数C 1210C 2211C 3 31 1 得：n 1=2, h=1,m 1=0; n 2=2, b=1,m 2=1;出=3,l 3=1,m 3=-1;（1）由于2210, 211 和 31 1都是归一化的，且单电子原子E 13.6―（eV ）故E■i C 1 E12 2 C 2 E2C 3 E32 C 11 2 113.6 =eV 22 cf 13.6 peV22113.6 ?eV13.6 2 4 C1c ； eV 13.99c j eV 2 ---------------- hC 1 ■. l1 l 1 12c ： J1 1 1 — 2则角动量为、、2h2出现的概率为: 1h,m1=0,m2=1,m3=-1;又210, 211和311都是归一化的,故M z' CMih2c|m22 c 2 * 2G 0 C2 1 C32 h°3 m3h1 -22 2C2 C34.已知类氢离子He+的某一状态波函数为:321 222re-2r2a。
一、填空题1。
已知：类氢离子He +的某一状态Ψ=0202/30)22()2(241a re a r a -⋅-⋅π此状态的n,l ,m 值分别为_____________________。
其能量为_____________________,角动量平方为_________________.角动量在Z 轴方向分量为_________.2。
He +的3p z 轨道有_____个径向节面, 有_____个角度节面。
3。
如一原子轨道的磁量子数m=0,主量子数n ≤2，则可能的轨道为__________.二、选择题1. 在外磁场下，多电子原子的能量与下列哪些量子数有关（ B )A 。
n,lB 。
n,l ，m C. n D 。
n ，m2. 用来表示核外某电子运动状况的下列各组量子数（n,l ，m ，ms ）中，哪一组是合理的(A) A 。
（2,1，—1,—1/2） B. （0，0,0，1/2)C. （3，1,2，1/2）D.（2，1，0，0)3。
如果一个原子的主量子数是4，则它（ C ）A 。
只有s 、p 电子B 。
只有s 、p 、d 电子C 。
只有s 、p 、d 和f 电子D 。
有s 、p 电子4. 对氢原子Φ方程求解，下列叙述有错的是（ C ).A 。
可得复函数解Φ=ΦΦim m Ae )(.B. 由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解。
C. 根据Φm （Φ）函数的单值性，可确定｜m ｜=0。
1.2 (I)D 。
根据归一化条件1)(220=ΦΦΦ⎰d m π求得π21=A5。
He +的一个电子处于总节面数为3的d 态问电子的能量应为 （ D )。
A.1B.1/9 C 。
1/4 D 。
1/166. 电子在核附近有非零几率密度的原子轨道是( D ）。
A.Ψ3P B 。
Ψ3d C 。
Ψ2P D.Ψ2S7。
氢原子处于下列各状态 (1)ψ2px （2） ψ3dxz （3） ψ3pz （4） ψ3dz 2 (5）ψ322 ，问哪些状态既是M 2算符的本征函数，又是M z 算符的本征函数？CA 。
第二章 原子的结构与性质1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？答：（1）主量子数n ，n 取值范围为（1、2、3……n ）(2) 角量子数l ，l 取值范围为（0、1、2、……、n －1） （3）磁量子数m ，m 取值范围为（0、±1、±2、……±l ） (4)自旋量子数s ，s 取值范围只有21±知识点：1）由()φΦ方程的解得到12sin 2cos =+m i m ππ，只有当m=0、±1、±2、……±l 时，方程才能成立，由此得到磁量子数m 。
磁量子数m 可决定：①z M (角动量在磁场方向的分量） m M z =Λ②磁量子数的取值范围由角量子数决定，m 取值范围为（0、±1、±2、……±l ）取2l+1个2）由()θH 方程的解：如果想使方程有意义，获得合理解，须使γγ,+=m l 为包括0的正整数，m l ≥，由此得到角量子数l角量子数l 可决定:①轨道的角动量大小M ，() 1+=l l M ②决定磁矩()玻尔磁子124.1029.9,1--⨯=+=T j l l ββμ ③决定角节面，l 个角节面 ④决定能量l n E ,角量子数取值范围及相应符号为（l=0、1、2、……、n －1） S, p, d, f......... 3）由()r R 方程的解，得到λ++=-=1),(6,1322l n ev nZ En由此得到主量子数n主量子数n 可决定①能量：),(6,1322ev nZ E n-=②决定简并度：2n g =③决定总节面数：径向节面n-l-1,角度节面l,总节面数n-1主量子数取值范围及相应符号；主量子数n 取值范围为（1、2、3……n ） 分别为（K,L,M,N,O,......Q)4)自旋量子数s 则表示轨道自旋角动量大小。
表示用场上的分量状态，自旋角动量在磁为自旋电子态：对于↑==,21M 21, z s s m αα表示用场上的分量状态，自旋角动量在磁为自旋电子态：对于↓-=-=,21M 21, z s s m ββ实例：4S 轨道的径向节面，角节面，和总节面数分别为多少？答：径向节面=n-l-1=4-0-1=3，角节面=l=0，总节面数=n-12. 写出在直角坐标系下，Li 2+ 的Schrödinger 方程解：由于Li 2+属于单电子原子，在采取波恩-奥本海默近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动能算符：2228ˆe D mh T π-=；体系的势能算符：re r Ze V 0202434ˆπεπε-=-=故Li 2+的Schrödinger 方程为：ψψE r εe mh =⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-∇π-20222438 式中：z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222，r = ( x 2+ y 2+ z 2)1/2知识点：波恩-奥本海默近似（定核近似）：研究电子运动时，原子核固定不动，把它放在坐标原点，于是核的动能就不考虑了，于是我们就研究定核近似下的schrodinger 方程。
实例：举例说明类氢离子有哪些，并说明它们的共同特点？答：类氢离子：+++32,,e i e B L H它们同为带Z 个正电荷的原子核与核外只有一个电子组成的双类子体系。
6，已知H 原子的()θa r a a r zcos e 24102130p 2-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π=ψ试计算：(1) 原子轨道能 E 值；(2) 轨道角动量绝对值│M │； (3) 轨道角动量和 z 轴夹角的度数。
解：由H 原子的波函数可以得到其主量子数n =2，角量子数l =1，磁量子数m =0，1±(1) 对单电子原子)(6.13)(1018.2222218ev nz J n z E -=⨯⨯-=-，故原子轨道能为： （2）由轨道角动量的大小()π21h l l M +=，则轨道角动量为：（3）由轨道角动量在磁场方向（Z 轴的方向）上的分量π2hm M Z ⨯=，设轨道角动量M 和Z 轴的夹角为θ，则：所以夹角θ=90°知识点：1）主量子数n 可决定能量：),(6,1322ev n Z En-= 2）角量子数l 可决定轨道的角动量大小() 1+=l l MJ J E 192181045.5211018.2--⨯-=⨯⨯-=02220cos =⋅⋅==ππθh hM M z ()ππ2221h h l l M=+=和磁矩()玻尔磁子124.1029.9,1--⨯=+=T j l l ββμ3）磁量子数m 可决定z M (角动量在磁场方向的分量） m M z =Λ实例：试计算2Px 轨道的磁矩的大小μ？答：()123124.1031.1.1029.9)1(1----⨯=⨯⨯+=+=T J T J l l l l βμ7. 一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？解：（1）由电子主量子数为n = 4，角量子数l 的取值范围为0，1，2，…，n -1, 则l =0, 1, 2, 3（2）由磁量子数m 的取值范围为0，±1，±2，…±l ，则m =0，±1，±2，±3（3）对单个电子 m s =±1/2（4）这个电子l =0, 1, 2, 3，s =1/2,对于每一个不同的l 、s 值，对应(2l +1) (2 s +1)个可能的状态，则这个电子共有：（2×0+1）(2×1/2+1)+（2×1+1）(2×1/2+1)+（2×2+1）(2×1/2+1)+ (2×3+1）(2×1/2+1) =2+6+10+14=32 个状态。
知识点：1)主量子数n,角量子数l ，磁量子数m ，自旋量子数s 的取值范围2）对于单电子体系，S L S L S L J --++= ,1, 每个光谱项对应（2J+1)个微观能态。
3）原子的电子组态：由主量子数，角量子数来描述电子中的排布方式。
实例：试解释31p 轨道有多少个微观能态？答：由31p 可知L=1,S=21所以S L S L S L J --++= ,1,=21,23，可知有两个光谱项,,232212p p 微观能态总数=61113121221=+++=+++J J8、碳原子 1s 22s 22p 2组态共有 1S 0，3P 0，3P 1，3P 2，1D 2等光谱支项，试写出每项中微观能态数目答：对于1S 0 J=0 微观能态数目=2J+1=1 对于3P 0 J=0 微观能态数目=2J+1=1对于3P 1 J=1 微观能态数目=2J+1=3 对于3P 2 J=2 微观能态数目=2J+1=5 对于1D 2 J=2 微观能态数目=2J+1=5知识点：1）由于在磁场中光谱支项分裂为：（2J +1）个能级，每个光谱支项对应的微观能态数目为（2J +1）个。
2）光谱项：具有总轨道角动量量子数l,总自旋量子数s 的汇总原子状态称为光谱项。
3）光谱支项：在光谱项的基础上考虑总角动量量子数就叫光谱支项实例：写出2P 1的光谱项和光谱支项？答：由得L=1,S=2,S L S L S L J --++= ,1,=21,23,所以光谱项为2P,光谱支项为,,232212p p 。
9、求下列谱项的各支项，及相应于各支项的状态数：2P ； 3P ； 3D ； 2D ； 1D解：（1）由谱项2P 得S =1/2、L =1,J =L +S ,L +S -1,…,|L -S |=3/2、1/2, 对应的光谱支项为 2P 3/2、2P 1/2；每个光谱支项对应的微观状态数为：（2J +1）,其状态数分别为4和2。
(2) 由谱项3P 得S =1、L =1, 则J =2、1、0, 光谱支项为 3P 2 , 3P 1 , 3P 0 , 其状态数分别为 5, 3, 1 。
（3）由谱项3D 得S =1、L =2, 则J =3、2、1,光谱支项为 3D 3 , 3D 2 , 3D 1 , 其状态数分别为 7, 5, 3 。
（4）由谱项2D 得S =1/2、L =2, 则J =5/2、3/2,光谱支项为 2D 5/2 , 2D 3/2, 其状态数分别为 6, 4。
(5) 由谱项1D 得S =0、L =2, 则J =2,光谱支项为 1D 2 , 其状态数为 5 。
知识点：1）每个光谱支项对应的微观能态数目为（2J +1）个。
2）对于双电子体系，L,S 的计算规则：21121,2121121,21s s s s s s S l l l l l l L --++→--++→S L S L S L J --++→ 1, 若S L ≥，个取，个；若取1L 2J S L 12+≤+S J实例：写出的光谱项？11f P解：DD F F G D F G L S l l l l l l L l l f 1313132121212111,,,,,G ,,2,3,4.0,12,3,41,,3,1P 所以光谱支项为分别对应对于双电子体系：所以可知由===--++===11. 已知Li 2+处于θa r a r N a-r ψcos e 336000⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，根据节面规律判断，n ，l 为多少？并求该状态的能量。
解：（1）根据角度函数部分，,90,0cos ==θθxy 平面为节面，角节面只有一个，l =1。
（2）根据径向节面数为n -l -1,径向函数部分只有当0360=-a r，才有径节面，r =2a 0为1个径节面，则n -l -1=1,3,1==n l 所以因。
Li 2+属于单电子原子，)(6.1322eV nz E -=故eV 6.13eV 336.1322-=⨯-=n E 知识点：1）原子轨道角函数：ϕθπϕθπθππsin sin 43,cos sin 43,cos 431410======y x z P P P l s l 时，时，2）径向节面数为n -l -1， 角节面数= l ，总节面数=n -1实例：试求出类氢离子3S ，4P ，4S, 4P ，的径向节面？答：3S ：n=3,l=0 ,径向节面=3-0-1=2 4P ：n=3,l=1 ,径向节面=3-1-1=1 4S ：n=4,l=0 ,径向节面=4-0-1=3 4P ：n=4,l=1 ,径向节面=4-1-1=212、下面各种情况最多能填入多少电子：(1) 主量子数为n 的壳层；(2) 量子数为n 和l 的支壳层； (3) 一个原子轨道； (4) 一个自旋轨道。
