高三数学总复习知能达标训练第八章

【优化方案】2013年高考数学总复习 第八章第1课时知能演练+轻松闯关 文 1．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：长方形；正方形；圆；椭圆． 其中正确的是( ) A． B． C． D． 解析：选B.根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的三视图不可能是圆和正方形． 2．(2011·高考课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( ) 解析：选D.由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D. 3．(2011·高考江西卷)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( ) 解析：选D.如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D. 一、选择题 1．(2011·高考广东卷)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A．20 B．15 C．12 D．10 解析：选D.正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D. 2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( ) A．水平放置的角的直观图不一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析：选D.角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D. 3. (2010·高考北京卷)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) 解析：选C.由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C. 4．下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：选D.三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，A错；以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，B错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，C错；D正确． 5．(2012·济南质检)圆锥轴截面的顶角θ满足<θ<，则侧面展开图中中心角α满足( )A.<α<B.<α< C.<α<π D．π<α<π 解析：选D.设圆锥母线长为R，底面圆的半径为r， 则r＝Rsin.又底面周长l＝2πr＝Rα， 即2πRsin＝Rα，α＝2πsin. <θ<，<sin<， π<α<π，故选D. 二、填空题 6．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由__________块木块堆成． 解析：由三视图知，由4块木块堆成． 答案：4 7．(2010·高考课标全国卷)主视图为一个三角形的几何体可以是________________(写出三种)． 解析：由于主视图为三角形，只需构造一个简单几何体，使得从正面看正好是三角形即可，例如圆锥、三棱锥、三棱柱、正四棱锥或有一侧棱垂直于底面，底面为矩形的四棱锥等，答案不唯一． 答案：圆锥、三棱锥、正四棱锥(答案不唯一) 8. (2012·温州质检)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，其主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为__________． 解析：根据这两个视图可以推知折起后二面角C－BD－A为直二面角，其左视图是一个两直角边长为的直角三角形，其面积为. 答案： 三、解答题 9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径． 解：作出圆台的轴截面如图． 设O′A′＝r， 一底面周长是另一底面周长的3倍， OA＝3r，SA′＝r，SA＝3r，OO′＝2r. 由轴截面的面积为(2r＋6r)·2r＝392，得r＝7. 故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14. 10．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长． 解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x， 则OC＝x， ＝， 解得x＝120(3－2)， 正方体的棱长为120(3－2)cm. 11. (探究选做)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形． (1)根据图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA. 解：(1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2. (2)由左视图可求得PD＝＝＝6. 由主视图可知AD＝6且ADPD， 所以在RtAPD中， PA＝＝＝6 cm. 高考学习网： 高考学习网：。

2021年高三数学一轮复习 第八章第9课时知能演练轻松闯关 新人教版1．AB 为过椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的弦，F (c,0)为它的焦点，那么△FAB 的最大面积为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bcA 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，那么S △FAB ＝12|OF |·|2y 1|＝c |y 1|≤bc .2．(2021·高考卷)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，那么y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0F 为圆心、|FM |为半径的圆的HY 方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的间隔 为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.3．曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，求1a －1b的值．解：设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a －y 2b＝1，x ＋y －1＝0，那么(b －a )x 2＋2ax －a －ab ＝0.所以x 1＋x 2＝－2a b －a ，x 1x 2＝－a －abb －a，y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2，根据OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，得 1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0， 因此1＋2a b －a ＋2×－a －ab b －a ＝0，化简得b －a ab＝2， 即1a －1b＝2.一、选择题1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公一共点，那么m 的取值范围是( )A ．m >4B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0.假设直线与椭圆有两个公一共点，那么Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，求得m <0或者m x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3.综上，得m 的取值范围是m >1且m ≠3.应选B.2．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，那么OA →·OB →等于( ) A.34 B ．－34C ．3D ．－3解析：选B.法一：(特殊值法)抛物线的焦点为F (12，0)，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)，∴OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.3．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，那么此弦所在直线的方程是( ) A ．3x ＋2y －4＝0 B ．4x ＋6y －7＝0 C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.4．(2021·高考课标全国卷)双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B.∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的HY 方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 1＋x 2＝6a2a 2－b 2＝2×(－12)．∴a 2＝－4a 2＋4b 2， ∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.5．(2021·调研)抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4间隔 最近的点的坐标是( ) A ．(32，54)B ．(1,1)C ．(32，94)D ．(2,4)P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任 一点，那么P 到直线的间隔 d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝x －12＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)．二、填空题6．假设圆x 2＋y 2－ax －2＝0与抛物线y 2＝4x 的准线相切，那么a 的值是________． 解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，圆的方程变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a24＋2，由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋1＝a 24＋2，即a 24＋a ＋1＝a 24＋2，∴a ＝1. 答案：17．假设m ＞0，点P (m ，52)在双曲线x 24－y25＝1上，那么点P 到该双曲线左焦点的间隔 为________．解析：点P (m ，52)在双曲线x 24－y25＝1上，且m ＞0，代入双曲线方程解得m ＝3，双曲线左焦点F 1(－3,0)，故|PF 1|＝3＋32＋52－02＝132. 答案：1328．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .假设AM →＝MB →，那么p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P .那么∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.答案：2 三、解答题9．双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)．直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，且c ＝7，那么a 2＋b 2＝7.①由MN 中点横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 得2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5，故所求方程为x 22－y 25＝1. 10．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，且m ·n ＝0，椭圆离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆方程；(2)假设存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32b ＝1，解得a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)设AB 方程为y ＝kx ＋ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1·x 2＝－1k 2＋4. 由：0＝m ·n ＝x 1x 2b 2＋y 1y 2a2 ＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2＋44·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋34k ·－23k k 2＋4＋34.解得k ＝± 2.11．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点为B (0，－1)，右焦点到直线m ：x －y ＋22＝0的间隔 为3. (1)求椭圆C 的HY 方程；(2)是否存在斜率k ≠0的直线l 与C 交于M ，N 两点，使|BM |＝|BN |？假设存在，求k 的取值范围；假设不存在，说明理由．解：(1)由题意，b 2＝1，设右焦点为F (c,0)， 那么d ＝|c ＋22|2＝3，即|c ＋22|＝3 2.解得c ＝2，又a 2＝c 2＋b 2＝3，∴a 2＝3. ∴所求椭圆C 的HY 方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在k 满足条件，设l 与C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．那么⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x223＋y 22＝1，两式相减得13(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.设MN 的中点为P (x 0，y 0)，∴k ·k OP ＝－13，即k ＝－x 03y 0.又∵BP ⊥l ，∴y 0＋1x 0＝－1k. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－32k ，y 0＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ，12.∵要使|BM |＝|BN |，须x 203＋y 20<1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k 23＋14<1，∴k 2<1且k ≠0.∴存在－1<k <0或者0<k <1满足题设．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

一、选择题1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条直线 C ．两个点 D ．4条直线【解析】 由(x －y )2＋(xy －1)2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)． 【答案】 C2．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 设椭圆的中心为O ，则OM 是△PF 1F 2的中位线， ∴|MO |＋|MF 1|＝a ＞c ，∴动点M 的轨迹是以点F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 B3．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0【解析】 ∵AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB |＝5， 设点C (x ，y )由题意可知 12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， ∴4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 【答案】 B4．(2012·杭州模拟)设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λx 0－x y －y 0＝－λy (λ＞0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝λ＋1y由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1， ∴点M 的轨迹是椭圆． 【答案】 B5．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |， ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ | ＝|CQ |＝5，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.【答案】 D 二、填空题6．(2012·汕头模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．【解析】 由题意△ABC 是以点C 为直角顶点的三角形． ∴|MC |＝3，故圆心M 的轨迹是以点C (1，－1)为圆心，以3为半径的圆， 其轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝97．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为________．【解析】 依题意，设PM ，PN 与圆的切点为C ，D ，则|PM |－|PN |＝(|PC |＋|MC |)－(|PD |＋|DN |)＝|MB |－|NB |＝2，∴点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线(与x 轴的交点除外)的右支，c ＝3，a ＝1，b 2＝8，轨迹方程为x 2－y 28＝1(y ≠0，x ＞0)．【答案】 x 2－y 28＝1(y ≠0，x ＞0)8．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 【答案】x 29－y 216＝1(x ＞3) 三、解答题9．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 直线l 与y 轴的交点为N (0,1)，圆心C (2,3)，设M (x ，y )，∵MN 与MC 所在直线垂直，∴y －1x ·y －3x －2＝－1，(x ≠0且x ≠2)， 当x ＝0时不符合题意，当x ＝2时，y ＝3符合题意， ∴AB 中点的轨迹方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0，7－74＜x ＜7＋74.图8－5－410．(2011·陕西高考)如图8－5－4，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【解】 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 11．已知点A (2,0)，B (－2,0)，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点(12，0)作直线l ，与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)设P 点的坐标为(x ，y )，依题意得yx －2·y x ＋2＝－34(x ≠±2)，化简并整理得x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． ∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)依题意得，直线l 过点(12，0)，且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 24＋y 23＝1，消去x 得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4， ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4， ①当m ＝0时，k ＝0， ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，又|4m ＋4m |＝4|m |＋4|m |≥8，∴0＜|k |≤18，∴－18≤k ≤18，且k ≠0，综合①②，直线AM 的斜率k 的取值范围为[－18，18]．。

课时知能训练
一、选择题
1．2022·湛江调研以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆2＋2－2＋6＋9＝0圆心的抛物线方程是
A．＝32或＝－32B．＝32
C．2＝－9或＝32 D．＝－32或2＝9
【解析】圆的标准方程为－12＋＋32＝1，故圆心坐标为1，－3，
设抛物线方程为2＝2
1求抛物线方程；
2过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
【解】1抛物线2＝20,2，
∵F1,0，∴FA＝错误!
∵MN⊥FA，∴MN＝－错误!
则FA所在直线的方程为＝错误!－1．
MN所在直线的方程为－2＝－错误!
解方程组错误!，得错误!
∴N错误!，错误!．
10．给定抛物线C：2＝4，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
1设的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
2若错误!，且错误!－错误!，0，记点A1，1，B2，2，
由错误!得2－4－4＝0，
∴Δ＝42－－16＝162＋1>0，
∴1＋2＝4，1·2＝－4
由错误!＝a错误!，得1＋错误!，1＝a－1,1－1，
∴a＝错误!＝－错误!，同理可得b＝－错误!，
∴a＋b＝－错误!＋错误!＝－2＋错误!＝－1，
∴对任意的直线，a＋b为定值－1。

高三数学总复习知能达标训练第八章第八节 直线与圆锥曲线的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0， 若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案 D2．(2012·长沙模拟)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 解析 根据已知条件c ＝16－m 2， 则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上， ∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.答案 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为A ．2B ．4C ．6D ．8解析 焦点F (1,0)，AF 的直线方程为y －0＝tan π3(x －1)，即y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得[3(x －1)]2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13(舍去)，故点A 的坐标为(3,23)，|AF |＝(3－1)2＋(23－0)2＝4.答案 B 4．(2012·杭州模拟)AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为A ．b 2B ．abC ．acD ．bc解析 设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，则S △F AB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc . 答案 D5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为A ．2 B.455 C.4105D.8105 解析 设椭圆交直线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .消去y ， 得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案 C6．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析 由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCM ＝30°，又|AF |＝3，∠AFx ＝60°，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332， A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.答案 B二、填空题(3×4分＝12分) 7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m ＞0且m ≠5. ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.答案 m ≥1且m ≠58．(2012·湛江模拟)直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 不同两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4＞0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k ＞－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 答案 29．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M 、N 的坐标分别为________．解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2，整理得x 2＋x －b ＝0，Δ＝1＋4b ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，代入得b ＝2，解得x1＝－2，y1＝4，x2＝1，y2＝1. 答案(－2,4)，(1,1)三、解答题(38分)10．(12分)(2011·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．解析(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以(a－c)2＋b2＝2c.整理得2⎝⎛⎭⎪⎫ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x2＋4y2＝12c2，y＝3(x－c).消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解⎩⎨⎧x1＝0，y1＝－3c，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝85c，y2＝335c.不妨设A⎝⎛⎭⎪⎫85c，335c，B(0，－3c)，所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫85c2＋⎝⎛⎭⎪⎫335c＋3c2＝165c.于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝|－3－3－3c|2＝3|2＋c|2.因为d2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN|22＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.11．(12分)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别为双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC→＝λOA →＋OB →，求λ的值． 解析 (1)M (－a,0)，N (a,0)，由k PM ·k PN ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝15， 又x 20a 2－y 20b 2＝1，∴a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.设OC →＝(x 3，y 3)，由于OC →＝λOA →＋OB →， 即x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，∴x 23－5y 23＝5b 2，即(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，即λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.又A ，B 在双曲线上，∴x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.又x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，∴λ2＋4λ＝0，λ＝0或λ＝－4.12．(14分)(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC 并延长，交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k .(1)若直线P A 平分线段MN ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；(3)对任意的k ＞0，求证：P A ⊥PB .解析 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 由于直线P A 平分线段MN ，故直线P A 过线段MN 的中点，又直线P A 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线P A 的方程为y ＝2x ， 代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23， 因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43. 于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)证法一 将直线P A 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2， 则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)． 故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k 2， 其方程为y ＝k 2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ. 因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率 k 1＝μk 32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .证法二 设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)． 设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k 2. 从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1 ＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .。

1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：选D.由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，故选D.2．(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选D.由已知得椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为F (2,0)，∴p2＝2，得p ＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.y 2＝8x 的焦点是F (2,0)， 准线x ＝－2，如图所示，|PA |＝4，|AB |＝2，∴|PB |＝|PF |＝6.故选B.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)， 则p2＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19C.15D.13解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19.5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,2) C ．(3,2) D ．(2,4) 解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C. 二、填空题6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF 的面积是________．解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎪⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178， 所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916 8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·(－32)＝12，x ＝±2 3.故水面宽4 3 米．答案：4 3 三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 11．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2， 又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过点O ，∴O A →·O B →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5) ＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25 ＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0， ∴p ＝54，∴抛物线方程为y 2＝52x .。

高三数学总复习知能达标训练第八章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 C2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A3．圆心在抛物线y 2＝2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0 解析 设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，依题意有a 22＋12＝|a |， 得圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1. 答案 D4．(2012·台州模拟)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2.答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0 解析 设弦心距为d ，则d ＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22≤1， 即|2k －3＋3|k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33. 答案 B6．(2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C 1化为标准式(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0⇒y ＝m (x ＋1)，当m ＝0时，C 2：y ＝0此时C 2与C 1仅有两交点；当m ≠0时，易知要满足题意需(x －1)2＋y 2＝1与y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时m ＝±33，∴直线处于两切线之间，即－33＜m ＜0或0＜m ＜33.综上m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·中山模拟)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.解析 d ＝|a ＋1|a 2＋1，由已知条件d 2＋3＝4， 即d 2＝1，|a ＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 答案 08．过点(－1，－2)的直线被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 当斜率不存在时，易知l 与圆相离，∴斜率存在，设圆的斜率为k ，∴l ：y ＋2＝k (x ＋1)，即：kx －y ＋k －2＝0，对于圆的方程，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)，半径为1，∴圆心到l 的距离：d ＝|k －1＋k －2|k 2＋1＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒(7k －17)(k －1)＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案 k ＝1或k ＝1779．(2011·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________．(2)圆C 上任一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆心(0,0)，∴d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5. (2)如图设直线l ′∥l ，且l ′与圆交于P 、Q 两点，过圆心作AB ⊥l 交l 于B 交l ′于C ，∵|BC |＝2，|OC |＝5－2＝3，又|OP |＝12＝23，∴∠OPQ ＝60°，平移A 到l 距离小于2，则A 在PAQ 上，∴P ＝60°360°＝16.答案 (1)5 (2)16三、解答题(38分)10．(12分)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为M 、N ，证明：直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证明 证法一 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵M 、N 在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴过M 、N 的切线方程分别是：x 1x ＋y 1y ＝r 2，x 2x ＋y 2y ＝r 2，又P 是两切线公共点，即有：x 1x 0＋y 1y 0＝r 2，x 2x 0＋y 2y 0＝r 2，上两式表明点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在二元一次方程x 0x ＋y 0y ＝r 2表示的直线上．所以直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证法二 以OP 为直径的圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12y 02＝14(x 20＋y 20)， 即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，又圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，两式相减得x 0x ＋y 0y ＝r 2，这便是过切点M 、N 的直线方程．11．(12分)一直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．解析 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， ∴|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3， 解得k ＝－34.所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．(14分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析 (1)对于y ＝x 2－6x ＋1，令x ＝0得y ＝1，令y ＝0得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，∴曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴交于(0,1)与x 轴交于(3＋22，0)及(3－22，0)，设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将以上三点代入．解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1.∴x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0即(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0(x －3)2＋(y －1)2＝9消y 得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，由已知Δ＝(2a －8)2－2×4(a 2－2a ＋1)＝56－16a －4a 2＞0.∴－2－32＜a ＜－2＋32(*)∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0⇒a ＝－1符合(*)，∴a ＝－1.。

1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．解析：由题意得：动圆圆心的轨迹是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故其抛物线方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x2．自圆外一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线PM 和PN ，若∠MPN ＝π2，则动点P 的轨迹方程是________．解析：依题意，OMPN 是正方形，∴OP 2＝(2OM )2＝2，即x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝23．已知点A (－2,0)，B (2,0)，曲线C 上的动点P 满足AP →·BP →＝－3. (1)求曲线C 的方程；(2)若过定点M (0，－2)的直线l 与曲线C 有交点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )， 由AP →·BP →＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2－4＋y 2＝－3，得P 点轨迹(即曲线C )的方程为x 2＋y 2＝1. (2)可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 其一般方程为：kx －y －2＝0， 由直线l 与曲线C 有交点，得 |0－0－2|k 2＋1≤1，解得k ≤－3或k ≥3， 即所求k 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．一、选择题1．(2012·无锡调研)下列各点在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0表示的曲线上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(1，－1) D ．(1，－2)解析：选D.验证法，点(0,0)显然不满足方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0，当x ＝1时，方程变为1－y ＋2y ＋1＝0，解得y ＝－2， ∴(1，－2)点在曲线上．故选D.2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B.|MN →|＝4，|MP →|＝x ＋22＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)， ∴4x ＋22＋y 2＋4(x －2)＝0，∴y 2＝－8x .3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线解析：选A.设C (x ，y )， 则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．(2012·兰州质检)一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆解析：选A.∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线，∴|PA |＝|PQ |.又∵|PA |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |.由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆． 二、填空题6．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．解析：设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．答案：x 2－4y 2＝17．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．解析：在Rt △AOP 中(O 为坐标原点)，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴PO ＝2OA ＝2，动点P 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2012·大同调研)直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴的交点分别为A (a,0)，B (0,2－a )，AB 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 三、解答题9．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，求点P 的轨迹方程．解：∵RA →＝AP →，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA →＝AP →，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q 是椭圆外的动点，满足|F 1Q |＝2a ，点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT →·TF 2→＝0，|TF 2→|≠0. (1)设x 为点P 的横坐标，证明|F 1P |＝a ＋cax ； (2)求点T 的轨迹C 的方程．解：(1)证明：设P (x ，y )，则|F 1P |2＝(x ＋c )2＋y 2＝(x ＋c )2＋b 2－b 2a2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c a x 2. ∵x ≥－a ，∴a ＋ca x ≥a －c >0，∴|F 1P |＝a ＋cax .(2)设T (x ，y )．当|PT →|≠0时， ∵PT →·TF 2→＝0， ∴PT ⊥TF 2.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝|PF 1|＋|PQ |， ∴|PQ |＝|PF 2|，∴T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，|OT |＝12|F 1Q |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2. 当|PT →|＝0时，点(－a,0)和(a,0)在轨迹上．综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2＝a 2.11．设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求：(1)动点P 的轨迹方程；(2)|NP →|的最大值，最小值．解：(1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0.则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0.∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k2.设P (x ，y )是中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 1＋x 2，y ＝12y 1＋y 2＝12kx 1＋1＋kx 2＋1，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点， 也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，∴－14≤x ≤14.而|NP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值216，当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。

（新课标）高考数学一轮复习第八章 第 3 讲 知能训练轻松闯 关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习 第八章 第 3 讲 知能训练轻松闯关1．经过点 (1 ， 0) ，且圆心是两直线 x ＝ 1 与 x ＋ y ＝ 2 的交点的圆的方程为 ( )A ． ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1B ．． ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝1C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 1D ．( x － 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2x ＝ 1x ＝ 1，分析：选 B ．由，得x ＋ y ＝2y ＝ 1，1，故圆的方程为 ( x 即所求圆的圆心坐标为(1 ， 1) ，又由该圆过点 (1 ，0) ，得其半径为 －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1．2．已知⊙ C ：x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，则“ F ＝E ＝ 0 且 D <0”是“⊙ C 与 y 轴相切于原点”的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件D分析：选 A ．由题意可知，要求圆心坐标为－ ， 0 ，而 D 能够大于 0．23．圆 ( x ＋ 2) 2＋ y 2＝ 5 对于直线 y ＝ x 对称的圆的方程为 ()A ． ( x － 2) 2＋ y 2＝ 5B ．x 2＋ ( y － 2) 2＝ 5C ．( ＋ 2) 2＋ ( y ＋2) 2＝ 5D ． x 2＋ ( y ＋2)2＝ 5xx 2＋ ( y ＋ 2) 2分析：选 D ．由题意知所求圆的圆心坐标为 (0 ，－2) ，所以所求圆的方程为 ＝5．4．若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x － 3y ＝0 和 x 轴都相切，则该圆 的标准方程是 ( )A ．( － 2) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ．( x － 2) 2＋( y ＋1) 2＝ 1xC ． ( x ＋ 2) 2＋ ( y －1) 2＝ 1D ．( x － 3) 2＋( y － 1) 2＝ 1分析：选 A ．因为圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为 ( a ， 1) ，又圆与直线 4x－3y ＝ 0 相切，可得 |4 a － 3|＝1，解得 a ＝ 2，故圆的标准方程为 ( x － 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1．55．(2015 ·温州模拟 ) 已知点 P ( x ， y ) 是直线 kx ＋ y ＋ 4＝ 0( k ＞ 0) 上一动点， PA ， PB 是圆 C ： x 2＋ y 2－ 2y ＝ 0 的两条切线， A ， B 为切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为()A ． 4B ．3C ． 2D ． 2分析：选 C ．圆 C 的方程可化为 x 2＋ ( y －1) 2＝ 1，因为四边形 PACB 的最小面积是 2，且此时切线长为2，故圆心 (0 ， 1) 到直线 kx ＋ y ＋ 4＝ 0 的距离为5，即5＝ 5，解得 k1＋ k 2＝± 2，又 k ＞ 0，所以 k ＝ 2．16．假如直线l将圆C：( x－ 2)2＋ ( y＋ 3)2＝ 13 均分，那么坐标原点O到直线 l 的最大距离为 ________．分析：由题意，知直线l 过圆心 C(2，－3)，当直线 OC⊥ l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，| | ＝22＋（－ 3）2＝ 13．OC答案：137．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且 | AB| ＝ 6，若以AB的长为直径的圆M 恰好经过点 (1 ，－ 1) ，则圆心的轨迹方程是 ________________ ．C M分析：设圆心坐标为 M( x， y)，||2则 ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝AB，2即 ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 9．答案： ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 98．(2015 ·太原市模拟 ) 已知点P是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点，点C是圆x2＋y2－ 2x －2y＋ 1＝0 的圆心，那么 | PC| 的最小值是 ________．分析：点C到直线 3＋4y＋ 8＝ 0 上的动点P的最小距离即为点C到直线 3 ＋4y＋8＝0x x的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，所以最小距离为|3 ×1＋4×1＋ 8|＝ 3．5答案： 39．在平面直角坐标系xOy 中，求与x轴订交于(1，0)和(5 ，0) 两点且半径为5的A B圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为( x－a) 2＋ ( y－b) 2＝5．因为点 A， B 在圆上，所以可获得方程组：（－2＋（ 0－b）2＝5，）1 a（ 5－a）2＋（ 0－b）2＝ 5，a＝3，解得b＝±1.( x－3) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 5所以圆的标准方程是或 ( x－3) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 5．法二：因为 A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，依据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直均分线x＝3上，于是能够设圆心为C(3，b)．又＝5，得（3－1）2＋ 2＝ 5．AC b解得 b＝1或 b＝－1．( x－ 3) 2＋( y－ 1) 2＝ 5所以，所求圆的标准方程为或 ( x－3) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 5．10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和 B(3，4)，线段 AB的垂直均分线交圆 P于点C 和，且|| ＝4 10．D CD(1)求直线 CD的方程；(2)求圆 P 的方程．解： (1) 直线AB的斜率k＝ 1，AB的中点坐标为 (1 ， 2) ．则直线 CD的方程为 y－2＝－( x－1)，即 x＋y－3＝0．(2)设圆心P(a，b)，则由点P 在CD上，得 a＋b－3＝0．①又∵直径 | CD| ＝4 10，∴| PA| ＝210，∴( a＋1) 2＋b2＝ 40．②a＝－3a＝5，由①②解得或b＝－2.b＝62∴圆心 P ( － 3，6) 或 P (5 ，－ 2) ． 22∴圆 P 的方程为 ( x ＋ 3) ＋( y － 6) ＝ 40 或 ( x －5) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 40．1．若曲线 ：2＋ 2 ＋ 2 －4 ＋ 5 2－4＝0 上全部的点均在第二象限内，则a 的取值Cxyaxaya范围为()A ． ( －∞，－ 2)B ．( －∞，－ 1)C ． (1 ，＋∞)D ．(2 ，＋∞)分析：选 D ．曲线 C 的方程可化为 ( x ＋ a ) 2＋ ( y － 2a ) 2＝ 4，其为圆心为 ( － a ， 2a ) ，半径为 2 的圆，要使圆 C 的全部的点均在第二象限内， 则圆心 ( － ， 2 ) 一定在第二象限，进而有 a >0，aaC 的半径，而且圆心到两坐标轴的最短距离应当大于圆易知圆心到坐标轴的最短距离为 | － a | ，则有 | － a |>2 ，得 a >2．2．已知两点 A (0 ，－ 3) 、 B (4 ， 0) ，若点 P 是圆 C ： x 2＋ y 2－ 2y ＝ 0 上的动点，则△ ABP面积的最小值为 ( )11A ． 6B ． 221 C ． 8D ． 2分析：选 B ．如图，过圆心C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P ，这时△ ABP 的面积最小．直x ＋ y＝ 1，即 3 x － 4y － 12 ＝ 0 ，圆心 C 到直线AB 的距离为d ＝线 AB 的方程为4 － 3|3 × 0－4×1－ 12| 1632＋（－ 4） 2 ＝ 5 ，116 11∴△ ABP 的面积的最小值为 2× 5× ( 5 － 1) ＝ 2 ．3．当方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 2y ＋ k 2 ＝0 所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝ ( k －1) x ＋ 2的倾斜角 α＝ ________．分析：由题意知，圆的半径r ＝ 1k 2＋4－ 4k 2＝14－ 3k 2≤1，当半径 r 取最大值时，2 2圆的面积最大， 此时 k ＝ 0，r ＝ 1，所以直线方程为 y ＝－ x ＋ 2，则有 tan α ＝－ 1，又 α∈[0 ，3π π) ，故 α＝ 4 ．3π答案： 44． ( 创新题 ) 已知直线 2ax ＋ by ＝ 1( a ， b 是实数 ) 与圆交于 A ， B 两点，且△ AOB 是直角三角形，点 P ( a ，b ) 是以点O ： x 2＋y 2＝ 1( O 是坐标原点 ) 相M (0 ，1) 为圆心的圆 M 上的随意 一点，则圆 M 的面积的最小值为 ________．分析：因为直线与圆 O 订交所得△ AOB 是直角三角形，可知∠ AOB ＝ 90°，所以圆心 O1 2 2 1 2 到直线的距离为2a 2 ＋ b 2＝ 2 ，所以 a ＝ 1－ 2b ≥ 0，即－ 2≤ b ≤ 2．设圆 M 的半径为 r ，322122则 r ＝ | PM | ＝ a ＋（ b －1） ＝ 2b－ 2b ＋ 2＝ 2 (2 － b ) ，又－ 2 ≤ b ≤ 2，所以2 ＋1≥|PM |≥ 2－ 1，所以圆 M 的面积的最小值为 (3 － 2 2) π．答案： (3 － 2 2) π5．(2013 ·高考课标全国卷Ⅱ ) 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为2 3．(1) 求圆心 P 的轨迹方程；(2) 若 P 点到直线 y ＝ x 的距离为2，求圆 P 的方程．2解： (1) 设 P ( x ， y ) ，圆 P 的半径为 r ．由题设 y 2＋ 2＝ r 2， x 2＋ 3＝ r 2，进而 y 2＋ 2＝x 2＋ 3．故 P 点的轨迹方程为 y 2－ x 2＝ 1．0| 2| 0－xy(2) 设 P ( x 0， y 0) ．由已知得2 ＝ 2 ．2 2| x 0－ y 0| ＝ 1， 又 P 点在双曲线 y － x ＝ 1 上，进而得22x －y ＝ 1，x ＝ 0，y 0－ x 0＝ 1.由0 得 022 y ＝－ 1.y－x ＝ 1，此时，圆 P 的半径 r ＝ 3．由x 0－y 0＝－ 1，得x 0＝ 0，22y 0 ＝1，y 0 －x 0＝ 1，此时，圆 P 的半径 r ＝ 3．故圆 P 的方程为 x 2＋ ( y ＋ 1) 2＝ 3 或 x 2＋( y － 1) 2＝ 3．6． ( 选做题 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2的圆 C 与直线 y ＝ x 相切于坐标原点 O ．(1) 求圆 C 的方程；(2) 尝试究 C 上能否存在异于原点的点 Q ，使 Q 到定点 F (4 ，0) 的距离等于线段 OF 的长？若存在，恳求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1) 设圆 C 的圆心为 C ( a ， b ) ，则圆 C 的方程为 ( x － ) 2＋( y－ ) 2＝ 8．ab∵直线 y ＝ x 与圆 C 相切于原点 O ， ∴ O 点在圆 C 上， 且 OC 垂直于直线 y ＝ x ，a 2＋b 2＝ 8 a ＝ 2a ＝－ 2 于是有 b? 或 ．a ＝－ 1b ＝－ 2b ＝ 2因为点 C ( a ， b ) 在第二象限，故 a <0， b >0， ∴圆 C 的方程为 ( x ＋ 2) 2＋( y －2) 2＝ 8．(2) 假定存在点 Q 切合要求，设 Q ( x ， y ) ，（ x － 4）2＋ y 2＝ 16， 则有（ x ＋ 2）2＋（ y － 2） 2＝ 8，4解之得 x ＝ 5或 x ＝ 0( 舍去 ) ．4 12∴存在点 Q ( 5， 5 ) ，使 Q 到定点 F (4 ， 0) 的距离等于线段 OF 的长．45。

高中数学 第8章8.3知能优化训练 湘教版选修231．设随机变量ξ～N (2,2)，则D (ξ)的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 解析：选B.∵ξ～N (2,2)，∴D (ξ)＝2.2.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )A ．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B ．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C ．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D ．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12πe －x 22在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，X 在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.4．设随机变量ξ服从标准正态分布，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________． 解析：c ＋1与c －1关于ξ＝0对称，∴c ＋1＋c －12＝0，∴c ＝0. 答案：0一、选择题1．在标准正态分布中，其随机变量的数学期望与方差分别为( )A ．0,0B ．1,0C ．0,1D ．1,1解析：选C.标准正态分布，n ＝0，σ＝1.2．某测量值X 服从标准正态分布，对于x 0，则Φ(x 0)＋Φ(－x 0)＝( )A ．0 B.12πC ．2Φ(x 0)D ．1答案：D3．在某标准正态分布中，对于某量a ≥0，则Φ(a )与Φ(－a )的大小( )A ．Φ(a )＞(－a )B ．Φ(a )＜Φ(－a )C ．Φ(a )≥Φ(－a )D ．Φ(a )≤Φ(－a )解析：选C.当a ＝0时，Φ(a )＝Φ(－a )＝12.当a ＞0时，Φ(a )＞Φ(－a )． 4．在某测量随机变量的标准正态中，有( )A ．P (－1＜x ＜1)＞P (0＜x ＜2)B ．P (0＜x ＜1)＝P (1＜x ＜2)C ．P (0＜x ＜2)＜P (5＜x ＜8)D．P(x＜－1)＞P(x＞1)解析：选A.根据标准正态曲线的对称性及Φ(a)的意义，表示P(x＜a)．5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( ) A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析：选C.ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝( )A.12＋p B.12－pC．1－2p D．1－p解析：选B.P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.二、填空题7．在标准正态分布中，若P(x＜a)＝0.5，则a＝________.解析：标准正态分布关于y轴对称，P(x＜0)＝0.5.答案：08．若随机变量X服从数学期望值μ，标准差是σ的正态分布，当X＝________时，正态曲线达到最大值．解析：正态曲线关于μ对称，当X＝μ时有最大值．答案：μ9．在标准正态分布Φ(x)＝12πe－x22中，若P(x＜3)＝0.9987，则P(－3＜x＜0)＝________.解析：P(x＞3)＝1－P(x＜3)＝1－0.9987＝0.0013，∴P(x＜－3)＝P(x＞3)＝0.0013.又P(x＜0)＝0.5.P(－3＜x＜0)＝P(x＜0)－P(x＜－3)＝0.5－0.0013＝0.4987.答案：0.4987三、解答题10．对于正态分布曲线Φ(x)＝12πe－x22，若Φ(1.5)＝0.9332，Φ(2)＝0.9772.(1)求P(－1.5＜x＜1.5)；(2)求P(－1.5＜x＜2)；(3)求P(－2＜x＜－1.5)．解：(1)∵Φ(1.5)＋Φ(－1.5)＝1，∴Φ(－1.5)＝1－Φ(1.5)，P(－1.5＜x＜1.5)＝Φ(1.5)－Φ(－1.5)＝Φ(1.5)－(1－Φ(1.5))＝2Φ(1.5)－1＝2×0.9332－1＝0.8664.(2)P(－1.5＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(－1.5)＝Φ(2)－1＋Φ(1.5)＝0.9772＋0.9332－1＝0.9104.(3)P(－2＜x＜－1.5)＝P(1.5＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(0.5)＝0.9772－0.9332＝0.0440.11．对直径等于1 cm的圆测量的周长是x，设测量的标准差是σ，要使P(|x－μ|≤0.0353)＝0.95，其标准差的最小值是多少？解：根据定理在正态分布中P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －M |σ≤1.96＝0.95，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x －M |σ≤1.96＝{|x －M |≤1.96σ}，∴0.0353≤1.96σ，∴σ≥0.018 (cm)， ∴标准差σ的最小值为0.018 cm.12．一次数学考试中，某班学生的分数X 服从正态分布，全班的平均分为μ＝110.(1)当全班分数的标准差为10时，计算|x －110|≤19.6的概率；(2)当全班学生的分数标准差为20时，计算P (70.8≤x ≤149.2)．解：根据定理P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －μ|σ≤1.96＝0.95，(1)当σ＝10，μ＝110时，(x －110)≤19.6，即x －μ10≤1.96，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －110|10≤1.96＝0.95.(2)70.8≤X ≤149.2，∴－39.2≤X －110≤39.2，即|x －110|20≤1.96也是|x －M |σ≤1.96.∴P (70.8≤X ≤149.2)＝0.95.。