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多元复合函数求导公式多元复合函数求导是微积分中的重要概念，它描述了函数之间的复合关系，并通过求导来研究函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常遇到多个函数相互关联的情况，而多元复合函数求导公式能够帮助我们求解这些问题。
在介绍多元复合函数求导公式之前，我们先来了解一下什么是多元复合函数。
多元复合函数是指由两个或多个函数通过复合运算构成的新函数。
例如，设有函数f(x)和g(x)，则复合函数h(x)可以表示为h(x) = f(g(x))。
对于多元复合函数求导公式，我们需要考虑两种情况：一是一元函数的复合，即函数中只有一个自变量；二是多元函数的复合，即函数中有多个自变量。
我们来看一元函数的复合情况。
设有函数y = f(u)，u = g(x)，则复合函数y = f(g(x))的导数可以通过链式法则来求解。
链式法则是指，如果一个函数是由两个函数复合而成的，那么它的导数等于内层函数对自变量的导数乘以外层函数对内层函数的导数。
具体来说，设y = f(u)，u = g(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数f(u)对u的导数，du/dx表示函数g(x)对x的导数。
通过这个公式，我们可以计算复合函数的导数。
接下来，我们来看多元函数的复合情况。
设有函数z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，则复合函数z = f(g(x, y), h(x, y))的偏导数可以通过偏导数的链式法则来求解。
偏导数的链式法则是指，如果一个函数是由两个函数复合而成的，那么它的偏导数等于内层函数对自变量的偏导数乘以外层函数对内层函数的偏导数，再对所有自变量求和。
具体来说，设z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，则有：∂z/∂x = (∂z/∂u * ∂u/∂x) + (∂z/∂v * ∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u * ∂u/∂y) + (∂z/∂v * ∂v/∂y)其中，∂z/∂u和∂z/∂v分别表示函数f(u, v)对u和v的偏导数，∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x和∂v/∂y分别表示函数g(x, y)和h(x, y)对自变量的偏导数。
多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。
下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。
在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。
多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。
设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。
我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。
然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。
将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。
假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。
