数能之和倍问题(二)

四年级秋季第四讲和倍问题（二）1.和倍问题的结构特征：已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，我们把它叫作和倍问题。

解答时一般把最小的数看作1倍，先求出最小的数，然后再分别求出其他各数。

2.和倍问题的计算数量关系式：小数=两数和÷（倍数+1）。

大数=两数和-小数。

或者：大数=小数×倍数。

3.最好的解题方法：利用画线段图的方法来表示数量之间的关系。

典例精讲例1 学校有科技书和故事书共480本，科技书是故事书的3倍，两种书各有多少本？【思路点拨】为了便于理解题意，我们画图来分析：由右图可知，如果把故事书的本数看作1份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1+3=4份。

把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。

480÷（1+3）=120（本）120×3=360（本）或480-120=360（本）答：有故事书120本，科技书360本。

【详细解答】达标练习1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的质量是锡的5倍，铝和锡各用了多少千克？2.甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。

这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？例2少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？【思路点拨】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196（棵），这时杨树的棵数恰好是柳树的3倍，所以，柳树的棵数是196÷（1+3）=49（棵），杨树的棵数是216-49=167（棵）。

（216-20）÷（1+3）=49（棵）216-49=167（棵）答：柳树种了49棵，杨树种了167棵。

【详细解答】达标练习1.粮店有大米和面粉共6300千克，大米的质量比面粉的4倍多300千克，大米和面粉各有多少千克？2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分？3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段的比低年级段的3倍多8本，中年级段的比低年级段的2倍多4本，问高、中、低年级段的图书各有多少本？例3小华和小明共有邮票70张。

奥林匹克数学……和倍问题（二）12、水果店有苹果、梨、桃三种水果，共有45筐，梨的筐数是桃的2倍，苹果的筐数是梨的3倍。

三种水果各有多少筐？13、三块布共长36米，第二块布长是第一块的2倍，第三块布是第二块的3倍，三块布各长多少米？14、A、B、C三个油桶共装油81千克，A桶的油是C桶的3倍，B桶的油是C 桶的5倍。

A、B、C三个油桶各装油多少千克？15、停车场上停有大、中、小型汽车共50辆，其中大型车比小型车的2倍多1 辆，中型车是小型车的4倍。

这个停车场停有大、中、小型车各多少辆？16、学校买来三种球共66个，其中篮球个数是足球的2倍，排球个数比篮球的2倍多3个。

这三种球各有多少个？17、把一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是50，已知减数是差的4倍，减数是多少？18、在一个减法算式里，被减数、减数与差相加的和是40，已知减数是差的3 倍，求这个减法算式里的被减数、减数和差各是多少。

19、口袋里有红、黄、蓝各色珠子共55颗，其中红珠子的颗数是黄珠子的2倍，蓝珠子与红珠子同样多，蓝珠子有多少颗？20、一根电线长38米，把它截成三段，使第一段比第二段长6米，第三段是第一段的2倍，这三段电线各长多少米？21、A、B、C三个书架共有书65本，其中A书架上的书比B书架上书的多5本，C书架上的书是A书架上的书的3倍。

A、B、C三个书架各有书多少本？22、弟弟有图书15本，哥哥有图41本，弟弟给哥哥多少本后，哥哥的图书本数是弟弟的6倍？23、甲粮库有粮食34吨，乙粮库有粮食20吨，乙粮库运到甲粮库多少吨粮食后，甲粮库的粮食是乙粮库粮食的5倍？24、小明家有鸡、兔、羊共26只。

羊比兔少7只，鸡的只数是羊、兔的总和。

求鸡、兔和羊各有多少只？。

第八讲和倍问题（二）三个数的“和倍问题”与两个数的和倍问题相同，先找出一个标准量，即1倍数，用三个数的和除以三个数的倍数和，然后再分别求其它数。

例1、小红共有红、黄、白三色棋子共56粒，红棋的粒数是黄棋粒数的4倍，白棋的粒数是黄棋粒数的3倍，问三色的棋子各多少粒？分析与解题中红、白棋都有是以黄棋为标准，因此利用黄棋为标准，黄棋为1份，红棋为4份，白棋子是3份，那么总数应是（1+3+4）份。

1、三种棋子粒数相当于黄棋粒数的几倍4+3+1=82、黄棋有多少粒？56÷8=7（粒）3、红棋有多少粒？7×4=28（粒）4、白棋有多少粒？7×3=21（粒）综合算式：56÷（1+3+4）=7（粒）7×4=28（粒）7×3=21（粒）例2、被除数除以除数商6余3，被除数、除数、商及余数的和是124，求被除数和除数各是多少？分析与解124是4个数的和，要想求此题必须先求出被除数和除数的和（124-6-3），被除数是除数的6倍多3，这就变成了两数的和倍问题。

124-6-3=115（115-3）÷（6+1）=1616×6+3=99综合算式：（124-6-3）÷（6+1）=16 16×6+3=991、甲、乙、丙三桶油共有重93千克。

已知甲比乙的2倍还多4千克，如果丙倒给甲6千克，那么丙剩下的正好是甲的2倍，三桶油各重多少千克？2、两个数相除商19余2，被除数、除数、商余数的和是283，求被除数和除数各是多少？3、被除数与除数的和是100，被除数除以除数商2余7，求被除数和除数各是多少？4、甲、乙、丙三个数的和是100，且甲除以乙，乙除以丙都是商5余1，求这三个数各是多少？5、A、B、C三家水电费共计1247元，A比B的2倍多15元，B比C的2倍多21元，问三家各交多少元？6、果园中有三种果树共1735棵，其中桃树棵数比苹果树棵数的2倍多17棵，梨树棵数比桃树棵数的2倍多11棵，果园中三种果树各多少棵？7、第一建筑队库存水泥100包，第二建筑队库存32包，从第一队调多少包水泥给第二队，一队的包数是第二队包数的2倍？8、两工人4天加工200个零件，如果在第5天张师傅加工12个零件，李师傅加工4个零件，这时张师傅加工的零件总数比李师傅的2倍少6个，求张师傅、李师傅各加工多少零件？9、大、小两桶油共重180千克，如果把乙桶油倒入甲桶20千克，这时甲比乙多2倍，问甲、乙原来各有多少千克？10、两桶油共重400千克，如果甲桶增加100千克，那么甲桶的重量比乙桶的4倍还多15千克，求甲、乙两桶油原来各重多少千克？。

姓名：培训材料（9）——和倍问题（二）〖知识要点回顾〗和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。

一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数。

这样总和相当于小数的几倍，可求出小数，再求大数。

即：和÷（倍数＋1）＝小数，小数×倍数＝大数，或者，和－小数＝大数。

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

练习：三（1）班有42人，其中男生是女生的2倍，男生，女生各多少人？【例】小明和小强共有画片200张,小明的张数比小强的张数的2倍还多20张,则小强有多少张画片？【解析】从图中可知，把小强的画片看作1份数，小明的画片就是2份数还多20张，如果把多的20张拿走，200－20＝180（张）就相当于2＋1＝3份数，180÷3＝60（张）,求出1份量，这1份量正好就是小强的数量；60×2＋20＝140（张），就是小明的数量，或者200－60＝140（张）。

解答：200－20＝180（张）2＋1＝3（份）180÷3＝60（张）……………………………………………小强60×2＋20＝140（张）或200－60＝140（张）……………小明答：小强有60张，小明有140张。

小强: 小明: 1份200张 20张练习1：甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有多少张画片？练习2：一辆汽车运面粉和大米共2450千克，其中大米比面粉的2倍还多50千克，求大米和面粉各有多少千克？练习3：小强和小明共有120本本子，小强比小明的3倍多20本，他们各有多少本？。

和倍问题（二）默写和倍问题关系式：1.2.3.例一：为庆祝六一，学校门口共摆了28盆白月季花和红月季花，其中红月季花是白月季花的3倍。

白月季花和红月季花各摆了多少盆？练习1：河里有鸭和鹅共27只，鸭的只数是鹅的2倍。

鸭和鹅各有多少只？例二：小生和小辉折纸飞机，小生折了4只，小辉折的比小生的2倍还多3只。

小辉折了多少只纸飞机？练习2：祥祥买了18张贴花，比朝朝的4倍少2张。

朝朝买了几张贴花？例三：光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？练习3：某校四、五年级共有学生160人，四年级比五年级的2倍少8人。

问：四、五年级各有学生多少人？例四：玲玲和芳芳共有39张邮票，如果芳芳拿出3张给玲玲，这时玲玲的邮票张数正好是芳芳的2倍，芳芳原来有多少张邮票？练习4：小红和小明共有课外书40本，如果小红拿出6本给小明，那么小红的本数正好是小明的3倍，小明原来有多少本课外书？例五：把植42棵树的任务分给小文、小兵、小刚三位同学，小文分得的棵树是小兵的2倍，小刚分得的棵树是小兵的3倍。

三人各分得多少棵树？练习5：把36块糖分给冬冬、明明、丁丁三个小朋友，冬冬分得的块数是丁丁的3倍，明明分得的块数是丁丁的2倍，三位小朋友各分得多少块糖？课后练习1.甲和乙共有邮票800张，甲是乙邮票张数的3倍，甲、乙各有邮票多少张？2.父子两人今年的年龄和是40岁，父亲的年龄是儿子的4倍，父子两人今年各有多少岁？3.小翠做了17朵红花，比小宁做的3倍多2朵。

小宁做了多少朵红花？4.小明和小花共有水彩笔36支，小明的水彩笔比小花多2倍，小明和小花各有水彩笔多少支？5.舞蹈队共有队员42人，其中女队员比男队员的2倍少3人，求男、女队员各有多少人？6.把56个棋子分成3堆，要求第一堆的个数是第二堆的2倍，第二堆的个数是第三堆的2倍，你知道三堆棋子分别有多少个吗？。

和倍问题的解题技巧和倍问题是数学中的一类常见问题，通常表现为“两个数的和为X，它们的乘积为Y，求这两个数”。

这种问题在生活中也经常出现，比如商场打折、分摊费用等场景。

解决和倍问题需要掌握一些解题技巧，本文将从以下几个方面进行讲解。

一、定义变量在解决和倍问题时，首先需要定义变量。

通常我们可以用x和y 来表示这两个数，因为这两个字母在数学中经常用来表示未知数。

定义变量可以帮助我们更清晰地理解问题，把问题转化为数学语言，方便后续的计算。

例如，如果问题是“两个数的和为10，它们的乘积为16，求这两个数”，我们可以定义x和y为两个未知数，那么问题可以转化为以下数学式子：x + y = 10xy = 16二、列方程求解定义好变量后，我们需要列方程求解。

列方程是指把问题转化为一个或多个等式，求解这些等式得到未知数的值。

对于和倍问题，我们通常需要列两个方程，一个是两个数的和，一个是两个数的积，然后联立求解。

以前面的例子为例，我们可以将方程组x + y = 10和xy = 16联立求解。

通过变形，我们可以得到以下式子：y = 10 - xx(10 - x) = 16将第一个式子代入第二个式子，得到一个关于x的方程：x - 10x + 16 = 0这是一个一元二次方程，我们可以用求根公式或配方法求解。

最终，我们得到x的两个解为2和8，那么y的值也就可以通过y = 10 - x得到，分别为8和2。

三、判断解的合理性在解决和倍问题时，我们需要对得到的解进行合理性判断。

因为有些问题可能存在多组解，但其中只有一组是符合实际情况的。

比如，如果问题是“两个数的和为10，它们的乘积为-24，求这两个数”，通过列方程求解我们可以得到x的两个解为-4和6，y的值分别为6和-4。

但是，由于两个数的乘积为负数，因此只有-4和6才是符合实际情况的解。

四、注意特殊情况在解决和倍问题时，还需要注意特殊情况。

有些问题可能存在无解或者多解的情况，需要进行特殊处理。

和倍问题（二）知识链接：1、已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题我们称为和倍应用题。

2、和倍问题的基本公式：和÷（倍数＋1）=1份数（小数）小数×倍数=大数或和－小数=大数温故知新：一个长方形，周长是48厘米，长是宽的3倍，求这个长方形的面积？典型例题1：甲、乙、丙三个数的和是72，甲是乙的4倍，丙又是乙的3倍，问甲、乙、丙三个数各是多少？练习：饲养场养了鸡、鸭、鹅共有1200只，其中鸡的只数是鹅的3倍，鸭的只数是鹅的2倍，问饲养场鸡、鸭、鹅各多少只？典型例题2：某饲养场共养鸡、鸭、鹅2100只，其中鸭是鸡的2倍，鹅是鸭的2倍，鸡、鸭、鹅各多少只？练习：1、花店里有兰花、百合花和玫瑰花共135枝，兰花的枝数是百合花的2倍，玫瑰花的枝数是兰花的3倍，三种花各有多少枝？2、红、黄、蓝气球共325只，红气球的只数是黄气球的3倍，蓝气球的只数是红气球的3倍，这三种气球各多少只？数学乐园1、甲队和乙队合修一段公路，这段公路长1050米，两队共修7天才完成，已知甲队每天完成的是乙队的2倍，求甲、乙两队每天各修多少千米？2、有一批面粉共2700千克，分别装在甲、乙、丙三条船上，甲船装的千克数是乙船的2倍，如果丙船装600千克，那么甲、乙两船各装多少千克？3、用一根长96厘米的铁丝围成一个长方形，使长是宽的2倍，求这个长方形的面积？4、甲、乙、丙三个数的和是405，甲是乙的2倍，丙是乙的6倍，求甲、乙、丙各是多少？5、梨树、桃树、苹果树共270棵，梨树是桃树的2倍，桃树是苹果树的3倍。

梨树、桃树、苹果树各多少棵？6、小红、小明、小强三个人一起踢毽子，三人共踢了220下，小红踢的是小明的2倍，小强踢的是小红的4倍，三人各踢了多少下？小鲨鱼的贪婪深海里，一只小鲨鱼长大了，开始和妈妈一起学习觅食，它逐渐学会了如何捕捉食物。

妈妈对它说：“孩子，你长大了，应该离开我去独自生活。

第七讲和倍问题（二）知识要点已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。

我们通常把它叫做和倍问题。

它的结构可用下图来表达：倍数（小数）和几倍数（大数）数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和—小数=大数（几倍数）典型例题例1 甲、乙两架波音飞机同时从虹桥机场向相反的方向飞行，4小时共飞行960千米，甲飞机的速度是乙飞机的2倍，甲、乙两架飞机每小时各飞行多少千米？例2 甲、乙两个水桶分别盛有水70千克、54千克，要使甲水桶中的水是乙水桶的3倍，必须将乙桶中的水倒出多少到甲桶中？例3 哥哥和弟弟共有48本书，弟弟给哥哥5本后，哥哥本数就是弟弟的3倍，哥哥、弟弟原来各有几本书？例4 甲、乙两数之和是99，乙数末尾添上0后就和甲数相等。

甲、乙各是多少？巩固练习1．一个长主形，周长是48厘米，长是宽的3倍，求这个长方形的长和宽各是多少？2．佳佳有画片80张，新新有画片60张。

要使佳佳的画片数是新新的4倍。

那么新新要给多少张画片给佳佳？3．一个长方形木板，长是宽的2倍，周长是108厘米，这个长方形木板的长和宽各是多少厘米？4．甲桶有油105千大克，乙桶有油90千克，要使甲桶里的油是乙桶的2倍。

那么必须从乙桶里取出多少千克放入甲桶？5．姐姐有32元钱，弟弟有18元钱，弟弟给姐姐多少钱后，姐姐的钱就比弟弟多3倍？6．书架上下两层共有书84本，从下层拿出5本放入上层后，上层的书就是下层书的2倍，问上下两层原来各有书多少本？7．小红和小兰同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，小红的速度是小兰的2倍，问小红每小时行多少千米？小兰每小时行多少千米？8．两个数的和是165，大数去掉末尾的“0”就和小数相等了，问大数和小数各是多少？9．师傅和徒弟加工一批零件，师傅加工零件的个数去掉末尾的“0”就和徒弟一样多了，师徒一共加工了374个零件，问师傅和徒弟各加工了多少个零件？小课堂书包里有15本书，其中有漫画书，有小说，还有学习资料。