江苏省常州市2015年中考数学试卷(解析版)

2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°第4题图第5题图第8题图5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．A O⊥OD C．A O=OC D．AO⊥AB6．已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2二、填空题（每小题2分，共20分）9．计算（π﹣1）0+2﹣1=．10．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为．11．分解因式：2x2﹣2y2= ．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是．第13题图第16题图第18题图14．已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．15．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B 向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE 和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q 与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．28．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．。

2015年江苏省常州市中考数学试题及参考答案与解析一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．13D．13-2．要使分式32x-有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB6．已知2a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．23cm B ． 8cm 2 C ．23D ． 16cm 2二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算（π﹣1）0+2﹣1= ．10．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ． 11．分解因式：2x 2﹣2y 2= ．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是 ．14．已知x=2是关于x 的方程a （x+1）=12a +x 的解，则a 的值是 ． 15．二次函数y=﹣x 2+2x ﹣3图象的顶点坐标是 ．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是 ．17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3； 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11； …通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x （2﹣x ），其中x=2． 20．（8分）解方程和不等式组： （1）123113x x x=---； （2）240125x x +⎧⎨--⎩＞＞．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． （1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在▱ABCD 中，∠BCD=120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． （1）求证：AE=AF ； （2）求∠EAF 的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2，求AB．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M 在直线l 上，且∠POM=90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S 1、S 2，求1211S S +的值．28．（10分）如图，反比例函数k y x =的图象与一次函数14y x =的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方． （1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；（2）设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．参考答案与解析一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．13D．13-【知识考点】绝对值．【思路分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答过程】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【总结归纳】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．要使分式32x-有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．【解答过程】解：要使分式32x-有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．【总结归纳】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．3．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【解答过程】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）。

2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C ．D ．2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠23．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．cm2B．8cm2C ．cm2D．16cm2二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=．10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为．11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2=．12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是．13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是．14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH ∽．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．28．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．2015年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C ．D ．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2【专题】11 ：计算题．【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．【解答】解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．【点评】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°【专题】11 ：计算题．【分析】由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A 的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°，故选C．【点评】此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．【解答】解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．【点评】本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【专题】11 ：计算题．【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．【解答】解：∵a==，b==，c==，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故选A．【点评】此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．cm2B．8cm2C ．cm2D．16cm2【专题】16 ：压轴题．【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=．【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（π﹣1）0+2﹣1=1+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 6.96×105．【专题】12 ：应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．【解答】解：696 000=6.96×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2=2（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是27π．【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为r．则=6π，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为：27π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是6．【分析】由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴，解得BC=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．【专题】11 ：计算题．【分析】把x=2代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x=2代入方程得：3a=a+2，解得：a=．故答案为：．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是（1，﹣2）．【分析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+1）﹣2=﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是（400，800）．【分析】根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．【解答】解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）．【分析】根据以上等式得出规律进行解答即可．【解答】解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和【点评】此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．【专题】16 ：压轴题．【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF ，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE ，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC=CE，∴AM=EM=×（5+3）=4，在Rt△AMC中，AC===；解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案为：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．【专题】11 ：计算题．【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，当x=2时，原式=8+1=9．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．【解答】解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，解得：x=，经检验x=是分式方程的解；（2），由①得：x＞﹣2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．【分析】（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．【解答】解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，∴本次调查共抽样了500名学生；（2）1.5小时的人数为：500×24%=120（人）如图所示：（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P（甲第一个出场）==；（2）甲比乙先出场的情况有3种，则P（甲比乙先出场）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA 中，，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．【解答】解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，∴m=9，∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，∴（5﹣3）n+9=12.6，解得：n=1.8．∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）∵13.4＜16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．【点评】本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次函数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．【分析】（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）设DE=x，则AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF==x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，∴AB=+1【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．【专题】23 ：新定义．【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD ×DC，据此判断即可．（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN 等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．【解答】解：（1）如图①，连接AH，EH，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）作法：①过A、D作AN、DM分别垂直BC于N、M；②延长AD ，取DE=DM；③以AE为直径作半圆O；④延长MD交半圆O于H；⑤以H、D作正方形HDFG，则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形．证明：∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DM ， ∴DH 2=AD ×DM ，即正方形DFGH 与矩形ABMN 等积，∴正方形DFGH 与平行四边形ABCD 等积．（3）作法：①过A 点作AD 垂直BC 于D ；②作AD 的垂直平分线，取AD 中点E ；③过E 作BC 平行线，作长方形BCGF ，则S 矩形BCGF =S △ABC ； 其他步骤同（2）可作出其等积正方形．（4）作法：①过A 点作BD 平行线l ； ②延长CD 交平行线与E 点； ③连接BE ，则S 四边形ABCD =S △EBC ， 同（3）可作出其等积正方形．△BCE 与四边形ABCD 等积，理由如下： ∵BD ∥l ，∴S △ABD =S △EBD ， ∴S △BCE =S 四边形ABCD ，即△EBC 与四边形ABCD 等积．故答案为：△HDE 、AD ×DC 、矩形．【点评】（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握． 27．（10分）如图，一次函数y=﹣x +4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． （1）写出点A 的坐标；（2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M 在直线l 上，且∠POM=90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S 1、S 2，求的值．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．【解答】解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，即点A的坐标为（4，0）；（2）存在．理由：第一种情况，如下图一所示：∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角，∴BQ=PA，将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，∴OB=4，由（1）可知OA=4，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．∵△BOQ≌△AQP．∴QA=OB=4，BQ=PA．∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，∴PA=4﹣4．∴点P的坐标为（4，4﹣4）；第二种情况，如下图二所示：∵△OQB≌△APQ，∴AQ=BO=4，AB=，BQ=AP，∴BQ=AB+AQ=，∴AP=4，∴点P的坐标为：（4，﹣4）；由上可得，点P的坐标为：（4，）或（4，）．（3）如图所示：令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，∴ab=16，∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4，∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π，。

2015年江苏常州中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2015江苏常州，1，2分）－3的绝对值是A．3B．－3C．31D．－311．A2．（2015江苏常州，2，2分）要使分式23x有意义，则x的取值范围是A．x＞2B．x＜2C．x≠－2D．x≠22．D3．（2015江苏常州，3，2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A．B．C．D．3．B4．（2015江苏常州，4，2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是A．70°B．60°C．50°D．40°EDC4．C5．（2015江苏常州，5，2分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥ABODB CA5．C6．（2015江苏常州，6，2分）已知a＝22，b＝33，c＝55，则下列大小关系正确的是A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．A7．（2015江苏常州，7，2分）已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－1 7．D 8．（2015江苏常州，8，2分）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是A ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 28．B二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2015江苏常州，9，2分）计算102)1(-+-π＝_________．9．3210．（2015江苏常州，10，2分）太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．10．6.96×10511．（2015江苏常州，11，2分）分解因式：2222y x -＝_________________． 11．2(x ＋y )(x －y )12．（2015江苏常州，12，2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________． 12．27π 13．（2015江苏常州，13，2分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．13．614．（2015江苏常州，14，2分）已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________．14．4515．（2015江苏常州，15，2分）二次函数y ＝－2x ＋2x －3图象的顶点坐标是____________． 15．（1，－2） 16．（2015江苏常州，16，2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．m ）16．（400，800）17．（2015江苏常州，17，2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是__________________________________（请用文字语言表达）． 17．任一大于2的偶数都可写成两个质数之和 18．（2015江苏常州，18，2分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．18三、解答题（共10小题，共84分）19．（2015江苏常州，19，6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2． 【考点解剖】本题考查了整式的混合运算与求值，解题的关键是化简正确，代入准确． 【解题思路】先乘除，再加减，把原式化简，最后代入求值． 【解答过程】原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1. 当x ＝2时，原式＝8＋1＝9．【方法规律】初中数学中的乘法公式有：平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，完全平方公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，应牢固地掌握．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是(1)完全平方公式计算出错；(2)利用完全平方式计算后没有把运算结果放在括号里；(3)去括号出错.【试题难度】★★【关键词】整式的运算；完全平方公式 20．（2015江苏常州，20（1），4分）解方程：（1）xx x 311213--=-. 【考点解剖】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法步骤． 【解题思路】按照解分式方程的一般步骤求解即可． 【解答过程】解：（1）去分母，得x ＝2(3x －1)＋1. 去括号，得x ＝6x －2＋1.移项、合并同类项，得5x ＝1. 系数化为1，得x ＝15. 检验：当x ＝15时，3x －1≠0，x ＝15是原分式方程的解. ∴原分式方程的解是x ＝15.【方法规律】解分式方程的一般步骤：先去分母，再去括号、移项、合并同类项、最后系数化为1，最后不要忘记要检验．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是：①去分母时漏乘没有分母的项；②忘记检验步骤；③常出计算错误.【试题难度】★★★【关键词】可化为一元一次方程的分式方程的解法；20．（2015江苏常州，20（2），4分）解不等式组：（2）⎩⎨⎧->->+.521,042x x【考点解剖】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法步骤．【解题思路】按照解一元一次不等式组的一般步骤求解即可． 【解答过程】解：解不等式①，得x ＞－2；解不等式②，得x ＜3；∴不等式组的解集为－2＜x ＜3．【方法规律】不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，所以可以求出不等式组中各个不等式的解集，然后取它们的公共部分即为不等式组的解集．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是确定两个不等式解集的公共部分出错. 【试题难度】★★★【关键词】一元一次不等式组的解法21．（2015江苏常州，21，8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．【考点解剖】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样和用样本估计总体的知识，解题的关键是读懂统计图，从统计图中得到必要的信息．【解题思路】（1）样本容量可由0.5小时100人占总人数的20%求得；（2）用样本容量乘以24%即可；（3）计算样本数据中阳光体育运动的平均时间．【解答过程】（1）100÷20%＝500（人），∴该调查小组抽取的样本容量是500． （2）500×24%＝120（人），∴样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时共120人． 补全占频数分布直方图如下图：（3）0.5×20%＋1×40%＋1.5×24%＋2×16%＝1.18 (小时)． ∴该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为1.18小时．【方法规律】（1）频数÷频率=样本容量；（2）加权平均数计算公式为nf x f x f x x kk +⋯++=2211，其中1f ，2f ，…，k f 代表各数据的权，且1f +2f +…+k f ＝n ，本题中，权重是频数或百分比．统计图表是中考的必考内容，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，考查了学生对于图表的读图、识图能力，由于数据的问题在中考试卷中也有越来越综合的趋势，成为中考命题的热点．解决这类问题时，一定要仔细观察，发掘出图表中所提供的信息，通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学方法、数学模型联系起来，灵活的运用数学知识进行探索．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是对两个或两个以上的图表不能进行系统的分析，造成读图错误.【试题难度】★★★【关键词】数据的收集；条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；数形结合思想22．（2015江苏常州，22，8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．【考点解剖】本题考查了简单随机事件的概率的计算，解题的关键是正确的列表或者画出树形图．【解题思路】（1）谁第一个出场共3种可能，所以甲第一个出场的概率为13；（2）列表或树状图表示出所有可能性，注意与丙的出场顺序无关．【解答过程】（1）甲，乙，丙三位学生都有可能第一个出场，因此共有三种可能，所以甲第一个出场的概率为13．（2）树状图如下甲乙丙甲乙丙甲开始共有6种情况，其中甲比乙先出场的共有3种，∴P(甲比乙先出场)＝12．【方法规律】概率的问题，稍微复杂一点的题目，会用列表法或画树状图法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的概率计算公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．在做摸球的概率问题时，同学们一定要注意球是放回还是不放回的情况，这是同学们经常出错的地方.【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不能正确的用树形图表示所有可能出现的结果．【试题难度】★★★【关键词】概率的计算公式；求概率方法---树状图法23．（2015江苏常州，23，8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．D【考点解剖】本题考查了平行四边形和等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是对几何图形的性质和判定的灵活运用.【解题思路】（1）证明两线段相等，可转化为证明△ABE≌△FDA；（2）证明∠DAF＋∠EAB ＝60°．【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝60°．∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BC＝BE，CD＝DF，∠EBC＝∠CDF＝60°．∴BE＝AD，AB＝DF，∠ABE＝∠ADF＝120°，∴△ABE≌△FDA，∴AE＝AF．（2）∵△ABE≌△FDE，∴∠BAE＝∠DF A，∵∠ADF＝120°，∴∠DAF＋∠DF A＝60°，∴∠DAF ＋∠EAB＝60°，∴∠EAF＝∠BAD－(∠DAF＋∠EAB)＝60°．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是发掘不到图形中蕴含的全等三角形导致解证思路受阻. 【方法规律】图形中包含两个等边三角形时，常常考虑利用全等三角形的性质解决问题．【试题难度】★★★【关键词】平行四边形的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形的内角和24．（2015江苏常州，24，8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【考点解剖】本题考查了一元一次方程的应用问题及一次函数的知识，解答时要注意等量关系的寻找.【解题思路】（1）光明中学与市图书馆路程小于3公里，可知起步价为9元．再利用“从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元”求出3公里后出租车车费的单价；（2）算出乘车返回光明中学需要的费用，然后跟剩下的现金进行比较即可.【解答过程】（1）∵光明中学与市图书馆路程只有2公里，∴出租车的起步价为9元，即m＝9．∵从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．∴9＋2n＝12.6，解得n＝1.8.∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x-3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）乘车返回光明中学至少需要花费9＋4×1.8＝16.2元，小张剩下坐车的钱数为：75-15-25-9-12.6=13.4（元），∵13.4＜16.2，∴小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学.【易错点睛】此类问题容易出错的地方是对出租车的收费标准不理解造成计算错误.【方法规律】解决实际问题的关键是将实际问题抽象成一个数学问题，找准题目中的数量关系．【试题难度】★★★【关键词】一元一次方程的应用；一次函数的解析式25．（2015江苏常州，25，8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC ＝105°．（1）若AD＝2，求AB；（2）若AB＋CD＝23＋2，求A B．C【考点解剖】本题考查了解直角三角形的相关知识，解题的关键是如何作辅助线构成直角三角形．【解题思路】（1）过点D作AB的垂线段，将△ABD分成一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形来解决；（2）过点D作DE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，将四边形分成2个等腰直角三角形和两个含30°角的直角三角形，设DE为x，用含x的代数式表示出AB＋CD的长，即可得到一个关于x的一元一次方程．【解答过程】（1）过点D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝45°，∴DE＝AD×sin45°，AE＝AD×cos45°．在Rt △BDE 中，∠BDE ＝∠ADB －∠ADE ＝60°，∴BE ＝DE ×t a n60°． ∴AB．（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点B 作BF ⊥CD 于F ，设DE 为x .则AE ＝DE ·t a n45°＝x ，BE ＝DE ·t a n60°x ，BD ＝DE ÷sin ∠ABD ＝2x ， ∵∠C ＝45°，BF ⊥CD ，∴∠FBC ＝45°，∴∠DBF ＝∠ABC －∠ABD －∠CBF ＝30°． ∴DF ＝BD ·sin30°＝x ，BF ＝BD ·cos30°x ， ∴CF ＝BF，∴CDx ＋x ．∴AB ＋CD ＝(23＋2)x ，∴x ＝1．∴AB ＝3＋1．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不知道作垂线构成直角三角形，把问题在直角三角形内解决问题.【方法规律】在解题过程中，如果图中出现30°、45°、60°这些特殊的角度，常考虑构造直角三角形，将这些特殊的角置于直角三角形中．【试题难度】★★★★ 【关键词】解直角三角形26．（2015江苏常州，26，10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE ＝90°，∴∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵DH ⊥AE ，∴∠ADH ＝∠EDH ＝90°. ∴∠HAD ＋∠AHD ＝90°.∴∠AHD ＝∠HED ，∴△ADH ∽_____________．∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵DE ＝DC ，∴2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．D⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．ACBADCB【考点解剖】本题是一个阅读理解题，涉及相似、等积法、中位线等知识．解题的关键是综合运用基本图形，通过探究解决问题.【解题思路】（1）△A H E是一个射影定理基本图形；（2）要作出一个等积的矩形，只需保持底BC长不变，高不变即可，所以考虑分别过点B、点C作AD的垂线段，就可以得到所需要的矩形；（3）要使得矩形和三角形面积相等，只需保证矩形和三角形的底相等，高等于三角形高的一半，就可以得到等积的矩形，所以考虑将△ABC的中位线DE延长变成一条直线，然后分别过点B、点C 作DE的垂线段即可得到矩形BCGF，然后延长FG到H，使得GH＝GC，以FH为直径画作圆，CG 延长线与圆的交点为M，则GM就是所求的正方形的边长．（4）连接BD，将四边形ABCD分成△ABD和△BCD，过点A作BD的平行线，则△ABD和△EBD的面积相等，所以△EBC与四边形ABCD 的面积相等．【解答过程】解：（1）△HDE；AD·DC；（2）矩形BCEF即为所求．（提示：分别过点B，点C作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，则矩形BCEF与平行四边形ABCD 等底等高，所以它们面积相等.）（3）矩形∴线段MG即为所求.（4）△EBC 即为所求．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是阅读量过大，不能迅速找到可用的已知条件，读题能力差，造成失分.【方法规律】作一个图形的等积图形，可将图形分解成比较简单的三角形，平行四边形或矩形，利用它们的底、高的数量关系得到等积的图形．【试题难度】★★★★【关键词】阅读理解题；作图；面积；类比迁移；三角形；平行四边形；矩形27．（2015江苏常州，27，10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．（1）写出点A 的坐标；（2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值． lyxOBQA P【考点解剖】本题考查了一次函数图象的性质，三角形的外接圆，圆周角定理得推论，等积法，勾股定理，全等三角形等知识．解题的关键是综合运用以上知识灵活解题. 【解题思路】（1）直接把y ＝0代入y ＝－x ＋4，即可求出A 点坐标；（2）假设△OQB ≌△QP A ，求出Q 点坐标和P 点坐标，最后检验点Q 在△OAP 的外接圆上；（3）由于∠P O M ＝90°，因此△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的直径分别为OP 和OM ，利用OP 、OM 表示出S 1和S 2的值，代入2111S S +中变形，即可求出2111S S +的值． 【解答过程】解：（1）∵y ＝－x ＋4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴A (4，0)，B (0，4)．（2）①当点Q 在线段AB 上时，由于∠O BQ ＝∠P AQ ＝45°，此时△OQB ≌△QP A .设Q （a ，－a ＋4），则AQ)a -.∵△OQB ≌△QP A)a -＝4，∴a＝4-BQ4=，∴AP ＝BQ＝4，此时OP 的中点C 坐标为(2，2)，CP 2＝16－CQ 2＝16－P 、Q 在以点C 为圆心的圆上．符合要求， ∴P (4，4).②当点Q 在AB 的延长线和在BA 延长线上时，△OQB 与△APQ 不全等.综上所述P (4，4).（3）∵∠POM ＝90°，∠OAP ＝∠OAM ＝90°，∴△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的直径分别为OP 和OM ，∴S 1＝14π·OP 2，S 2＝14π·OM 2， ∴2111S S +＝2244OP OM ππ+＝22224()OP OM OP OM π+. ∵∠P O M ＝90°，∴222OP OM PM +=，∵∠POM ＝90°，OA ⊥PM ，∴OP OM PM OA ⋅=⋅. ∴2111S S +＝2224PM PM OA π⋅⋅＝14π． 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不知道用利用OP 、OM 表示出S 1和S 2的值，造成没思路，无法求解.【方法规律】（1）求一次函数与x 轴的交点，可令y ＝0；（2）探究是否存在符合要求的点P ，使得两个三角形全等类问题，可先假设两三角形全等，计算得出P 点坐标；（3）直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边．【试题难度】★★★★★【关键词】一次函数的性质；圆的基本性质；勾股定理；全等三角形28．（2015江苏常州，28，10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图象与一次函数y ＝41x 的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△P AB 的面积；（2）设直线P A 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠P AQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．【考点解剖】本题考查了一次函数、反比例函数的性质、不规则图形的面积以及利用正切证明两个角度相等等知识，解题的关键是如何灵活运用类比思想解决问题.【解题思路】过点P 作PE ⊥x 轴，分别过点A ，点B 作AE ⊥PE 于E ，作B H ⊥PE 于H ．（1）先由点B 在y ＝41x 的图象上，求出点B 的坐标，代入反比例函数，求出k 的值，而△P AB 是一个不规则的图形，求面积的时候，可通过作辅助线，转化为规则图形求面积；（2）要证明△PMN 是等腰三角形，只需证明∠PNM ＝∠PMN ，而这两个角又分别等于它们的同位角∠PB H ，∠P AE ，所以考虑利用正切，先证明∠PBH ＝∠P AE ；（3）利用（2）得出的结论，很容易证明∠QAD ＝∠QBC ，∠P AE ＝∠PBH ，两式相减即可证明得到∠P AQ ＝∠PBQ ．【解答过程】解：过点P 作PE ⊥x 轴，分别过点A ，点B 作AE ⊥PE 于E ，作B H ⊥PE 于H ．（1）∵一次函数y ＝41x 的图象经过B ，点B 的横坐标是4． ∴B (4，1)，∵y ＝xk 的图象经过B (4，1)，∴k ＝4．∴A (－4，－1). ∴S △P AB ＝S △APE ＋S PEFB －S △ABF ＝12×5×5＋12×(5＋2)×3－12×2×8＝15． （2）设P (a ，4a )，∵t a n ∠P AE ＝4114PE a AE a a +==+，t a n ∠PBH ＝4114PH a BH a a-==-， ∴∠P AE ＝∠PBH ，∵∠P AE ＝∠PMN ，∠PBH ＝∠PNM ，∴∠PNM ＝∠PMN ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形.（3）过点Q 作PD ⊥x 轴，分别过点A ，点B 作AD ⊥QD 于D ，作BC ⊥QD 于C ．由（2）中结论可证：∠QAD ＝∠QBC ，∠P AE ＝∠PBH ，∴∠P AQ ＝∠PBQ ．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是第3问动点问题解决角度关系时，由于分析不到位，不能类比解决问题.【方法规律】（1）不规则图形的面积，常考虑构造辅助线，将之转化为规则图形面积的和差形式；（2）“等角对等边”是证明等腰三角形常用的手段；（3）函数图象上的动点常考虑先设出点的坐标，利用题中的相等关系，列出方程解决问题．【试题难度】★★★★★【关键词】反比例函数的性质；一次函数；三角函数；等腰三角形；不规则图形的面积；动点问题。

江苏常州市中考数学试题及解析YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）（2015?潜江）﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3 C．D．2．（2分）（2015?常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x ＞2 B．x ＜2 C．x≠﹣2 D ．x≠23．（2分）（2015?常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2015?常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．（2分）（2015?常州）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．A O=OD B．A O⊥OD C．A O=OC D．A O⊥AB6．（2分）（2015?常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．（2分）（2015?常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．（2分）（2015?常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）（2015?常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=．10．（2分）（2015?常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为．11．（2分）（2015?常州）分解因式：2x2﹣2y2=．12．（2分）（2015?常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是．13．（2分）（2015?常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是．14．（2分）（2015?常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．15．（2分）（2015?常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．16．（2分）（2015?常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．17．（2分）（2015?常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个着名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．18．（2分）（2015?常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）（2015?常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．20．（8分）（2015?常州）解方程和不等式组：（1）；（2）．21．（8分）（2015?常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）（2015?常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．23．（8分）（2015?常州）如图，在?ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．24．（8分）（2015?常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）（2015?常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．26．（10分）（2015?常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与?ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．27．（10分）（2015?常州）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．28．（10分）（2015?常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．2015年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）（2015?潜江）﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3 C．D．考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（2分）（2015?常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B ．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．解答：解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．点评：此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．3．（2分）（2015?常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．点评：本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（2分）（2015?常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°考点：平行线的性质；垂线．专题：计算题．分析：由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．解答：解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°，故选C．点评：此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．（2分）（2015?常州）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．A O=OD B．A O⊥OD C．A O=OC D．A O⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．6．（2分）（2015?常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b考点：实数大小比较．专题：计算题．分析：将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．解答：解：∵a==，b==，c==，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故选A．点评：此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．7．（2分）（2015?常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．解答：解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．8．（2分）（2015?常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2考点：翻折变换（折叠问题）．分析：当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．解答：解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．点评：本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）（2015?常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=1．考点：负整数指数幂；零指数幂．分析：分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：（π﹣1）0+2﹣1 =1+=1．故答案为：1．点评：本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．10．（2分）（2015?常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为×105．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．解答：解：696 000=×105．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（2分）（2015?常州）分解因式：2x2﹣2y2=2（x+y）（x﹣y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．解答：解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．（2分）（2015?常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是27π．考点：扇形面积的计算．分析：利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．解答：解：设扇形的半径为r．则=6π，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为：27π．点评：此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．13．（2分）（2015?常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是6．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．解答：解：∵DE∥BC，∴，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴，解得BC=6．故答案为：6．点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．14．（2分）（2015?常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．考点：一元一次方程的解．专题：计算题．分析：把x=2代入方程计算即可求出a的值．解答：解：把x=2代入方程得：3a=a+2，解得：a=．故答案为：．点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．（2分）（2015?常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．分析：此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．解解：∵y=﹣x2+2x﹣3答：=﹣（x2﹣2x+1）﹣2=﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．点评：本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．16．（2分）（2015?常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是（400，800）．考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．分析：根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．解答：解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．17．（2分）（2015?常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个着名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据以上等式得出规律进行解答即可．解答：解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和点评：此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．18．（2分）（2015?常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．解答：解：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案为：．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）（2015?常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，当x=2时，原式=8+1=9．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）（2015?常州）解方程和不等式组：（1）；（2）．考点：解分式方程；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．解答：解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，解得：x=，经检验x=是分式方程的解；（2），由①得：x＞﹣2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．点评：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）（2015?常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．分析：（1）利用小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以小时的百分数，即可求出小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．解答：解：（1）由题意可得：小时的人数为：100人，所占比例为：20%，∴本次调查共抽样了500名学生；（2）小时的人数为：500×=120（人）如图所示：（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．点评：此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．22．（8分）（2015?常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P（甲第一个出场）==；（2）甲比乙先出场的情况有3种，则P（甲比乙先出场）==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2015?常州）如图，在?ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．分析：（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．点评：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（8分）（2015?常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．解答：解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，∴m=9，∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费元，∴（5﹣3）n+9=，解得：n=．∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=（x﹣3）+9=+（x＞3）．（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣=（元），乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：×7+=（元）∵＜，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．点评：本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键25．（8分）（2015?常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．解答：解：（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）设DE=x，则AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF==x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，∴AB=+1点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．26．（10分）（2015?常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与?ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．考点：相似形综合题．分析：（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF?EH=DF?AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．解答：解：（1）如图①，连接AH，EH，，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，，∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DM，∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH与矩形ABMN等积，∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，，∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°．∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE．∴，即DH2=MD×DE．又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，∴，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CF?EH=DF?AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．点评：（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．27．（10分）（2015?常州）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．考点：圆的综合题．分析：（1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA 的长度，从而可求得点P的坐标；（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．解答解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，所以点A的坐标为（4，0）；。

知典教育中学数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1．－3的绝对值是（）A．3 B．－3 C．31D．－312．要使分式23x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是（）EDCA．70°B．60°C．50°D．40°5．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）ODCAA．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB6．已知a＝22，b＝33，c＝55，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ）A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）A ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________． 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________． 15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．m ）17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7； 6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC的长是_______________．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴xx x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．⑴求甲第一个出场的概率；⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF 都是正三角形．⑴求证：AE＝AF；⑵求∠EAF的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院⑴求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．C⑴若AD＝2，求AB；⑵若AB ＋CD ＝23＋2，求AB ．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．D⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．⑷拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．常州市2015年中考数学试题答案一、选择题（每小题2分，共16分）1、A2．D3．B4．C5．C6．A7．D8．B二、填空题（每小题2分，共20分）三、解答题（共10小题，共84分）。

2015年江苏省常州市中考真题数学一、选择题(每小题2分，共16分)1. -3的绝对值是( )A.3B.-3C.1 3D.-1 3解析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出.|-3|=-(-3)=3. 答案：A2.要使分式32x-有意义，则x的取值范围是( )A.x＞2B.x＜2C.x≠-2D.x≠2解析：要使分式32x-有意义，须有x-2≠0，即x≠2，答案：D3.下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是( )A.B.C.D.解析：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误.答案：B4.如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°解析：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°-∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°.答案：C5.如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是( )A.AO=ODB.AO ⊥ODC.AO=OCD.AO ⊥AB解析：对角线不一定相等，A 错误；对角线不一定互相垂直，B 错误；对角线互相平分，C 正确；对角线与边不一定垂直，D 错误.答案：C6.已知a=2，b=3，c=5，则下列大小关系正确的是( ) A.a ＞b ＞cB.c ＞b ＞aC.b ＞a ＞cD.a ＞c ＞b解析：∵a=2，b=3c=5a ＞b ＞c. 答案：A.7.已知二次函数y=x 2+(m-1)x+1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是( ) A.m=-1B.m=3C.m ≤-1D.m ≥-1解析：抛物线的对称轴为直线x=-12m -， ∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而增大，∴-12m -≤1，解得m ≥-1. 答案：D8.将一张宽为4cm 的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )A.832 B.8cm 2C.163cm 2D.16cm 2解析：如图，当AC ⊥AB 时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm ，∴S △ABC =12×4×4=8cm 2. 答案：B二、填空题(每小题2分，共20分)9.计算(π-1)0+2-1= .解析：分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.(π-1)0+2-1=1+12=112.答案：11 210. 太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 . 解析：696 000=6.96×105.答案：6.96×10511.分解因式：2x2-2y2= .解析：2x2-2y2=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).答案：2(x+y)(x-y).12.已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 .解析：设扇形的半径为r.则120180rπ=6π，解得r=9，∴扇形的面积=21209360π⨯=27π.答案：27π13.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 .解析：∵DE∥BC，∴AD DE AB BC=，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴1212BC=+，解得BC=6.答案：614.已知x=2是关于x的方程a(x+1)=12a+x的解，则a的值是 .解析：把x=2代入方程得：3a=12a+2，解得：a=45. 答案：45. 15.二次函数y=-x 2+2x-3图象的顶点坐标是 .解析：∵y=-x 2+2x-3=-(x 2-2x+1)-2=-(x-1)2-2，故顶点的坐标是(1，-2).答案：(1，-2)16.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A(400，300)，从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是 .解析：连接AC ，由题意可得：AB=300m ，BC=400m ，在△AOD 和△ACB 中，∵AD AB ODA ABC DO BC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AOD ≌△ACB(SAS)，∴∠CAB=∠OAD ，∵B 、O 在一条直线上，∴C ，A ，D 也在一条直线上，∴AC=AO=500m ，则CD=AC=AD=800m ，∴C 点坐标为：(400，800).答案：(400，800)17.数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想.4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是 (请用文字语言表达).解析：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和.答案：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和18.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 .解析：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，∴弧BC=弧CD，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE 和△CDF 中，CBE D E CFD CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△CBE ≌△CDF ，∴BE=DF ，在△AEC 和△AFC 中，E AFC EAC FAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AEC ≌△AFC ，∴AE=AF ，设BE=DF=x ，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x ，解得：x=1，即AE=4，∴AC=cos30AE ︒=3，三、解答题(共10小题，共84分)19.先化简，再求值：(x+1)2-x(2-x)，其中x=2.解析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值.答案：原式=x 2+2x+1-2x+x 2=2x 2+1，当x=2时，原式=8+1=9.20.解方程和不等式组： (1)123113x x x=---； (2)24012 5.x x +⎧⎨--⎩＞，＞ 解析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集. 答案：(1)去分母得：x=6x-2+1，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解. (2)240125x x +⎧⎨--⎩＞，＞，①②由①得：x ＞-2，由②得：x ＜3，则不等式组的解集为-2＜x ＜3.21.某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：(1)该调查小组抽取的样本容量是多少？(2)求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；(3)请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.解析：(1)利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；(2)利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；(3)计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可.答案：(1)由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，∴本次调查共抽样了500名学生.(2)1.5小时的人数为：500×2.4=120(人)，如图所示：(3)根据题意得：1000.52001120 1.580210020012080⨯+⨯+⨯+⨯+++=1.18，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时.22.甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.(1)求甲第一个出场的概率；(2)求甲比乙先出场的概率.解析：(1)画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；(2)找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率.答案：(1)画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P(甲第一个出场)= 2163=.(2)甲比乙先出场的情况有3种，则P(甲比乙先出场)=31 62 =.23.如图，在□ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF 都是正三角形.(1)求证：AE=AF；(2)求∠EAF的度数.解析：(1)由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；(2)由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数.答案：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，AB DFABE FDA BE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABE≌△FDA(SAS)，∴AE=AF.(2)∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°-60°=60°.24.已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元.若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费.(1)求m，n的值，并直接写出车费y(元)与路程x(公里)(x＞3)之间的函数关系式；(2)如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？解析：(1)根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n 元/公里计费.当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；(2)分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论.答案：(1)∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，∴m=9，∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，∴(5-3)n+9=12.6，解得：n=1.8.∴车费y(元)与路程x(公里)(x＞3)之间的函数关系式为：y=1.8(x-3)+9=1.8x+3.6(x＞3).(2)小张剩下坐车的钱数为：75-15-25-9-12.6=13.4(元)，乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2(元)∵13.4＜16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学.25.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°.(1)若AD=2，求AB；(2)若+2，求AB.解析：(1)在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；(2)设DE=x，利用(1)的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果.答案：(1)过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠ABC=360°-45°-45°-105°=165°，∴∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴， ∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°-45°-30°=30°，∴BE=tan 30DE ==︒，∴. (2)设DE=x ，则AE=x ，BE=tan 30x ==︒，∴， ∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF=12BD=x ，∴=，∴CF=3x ，∵x ，，+2，∴26.设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图)，画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积)，那么这样的等积转化称为ω的“化方”.(1)阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积.理由：连接AH，EH.∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°.∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ .∴AD DHDH DE，即DH2=AD×DE.又∵DE=DC，∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积.(2)操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形.如图②，请用尺规作图作出与?ABCD等积的矩形(不要求写具体作法，保留作图痕迹).(3)解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 (填写图形名称)，再转化为等积的正方形.如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图).(4)拓展探究n边形(n＞3)的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n-1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方.如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图).解析：(1)首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可.(2)首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆.延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可.(3)首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆.延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边.(4)首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF·EH=DF·AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可.答案：(1)如图①，连接AH，EH，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°.∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE.∴AD DHDH DE，即DH2=AD×DE.又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积.(2)作法：①过A、D作AN、DM分别垂直BC于N、M；②延长AD，取DE=DM；③以AE为直径作半圆O；④延长MD交半圆O于H；⑤以H、D作正方形HDFG，则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形. 证明：∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°. ∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE.∴AD DHDH DE，即DH2=AD×DE.又∵DE=DM，∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH与矩形ABMN等积，∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积.(3)作法：①过A点作AD垂直BC于D；②作AD的垂直平分线，取AD中点E；③过E作BC平行线，作长方形BCGF，则S矩形BCGF=S△ABC；其他步骤同(2)可作出其等积正方形.(4)作法：①过A点作BD平行线l；②延长CD交平行线与E点；③连接BE，则S四边形ABCD=S△EBC，同(3)可作出其等积正方形.△BCE 与四边形ABCD 等积，理由如下：∵BD ∥l ，∴S △ABD =S △EBD ，∴S △BCE =S 四边形ABCD ，即△EBC 与四边形ABCD 等积.27.如图，一次函数y=-x+4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合.(1)写出点A 的坐标；(2)当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.(3)若点M 在直线l 上，且∠POM=90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S 1、S 2，求1211S S 的值. 解析：(1)将y=0代入y=-x+4，求得x 的值，从而得到点A 的坐标；(2)首先根据题意画出图形，然后在Rt △BOA 中，由勾股定理得：AB 的长度，然后由全等三角形的性质求得QA 的长度，从而得到BQ 的长，然后根据PA=BQ 求得PA 的长度，从而可求得点P 的坐标；(3)首先根据题意画出图形，设AP=m ，由△OAM ∽△PAO ，可求得AM 的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径(用含m 的式子表示)，然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可.答案：(1)令y=0，得：-x+4=0，解得x=4，所以点A 的坐标为(4，0)；(2)存在.理由：如图所示：∵∠OBA=∠BAP ，∴它们是对应角，∴BQ=PA ，将x=0代入y=-x+4得：y=4，∴OB=4，由(1)可知OA=4，在Rt △BOA 中，由勾股定理得：AB =.∵△BOQ ≌△AQP.∴QA=OB=4，BQ=PA.∵-4，∴-4.∴点P 的坐标为(4，-4).(3)如图所示：令PA=a ，MA=b ，△OAP 外接圆的圆心为O 1，△OAM 的外接圆的圆心为O 2，∴OP 2=OA 2+PA 2=42+a 2=16+a 2，OM 2=OA 2+MA 2=42+b 2=16+b 2，在Rt △POM 中，PM 2=OP 2+OM 2=a 2+16+b 2+16，又∵PM 2=(PA+AM)2=(a+b)2=a 2+2ab+b 2，∴ab=16，∵O 1A 2=O 1Q 2+QA 2=(2OA )2+(2PA )2=14a 2+4，O2A 2=O2N 2+NA 2=(2OA )2+(2MA )2=14b 2+4，∴S 1=π×O 1A 2=(14a 2+4)π，S 2=π×O 2A 2=(14b 2+4)π， ∴12121211S S S S S S ++==2222444114411444a b a b ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯++⨯+⨯+⨯⨯+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=222222416161416161616a b a b ππ+++⨯=+++28.如图，反比例函数y=k x 的图象与一次函数y=14x 的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4.点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方.(1)若点P 的坐标是(1，4)，直接写出k 的值和△PAB 的面积；(2)设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；(3)设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点(与点P 、B 不重合)，连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由.解析：(1)过点A 作AR ⊥y 轴于R ，过点P 作PS ⊥y 轴于S ，连接PO ，设AP 与y 轴交于点C ，如图1，可根据条件先求出点B 的坐标，然后把点B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k ，然后求出直线AB 与反比例函数的交点A 的坐标，从而得到OA=OB ，由此可得S △PAB =2S △AOP ，要求△PAB 的面积，只需求△PAO 的面积，只需用割补法就可解决问题；(2)过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图2.可用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点N 的坐标，同理可得到点M 的坐标，进而得到MH=NH ，根据垂直平分线的性质可得PM=PN ，即△PMN 是等腰三角形；(3)过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，设AQ 交x 轴于D ，QB 的延长线交x 轴于E ，如图3.可设点Q 为(c ，4c)，运用待定系数法求出直线AQ 的解析式，即可得到点D 的坐标为(c-4，0)，同理可得E(c+4，0)，从而得到DT=ET ，根据垂直平分线的性质可得QD=QE ，则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ.答案：(1)k=4，S △PAB =15.过点A 作AR ⊥y 轴于R ，过点P 作PS ⊥y 轴于S ，连接PO ，设AP 与y 轴交于点C ，如图1，把x=4代入y=14x ，得到点B 的坐标为(4，1)， 把点B(4，1)代入y=k x ，得k=4. 解方程组414y x y x⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，，得到点A 的坐标为(-4，-1)， 则点A 与点B 关于原点对称，∴OA=OB ，∴S △AOP =S △BOP ，∴S △PAB =2S △AOP .设直线AP 的解析式为y=mx+n ，把点A(-4，-1)、P(1，4)代入y=mx+n ，求得直线AP 的解析式为y=x+3，则点C 的坐标(0，3)，OC=3，∴S △AOP =S △AOC +S △POC =12OC ·AR+12OC ·PS=12×3×4+12×3×1=152，∴S △PAB =2S △AOP =15. (2)过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图2.B(4，1)，则反比例函数解析式为y=4x，设P(m，4m)，直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立414m ma ba b=+-=-+⎧⎨⎩，，解得直线PA的方程为y=1mx+4m-1，联立441m mp qp q=+⎧⎨+=⎩，，解得直线PB的方程为y=-1mx+4m+1，∴M(m-4，0)，N(m+4，0)，∴H(m，0)，∴MH=m-(m-4)=4，NH=m+4-m=4，∴MH=NH，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形.(3)∠PAQ=∠PBQ.理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3.可设点Q为(c，4c)，直线AQ的解析式为y=px+q，则有414p qcp qc-+=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，，解得：141pcqc⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，∴直线AQ的解析式为y=1cx+4c-1.当y=0时，1cx+4c-1=0，解得：x=c-4，∴D(c-4，0).同理可得E(c+4，0)，∴DT=c-(c-4)=4，ET=c+4-c=4，∴DT=ET，∴QT垂直平分DE，∴QD=QE，∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE，∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN-∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM-∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

故选：B .第1页（共23页）2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题 2分，共16分） 13的绝对值是（） A . 3B . - 3C .3考点： 绝对值.分析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出. 解答： 解：-3|=-（ - 3） =3. 故选：A .点评： 考查绝对值的概念和求法. 绝对值规律总结： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.B . x v 2考点：分式有意义的条件. 专题： 计算题.分析： 根据分式有意义得到分母不为 0,即可求出x 的范围. 解答： 解：要使分式一亠有意义，须有x -2用，即x 老，x _ 2故选D .点评： 此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0 .3. （ 2分）（2015?常州）下列 慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行 ”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）考点： 轴对称图形.分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案. 解答： 解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；2. （ 2分）（2015?常州）要使分式 3_…有意义，贝U x 的取值范围是（AB. AB、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误.点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分沿对称轴折叠后可重合.4. （ 2分）（2015?常州）如图，BC 丄AE 于点C , CD // AB ，/ B=40 °则/ ECD 的度数是A . 70°B . 60°C . 50°D . 40考点：平行线的性质；垂线. 专题： 计算题.分析： 由BC 与AE 垂直，得到三角形 ABC 为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余, 求出/ A 的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出/ ECD 的度数.解答： 解：T BC 丄AE , •••/ ACB=90 °在 Rt △ ABC 中，/ B=40 ° •••/ A=90 °-Z B=50 ° •/ CD // AB , •••/ ECD= / A=50 ° 故选C .点评： 此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.5. （ 2分）（2015?常州）如图，?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,则下列说法一定正 确的是（）考点： 平行四边形的性质.分析： 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可. 解答： 解：对角线不一定相等， A 错误； 对角线不一定互相垂直， B 错误； 对角线互相平分，C 正确； 对角线与边不一定垂直， D 错误. 故选：C .点评： 本题考查度数平行四边形的性质， 掌握平行四边形的对边平行且相等， 对角线互相平分是解题的关键.B . AO 丄 ODC . AO=OCD . AO 丄 ABA . AO=ODA . a >b >cB . c >b >aC . b >a >cD . a >c >b 考点： 实数大小比较.专题： 计算题.分析： 将a , b , c 变形后，根据分母大的反而小比较大小即可. 解答： 解：••• a 血卓,b=^J , c 血一 2 y2 3 V3 5 s•丄〉丄〉」_,即卩a > b > c , V3 V5故选A点评： 此题考查了实数比较大小，将 a , b , c 进行适当的变形是解本题的关键.2 7. （ 2分）（2015?常州）已知二次函数 y=x + （ m —1) X+1,当 i x > 1 时, y 随x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（ ）A . m= — 1B . m=3C . mW — 1D . m A —1 考点： 二次函数的性质. 分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 1列式计算即可得解.解答： 解：抛物线的对称轴为直线 x=-曲° 1,)6.（ 2分）（2015?常州）已知厂，b =，c =二则下列大小关系正确的是（ 2 •.•当x > 1时，y 的值随x 值的增大而增大， •—叶 •-,汕 解得m A 1. 故选D . 点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等 式是解题的关键. & （ 2分）（2015?常州）将一张宽为 4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重 叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ） B . 28cm考点： 翻折变换（折叠冋题）.分析： 当AC 丄AB 时，重叠三角形面积最小，此时△ ABC 是等腰直角三角形，面积为8cm .是解题的关键.第5页(共23页)解答： 解：如图，当AC 丄AB 时，三角形面积最小, •••/ BAC=90 ° ACB=45 ° /• AB=AC=4cm , 2S A ABC=二X4X4=8cm .2的关键.、填空题（每小题 2分，共20 分）0 -1 19. （ 2 分）（2015?常州）计算（n- 1） +2 = 「考点： 负整数指数幂；零指数幂.分析： 分别根据零指数幕，负整数指数幕的运算法则计算, 计算结果.解答：解：（n- 1） °+2-1=1 + =1 .故答案为：1 '.2点评：本题主要考查了零指数幕，负整数指数幕的运算.负整数指数为正整数指数的倒数; 任何非0数的0次幕等于1 .10. （2分）（2015?常州）太阳半径约为 696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为56.96X10 .考点： 科学记数法一表示较大的数. 专题： 应用题.分析： 科学记数法的表示形式为 aX10n 的形式，其中1弓a|v 10, n 为整数.本题中696 000 有6位整数，n=6 - 1=5. 解答： 解：696 000=6.96 X 05.点评： 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a X 0n 的形式，其中1哼a| v 10, n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.2 22x - 2y 二 2 （x+y ） （x — y ）点评： 本题考查了折叠的性质，发现当 AC 丄AB 时，重叠三角形的面积最小是解决冋题然后根据实数的运算法则求得11. （2分）（2015?常州）分解因式:考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.解答：解：2x2- 2y2=2 (x2- y2) =2 ( x+y) (x - y).故答案为：2 (x+y) (x - y).点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.12. ( 2分)(2015?常州)已知扇形的圆心角为120°弧长为6n,则扇形的面积是27n考点：扇形面积的计算.分析：利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积.解答：解：设扇形的半径为r.则■- =6n,180解得r=9,•••扇形的面积=」「「'「=27 n.360故答案为：27 n.点评：此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式1=：扇形180的面积公式s=^ ''.36013. （2 分）（2015?常州）如图，在△ ABC 中，DE // BC , AD : DB=1 : 2, DE=2，贝U BC 的长是 6 .考点：相似三角形的判定与性质.分析：由平行可得对应线段成比例，即AD : AB=DE : BC,再把数值代入可求得BC .解答：解：T DE // BC ,•辿卫•/ AD : DB=1 : 2 , DE=2 ,..::…—，解得BC=6 .是解题的关键.第5页(共23页)故答案为：6.点评： 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段14 14. （2分）（2015?常州）已知x=2是关于x 的方程a （x+1 ） = a+x 的解，则a 的值是_ -25考点： 一元一次方程的解. 专题： 计算题.分析： 把x=2代入方程计算即可求出 a 的值. 解答： 解：把x=2代入方程得：3aJ a+2,2解得：a=±5故答案为：-.5点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的 值.215. （2分）（2015?常州）二次函数 y= - x +2x - 3图象的顶点坐标是 （1,- 2）.考点： 二次函数的性质.2分析： 此题既可以利用y=ax +bx+c 的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求 出其顶点的坐标.解答： 解：T y= - x 2+2x - 3 =-（x 2- 2x+1 ）- 2 2小=-（x - 1 ） - 2, 故顶点的坐标是（1,- 2）. 故答案为（1 , - 2）.点评： 本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法 ①公式法，②配方法.16. （2分）（2015?常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的 入口位于坐标原点 O ,古塔位于点A （400, 300）,从古塔出发沿射线 OA 方向前行300m 是盆景园B ,从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ,则点C 的坐标是（400,考点：勾股疋理的应用；坐标确疋位置；全等二角形的应用.分析： 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出 △ AOD ◎△ ACB （ SAS ），进而得出C ,A ，D 也在一条直线上，求出 CD 的长即可得出 C 点坐标.解答：解：连接AC ,由题意可得：AB=300m , BC=400m , 在厶AOD 和△ ACB 中rAD=AB「ZODA F ZABC ,L DO=BC•••△ AOD ◎△ ACB （ SAS ）, •••/ CAB= / OAD , ••• B 、O 在一条直线上，• C , A , D 也在一条直线上，• AC=AO=500m ，贝U CD=AC=AD=800m , • C 点坐标为：（400, 800）.点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出 C , A , D 也在一条直线上是解题关键.17. （2分）（2015?常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜 想. 12=5+7; 14=3+11=7+7; 16=3+13=5+11 ;18=5+13=7+11 ; 通过这组等式，你发现的规律是 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）.考点：规律型：数字的变化类.分析：根据以上等式得出规律进行解答即可. 解答： 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和,故答案为：所有大于 2的偶数都可以写成两个素数之和点评： 此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可.18. （2分）（2015?常州）如图，在O O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3 , AD=5 , / BAD=60 °4=2+2; 6=3+3; 8=3+5;10=3+7=5+5点C为弧BD的中点，贝U AC的长是三一—3 —考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.分析：过 C 作CE 丄AB 于E, CF 丄AD 于F，得出/ E= / CFD= / CFA=90 ° 推出1: ：：＞^：|'i, 求出/ BAC= / DAC , BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出/ D= / CBE，证△ CBE ◎△ CDF，推出BE=DF，证△ AEC ◎△ AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x , 求出x,解直角三角形求出即可.解答：解：-过C作CE丄AB于E, CF丄AD于F, 则/ E= / CFD= / CFA=90 °•••点C为弧BD的中点，•••：■'= H,•••/ BAC= / DAC , BC=CD ,•/ CE 丄AB , CF丄AD ,•CE=CF,••• A、B、C、D四点共圆，•••/ D= / CBE ,在厶CBE和厶CDF中f ZCBE=ZD“ ZE=ZCFDCE=CF•••△ CBE◎△ CDF ,•BE=DF ,在厶AEC和厶AFC中'Z E=Z AFC、ZEAC=ZFACAC=ACL•••△ AEC ◎△ AFC , ••• AE=AF , 设 BE=DF=x , ■/ AB=3 , AD=5 ,• AE=AF=x+3 , • 5=x+3+x ,解得：x=1 , 即 AE=4 ,• AC=[cos30 3故答案为：：3点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等 三角形的性质和判定的应用， 能正确作出辅助线是解此题的关键， 综合性比较强，难度适中.三、解答题（共10小题，共84分）219. （6分）（2015?常州）先化简，再求值： （x+1） - x （2 - x ）,其中x=2 . 考点：整式的混合运算一化简求值. 专题： 计算题.分析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算， 去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值. 2 2 2解答： 解：原式=x +2x+1 - 2x+x =2x +1 , 当x=2时，原式=8+1=9 .点评： 此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.20. （ 8分）（2015?常州）解方程和不等式组：考点： 解分式方程；解一元一次不等式组. 专题： 计算题.分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2 ）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集. 解答： 解：（1）去分母得：x=6x - 2+1, 解得：x=,5经检验x=是分式方程的解；5(1)(2)r2x+4>0 1 - 2x> - 5.3x- 11 -f2x+4>0® |1 -2x>- 5@由①得：x >— 2, 由②得：x v 3,则不等式组的解集为-2v x v 3.点评： 此题考查了解分式方程， 以及解一元一次不等式组， 熟练掌握运算法则是解本题的 关键.21. ( 8分)(2015?常州)某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中(1 )该调查小组抽取的样本容量是多少？ (2)求样本学生中阳光体育运动时间为 1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图;(3) 请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间. 考点： 频数(率)分布直方图；扇形统计图；加权平均数.分析： (1)利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量; (2) 利用样本容量乘以 1.5小时的百分数，即可求出 1.5小时的人数，画图即可； (3) 计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可.解答： 解：(1)由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20% , •••本次调查共抽样了 500名学生； (2) 1.5小时的人数为：500 >2.4=120 (人)（3）根据题意得：• ，「 ■： :•，即该市中小学生一天中100+200+120+80阳光体育运动的平均时间约 1小时.阳光体育运动时间进行了抽样调查,点评：此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键.22. （8分）（2015?常州）甲，乙，丙三位学生进入了校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率.考点：列表法与树状图法.专题：计算题.分析：（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率.解答：解：（1）画树状图如下：开始7丙甲乙z\乙丙甲丙甲乙/ \ 1 \/ \丙乙丙甲乙耳所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P （甲第一个出场）=-■;6 3（2）甲比乙先出场的情况有3种，则P （甲比乙先出场）-亠一.6 2点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率-所求情况数与总情况数之比.23. （8分）（2015?常州）如图，在？ABCD中，/ BCD-120 °分别延长DC、BC到点E, F, 使得△ BCE和△ CDF都是正三角形.(1) 求证:AE-AF ;(2) 求/ EAF的度数.D考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质.分析：（1）由平行四边形的性质得出/ BAD= / BCD=120 ° / ABC= / ADC , AB=CD , BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，/ EBC= / CDF=60 °证出/ ABE= / FDA , AB=DF , BE=AD，根据SAS证明△ ABE FDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出/ AEB= / FAD，求出/ AEB+ / BAE=60 °得出/ FAD+ / BAE=60 °即可得出/ EAF的度数.解答：（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•••/ BAD= / BCD=120 ° / ABC= / ADC , AB=CD , BC=AD ,•/△ BCE和厶CDF都是正三角形，•BE=BC , DF=CD，/ EBC= / CDF=60 °•••/ ABE= / FDA , AB=DF , BE=AD ,r AB=DF在厶ABE和厶FDA中，■乙牡,BE=ADL•••△ ABE ◎△ FDA （SAS）,•AE=AF ;（2）解：•••△ ABE ◎△ FDA ,•••/ AEB= / FAD ,•••/ ABE=60 °+60°=120 °•••/ AEB+ / BAE=60 °•••/ FAD+ / BAE=60 °•••/ EAF=120。

精品文档2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．﹣3的绝对值是（）．D ．﹣3C．3A．B考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（?）2．（2分）（2015D．x≠2 A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2解答：，故选D．点评：此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．3．（2分）（2015?常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）．C．D A ．B．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．精品文档．精品文档点评：本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（2分）（2015?常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°考点：平行线的性质；垂线．专题：计算题．分析：由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．解答：解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°，故选C．点评：此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．（2分）（2015?常州）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．精品文档．精品文档c=，则下列大小关系正确的是（b=，）（2分）（2015?常州）已知a=，6．A．a＞b＞c B．c ＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b考点：实数大小比较．专题：计算题．分析：将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．＜，=，，且c=解答：解：∵a===，b=＜，即a＞＞b＞c∴，＞故选A．点评：此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．2的增大而增x时，y随x+1，当x＞1?分）（2015常州）已知二次函数y=x+（m﹣1）7．（2 ）大，而m的取值范围是（1 ≥m﹣﹣1 D．．m=3 C．m≤1 A．m=﹣B二次函数的性质．考点：1列式计算即可得解．分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于﹣，解答：解：抛物线的对称轴为直线x= 值的增大而增大，y的值随x∵当x＞1时，≤1，∴﹣解得m≥﹣1．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．8．（2分）（2015?常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）2222．cm 16cm8A．cm B．cm C．D考点：翻折变换（折叠问题）．2分析：当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm．精品文档．精品文档AB时，三角形面积最小，AC解答：解：如图，当⊥ACB=45°∵∠BAC=90°∠AB=AC=4cm，∴2．×4×∴S△4=8cmABC= ．故选：B时，重叠三角形的面积最小是解决问题⊥AB 本题考查了折叠的性质，发现当AC点评：的关键．20分）二、填空题（每小题2分，共01﹣+2）=．19．（2分）（2015?常州）计算（π﹣1负整数指数幂；零指数幂．考点：然后根据实数的运算法则求得分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，分析：计算结果．01﹣+21解：（π﹣）解答：=1+．=1故答案为：．1负整数指数为正整数指数的倒数；负整数指数幂的运算．点评：本题主要考查了零指数幂，．数的0次幂等于1任何非0696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为．10（2分）（2015?常州）太阳半径约为5 10．6.96×科学记数法—表示较大的数．考点：专题：应用题．n696 000本题中n|a|＜10，为整数．的形式，分析：科学记数法的表示形式为a×10其中1≤．6位整数，n=6﹣1=5有5 696 000=6.96解：×10．解答：n|a|其中1≤此题考查科学记数法的表示方法．点评：科学记数法的表示形式为a×10的形式，的值．的值以及10，n为整数，表示时关键要正确确定an＜22．yx）（2y2x?（2．11（分）2015常州）分解因式：﹣=2x+y（﹣）精品文档．精品文档考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．2222解答：解：2x﹣2y=2（x﹣y）=2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．（2分）（2015?常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是27π．考点：扇形面积的计算．分析：利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．解答：解：设扇形的半径为r．则=6π，解得r=9，==27π∴扇形的面积．．27π故答案为：；扇形l=点评：此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式的面积公式．S=13．（2分）（2015?常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是6．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．解答：解：∵DE∥BC，∴，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴，解得BC=6．故答案为：6．点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．精品文档．精品文档．a的值是x+1）=a+x的解，则（2分）（2015?常州）已知x=2是关于x的方程a（．14考点：一元一次方程的解．计算题．专题：a的值．分析：把x=2代入方程计算即可求出3a=a+2代入方程得：，解答：解：把x=2a=．解得：故答案为：．点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2）．（1，﹣2常州）二次函数y=﹣x+2x﹣3图象的顶点坐标是201515．（2分）（?二次函数的性质．考点：2的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求y=ax+bx+c分析：此题既可以利用出其顶点的坐标．23+2x﹣y=﹣x解答：解：∵22）﹣﹣﹣（x2x+1=2，）﹣2=﹣（x﹣1 ．2）1故顶点的坐标是（，﹣．2）故答案为（1，﹣配方公式法，②①点评：本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法法．常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的2015?2分）（16．（300m 方向前行，从古塔出发沿射线OA300，古塔位于点A（400，）入口位于坐标原点O，400的坐标是（C°B向左转90后直行400m到达梅花阁，则点C，从盆景园是盆景园B．800）考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．精品文档．精品文档分析：根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．解答：解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．17．（2分）（2015?常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据以上等式得出规律进行解答即可．解答：解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和点评：此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．精品文档．精品文档，BAD=60°AD=5，∠在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，（18．2分）（2015?常州）如图，的长是．点C为弧BD的中点，则AC考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．=，推出∠∠CFD=CFA=90°，于E，CF⊥AD于F，得出∠E=CE分析：过C作⊥AB求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．解：解答：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，=，∴∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中精品文档．精品文档∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，=，AC= ∴．故答案为：点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．三、解答题（共10小题，共84分）219．（6分）（2015?常州）先化简，再求值：（x+1）﹣x（2﹣x），其中x=2．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．222解答：解：原式=x+2x+1﹣2x+x=2x+1，当x=2时，原式=8+1=9．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）（2015?常州）解方程和不等式组：）；（1）．（2考点：解分式方程；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．解答：解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，x=，解得：x=是分式方程的解；经检验精品文档．精品文档），2 （由①得：x＞﹣2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．点评：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）（2015?常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．分析：（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．解答：解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，∴本次调查共抽样了500名学生；（2）1.5小时的人数为：500×2.4=120（人）如图所示：精品文档．精品文档）根据题意得：，即该市中小学生一天中（3阳光体育运动的平均时间约1小时．点评：此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．22．（8分）（2015?常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，=；=则P（甲第一个出场）（2）甲比乙先出场的情况有3种，=．P（甲比乙先出场）=则点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2015?常州）如图，在?ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．精品文档．精品文档考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．分析：（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，中，，△FDA 在△ABE和∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．点评：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（8分）（2015?常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．解答：解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，∴m=9，精品文档．精品文档∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，∴（5﹣3）n+9=12.6，解得：n=1.8．∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x ＞3）．（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）∵13.4＜16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．点评：本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键25．（8分）（2015?常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；AB+CD=2+2，求AB．（2）若考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC ﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．解答：解：（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，=，AE=DE= ∴∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，=，∴BE= =AB=；∴精品文档．精品文档=，BE= =（2）设DE=x，则AE=x，BD==2x，∴BDF=60°，∵∠DBF=30°，∴∠DF==x∴，=，BF= ∴=CF=，∴AB=AE+BE=，∵CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，AB=+1∴点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．26．（10分）（2015?常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．2．×DE，即∴DH=AD又∵DE=DC2∴DH=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．精品文档．精品文档如图②，请用尺规作图作出与?ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．考点：相似形综合题．分析：（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，2可得DH=AD×DC，据此判断即可．（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF?EH=DF?AG，据此判断出S=S，S=S，所以S=S，即△BCE与四边形ABCD BCE△AEICDI△△△△CEFADFABCD四边形等积，据此解答即可．精品文档．精品文档，，，AHEH 解：（1）如图①，连接解答：∵AE为直径，AHE=90°，∴∠HEA=90°．∴∠HAE+∠⊥AE，∵DH EDH=90°，∴∠ADH=∠°，∴∠HAD+∠AHD=90 HED，∴∠AHD=∠HDE．∴△ADH∽△，∴2即DH=AD×DE．又∵DE=DC，2∴DH=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．，，，EH 使E，DE=DM，连接AH如图（2）②，延长AD到的长和宽分别等于平行四边形ABCD 的底和高，∵矩形ADMN ABCD的面积，ADMN∴矩形的面积等于平行四边形AE为直径，∵°，∴∠AHE=90 ．∠∴∠HAE+HEA=90°，∵DH⊥AE ，∠EDH=90°∴∠ADH= AHD=90°，∴∠HAD+∠HED，∴∠AHD=∠．ADH∴△∽△HDE，∴2即DH=AD×DE．又∵DE=DM，2∴DH=AD×DM，精品文档．精品文档即正方形DFGH与矩形ABMN等积，∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，，∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°．∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE．∴，2即DH=MD×DE．又∵DE=DC，2∴DH=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，精品文档．精品文档∴，AG=2EH，∴CF=2DF，又∵AG，?EH=DF?∴CF =S，∴S ADFCEF△△，S∴=S AEI△△CDI，∴S=S BCE△ABCD四边形等积．BCE与四边形ABCD即△、矩形．AD×DC故答案为：△HDE、）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想1 （点评：的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．（2、Ay轴分别相交于点x+4的图象与x轴、（．10分）（2015?常州）如图，一次函数y=﹣27外接圆的交△OAPQ为直线AB与x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点B，过点A作A都不重合．、Q与点点，点P A的坐标；（1）写出点求出全等？如果存在，与△APQ是否存在点P使得△OQBl（2）当点P在直线上运动时，的坐标；如果不存在，请说明理由．点P外接圆的面积分别是△OAM，记△OAP外接圆和°（3）若点M在直线l上，且∠POM=90，求、S的值．S21圆的综合题．考点：A的坐标；x+4，求得x的值，从而得到点﹣）将分析：（1y=0代入y=的长度，然后由全ABBOA 中，由勾股定理得：△（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt的长度，PA的长，然后根据PA=BQ 求得BQQA等三角形的性质求得的长度，从而得到的坐标；从而可求得点P精品文档．精品文档（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．解答：解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，所以点A的坐标为（4，0）；（2）存在．理由：如图下图所示：将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，∴OB=4，由（1）可知OA=4，=4．AB= Rt在△BOA中，由勾股定理得：AQP．∵△BOQ≌△．BQ=PA∴QA=OB=4，﹣，AQ=4﹣4∵BQ=AB4PA=4﹣．∴4）．∴点P的坐标为（4，4﹣（3）如下图所示：∵OP⊥OM，∴∠1+∠3=90°．又∵∠2+∠1=90°，∴∠2=∠3．又∵∠OAP=∠OAM=90°，∴△OAM∽△PAO．精品文档．精品文档，∴，则：设AP=m，∴．AM=中，，PO=在Rt△OAPS，===∴1OM=中，在Rt=△，OAM，===∴S2=1∴==++．相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一本题主要考查的是全等三角形的性质，点评：次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得PA的长度是解题的关键．AM和、Ay=常州）如图，反比例函数xy=的图象与一次函数的图象交于点（28．（10分）2015?的上方．且在直线AB4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，点B，B的横坐标是PAB的面积；，直接写出k的值和△的坐标是（（1）若点P1，4）是等腰三角形；△PMN，求证：与x 轴分别交于点M、N、（2）设直线PAPB、AQB、不重合），连接BQ（3）设点是反比例函数图象上位于P、之间的动点（与点P PBQ的大小，并说明理由．与∠BQ，比较∠PAQ反比例函数与一次函数的交点反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；考点：问题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．精品文档．精品文档专题：综合题．分析：（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S=2S，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可AOPPAB△△解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N 的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D为（c的坐标为（c﹣4，设点Q0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．解答：解：（1）k=4，S=15．PAB△提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，y=x，得到点B的坐标为（4，1），把x=4代入y=，得k=4．（4，1）代入把点B解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S=S，BOP△△AOP∴S=2S．AOP△△PAB设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S=S+S POCAOCAOP△△△AR+OC?PS =OC?1=，4+×3=×3××∴S=2S=15；AOP △△PAB（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．设直线PB的解析式为y=ax+b，把点P（1，4）、B（4，1）代入y=ax+b，得精品文档．精品文档，解得：，x+5．的解析式为y=﹣∴直线PB x+5=0，当y=0时，﹣．05，）∴x=5，点N（，，0）同理可得M（﹣3 ，NH=5﹣1=4MH=1﹣（﹣3）=4，∴，∴MH=NH ，PH垂直平分MN∴，∴PM=PN 是等腰三角形；∴△PMN．∠PBQ（3）∠PAQ= 理由如下：3．x轴于E，如图交，设AQx轴于D，QB的延长线交作过点QQT⊥x轴于T y=px+q，则有，直线AQ为（可设点Qc的解析式为，），解得：，．x+∴直线AQ的解析式为﹣y=1，﹣当y=0时，1=0x+，﹣4解得：x=c）．﹣4，0D∴（c，0c+4，）同理可得E（，﹣c=44）=4，ET=c+4﹣∴DT=c﹣（c DT=ET，∴，QT∴垂直平分DE，∴QD=QE ．∠∴∠QDE=QED ，∠∵∠MDA=QDE精品文档．精品文档∴∠MDA=∠QED．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ．精品文档．精品文档点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．精品文档．。

2015年常州市中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1．－3的绝对值是 A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－31 2．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB 6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是 A ．m ＝－1 B ．m ＝3 C ．m ≤－1 D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是ABCA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 二、填空题（每小题2分，共20分）9．计算102)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________． 15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．COBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2． 20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x 21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图： ⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？ 25．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°． ⑴若AD ＝2，求AB ；⑵若AB ＋CD ＝23＋2，求AB ．CDAB26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD ，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FGHBCAE D ABCD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．A CB ADCB27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． ⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值． lyxOBQA P28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△P AB 的面积；⑵设直线P A 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形； ⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠P AQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．yxOABP。

2015年常州市中考数学试题及答案一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是 A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是ABCA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________． 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________． 15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7； 6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．COBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°． ⑴若AD ＝2，求AB ；⑵若AB ＋CD ＝23＋2，求AB ．CDAB26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD ，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FGHBCAE D ABCD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方． ⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．常州市2015年中考数学试题答案一、选择题（每小题2分，共16分）1、A2．D3．B4．C5．C6．A7．D8．B二、填空题（每小题2分，共20分）三、解答题（共10小题，共84分）。

2015年常州市中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1．－3的绝对值是 A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－31 2．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB 6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是 A ．m ＝－1 B ．m ＝3 C ．m ≤－1 D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是ABCA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 二、填空题（每小题2分，共20分）9．计算102)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________． 15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．COBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2． 20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x 21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图： ⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？ 25．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°． ⑴若AD ＝2，求AB ；⑵若AB ＋CD ＝23＋2，求AB ．CDAB26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD ，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FGHBCAE D ABCD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．A CB ADCB27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． ⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值． lyxOBQA P28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△P AB 的面积；⑵设直线P A 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形； ⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠P AQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．yxOABP。