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高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课时作业新人教A版必修1112143.1.1 方程的根与函数的零点选题明细表知识点、方法题号求函数的零点及零点区间2,3,4,5,14判断函数零点个数1,6,9,12函数零点的应用7,8,10,11,13基础巩固1.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.2.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足,故选B.3.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( B )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.故选B.4.(2019·宁夏银川一中高一上期中)设x0是函数f(x)=2x+3x-7的零点,且x0∈(k,k+1)(k∈Z),则k的值为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为f(1)=21+3-7=-2<0,f(2)=22+3×2-7>0.又f(x)=2x+3x-7的图象连续不间断且为增函数,故函数零点所在区间为(1,2),因此k=1,故选B.5.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表:x 1 2 3 4 5 6f(x) -8 2 -3 5 6 8 则函数f(x)存在零点的区间有( D )(A)[2,3]和[3,4] (B)[3,4],[4,5]和[5,6](C)[2,3],[3,4]和[4,5] (D)[1,2],[2,3]和[3,4]解析:由题表可知f(1)·f(2)<0,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,根据函数零点存在性定理可知函数在[1,2],[2,3],[3,4]上存在零点,故选D.6.函数f(x)=e x+x2-2在区间(-2,1)内零点的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:令e x+x2-2=0,e x=-x2+2,画出y=e x,y=-x2+2的图象如图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点,故选B.7.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点且在y轴左侧,如图,y=2|x|是一条关于y轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.8.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-9.已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围. 解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1,即实数a的取值范围为(0,1).能力提升10.(2019·福建省福州市八县一中高一上期中)已知 f(x)=log2x-()x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且 0<x1<x0,则f(x1)的值是( A )(A)恒为负(B)等于零(C)恒为正(D)不小于零解析:因为y1=log2x,y2=-()x都是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,因为f(x0)=0,0<x1<x0,所以f(x1)<0,故选A.11.已知函数f(x)=e x+x,g(x)=ln x+x,h(x)=x-的零点依次为a,b,c,则( B )(A)c<b<a (B)a<b<c(C)c<a<b (D)b<a<c解析:由f(x)=0得e x=-x,由g(x)=0得ln x=-x,由h(x)=0得x=1,即c=1.在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=e x,y=-x,y=ln x的图象,由图象可知a<0,0<b<1.又c=1,所以a<b<c.故选B.12.(2018·湖南十四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2x+2x-4,则f(x)的零点个数是( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,f()·f(2)=(+2×-4)×(22+2×2-4)<0,所以当x>0时函数f(x)有1个零点.根据奇函数的对称性可知,当x<0时,函数f(x)也有1个零点.因此函数f(x)一共有3个零点,故选B.13.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是.解析:画出函数f(x)的图象,如图所示.令y=k,由图象可以看出0<k<1时,y=k和f(x)有三个交点,即方程 f(x)=k有三个不同的实根.答案:(0,1)探究创新14.(2018·安徽马鞍山联考)已知函数f(x)=4-x-2x+1的零点为a,设b=πa,c=ln a,则a,b,c 的大小关系为( C )(A)a<b<c (B)a<c<b(C)c<a<b (D)b<a<c解析:指数函数y=4-x和一次函数y=-2x+1都是定义在R上的减函数,则函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(0)=40-0+1=2>0,f(1)=-2+1=-<0,结合函数零点的存在性定理可得0<a<1,所以b=πa>1,c=ln a<0,所以c<a<b.故选C.。
3.1.1方程的根与函数的零点课后练习【基础过关】1．在区间上有零点的一个函数为A. B.C. D.2．方程的解所在的区间为A. B. C. D.3．函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.4．函数有两个零点、,且,则A.,B.C.,D.,5．若函数的零点为2,那么函数的零点是 .6．根据下表，能够判断有实数解的区间是 .-1 0 1 2 3-0.677 3.011 5.432 5.980 7.651-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892(1)(-1,0) (2)(0,1)(3)(1,2) (4)(2，3)7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.8．已知函数恒有零点.(1)求的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.【能力提升】判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.答案【基础过关】1．C【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选 C.2．C【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.3．C【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选 C.4．C【解析】数形结合，f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.5．0，【解析】∵函数有一个零点是2，∴，∴，∵，∴函数的零点是0，.6．(2)【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0)?F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).7．设，有两种情况.第一种情况，如图，解得.第二种情况，如图，此不等式组无解.综上，m的取值范围是.8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠０时，由，得，∴且m≠6时，二次函数有零点.综上，.(2)设，是函数的两个零点，则有，，∵，即，∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3. 【能力提升】方法一在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln x,y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.方法二因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,所以f(3)·f(2)<0,故函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)只有一个零点.。
3.1.1 方程的根与函数的零点课后训练1．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的零点所在的大致区间是( )．A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( )．A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 3．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内的实数解有( )．A．3个 B．2个 C．至少1个 D．0个4．设函数y＝x3与212xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )．A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 5．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m－1)的值为( )．A．正数 B．负数C．非负数 D．正数、负数和零都有可能6．已知函数f(x)2，则2m＝__________.7．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有__________．(填序号)8．(能力拔高题)函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是__________．9．求下列函数的零点：(1)f(x)＝2x＋b；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；(3)f(x)＝log3(x＋2)；(4)f(x)＝6x－5.10．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.(1)求函数f(x)的解析式．(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．参考答案1. 答案：C2. 答案：B f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)．3. 答案：C 方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]内实数解的个数，即为函数f (x )＝x 3－x －1在[1,1.5]内零点的个数，由f (1)·f (1.5)＜0可知f (x )＝x 3－x －1在[1,1.5]内至少有1个零点，故方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]内至少有1个实数解．4. 答案：B 令f (x )＝x 3212x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则f (0)＝0212-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－4＜0，f (1)＝1112-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1＜0，f (2)＝23012⎛⎫- ⎪⎝⎭＝7＞0，f (3)＝27112⎛⎫- ⎪⎝⎭＝26 12＞0，f (4)＝43212⎛⎫-= ⎪⎝⎭63 12＞0，故f (1)·f (2)＜0，即x 0所在的区间是(1,2)．5. 答案：A 由于二次函数f (x )的二次项系数1＞0，且f (m )＜0，则二次函数f (x )存在两个零点，设为x 1，x 2，且x 1＜x 2.则x 2＋x 1＝1，x 2x 1＝a ，x 2－x 1＞0，x 1＜m ＜x 2，所以x 2－x 1＝=a ＞0＜1，则m －1＜x 1，所以f (m －1)＞0.6. 答案：14∵f (x )的零点是2，∴f (2)＝0，0，解得m ＝－2.∴2m ＝2－2＝14. 7. 答案：①②③ 设f (x )＝x 3＋x 2－2x －1，则f (－2)＝－1＜0，f (－1)＝1＞0， f (0)＝－1＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝7＞0，则f (x )在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．8. 答案：(1，＋) 画出函数f (x )＝mx －1的图象如图所示，设A (1,0)．若函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，则f (x )的图象与x 轴的交点应在线段OA (不含端点)上．由图可知f (1)＝m －1＞0，解得m ＞1.9. 答案：解：(1)令2x ＋b ＝0，解得x ＝2b -，即函数的零点是2b -. (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1，或x ＝3，即函数的零点是－1和3.(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数的零点是－1.(4)令6x －5＝0，解得x ＝log 65，即函数的零点是log 65.10. 答案：解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，即f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3，∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴22,33,a b b a b +=+⎧⎨++=⎩解得a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点．由图象得30,110,4m m +>⎧⎪⎨+<⎪⎩解得－3＜m ＜114-，即实数m 的范围是113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭.。
第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．4．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，－12 B ．0，12 C ．0,2 D ．2，－12 4．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________．三、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．413．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x 轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 作业设计1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac<0，∴a ≠0， ∴Δ＝b 2－4ac>0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A ，可能存在根； 对于选项B ，必存在但不一定唯一； 选项D 显然不成立．] 3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0， ∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4．C [∵f(x)＝e x ＋x －2， f(0)＝e 0－2＝－1<0， f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C [x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3. x>0时，f(x)＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f(1)＝－2<0，f(e 3)＝1>0，∵f(1)f(e 3)<0 ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 总之，f(x)在R 上有2个零点．]6．A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.]7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．]13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0 ∴12<k <23.。
一．选择题1．函数的零点所在区间为( )()2log f x x x π=+A ． B ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． D ． 10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 2．若函数有一个零点是，那么函数的零点是( )()f x ax b =+2()2g x bx ax =-A ．B ． 0,210,2C ．D ． 10,2-12,2-【答案】C 【解析】函数有一个零点是， 零点()f x ax b =+2()()220,221,a b g x ax ax ax x ∴+=∴=--=-+∴为和,故选C.012-3．下列函数不存在零点的是( ) A ． B ． 1y x x =-y =C ． D ． ()()10{10x x y x x +≤=->()()10{ 10x x y x x +≥=-<【答案】D 【解析】令，得中函数的零点为； 中函数的零点为； 中函数的零点为；只0y =A 1,1-B 1,12-C 1,1-有中函数无零点，故选D ．D 4．已知函数f (x )＝，则函数f (x )的零点为( )221,1{ 1log ,1x x x x -≤+>A ．，0 B ． －2,012C ． D ． 012【答案】D5．下列函数没有零点的是( )A ． f (x )＝0B ． f (x )＝2C ． f (x )＝x 2－1D ． f (x )＝x －1x【答案】B 【解析】对于B ， 不能满足方程，因此没有零点. 学.科网()2f x =()0f x =故选B.6．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ． a <α<b <βB ． a <α<β<bC ． α<a <b <βD ． α<a <β<b 【答案】C【解析】∵是函数的两个零点，,αβ()f x ∴.()()0f f αβ==又，结合二次函数的图象(如图所示)可知必在之间．故选C .()()20f a f b ==-<,a b ,αβ2．填空题7．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为________．()()20f x x x a a =++<()0,1a 【答案】()2,0-【解析】因为连续函数在区间上有零点，所以()()20f x x x a a =++<()0,1，故答案为.()()()100,20,20f f a a a ⋅<∴+<∴-<<()2,0-8．函数在区间 上________(填“存在”或“不存在”)零点．()2318f x x x =--[]1,8【答案】存在【解析】， ，又()2113118200f =-⨯-=-< ()()()2883818220,180f f f =-⨯-=>∴⋅<在区间上的图象是连续的，故在区间上存在零点，故()2318f x x x =--[]1,8()2318f x x x =--[]1,8答案为存在．9．函数f (x )＝的零点是________．()1ln 3x x x --【答案】1【解析】令，即，即或()0f x =()1ln 03x x x -=-10x -=ln 0x =∴，故函数的零点为11x =()f x 故答案为110．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【答案】3【解析】函数的一个零点为0，则，∴，∴，则()23f x x mx m =+++()00f =30m +=3m =-，于是另一个零点是3.()23f x x x =-3．解答题11．求函数f (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间上的零点．【详解】Δ＝4－4(a －1)＝8－4a .当Δ<0，即a >2时，f (x )无零点．当Δ＝0，即a ＝2时，f (x )有一个零点－1.【点睛】本题考查二次函数零点个数，二次函数零点需要集合判别式、对称轴、零点符号、定义域等进行综合讨论分析，有时还要讨论二次项系数是否为0以及正负关系. 学@#科网12．已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．()224f x x ax =-+a (1)零点均大于；1(2)一个零点大于，一个零点小于；11(3)一个零点在内，另一个零点在内．()0,1()6,8【答案】（1）；（2）；（3）.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）根据题意得到方程的两根均大于，则有判别式大于处函2240x ax -+=10,1数值为正，且对称轴在右侧，列出不等式组求解即可得到的范围；（2）根据题意得到方程1a 的两根一个零点大于，一个零点小于，只需使出函数值为负，列出不等式即可得到2240x ax -+=111的范围；（3）根据题意得到方程的两根一个零点在内，另一个零点在内，a 2240x ax -+=()0,1()6,8对这两个范围使用零点定理，列出不等式组即可得到的范围.a 试题解析：(1)因为方程x2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得【方法点睛】本题主要考查函数的零点以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、(),m n 的符号）的方法解答.()(),f m f n。
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （2）精讲部分学习目标展示（1）掌握零点存在性定理并能应用（2）会零点存在性定理判定零点的存在性及零点的存在区间 衔接性知识1. 函数零点的定义？函数零点与方程根有什么关系？2. 如何判断二次函数零点的个数？3. 求函数2()32f x x x =-+的零点，判断(0)f 、1()2f 与3()2f 的符号（2） 函数()f x 在在(,)k k 内有且只有一个零点例1. 函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的一个区间是 （ ） A ．)2,1(B ．(2,3)C ．)4,3(D ．)5,4(【解析】因为函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线，又(1)ln121640f =+⨯-=-<，2(2)ln 2226ln 20f e =+⨯-<-=，(3)ln 3236ln 30f =+⨯-=>，所以(2)(f f ⋅<，故函数()f x 的零点所在的一个区间是(2,3)，选B.例2. 若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（31,0） 【解析】构造函数131()()2xf x x =-，则函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线.又1031(0)()0102f =-=>，1133111()()()0323f =->，1132111()()()0222f =-<，2133212()()()0323f =-< ，所以11()()032f f ⋅<，故()f x 的零点所在的一个区间是11(,)32，即方程31)21(x x=的解0x 属于区间11(,)32.选C注释：211333112()()()243=<，2133212()()()0323f ∴=-<例3. 求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数 【解析】法1.(2)ln 22ln 210f e =-<-=-<，(3)ln3ln 1f e =>=，(2)(3)0f f ∴⋅<，又函数()ln 26f x x x =+-在[2,3]上的图象是连续不断的 ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点而()ln 26f x x x =+-在其定义域(0,)+∞内是增函数，所以函数()f x 只有一个零点 法2. 函数()f x 的零点就是ln 260x x +-=即ln 62x x =-的实数根记()ln g x x =，()62h x x =-，在同一坐标系中画出()g x 与()h x 的图象，由图象可知，()g x 与()h x 的图象只有一个交点，所以函数()f x 只有一个零点例4. 函数2()2f x x x a =-+在区间)0,2(-和(2,3)内各有一个零点 求实数a 的取值范围解析：函数2()2f x x x a =-+在区间20-（，）和23（，）内各有一个零点，由二次函数的性质，知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩即4003030a a a a +>⎧⎪<⇒-<<⎨⎪+>⎩， 所以实数a 的取值范围为(3,0)-精练部分A 类试题（普通班用）1. 方程31()02xx -=与1()2xy =的根为0x ，则0x 所在区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] 令3(2()1)xf x x -=，则()010f <=-，1(1)=>02f ，0(0,1)x ∈∴，故选C 2. 函数()ln 311f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点( ) A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2(D ．)4,3([答案] D[解析]因为()f x 的图象是一条连续不断的图象又(3)ln 33311f =+⨯-23ln 32lnln10e=-=<=，(4)ln 43411ln 410f =+⨯-=+>， (3)(4)0f f ∴⋅<，所以()f x 在(3,4)一定有零点，选D3.函数22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 [答案] 2【解析】 法1.方程20(0)x x +=<的解为2x =-，方程210(0)x x -=>的解为1x =，所以函数()f x 有两个零点：2-与1法2.画出函数的22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩图象，它与x 轴有两个交点，所以函数()f x 有两个零点，填 24．证明：函数225()1x f x x -=+在区间（2，3）上至少有一个零点 证明：函数225()1x f x x -=+的定义域为R ，∴函数f(x)的图像灾区间(2,3)上是连续的。
编号：YB-HT-005539_____省汽车货物运单_____ Provincial automobile甲方：乙方：签订日期：年月日精品文档/ Word文档/ 文字可改编订：YunBo Network_____省汽车货物运单托运人（单位）：_____________ 经办人：___________ 电话：___________ 地址：___________ 运单编号：___________发货人地址电话装货地点厂休日收货人地址电话卸货地点厂休日付款人地址电话约定起运时间月日约定到在时间月日需要车种货物名称及规格包装形式件数体积长×宽×高（厘米）件重（千克）重量吨保险保价价格货物等级计费项目计费重量单价运费装卸费合计计费里程托运记载事项付款人银行帐号承运人记载事项承运人银行帐号注意事项1．托运人请勿填写粗线栏内的项目。
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托运人签章年月日承运人签章年月日说明1．填在一张货物运单内的货物必须是属同一托运人。
对拼装分卸货物，应将每一拼装或分卸情况在运单记事栏内注明。
易腐蚀、易碎货物、易溢漏的液体、危险货物与普通货物以及性质相抵触、运输条件不同的货物，不得用同一张运单托运。
托运人、承运人修改运单时，须签字盖章。
2．本运单一式2份：①受理存根；②托运回执。
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