浙江省名校新高考研究联盟2019届高三第三次联考数学试题卷Word版含答案

专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。

浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考一、选择题：本大题共10小题，共40分 1.已知集合{A x y ==，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[)1,2D ．()1,22.()12z i i +=（i 为虚数单位），则复数z 对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ） A．()±B．()±C．()±D．()±4.“3a =”是“圆22:2O x y +=与圆()()22:8C x a y a -+-=外切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件5. 已知实数x ，y满足不等式x y +≥，则22x y +最小值为（ ） A ．2B ．4C．D ．86.已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是AB （ ）A ．()1sin 1x x e f x x e -=⋅+B ．()1sin 1xx e f x x e -=⋅+C ．()1cos 1x x e f x x e -=⋅+D ．()1cos 1xxe f x x e -=⋅+7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球，14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（ ） A ．15.5元 B ．31元C ．9.5元D ．19元8.已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->-Bb a <-C ．ln ln a b b a -<- Db a -9. 用四种颜色给右图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ） A ．7B ．96C ．108D ．14410. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 在平面α上，棱1AA 与平面α所成的角为60︒，点1A 在平面α上的射影为O ，正方体1111ABCD A B C D -绕直线1AA 旋转，则当直线1A O 与1BC 所成角最小时，侧面11ABB A 在平面α上的投影面积为（ ） A．BCD ．2二、填空题：本大题共7小题，共36分11. 二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为 ；常数项为 ．12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．13. 已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ,c，若cos a A =，ABC △的面积S =，则A = ；a 的最小值为 ．14. 已知方程()l o g 53x xa x -=（其中0a >，1a ≠），若2x =是方程的解，则a = ；当2a =时，方程的解x = ．15. 已知边长为1的正方形ABCD ，,E F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE AF xAB y AD +=+，若3x y +=，则EF 的最小值为 ．16. 已知1F ，2F 是焦距为2的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一个点，过点P 作椭圆C 的切线l ，若1F ，2F 到切线l 的距离之积为4，则椭圆C 的离心率为 ．17. 若存在无穷数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意n N +∈，1n a +，1n b +是方程()2201n n b x x a +=-的两根，且101a =，10b >，则1b = ．ODB 1A 1AD 1C 1CBα俯视图侧视图正视图222三、解答题：本大题共5小题，共74分18. 已知函数()()()4sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤<的最小正周期为2π，且当0x =时，()f x 取最大值． （1）求,ωϕ的值；（2）若443f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0απ<<，求sin26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19. 在所有棱长都相等的三棱柱111ABC A B C -中，160B BC ∠=︒．（1）证明：1AB BC ⊥；（2）若二面角1A BC B --的大小为60︒，求1BC 与平面ABC 所成角的正弦值．20. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2111nn n n n a b a a ++=-⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．C 1B 1A 1CBA21. 已知抛物线2:2E y px =上一点(),2m 到其准线的距离为2．（1）求抛物线E 的方程；（2）如图A ，B ，C 为抛物线E 上三个点，()8,0D ，若四边形ABCD 为菱形，求四边形ABCD 的面积．22. 已知函数()()2l n 2,f x x x ax a R=+-+∈在定义域内不单调．（1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 存在3个不同的零点，证明：存在(),0,m n ∈+∞，使得()()3f m f n m n-<-．浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考数学参考答案一、选择题：1-5：C A C B B 6-10：A D C B D 二、填空题：11． 20-64； 12．88+； 13．;23π14．4;1152 1617．512三、解答题18．解： （Ⅰ）()f x 的最小正周期为2,42T T ππω=∴==……3分，又当0x =时，()f x 取最大值， 所以2()2k k Z πϕπ=+∈，0ϕπ≤<∴2πϕ=……6分（2）()4sin(4)4cos42f x x x π=+=，则4()4c o s 3f αα==……8分1cos 3α∴=-，又0απ<<，∴sin 3α= sin 22sin cos 9ααα==-……11分 27cos 22cos 19αα=-=-sin(2)sin 2cos cos2sin 666πππααα+=+=，……14分 19．解：（Ⅰ）连11,,B C BC 取线段BC 的中点M ，连接1B M 和AM ABC ∆和1BCB ∆为等边三角形∴1B M BC ⊥，AM BC ⊥又1B M AM M =∴BC ⊥平面1A B M∴BC ⊥1AB ……6分（Ⅱ）解法一： 1B M BC ⊥，AM BC ⊥ ∴1B MA ∠是二面角1A BC B --的平面角BC ⊥平面1AB M ∴ABC ⊥平面平面1AB M记1BC 与1B M 的交点为N ，过N 作NH AM ⊥于H ，则NH ⊥ABC 平面∴NBH ∠是1BC ABC 与平面所成角 ……11分 由题意知N 为1BCB ∆的重心，2BC =∴113BN BC ==，MN =∴160B MA ∠=︒ ∴12HN =∴sin NH NBH BN∠==……15分解法二： BC ⊥平面1AB M ∴平面1AB M 11BCC B ⊥平面且交于1B M 过A 作1AO MB ⊥于O 则AO 11BCC B ⊥平面 过O 作直线//OK BC ∴1O K BO ⊥以O 为坐标原点，分别以OK 、1OB 、OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系1B M BC ⊥，AM BC ⊥ ∴1B MA ∠是二面角1A BC B --的平面角 ∴160B MA ∠=︒由题意得AM =∴32AO =，MO =∴30,02A （，），10B （），-10C （），120C -（）∴3-2AB =（，）,3-2AC =（，），1BC =（） ……11分 记平面ABC 的法向量为,,n x y z =（），则n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即302302n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=---=⎪⎩∴0x =，y= ∴0,-3,1n =（）记1BC ABC 与平面所成角为θ ∴111sin |cos ,|||||23BC n BC n BC n θ⋅=<>===⋅……15分20．解：（Ⅰ）12n n S na +=……①，12(1)n n S n a -=-……②， ②—①得：12(1)n n n a n a n a +=--，2n ≥……2分，2122a S ==方法一：11n n a n a n ++=，342231342(2)231n n n a a a na a n n a a a n -==⨯⨯⨯⨯=≥-， 方法二：11n n a a n n +=+，则{}n a n 为常数列，∴212n a an ==，∴n a n =(2)n ≥ 当1n =时也满足，所以,n a n n N +=∈……6分（没有考虑2n ≥扣一分）（Ⅱ）2112111(1)(1)(1)()(1)1n nn n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++ 当n 为偶数时，1111111(1)()()()2233411n nT n n n =-+++-++++=-++ 当n 为奇数时，11111112(1)()()()2233411n n T n n n +=-+++-++-+=-++ 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数……12分11|1|12019,201812019n T n n n +=<⇒+>∴>+2019.n ，的最小值为 ……15分21．解（Ⅰ）由已知可得4222mp pm =⎧⎪⎨+=⎪⎩，……3分，消去m 得： 2440p p -+=，2p =抛物线E 的方程为24y x =……6分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y C x y ，菱形ABCD 的中心00(,)M x y当AC ⊥x 轴，则B 在原点，(4,0)M ，||8AC =，|B |8D =，菱形的面积1||||322s AC BD =⋅=，……8分 解法一：当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t -24y xx ty m⎧=⎨=+⎩消去x 得：2440y ty m --= 121244y y t y y m+=⎧⎨=-⎩，∴222212121212()24244y y y y y y x x t m ++-+===+ 2002,2x t m y t =+=，∵M 为BD 的中点2(428,4)B t m t ∴+-，点B 在抛物线上，且直线BD 的斜率为t -222164(428)2,(0)28t t m tt t t m ⎧=+-⎪⎨=-≠⎪+-⎩解得：4,1m t ==±……13分 (4,4)B ±,||BD =12|||AC y y =-==1||||2s AC BD ==分综上，3216s =或解法二：设2(,2)B a a ，直线BD 的斜率为k （0k ≠）228ak a =- 28(,)2a M a +，直线AC 的斜率为1k -，可以设28:()2a A C x k y a +-=--直线228()24a x k y a y x ⎧+-=--⎪⎨⎪=⎩消去x 得：22442160y ky ka a +---= ∵12022y y y a +==，∴42,2ak a k -==-解方程：22(0)28a aa a -=≠-，解得2a =±，1k =±……13分，接下去同上.22．解析（Ⅰ）因为函数()f x 不单调，所以()1'+20f x x a x=-=有两个不同正根，……2分即()min min 1'+20f x x a a x ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭得a >此时，1'0,'02a f f a ⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以a >. …………6分（Ⅱ）令()221'0x ax f x x-+==的两根为12,x x ，且12x x <，则()f x 在()10,x 上递增，()12,x x 上递减，()2,x +∞上递增，且1212121212111,,,2222a x x x x x x a x x x x +=⋅=<=+=+，因为()f x 存在3个不同的零点，且0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞， 所以()()120,0f x f x ><， ……9分 ()22111111111ln 22ln 1f x x x x x x x x ⎛⎫=+-++=-+ ⎪⎝⎭同理()2222ln 1f x x x =-+，令()2ln 1g x x x =-+，则()1'20g x x x=-<得x >，所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递减， 因为()10g =，所以21x >，又因为102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，当0x →时，()g x →-∞所以存在010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =，因为()10g x >，所以10212x x x =>，所以20112x x <<，所以20201123,2a x x x x ⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭， ………13分法一：令()()()()23l n 22h x f x x x x a x =-=+-++，()()1'23h x x a x=+-+，()min '30h x a =-<， 所以()'0h x =有两个根，设为12,t t 且12t t <，则()h x 在()12,t t 上单调递减. 若12t m n t <<<，则()()h m h n >，即()()()()3f m f n m n ->-，即()()3f m f n m n-<--；若12t n m t <<<同理可证，所以对于任意的()12,,m n t t ∈，不等式()()3f m f n m n-<-成立；即存在(),0,m n ∈+∞使得()()3f m f nm n-<-成立.………15分法二：因为()m i nm i n1'+222f x x a a x ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭ 所以()'3f x =有两根，若m n ，是方程的两根，不妨令m n <， 则对任意的(),t m n ∈有()'3f t < 由拉格朗日中值定理知存在()0,t m n ∈使得()()()0f m f n f t m n-=-所以存在(),0,m n ∈+∞使得()()3f m f n m n-<-. …………15分。

绝密★启用前2019届浙江省高三新高考优化提升卷（三）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃=（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞答案：A解：试题分析：{}{}2|0,1M x x x ===,{}{|lg 0}|01N x x x x =≤=<≤,所以，故选A.2．已知12z i =-+，在复平面内，复数z 与1z 所对应的点关于虚轴对称，则1zz =（） A ．3455i + B ．3455-i C ．3455i -+ D ．3455i -- 答案：A由题意求出z 对应的点为()1,2-，从而可求出1z 对应的点()1,2，即可求出112z i =+，结合复数的除法运算可求出1zz 的值.解：依题意得112z i =+，z 对应的点为()1,2-，所以1z 对应的点()1,2，即112z i =+，所以112(12)(12)3412(12)(12)55z i i i i z i i i -+-+-===+++-. 故选:A. 点评：本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了复数对应的点.本题的易错点在于计算，应注意21i =-而不是1.3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．43B ．83C ．163D ．323答案：B 解：该几何体的直观图如图所示，是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，据此可得该几何体的体积为：221118(2)2(2)2.2323V =⨯⨯+⨯⨯⨯= 本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 4．已知向量(1,3)a =-r ，向量(2,1)=r b ，若()a kb b +⊥r r r，则实数k 的值为（） A ．0 B ．15C ．45D ．1答案：B先求得a kb +r r的坐标，再根据()a kb b +⊥r r r ，由()0a kb b +⋅=r r r 求解.解：因为向量(1,3)a =-r，向量(2,1)=r b ，所以(12,3)a kb k k +=+-r r ， 因为()a kb b +⊥r r r ，所以()2(12)30a kb b k k +⋅=++-=r r r ，解得15k =.故选：B . 点评：本题考查平面向量的数量积及坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．函数()cos y x x x ππ=-≤≤的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：A试题分析：由题意得，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ，C ，又∵2x π=，0y =，排除D ，故选A.【考点】函数的性质及其图象.6．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂且n ⊂α，则l α⊥B ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m α⊥C ．若//m β，//n β，m α⊂且n ⊂α，则//αβD ．若//αβ，l α⊥，//m l 且n β⊂，则m n ⊥答案：D由题意，A 中，根据线面垂直的判定定理，只有当直线m 与直线n 相交时，才能得到l α⊥，所以不正确；B 中，根据面面垂直的性质定理可知，只有当m β⊂时，才能得到m α⊥，所以不正确；C 中，当//m n 时，此时平面α与平面β可能是相交平面，所以不正确；D 中由//,l αβα⊥，则l β⊥，又//m l ，则m β⊥，又因为n β⊂，所以m n ⊥，所以是正确的，故选D.7．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，以OF 为半径的圆与该双曲线的渐近线在y 轴右侧的两个交点记为,A B ，且120AFB ︒∠=，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D答案：C设点A 在第一象限，由222,b y x ax y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >，求得(,)A a b ，同理得(,)B a b -，然后根据120AFB ︒∠=，得到||||AB AF =，即2b =.解：设点A 在第一象限，由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >， 解得,,x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)A a b ，同理得(,)B a b -，因为120AFB ︒∠=，所以|||AB AF =，即2b =22223()c a b c a -==-，化简得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==， 故选：C . 点评：本题考查双曲线的几何性质、圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则（） A ．()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X <<答案：B分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得(),()E X D X 的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，58559EX ⨯+==（）， 238(55)8()393D X ⨯+-==<，故选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案.9．若存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln 0ax x a x---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2]B ．10,2⎛+ ⎝⎦C ．30,2⎛- ⎝⎦D ．30,2⎛+ ⎝⎦答案：B将条件等价转化为函数2()2f x x x =-的图象和函数()1g x x =-的图象分别位于直线y a =的两侧，然后结合图象求出答案即可.解：对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln0ax x a x---≤恒成立， 等价于不等式()22[ln(1)ln ]0x x a a x ----≤恒成立， 等价于)2(2(1)0x x a a x ----≤恒成立，等价于()22[(1)]0a x x a x ⎡⎤--⋅--≤⎣⎦恒成立， 等价于函数2()2f x x x =-的图象和函数()1g x x =-的图象分别位于直线y a =的两侧在直角坐标系内画出函数2()2f x x x =-和函数()1g x x =-的图象如图所示，由221y x x y x ⎧=-⎨=-⎩解得35A x -=,所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为3515,22A ⎛⎫--+⎪⎝⎭， 由图易得当152a -+=时，m 取得最大值，令21522x x -+-=，解得max 152m +=， 所以m 的取值范围为150,⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦，故选：B 点评：本题考查不等式恒成立问题、函数的性质，将题中的不等式恒成立问题转化为函数图象的问题是解题的关键.10．如图，二面角BC αβ--的大小为6π，,AB CD αβ⊂⊂，且2AB =，2BD CD ==，4ABC π∠=，3BCD π∠=，则AD 与β所成角的大小为（）A ．4π B ．3π C ．6π D ．12π答案：C取BC 的中点为E ，连接,AE DE ，根据2BD CD ==，3BCD π∠=，得到DE BC ⊥，由222AE BE AB +=，得到AE BC ⊥，从而AED ∠为二面角BC αβ--的平面角，则BC ⊥平面AED ，6AED π∠=，平面β⊥平面AED ，则ADE ∠即为AD 与平面β所成的角，然后在AED V 中由余弦定理求解. 解： 如图所示：设BC 的中点为E ，连接,AE DE ， 因为2BD CD ==，3BCD π∠=，所以DE BC ⊥，2BC =，则22113241,--=====B BE BC DE D BE 又因为2AB =，4ABC π∠=，所以1AE =，222AE BE AB +=， 所以,AE BC AE DE E ⊥⋂=，所以AED ∠为二面角BC αβ--的平面角， BC ⊥平面AED ，所以6AED π∠=，因为BC β⊂，所以平面β⊥平面AED ， 过A 作AF DE ⊥， 所以AF ⊥平面β，所以DE 为AF 在平面β内的射影， 所以ADE ∠即为AD 与平面β所成的角， 在AED V 中，由余弦定理得:222cos +-⋅∠AD AE DE AE DE AED ，31321312=+-⨯⨯⨯= 所以1AD AE ==，所以AED V 是等腰三角形， 所以6ADE AED π∠=∠=，故选：C. 点评：本题只有考查线面角、二面角的求法及应用，还考查了空间想象和推理论证，运算求解的能力，属于中档题. 二、双空题11．已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12l l //，则a =__________；若12l l ⊥，则a =__________．答案：4-912//,326, 4.l l a a ∴=⨯∴=Q 12,2360,9.l l a a ⊥∴+⨯=∴=-Q12．将函数sin 2()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为______，此时函数的最大值为______. 答案：12π2由两角和的正弦化简sin 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,平移后由函数为偶函数得到2,32m k k Z πππ+=+∈,由此可求最小正数m 的值;根据化简2cos2y x =,可得此时函数的最大值为2. 解：解:sin 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其函数图象向左平移m 个单位长度后得到的函数图象的解析式为2sin 2()3y x m π⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦2sin 223x m π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称，所以2,32m k k Z πππ+=+∈，解得,122k Z m k ππ=+∈. 又因为0m >，所以m 的最小值为12π，此时函数2sin 22123y x ππ⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭2cos2x ，数的最大值为2.故答案为:(1)12π;(2)2点评：本题考查三角函数的图象和性质,考查了()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的平移,考查了三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的奇偶性的性质,是基础题.13．若实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则21x y+的最小值是__，22x y x y -+的最大值为__． 答案：214先根据对数的运算性质可得xy ＝2，再根据基本不等式即可求 解：解：实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则xy ＝2，则21x y +≥=2，当且仅当21x y =，即x ＝2，y ＝1时取等号， 故21x y+的最小值是2， ()2222114()2()44x y x y x y x y x y xy x y x y x y---===≤=+-+-+-+-，当且仅当x-y 4x y=-，即x ﹣y ＝2时取等号 故22x y x y -+的最大值为14，故答案为2，14． 点评：本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．14．若6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则123456a a a a a a +++++=______，3a =____.答案：6320观察等式右边特点，含有1x -的各次幂，所以先变形，再用赋值法及二项式展开式特定项的通项公式求解. 解：由666016[1(1)](1)(1)x x a a x a x =+-=+-++-L ，令1x =，得01a =，令2x =，得63126036263,20a a a a a C +++=-===L . 故答案为：63；20. 点评：本题主要考查二项式定理的应用，解题的关键是赋值，本题属于基础题. 三、填空题15．由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为__________． 答案：204根据所选的数字的情况将此问题可以分为以下三种情况：i ）选取的4个数字是1,2,3,4；ii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组；iii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出. 解：详解：i ）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成44A 个不同的四位数；ii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组有24C 种取法，如假设取的是1，1，2，2四个数：得到以下6个四位数：1122，2211，1212，2121，1221，2112．所以此时共有246C 个不同的四位数；iii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组有14C 种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有23C 种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有24A 种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有12224342C C A C ⋅⋅⋅个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是4212224443426204A C C C A C +⋅+⋅⋅⋅=，故答案为：204 点评：本题考查了排列与组合的计算公式及其乘法原理、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．16．正四面体ABCD 的棱长为2，的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅u u u u v u u u v的最小值是__________．答案：4-很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DN AD AD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v当向量,AD DO u u u v u u u v 反向时，AM AN ⋅u u u u r u u u r取得最小值：4224-⨯=-.17．已知,,()a b c R a c +∈>，关于x 的方程2x ax b cx -+=恰有三个不等实根，且函数()f x =2x ax b cx -++的最小值是2c ，则ac=_______． 答案：5由条件可得直线y cx =与2y x ax b =-+-相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得a b c ，，的方程，再由函数()f x =2x ax b cx -++的单调性，可得()f x 的最小值，化简变形即可得到a c ，的关系式，可得所求值． 解：关于x 的方程2x ax b cx -+=恰有三个不等实根，可得直线y cx =与2y x ax b =-+-相切，设切点为m n （，），2y x a '=-+， 则22m a c cm m am b -+==--+，，消去m ，可得214b ac （），=-设2y x ax b =-+与x轴的两个交点的横坐标为：12x x ==()f x =2x ax b cx -++， 当1x x =时，()f x 取得最小值是2c ，即有2c c =，可得2242a b a c -=-（），即为2222a a c a c --=-（）（）， 化为50a c a c （）（）--=， 可得5a c =或a c =， 由a c ＞，可得5a c =， 即5ac=． 故答案为5． 点评：本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题． 四、解答题18．设函数2()sin 2cos cos 6f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若||4x π…，求函数()f x 的最大值.答案：（1）最小正周期T π=；单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）52（1）利用三角恒等变换，将函数化简为1()2sin(2)62f x x π=++，然后利用整体代换的方式，求得函数的最小正周期及单调递增区间；（2）利用整体代换，结合正弦函数的性质，求解函数在给定区间的最大值. 解：解：（1）11cos2()2cos2222x f x x x x +=+++Q 12cos22x x =++12sin(2)62x π=++，∴函数()f x 的最小正周期T π=，由222()262k x k k Z πππππ-++∈剟，得()36k x k k Z ππππ-+∈剟，∴函数()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈.（2）||4x πQ …，22363x πππ∴-+剟， 3sin(2)16x π∴-+剟， ∴函数()f x 的最大值为52. 点评：本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x k w j ++或cos()A x k w j ++的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.19．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD V 是正三角形，E 为其中心.面ABC ⊥面BCD ，30ACB ∠=o，2AB BC ==，M 是BD 的中点，2AN NM =u u u r u u u u r.（1）证明：//EN 面ABC ；（2）求BC 与面ANE 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）77（1）连接CM ，由重心的性质可得在AMC V 中有AN CENM EM=，则//EN AC ，结合线面平行的判定定理可得//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，由题意可得FCG ∠为BC 与面ANE 所成角，7sin FG FCG FC ∠==； 解法二：以BC 中点为原点，建立空间直角坐标系.可得()2,0,0CB =u u u r，面ANE 的法向量为()1,3,3n =-r ，则所求角的正弦值7sin cos<,>7n CB θ==r u u u r .解：（1）连接CM ，因为E 是正三角形BCD V 的中心，所以E 在CM 上且2CE EM =，又2AN NM =u u u r u u u u r ，所以在AMC V 中有AN CENM EM=， 所以//EN AC ，又EN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//EN 平面ABC ； （2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，Q 面ABC ⊥面BCD ，面ABC I 面BCD BC =，AF BC ⊥，AF ⊂面ABC ，AF ∴⊥面BCD ，CH ⊂Q 平面BCD ，所以AF CH ⊥，又//FH BM ，所以FH CH ⊥，所以CH ⊥面AFH ，CH ⊂Q 平面ACH ，所以，面ACH ⊥面AFH ， 作FG AH ⊥，则FG ⊥面ACH ，连接CG ，则FCG ∠为BC 与面ANE 所成的角， ∴7sin FG FCG FC ∠==，即BC 与面ANE 所成角的正弦值为7； 解法二：以BC 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.2AB BC ==Q ，30ACB ∠=o ，(A ∴，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,D，1,2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，(CA =u u u r，3,2CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,0,0CB =u u ur .设面ANE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CA n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即303022x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取(n =r，sin cos<,>n CB n CB n CBθ⋅∴===⋅r u u u r r u u u r r u u u r ，因此，BC 与面ANE. 点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了线面角正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈， （1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值. 答案：（I ）见解析（2）3,n n c =最大，即3k =（1）由题可得121221n n n n a a n a a n +++=+=++，两式相减，得()211121n n n n a a a a +++-+=-+，即12n n b b +=，求出120b =≠，即可得证；（2）由（1）可知，2n n b =即121n n n a a +-=-，通过累加可得21nn a n =--则213n n n n c --=，而112123n n n n n c c +++--=，令()212nf n n =+-，讨论()()122n f n f n +-=-的符号可得n c 的最大值，进而得到n .解：（1）121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ， 两式相减，得211221n n n n a a a a +++-=-+ ∴()211121n n n n a a a a +++-+=-+即：12n n b b +=21120a b ==≠Q 又，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式 21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴= 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，()()122n f n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q123345...c c c c c c ∴>，∴3,n n c =最大，即3k = 点评：本题考查等比关系的证明，以及数列的综合应用，属中档题.21．已知点F 是抛物线22,(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的点，且(2,0)AF =u u u v，点,B C 是抛物线上的动点，抛物线在,B C 处的切线交于点D .（1）求抛物线的方程；（2）设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，若BCD ∆的面积为32，求证：21k k -为定值.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析 试题分析：（1）设()00,,0,,2p A x y F ⎛⎫⎪⎝⎭结合()00,2,02p AF x y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u v 可得抛物线的方程为24x y =（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则过点B 的切线方程为21124x x y x =-，过点C 的切线方程为22224x x y x =-，则BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由面积公式121·322BCD S DP x x ∆=-=,得：128x x -=故212124x x k k --==为定值.试题解析：（1）设()()0000,,0,,,2,022p p A x y F AF x y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v ，得02,2x p =-=所以抛物线的方程为24x y =；（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过点B 的切线方程为()211142x x y x x -=-，即21124x x y x =-，同理过点C的切线方程为22224x xy x=-，由2 112 22 24 24 x xy xx xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，1212·,24D Dx x x xx y+==,即1212·,24x x x xD+⎛⎫⎪⎝⎭，取BC中点221212,28x x x xP⎛⎫++⎪⎝⎭，322121212121211··32228416BCDx xx x x xS DP x x x x∆-+=-=--==,得：128x x-=，由21121211224,244xx xk kx---===+，212124x xk k--==为定值.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知函数1()(ln1)f x a xx=-+.（1）讨论函数()f x的单调区间；（2）若函数()f x的图象与x轴相切，求证：对于任意的2(1)(0,1],()xm f xmx-∈…. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；（1）先对函数进行求导，然后根据实数a的取值情况进行讨论，结合导数的正负，判断求解函数的单调性与单调区间；（2）因为函数()f x 的图象与x 轴相切，由（1）可知，0a >且10f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，可求出()f x ，当(0,1],(0,)m x ∈∈+∞时，22(1)(1)x x mx x --…恒成立，为证明对于任意的2(1)(0,1],()x m f x mx -∈„成立，只要证明2(1)()x f x x -„即可，令2(1)()()x g x f x x-=-，然后在利用导数在函数最值中的应用，即可证明()(1)0g x g =„，由此即可证明不等式成立.解：解：（1）函数的定义域是21(0,),()ax f x x'-+∞=， 当0a „时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，10,,()0x f x a '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,,()0x f x a '⎛⎫∈+∞> ⎪⎝⎭，()f x ∴在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明：因为函数()f x 的图象与x 轴相切，设切点为0(,0)x ，0002011()00ax f x x x a'-==∴=> 11ln 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =，1()ln 1f x x x∴=-+， 又当(0,1],(0,)m x ∈∈+∞时，22(1)(1)x x mx x --…恒成立， 令2(1)()()ln 1x g x f x x x x-=-=+-，由1()0xg x x'-==，得1x =， (1)g ∴是()g x 的最大值， ()(1)0g x g ∴=…，22(1)(1)()x x f x xmx--∴剟成立. 点评：本题考查导数在研究函数中的应用、导数在不等式中的应用，属于中档题.。

2019届浙江省高三三校联考数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}210A x x =-≥，{}04B x x =<<，则AB =A ．(,1)-∞-B. [)0,4C. [)1,4D. (4,)+∞2．已知i 为虚数单位，2iiz +=，则z 的虚部为 A ．1B. 2-C. 2D. 2i -3．已知双曲线22221-=y x a b的渐近线方程为12=±y x ，则该双曲线的离心率为C. 3D. 24．函数1()||=-f x xx的图象是A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)ξ==P x，(1)1P xξ==-，若12<<x，则A．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而增大B．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而增大C．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而减小D．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.23B.43C.83D.1637．“21-<x y”是“ln0<xy”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅的取值范围是A．1[,3]8-B．[1,3]-C．[1,1]-D．1[,1]8-9．在棱长为D ABC-中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的(第6题图)正视图侧视图俯视图（第8题图）Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内 的部分形成的区域的面积为 A．6π B．12π C．6πD．6π10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．12B ．13C ．14D ．16第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．12．设,x y 满足约束条件210201x y x y x ì-+?ïï-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6π=A，(4cos =+b a B ， 且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ．16．已知函数220()1(2)042-≤<+≤⎧⎪=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，，．若函数()log ()y f x a x =--恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．17．如图，椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22182yx +=．点P 为椭圆C 2上一点， 直线PO 与椭圆C 1依次交于 点A B ，，则||=||PA PB ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)（第17题）18．(本小题满分14分)已知函数2()6cos 32xf x x ωω=+-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()5f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．19． (本小题满分15分)如图，已知四棱锥A BCDE -中，2A B B C==，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式； （II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，DCAE且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ， 求APQ ∆面积的最小值.22．(本小题满分15分) 已知函数()()221ln 12ln f x x ax x x=--+-． （Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：()()()()222ln 1213112ln 232*n n n n N⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．参考答案一、选择题C B AD B C D A D C二、填空题11. 3, 9π 12. 11,2512 13. 160-, 15 14. 512π, 1415. 2116. (1,3] 17. 3-18.解：（1）()3cos ωω=f x x x )3πω=+x …………………3分由条件8=T ，所以284ππω== …………………4分 所以()sin()43ππ=+x f x 令22,2432ππππππ+≤+≤+∈x k k k Z ，得10288,33-+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102[8,8],33-++∈k k k Z …………………7分（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435ππ=+=-x f x 即03sin()435ππ+=x ， …………………8分 因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ<+<x所以04cos()435ππ+=-x …………………10分所以00(1)sin()443πππ+=++x f x003[sin()cos cos()sin ]434434ππππππ=+++x x343(52525=⨯-=- …………………14分19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,所以EC CAB ⊥面 ……………………7分(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，则()0,0,0,C E A B所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1=-=-=--AB AE BE 11(22==--CD BE 所以1(22--D ，1(22=--AD ……………………11分 所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y取(1,3,1)=n ……………………13分 记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330sin AD n AD nα⋅==……………………15分20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分 由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分 所以11+1123()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分（II ）由以上两式得111[(3)3(1)(33)]4--=+---n n n a a a ……………………8分 1111[(3)3(1)(33)]2n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分 当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++ 所以110(33)330n n n n a a a -+->⇒-++>当13=<n a 时，当113312333333n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增所以33a -≤< . ……………………12分 当n 为偶数时111(3)3(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a所以111331203(33)33+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减，所以1>-a ……………………14分 综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分 椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:1x x y yl a b+= ..…………………4分 由题意可知，12l l ⊥，则有20020()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.所以：222a b =，从而椭圆2C的离心率为2e =.…………………6分 （II222212+=x y b b .…………………7分设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,由222222⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b得22342(12)4220+-+-=t x t x t b所以22|||2|12=-=++P A tAP x x t t .…………………9分设221:2=-++l y x t t，同理可得4|||22|Q A AQ x x t t t=-=++ .…………………11分 所以1||||2APQS AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t.…………………12分 令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222(1)(21)(31)'()(12)+-+=+t t t f t t t令'()0=f t得2=t (0,)2上单调递减，在(,)2+∞上单调递增.所以()()2≥=f t f所以∆≥APQ S .…………………15分 法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=， 由题意可知：2222220000000120004248(2)248421y b x y b y y b y y y x y y ---===+++， 则220001002322121y b y y y y y ---==++，01004(21)y x x y -=+ .……………………9分 由0022221:1,2:4x x y yl b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=， 由题意可知：0020028x x x y x +=-=-， 则2008x x x =--，222200000020002842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===，…11分 所以323000120200008(1)(4)122(21)2(2)∆++=-⋅==++APQx y x S y y x y y x x ， ……………………13分 记232(4)()(2)x f x x x +=+，其中0x >，则22422222222222(4)(328)(4)(34)(2)()(2)(2)x x x x x x f x x x x x +--++-'==++， 由()0f x '=，得x =所以()f x在上递减，在)+∞上递增.所以3min()f x f===所以∆≥APQS………………15分22．解：（Ⅰ）当0a=时，()()22112f x xln x ln x=-+-因为()1ln x x+≤，当1x=时等号成立，所以222222221111111xln,ln,x,xx x x xlnx+⎛⎫+<<>⎪+⎝⎭即即所以()22112xln x ln x->+-，即()0f x>．……………………4分（Ⅱ）法一：显然0a≤成立，当0a>时，因为11ln xx≥-，当1x=时等号成立，所以22222111111xlnxx xx⎛⎫+>-=⎪++⎝⎭，即222111xxlnx<+⎛⎫+⎪⎝⎭，要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以221x ax x+<+对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x>时a的取值范围为0a≤．……………………9分法二：因为2a b a bln a lnb-+<-，所以()2222221211212211x x,,xln x ln xlnx++<<⎛⎫++-⎪⎝⎭即要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以22212xx ax++<对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x>++- 取1a =-，2n ≥，则有()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()221ln 12ln n n n n +-<-111n n=-- 所以()211ln 212ln212+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……()211ln 12ln 1n n n n+-<-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n ⎡⎤++++<-+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。

绝密★考试结束前(高三6月联考)浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020届第三次联考地理试题卷考生注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

3.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

选择题部分一、选择题I (本大题共20小题，郁小题2分，共40分。

每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

)右图为我国某村落的景观图，当地由于晾晒空间有限，村民只好利用房前屋后及自家窗台、屋顶架晒或挂晒农作物，形成了极具地域特色的农俗现象，并有了“晒秋”这一称呼。

完成1、2题。

1.当地“晒秋”景观形成的主要原因是A.光照充足B.农产品丰富C.空气湿度大D.山区面积广第1、2题图2.该地道路修建成“之”字形，主要考虑①地形条件②建筑物分布③植被种类④人口密度A.①②B.②③C.③④D.①④在高铁飞速发展的今天，仍有部分地区运营着逄站就停、票价低廉的绿皮车。

右图为成昆铁路攀枝花至昆明段的6162/6161次列车沿线部分站点图，全程栗价仅为39.5元，乘客携带的货物根据重量另外收取少量费用。

完成3、4题。

3.对图示铁路线走向影响最大的自然因素是A.资源B.地形地质C.冻土D.生态环境4.该对列车有一节车厢拆掉了原有的双排座椅，以方便前往城市的菜农放置农产品，其他乘客也可以在该节车厢中购买，形成了一个“流动市场”。

对于菜农而言，这样有利于A.降低产品运输成本B.扩大产品市场范围C.提高产品市场竞争力D.维持稳定的消费客源新疆的水果“吊干杏”，以前成熟后常常不采摘，在树上自然风干后才采摘售卖，其含糖量高达27%，目前只要一成熟即大量采摘。

完成5、6题。

5.以前吊干杏成熟后，农户不采摘的主要原因是①保存期短②运输费高③采摘难度大④劳动力不足A.①②B.①③C.②④D.③④6.造成目前吊干杏一成熟就大量采摘的主要区位变化是A.交通条件改善B.种植技术进步C.消费需求增加D.机械化操作推广新219国道，长10860公里，是目前中国最长的国道，超越原最长318国道（中国人的景观大道），成为又一条世界级景观大道，但行驶在路上的网友却说：我太难了。

浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第三次联考数学试题(含答案)2019届浙江名校联盟第三次联考一、选择题：本大题共10小题，共40分1.已知集合A={x|y=x-1}，B={x|-1<x<2}，则A∩B=（）A。

(-1,1)B。

(-1,1]C。

[1,2)D。

(1,2)2.已知z(1+i)=2i（i为虚数单位），则复数z对应点在（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限3.已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=2，该双曲线的焦点为（）A。

±√23,0B。

±√43,0C。

±√25,0D。

±√45,04.“a=3”是“圆O:x^2+y^2=2与圆C:(x-a)^2+(y-a)^2=8外切”的（）A。

必要不充分条件B。

充分不必要条件C。

充要条件D。

既不充分条件也不必要条件5.已知实数x，y满足不等式x+y≥22，则x^2+y^2最小值为（）A。

2B。

4C。

22D。

86.已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A。

f(x)=(ex-1)/(x+1)B。

f(x)=x*sin^2xC。

f(x)=(ex-1)/xD。

f(x)=x*cos^2x7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球，14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（）A。

15.5元B。

31元C。

9.5元D。

19元8.已知a>b>0，则下列不等式正确的是（）A。

ln a - b。

ln b - aB。

a - b < b - aC。

ln a - b < ln b - aD。

a - b。

b - a9.用四种颜色给右图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（）A。

绝密★考试结束前（2019届高三5月仿真联考）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考数学试题卷命题：瑞安中学 胡云华、等 审稿：萧山中学 王欣元 济高级中学 刘春苗 校稿：王铮、徐柏军 考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：121()3V h S S =++ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{|A x y ==，–12{|}B x x =<< ，则A B ⋂=A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[)1,2D ．()1,22．()12z i i += （i 为虚数单位），则复数z 对应点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为A ．(±B ．(±C ．(±D ．(±4．“3a =”是“圆22:2O x y +=与圆22:()()8C x a y a -+-=外切”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件5．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为A ．2B ．4C ．D ．86．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是A ．i (s )n 11x xe f x e x -=⋅+ B ．1()1sin xxe f x ex -=⋅+ C ．o (c )s 11x xe f x e x -=⋅+ D ．1()1cos xxe f x e x -=⋅+ 7．某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球、14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是 A ．15．5元B ．31元C ．9．5元D ．19元8．已知0a b >>，则下列不等式正确的是A ．ln ln a b b a ->-B ．||||b a <C ．ln ln a b b a -<-D ．||||b a ->9．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法A ．72B ．96C ．108D ．14410．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 在平面α上，棱1AA 与平面α所成的角为60︒，点1A 在平面α上的射影为O ，正方体1111ABCD A B C D -绕直线1AA 旋转，则当直线1A O 与1BC 所成角最小时，侧面11ABB A 在平面α上的投影面积为A ．BCD ．2第Ⅱ卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每空4分，双空题每空3分，共36分． 11．二项式61()x x-展开式的二项式系数和为___________;常数项为___________．12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________;表面积为___________．正视图 侧视图 俯视图13．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a A =ABC V 的面积S =，则A =___________;a 的最小值为___________．14．已知方程og 3()l 5xxa x -=，（其中0,1a a >≠），若2x =是方程的解，则a =___________，当2a =时方程的解x =___________．15．已知边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE AF x AB y AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r，若3x y +=，则||EF uuu r的最小值为___________．16．已知1F ，2F 是焦距为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一个点，过点P 作椭圆C 的切线l ，若1F ，2F 到切线l 的距离之积为4，则椭圆C 的离心率为___________．17．若存在无穷数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意n N +∈，1,1n n a b ++是方程21()02n n x a b x -++=的两根，且101a =，10b >，则1b =___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知函数()4sin((0,))0f x x ωϕωϕπ+><=<的最小正周期为2π，且当0x =时，()f x 取最大值． （I ）求ω，ϕ的值； （Ⅱ）若4()43f α=-，0απ<< ，求sin(2)6πα+的值． 19．（本题满分15分）在所有棱长都相等的三棱柱111ABC A B C -中，160B BC ∠=︒．（I ）证明：1AB BC ⊥;（Ⅱ）若二面角1A BC B --的大小为60︒，求1BC 与平面ABC 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a = ，12,n n S na n N *+=∈．（I ）求数列{}n a 的通项公式： （I ）设211(1)nn n n n b a a a ++⋅=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．21．（本题满分15分）已知错物线2:2E y px =上一点(),2m 到其准线的距离为2．（I ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）如图A ，B ，C 为抛物线E 上三个点，()8,0D ，若四边形ABCD 为菱形，求四边形ABCD 的面积．22．（本题满分15分）已知函数2()ln 2,()f x x x ax a R =+-∈+在定义域内不单调 （I ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 存在3个不同的零点，证明：存在()0,mn ∈+∞，使得()()3f m f n m n-<-．浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考数学参考答案一、选择题：1-5：C A C B B 6-10：A D C B D 二、填空题：11． 64;20- 12．83;8+13．3π;2 14．4;115 16 17．512三、解答题 18．解：（1）()f x Q 的最小正周期为2T π=，24T πω∴==， 又当0x =时，()f x 取最大值， 所以2()2k k Z πϕπ=+∈，0ϕπ≤<Q ，∴2πϕ=．（2）()4sin(4)4cos42f x x x π=+=， 则4()4cos 43f αα==，1cos 3α∴=-，又0απ<<，∴sin α=sin 22sin cos 9ααα==-， 27cos22cos 19αα=-=-，sin(2)sin 2coscos2sin666πππααα+=+= 19．解：（Ⅰ）连11,,B C BC 取线段BC 的中点M ，连接1B M 和AMQ ABC V 和1BCB V 为等边三角形 ∴1B M BC ⊥，AM BC ⊥又1B M AM M =I ，∴BC ⊥平面1AB M∴BC ⊥1AB ．（Ⅱ）解法一：Q 1B M BC ⊥，AM BC ⊥∴1B MA ∠是二面角1A BC B --的平面角Q BC ⊥平面1AB M ，∴ABC ⊥平面平面1AB M记1BC 与1B M 的交点为N ，过N 作NH AM ⊥于H ， 则NH ⊥ABC 平面，∴NBH ∠是1BC ABC 与平面所成角． 由题意知N 为1BCB V 的重心，2BC =∴13BN =，13BC =，3MN =∴160B MA ∠=︒，∴12HN =，∴sin NH NBH BN ∠==． 解法二：Q BC ⊥平面1AB M ，∴平面1AB M ⊥平面11BCC B ，且交于1B M过1AO MB ⊥作1AO MB ⊥于O ，则AO 11BCC B ⊥平面 过O 作直线//OK BC ，∴1OK B O ⊥，以O 为坐标原点，分别以1OB 、1OB 、OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Q 1B M BC ⊥，AM BC ⊥∴1B MA ∠是二面角1A BC B --的平面角 ∴160B MA ∠=︒，由题意得AM =∴32AO =，MO =∴3(0,0,)2A，(1,2B -，(1,2C --，12,2C -（）∴3(1,2AB =-u u u r ），3(1,)2AC =--u u u r，1(BC =-u u u u r 记平面ABC 的法向量为,,n x y z =r（），则n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u r r u u u r，即30223022n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=---=⎪⎩r u u u r r u u u r ∴0x =，y =，∴(0,n =r记1BC ABC 与平面所成角为θ∴1sin |cos BC θ=<u u u u r，11|||||BC n n BC n ⋅>===⋅u u u u r rr u u u u r r 20．解：（Ⅰ）12n n S na +=……①，12(1)n n S n a -=-……②，②—①得：12(1)n n n a na n a +=--，2n ≥，2122a S ==；方法一：11n n a n a n++=，342231342,(2)231n n n a a a n a a n n a a a n -==⨯⨯⨯⨯=≥-L L 方法二：11n n a a n n +=+，则{}n an为常数列， ∴212n a a n ==，∴n a n =(2)n ≥．当1n =时也满足，所以,n a n n N +=∈……6分（没有考虑2n ≥扣一分）（Ⅱ）2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++ 当n 为偶数时，1111111(1)()()()2233411n n T n n n =-+++-++++=-++L 当n 为奇数时，11111112(1)()()()2233411n n T n n n +=-+++-++-+=-++L 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数11|1|1201912019n T n n +=<⇒+>+，2018n ∴>，n 的最小值为2019．21．解（Ⅰ）由已知可得4222mp pm =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得： 2440p p -+=，2p =抛物线E 的方程为24y x =．（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y C x y ，菱形ABCD 的中心00(,)M x y当AC ⊥x 轴，则B 在原点，(4,0)M ，||8AC =，|B |8D =，菱形的面积1||||322s AC BD =⋅=， 解法一：当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t -24y x x ty m ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2440y ty m --= 121244y y ty y m+=⎧⎨=-⎩， ∴222212121212()24244y y y y y y x x t m ++-+===+ 2002,2x t m y t =+=，∵M 为BD 的中点2(428,4)B t m t ∴+-，点B 在抛物线上，且直线BD 的斜率为t -222164(428)2,(0)28t t m tt t t m ⎧=+-⎪⎨=-≠⎪+-⎩，解得：4,1m t ==± (4,4)B ±，||BD =12||||AC y y =-===1||||2s AC BD == 综上，32s =或解法二：设2(,2)B a a ，直线BD 的斜率为(0)k k ≠，228ak a =- 28(,)2a M a +，直线AC 的斜率为1k-，可以设28:()2a AC x k y a +-=--直线 228()24a x k y a y x⎧+-=--⎪⎨⎪=⎩消去x 得： 22442160y ky ka a +---=∵12022y y y a +==，∴42,2ak a k -==- 解方程：22(0)28a a a a -=≠-， 解得2a =±，1k =±……13分，接下去同上．22．解析（Ⅰ）因为函数()f x 不单调，所以()1+20f x x a x'=-=有两个不同正根， 即()min min1+20f x x a a x ⎛⎫'=-=-< ⎪⎝⎭得a >此时，10f a ⎛⎫'>⎪⎝⎭，02a f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭所以a >（Ⅱ）令()2210x ax f x x-+'==的两根为12,x x ，且12x x <，则()f x 在()10,x 上递增，()12,x x 上递减，()2,x +∞上递增， 且122a x x +=，1212x x ⋅=，12x x <<，12121122a x x x x =+=+因为()f x 存在3个不同的零点，且0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞， 所以()()120,0f x f x ><，()22111111111ln 22ln 1f x x x x x x x x ⎛⎫=+-++=-+ ⎪⎝⎭同理()2222ln 1f x x x =-+， 令()2ln 1g x x x =-+，则()120g x x x'=-<，得x >所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增，⎫+∞⎪⎝⎭上递减， 因为()10g =，所以21x >，又因为102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，当0x →时，()g x →-∞ 所以存在010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =， 因为()10g x >，所以10212x x x =>， 所以20112x x <<，所以20201123,2a x x x x ⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭， 法一：令()()()()23ln 32h x f x x x x a x =-=+-++，()()123h x x a x'=+-+，()min 30h x a '=-<， 所以()0h x '=有两个根，设为12,t t 且12t t <，则()h x 在()12,t t 上单调递减． 若12t m n t <<<，则()()h m h n >， 即()()()()3f m f n m n ->-，即()()3f m f n m n-<--； 若12t n m t <<<同理可证，所以对于任意的()12,,m n t t ∈，不等式()()3f m f n m n-<-成立； 即存在(),0,m n ∈+∞，使得()()3f m f n m n-<-成立． 法二：因为()min min 1+23f x x a a x ⎛⎫'=-=< ⎪⎝⎭ 所以()3f x '=-有两根，若m n ，是方程的两根，不妨令m n <， 则对任意的(),t m n ∈有()3f t '< 由拉格朗日中值定理知存在()0,t m n ∈，使得()()()0f m f n f t m n-=- 所以存在(),0,m n ∈+∞使得()()3f m f n m n -<-．。