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专题讲座五 实际应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题，高考命题坚持“贴近课本、贴近生活、贴近实际”的原则，要求考生一方面要牢固掌握基础知识、基本技能和基本方法；另一方面要善于把文字语言转译成数学语言，实现由实际问题向数学问题的转化．函数、不等式应用题函数应用题经常涉及路程、物价、产量等实际问题，也可涉及长度、角度、面积、体积等几何量，解答这类问题一般要列出有关解析式，然后用函数、方程、不等式等知识解决．(2015·深圳模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ [解] (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，所以当x ＝4 050时，y max ＝307 050.即每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．[规律方法] 在解决此类问题时需注意：一要过“阅读”关，读懂题目，能够概括出问题所涉及的内容；二要过“理解关”，准确理解和把握这些变量之间的关系；三要过“建模关”，在前两步的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型；四要过“解题关”，通过解决数学问题得出实际问题的结论．数列应用题数列应用题，经常涉及到与增长率有关的实际问题以及已知前几个量的归纳推理问题，需要运用等差、等比数列知识解决．(2015·广东广州模拟)流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市今年4月份曾发生流感．据资料统计，4月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到4月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人．问4月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．[解] 设从4月1日起第n (n ∈N *，1≤n ≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从4月1日到第n 日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，前n 日的患者总人数即该数列前n 项之和S n ＝20n ＋n （n －1）2·50＝25n 2－5n .从第n ＋1日开始，至4月30日止，每日的新患者人数依次构成另一个等差数列，这个等差数列的首项为[20＋(n －1)·50]－30＝50n －60，公差为－30，项数为(30－n )，(30－n )日的患者总人数为T 30－n ＝(30－n )(50n －60)＋（30－n ）（29－n ）2(－30)＝(30－n )(65n －495)＝－65n 2＋2 445n －14 850. 依题意，S n ＋T 30－n ＝8 670，即(25n 2－5n )＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670. 化简得n 2－61n ＋588＝0， 解得n ＝12或n ＝49. ∵1≤n ≤30，∴n ＝12.第12日的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570.∴4月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者为570人．[规律方法]本题主要考查了等差数列的概念和公式，考查了阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力以及应用所学知识分析和解决实际问题的能力．概率应用题概率应用题主要考查古典概型、几何概型、互斥事件的概率．在考查概率时，还与二项分布及离散型随机变量的期望与方差结合．(2015·北京丰台模拟)年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，－1表示“生活不能自理”．(1)估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率；(2)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于 1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”．请写出该地区老龄人健康指数X 的分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”．[解] (1)该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为250＋260＋65250＋260＋65＋25＝2324，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.(2)(用频率估计概率)：E (X )＝2×270700＋1×305700＋0×85700＋(－1)×40700＝1.15，因为E (X )＜1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”．[规律方法] 解决此类问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率，再利用随机变量均值公式求出均值．1．(2015·郑州市质检)为了迎接2015年3月29日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有六个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志．摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是45.”(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．解：(1)设印有“美丽绿城行”的球有n 个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A ，则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P (A －)＝C 2nC 26，由对立事件的概率：P (A )＝1－P (A －)＝45，即P (A －)＝C 2n C 26＝15，解得n ＝3.故盒中印有“郑开马拉松”的小球有3个．(2)由已知，两种球各三个，故η的可能取值分别为1，2，3， P (η＝1)＝C 23C 26＝15，P (η＝2)＝C 23C 26·C 23C 24＋C 13C 13C 26·C 22C 24＝15，P (η＝3)＝1－P (η＝1)－P (η＝2)＝35.则η的分布列为：所以E (η)＝1×15＋2×15＋3×35＝125.2．(2015·东北四市联考) 在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P .有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B 到C 的行驶过程中与观察站P 的最短距离． 解：(1)设船速为x km/h ，则BC ＝x6 km.在Rt △P AB 中，∠PBA 与俯角相等为30°， ∴AB ＝1tan 30°＝ 3.同理，在Rt △PCA 中，AC ＝1tan 60°＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°， ∴由余弦定理得 BC ＝（3）2＋⎝⎛⎭⎫332－2×3×33cos 60°＝213， ∴x ＝6×213＝221(km/h)， ∴船的航行速度为221 km/h.(2)法一：作AD ⊥BC 于点D (图略)，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小． 此时，AD ＝AB ·AC ·sin 60°BC＝3×33×32213＝3147. ∴PD ＝1＋⎝⎛⎭⎫31472＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km. 法二：由(1)知在△ACB 中，由正弦定理AC sin B ＝BCsin 60°，∴sin B ＝33×32213＝2114.作AD ⊥BC 于点D (图略)，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．此时，AD ＝AB sin B ＝3×2114＝3147. ∴PD ＝1＋⎝⎛⎭⎫31472＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km. 3．(2015·福建福州模拟)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有(8－t －251×0.2)t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．4．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？解：由题意知，每年投入的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f (n )＝50n －[12n ＋n （n －1）2×4]－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )＞0，故由－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18. 又n ∈N *，故从第三年开始获利．(2)①平均利润为f （n ）n ＝40－2(n ＋36n)≤16，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n ＝6.②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128，当n ＝10时，f (n )max ＝128. 故此方案共获利128＋16＝144万美元．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案较合算．。
