动态几何(讲稿)

第五讲全等三角形动态几何一、知识梳理所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线，上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

解动态几何题一.般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系(如等量关系、变量关系)、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。

二、典型例题例1、如图，已知AB ＝12米，MA ⊥AB 于点A ，MA ＝6米，射线BD ⊥AB 于点B ，点P 从点B 出发沿BA 方向往点A 运动，每秒走1米，点Q 从点B 出发沿BD 方向运动，每秒走2米，若点P 、Q 同时从点B 出发，出发t 秒后，在线段MA 上有一点C ，使由点C 、A 、P 组成的三角形与△PBQ 全等，则t 的值是_____．【答案】4秒例2、如图，有一个直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2/cm s 的速度运动，问P 点运动___________秒时(t 0)>，才能使ABC ≌QPA 全等．【答案】2或8例3、图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为40或75．【分析】设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，使△AEG 与△BEF 全等，由∠A ＝∠B ＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，列方程解得t ，可得AG ；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，列方程解得t ，可得AG ．【解答】解：设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，因为∠A ＝∠B ＝90°，使△AEG 与△BEF 全等，可分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，∵BF ＝AE ，AB ＝100，∴3t ＝100﹣2t ，解得：t ＝20，∴AG ＝BE ＝2t ＝2×20＝40；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，∵BE ＝AE ，AB ＝100，∴2t ＝100﹣2t ，解得：t ＝25，∴AG ＝BF ＝3t ＝3×25＝75，综上所述，AG ＝40或AG ＝75．故答案为：40或75．例4、如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t =1时，AP =BQ =1,BP =AC =3,又∠A =∠B =90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA BAC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).∴∠ACP =∠BPQ ,∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90*.∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC =BP ，AP =BQ ，34t t xt=-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩;②若△ACP ≌△BQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.例5、如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CQP ？（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？例6、如图（1）AB =8cm ，AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC =BD =6cm ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们的运动时间为t (s )．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠= ”，其他条件不变，设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）当1t =时，2AP BQ ==，6BP AC ==，又∠A =∠B =90°，在ACP ∆与BPQ ∆中AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ (SAS )，ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠= ，90CPQ ∴∠= ，即PC PQ ⊥；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC BP =，A P B Q =，8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得12t x =⎧⎨=⎩；②若△ACP ≌△BQP ，则AC BQ =，AP BP =，6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得23t x =⎧⎨=⎩，综上所述，存在1223t t x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，使得ACP ∆与BPQ ∆全等.例7、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 的中点，动点E 从A 点出发沿着AC 匀速运动到终点C ，动点F 从C 点出发沿着CB 匀速运动到终点B ，他们同时出发并同时到达终点，连结DE ，DF ，EF ，在运动过程中。

九年级数学动态几何问题说课稿说课稿
九年级数学动态几何问题说课稿
动态几何问题说课稿说教材：动态几何问题，是近几年来各地中考的热点问题，涉及知识点较为广泛，速度、时间、路程的关系，三角形、四边形、相似形、圆等几何图形的基本性质，点、线、面、体之间的相互联系及位置关系，所考查的数学思维方法与知识包括数形结合，分类讨论，函数与方程等，要求学生能全面思维，在解决矛盾中发展，学会观察总结。

说教法：动态几何问题重点在于理解运动，要教会学生如何能在动中求静，寻求解决问题的方法与技巧，通过师生的互动，学生讨论，认真观察图形，结合已学知识，让学生发现规律，寻找解决问题的突破口，尤其注意相似的思维技巧，充分发挥学生解决问题的主观能动性，并能达到互相关心，加强合作，共同提高的目的。

教学过程中主要运用讨论法、讲练结合法。

说学法：学习动态型几何问题，如何发现图形中的各种联系、性质及规律是关键，学生要能认真观察图形，在动中求静，数形结合，分类讨论，多与同学交流讨论，发现规律，共同提高，学会总结，充分发挥自己的主观能动性，才能学有所得，解决问题。

第十四讲 动点专题（一）所谓“动点型问题”是指将动态几何图形置于平面直角坐标系中，使“数”与“形”有机地结合在一起，很好地体现了数形结合的数学思想；而通过对几何图形运动变化，使学生经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查同学们的创新意识、创新能力的重要题型；由于新的课程标准降低了对圆有关知识的要求，因此平面直角坐标系中的动态几何题成了中考压轴题的重要题型．解决这类问题，首先应理清图形的变化过程，正确分析变量与其他变量之间的内在联系，建立变量与其他变量之间的数学关系；其次要善于探索动点的运动的特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想一、平面直角坐标系动点问题1、已知点A 的坐标是（3，0）、AB=5，（1）当点B 在X 轴上时、求点B 的坐标、（2）当AB//y 轴时、求点B 的坐标2、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1232008P P P P ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为？3、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形 (2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．二、全等三角形中的动点问题1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ．2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.3、如图，将边长为1的等边△OAP 按图示方式，沿x 轴正方向连续翻转2011次，点P 依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．4、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．（1）求证：△ADF ≌△CEF （2）试证明△DFE 是等腰直角三角形5、如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．A EC (F )B图（1）EA GBC (F )D 图（2）6、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．AEEAC CD D BB图1 图2 AA备用图B CB C 备用图8．如图，在等边ABC ∆的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQE ∠ 的大小条件不变，求证：︒=∠60CQE（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确9、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．图1 图2 图3【课后作业】1．如图， 直线l 与x 轴、y 轴分别交于点) 0,8 ( M ，点) 6,0 ( N ．点P 从点N 出发，以每秒1个单位长度的速度沿N →O 方向运动，点Ｑ从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿O →M 的方向运动．已知点ＱP 、同时出发，当点Ｑ到达点M 时，ＱP 、两点同时停止运动， 设运动时间为t 秒．（1）设四边形．．．MNPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围． （2）当t 为何值时，ＱP 与l 平行？2、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？B C N 动点专题（二）相似三角形中的动点问题1、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？2、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。

中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题智康·刘豪【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已经有所掌握了。

但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题。

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。

由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。

第一部分真题精讲【例1】（20xx，密云，一模）如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABCD，ABCD，ABCD，梯形的高为ABCD．动点ABCD从ABCD点出发沿线段ABCD以每秒2个单位长度的速度向终点ABCD运动；动点ABCD同时从ABCD点出发沿线段ABCD以每秒1个单位长度的速度向终点ABCD运动．设运动的时间为ABCD（秒）．（1）当ABCD时，求ABCD的值；（2）试探究：ABCD为何值时，ABCD为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。