下载文档原格式
浅谈怎样运用极限和导数求解曲线的切线方程陈艳艳摘要：本文在中学生所掌握的微积分的初步知识的基础上，以割线的极限位置来定义切线，并给出了相应的求解切线方程的方法，扩充了传统初等数学的学习方法，对切线这一解析几何中的重要内容作了较系统的分析。
关键词：割线的极限位置斜率函数导数切线方程极限和导数，这两个数学分析中的重要概念，不仅在高等数学中发挥着重要的作用，更成为高中数学学习的重要工具，对高中学生已掌握的微积分初步知识上，极限和导数把传统初等数学学习方法加以扩充，使之有着比传统解法更巧妙的方法，甚至是传统解法不能解决的方法。
本文所讨论的就是极限和导数在平面解析几何中的一个运用——如何运用极限和导数求解曲线C的切线方程。
一、切线的定义：首先，我们给出切线的定义：定义1：通过曲线C上两点M、N的割线，当点M不动，点N沿着曲线C运动并趋近于点M时，割线MN的极限位置的直线MT叫做曲线C的在点M的切线。
同中学课本中所定义的切线比较发现，定义1强调了切线是割线的极限位置，这就是从最本质的地方认识了切线。
中学课本中的定义仅仅局限于圆、椭圆等二次曲线，而定义1是针对所有曲线定义的，中学课本中的定义只是定义1的一个特殊情况。
二、 斜率函数的定义及其求解方法：设曲线C 的方程为y=f （x ），则曲线上一点（x 0，y 0）的切线方程就是y －y 0=k （x －x 0），其中k 是切线的斜率，是待定的。
怎样来求切线的斜率呢？据切线的定义，设曲线上一点M 的坐标为（x 0，y 0），在点M 的附近取曲线上另一点N 。
设点N 横坐标为x ，纵坐标为y=f （x ），于是割线MN 的斜率是：0)()(x x x f x f x y k --=∆∆= 当点N （x ，y ）沿曲线无限接近于点M （x 0，y 0），即x →x 0，y →y 0时，我们就有k k →。
表示为：0)()(lim lim lim 0x x x f x f x y k k o x x x M N --=∆∆==→→∆→，这样过曲线y=f （x ）上点M 的切线的斜率就求得了。
考点36 利用导数求切线方程一．在型求切线方程()0000)1k f x 2y f x f x x ()()()()x (''求斜率:求该点处的导数值：＝求切线:点斜式对应的直线方程：－＝－二．过型求切线方程00'0'000000'00(1)x ,y )(2)f (x )y-y f (x )=x-x (3x y f (x )(4)y-y f (x )⎧⎪⎨⎪=⎩=设点：设切点的坐标（求导：求导函数）列式：求点斜式：三.已知切线求参数1.切点处的导函数为切线斜率2.切点在切线上也是曲线上考向一 在某点处的切线方程【例1-1】（2020·江苏期中）曲线1y x =-在点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．()41y x =+ D ．24y x =-【答案】B【解析】由函数1y x =-，则21y x'= 所以曲线1y x =-在点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为12|4x k y ='== 所以切线方程为：1242y x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即44y x =- 知识理解考向分析故选：B【例1-2】（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）函数()ln 1f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．22y x =-C ．32y x =-D ．33y x =-+【答案】B【解析】由1(1)0,()1f f x x='=+，有(1)2f '=，则所求切线方程为2(1)y x =-． 故选：B. 【举一反三】1．（2020·北京市第十三中学高三期中）曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．50x y --=【答案】B【解析】求导得斜率1-，代点检验即可选B.21(21)y x -'=-，1k ∴=-，20x y ∴+-=故选：B2．（2021·辽宁高三其他模拟）已知函数()323f x x x =-++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______． 【答案】570x y +-= 【解析】()323f x x x =-++，()261f x x '∴=-+，()15f '∴=-，即切线斜率为5-，又()12132f =-++=，∴切线方程为()251y x -=--，即570x y +-=.故答案为：570x y +-=.3．（2021·江西吉安市·高三期末（文））曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 【答案】20x y π+-=【解析】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=考向二 过某点处的切线方程【例2】（2021·山东聊城市）过点(2,2)P -且与曲线33y x x =-相切的直线方程是（ ） A ．916y x =-+ B ．920y x =- C ．2y =- D ．916y x =-+或2y =-【答案】A【解析】因为33y x x =-所以233y x '=-，曲线33y x x =-在(2,2)P -处的切线斜率为－2，故由直线方程的点斜式得曲线方程为916y x =-+，选A ． 【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）函数()ln f x x =过点()0,0的切线方程为（ ） A ．y x = B ．y x e2=C ．12y x =D ．1y x e=【答案】D【解析】设切点为11(,ln )x x 因为()()1ln f x x f x x'=∴=11111ln 01ln 10x x x e x x -∴=∴=∴=- 因此切线方程为1y x e= 故选：D2．（2020·河南高三月考）过点()0,1-且与曲线11e xy x =-+相切的直线方程为______. 【答案】()e 110x y -++=【解析】设切点为()00,x y ，因为11e x y '=-，所以0011e x x x y ==-'， 所以过切点()00,x y 的切线方程为()00011e x y y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,1-，所以()0001110e x y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即00111e x x --+-=()0011e x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得01x =-，所以所求切线方程为()()()11e 0y x --=--，即切线方程为()e 110x y -++= 故答案为：()e 110x y -++=3．（2021·全国课时练习）已知某曲线的方程为22y x =+，则过点()2,3B -且与该曲线相切的直线方程为______．【答案】210x y +-=或10230x y --= 【解析】【解析】设直线与曲线切于点（x 0，y 0）（x 0≠2），则k=0032y x +-，∵y 0=x 02+2，且∵k=y ′0|x x ==2x 0，∴0032y x +-=2x 0，∴x 02﹣4x 0﹣5=0， ∵x 0=-1，或x 0=5，∴k=2x 0=-2或10，故直线l 的方程210x y +-=或10230x y --=. 故答案为：210x y +-=或10230x y --=．4．（2020·海林市朝鲜族中学）过点（2,0）且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________ 【答案】20x y +-=. 【解析】设切点为()0000220000111,2y x y y y x x x x -∴==-'∴-=-，所以切点为()1,1，由点()2,0可知直线方程为20x y +-=考向三 求参数【例3】（2021·山西晋中市·高三二模（理））曲线ln y x ax =+与直线21y x =-相切，则a =______． 【答案】1【解析】由题意，函数ln y x ax =+，可得1y a x'=+， 设切点为()00,P x y ，则01y a x '=+，因为曲线ln y x ax =+与直线21y x =-相切，可得12a x +=，即0021ax x =-，① 又由000ln y x ax =+，即切点为000(,ln )x x ax +，可得0002n 1l x ax x =-+，② 联立①②，可得01,1x a ==． 故答案为：1 【举一反三】1．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知直线2y x b =+是曲线ln 3y x =+的一条切线，则b =_________． 【答案】2ln 2-．【解析】对ln 3y x =+，1y x '=，由12y x '==，得12x =时， 1ln 33ln 22y =+=-， 所以13ln 222b -=⨯+，2ln 2b =-． 故答案为：2ln 2-．2．（2021·山西吕梁市·高三一模（理））已知曲线32y x ax =+-与x 轴相切，则a =___________.【答案】3-【解析】设曲线上切点坐标为()300,2x x ax +-，因为23'=+y x a ，所以203003020k x a x ax ⎧=+=⎨+-=⎩，解得01x =-，3a =-.故答案为：3-3．（2021·江西赣州市·高三期末（文））若曲线ln 1y x x =+在1x =处的切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直，则a =______. 【答案】13； 【解析】由题意得，()ln 1f x x '=+，所以(1)1f '=， 因为切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直， 所以10a -≠，且2111aa ⨯=--，解得13a =. 故答案为：13． 4．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实A ．-4B ．-2C ．2e D ．e【答案】A【解析】设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ， 则()002f x x '=， 所以的方程为()00022ln y x x x x -=-， 则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-， 故选：A.1．（2021·安徽芜湖市·高三期末（理））已知1()ln 2f x x =-21(1)4f x x '++，则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．410x y --= C ．410x y --= D ．4410x y --=【答案】D【解析】由题意得：1()(1)1f x f x x''=-+， 令1x =，可得(1)1(1)1f f ''=-+，解得(1)1f '=，根据导数的几何意义可得，在点(1,(1))f 处切线斜率(1)1k f '==，又1()ln 2f x x =-214x x ++，所以113(1)ln11244f =-++=，即切点为3(1,)4，所以切线方程为3(1)4y x -=-，整理得：4410x y --=.故选：D2．（2021·内蒙古包头市·高三期末（理））若直线2y x b =-+为曲线xy x e =-的一条切线，则实数b 的强化练习A ．ln33-B ．3ln33+C ．ln33+D ．3ln33-【答案】D【解析】设切点为000(,)xx x e -， 由xy x e =-得1xy e '=-，所以012x e -=-，得03x e =，得0ln 3x =， 所以切点为(ln 3,ln 33)-，所以ln332ln3b -=-+，得3ln33b =-. 故选：D3．（2020·全国高三月考）曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【解析】由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.4（2021·全国高三专题练习）已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】D【解析】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2a f x x x'=+， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值， 因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥= 当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D5．（2020·全国高三专题练习（文））曲线()ln 21y x =-上的点到直线280x y -+=的最短距离是（ ） A．B ．2C．D【答案】A【解析】如图所示，将直线280x y -+=平移至与函数()()ln 21f x x =-图象相切时， 切点到直线280x y -+=的距离最短,设切点坐标为()()00,x f x ，()221f x x ='-,令()02f x '=得，01x =，则切点坐标为()1,0， 所以切点()1,0到直线280x y -+=的距离为：()22211082521d ⨯-⨯+==+-.故选：A.6．（多选）（2020·全国高三专题练习）曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于21y x =-，则点P 的坐标为（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-C ．()1,3--D ．()1,3-【答案】AB【解析】因()231f x x '=-，令()2f x '=，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上， 故选：AB7．（2021·全国高三开学考试（文））曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线e x y =-相切，则a =___________. 【答案】2-【解析】由ln y a x =-求导得1y x'=-， ∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++. 设1y x a =-++与e x y =-相切于点()00,e x x -，由e x y =-求导得e xy '=-， ∴0e 1x -=-，∴00x =，即切点为()0,1-. 它在切线1y x a =-++上， ∴11a +=-， ∴2a =-. 故答案为：-28．（2021·安徽安庆市·高三一模（文））函数2()x f x x e =在点()()1,1f 处的切线方程为________. 【答案】320ex y e --= 【解析】因为2()x f x x e =， 所以()2'()2xf x exx =+，则()'13f e =，()1f e =，所以在()()1,1f 处的切线方程为320ex y e --=.9．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））曲线ln 32y x x x =++的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______． 【答案】41y x =+【解析】因为ln 32y x x x =++， 所以ln 4y x '=+， 设切点为()00,x y ， 因为切线的斜率为4， 所以0ln 44x +=， 解得001,5x y ==，所以该切线的方程是()541y x -=-，即41y x =+ 故答案为：41y x =+10．（2021·安徽安庆市·高三一模（理））函数1()(1)x f x x e a -=++在(1,(1))f 处的切线经过点()3,7 ，则实数a =___________. 【答案】1-【解析】由1()(1)x f x x e a -=++，得()()12x f x ex -'=+，()13f '=，()12f a =+，而切线过点()3,7，从而有()72331a -+=-，解得1a =-， 故答案为：1-.11．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（文））曲线()e cos xf x x x =-在()0,1-处的切线方程为_________．【答案】1y x =-【解析】由()e cos xf x x x =-得：()e (1)sin x f x x x '=++，()00e sin01f '=+=，因为切点()0,1-在曲线上，所以所求切线方程为1y x +=，即1y x =-． 故答案为：1y x =-.12．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））曲线31233y x =+在点()1,1处的切线方程为________．【答案】0x y -=【解析】()1,1为切点时，由2y x '=时，斜率k =1，所以切线方程：y -1=x – 1; 故答案为：0x y -=13．（2021·六盘山高级中学高三期末（文））曲线1xy xe x =++在点()0,1处的切线方程为______. 【答案】21y x =+【解析】1x x y e xe '=++，∴切线的斜率为00|12x k y e ='==+=则切线方程为12y x -=，即21y x =+故答案为：21y x =+14．（2020·湖北高三月考）函数2()2x f x x-=+在点()0,(0)f 处的切线方程为________. 【答案】10x y +-= 【解析】因为2()2x f x x -=+，所以()2(24)f x x -'=+，(0)1f '=-， 因为(0)1f =，所以切线方程为10y x ，即10x y +-=，故答案为：10x y +-=.15．（2021·江苏泰州市·高三期末）函数()e x f x x =+(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________.【答案】21y x =+【解析】因为()e 1x f x '=+，所以()()00012,001f e f e '=+==+=， 所以切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+，故答案为：21y x =+.16．（2020·贵州铜仁伟才学校高三月考（文））曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为________.【答案】2210x y +-π+=【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，则x π=时2cos sin 2y ππ'=-=-， 即切线斜率2k =-，故切线方程为()12y x π+=--，即2210x y +-π+=.故答案为：2210x y +-π+=.17．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为______．【答案】220x y --=【解析】因为()3f x x x =-， 所以()231f x x '=-。
导数的应用切线和极值问题导数的应用：切线和极值问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将讨论导数的应用之一：切线和极值问题。
一、切线问题在几何学中，切线是一个与曲线相切于一点且与曲线在该点处具有相同的斜率的直线。
利用导数，我们可以求解切线方程。
设函数f(x)在点x=a处可导，则点P(a, f(a))处的切线斜率等于f'(a)。
因此，切线的斜率可以通过求函数的导数来获得。
进而，切线方程可以通过使用点斜式或一般式来表达。
举个例子，我们考察函数f(x) = x^2在点x=2处的切线。
首先，我们求f(x)的导数f'(x)。
通过求导法则，我们得到f'(x) = 2x。
将x=2代入到f'(x)中，我们可以计算得到切线的斜率：f'(2) = 2 * 2 = 4。
考虑到切线经过点(2, f(2)) = (2, 4)，我们可以使用点斜式来得到切线方程：y - 4 = 4(x - 2)。
简化这个方程我们可以得到y = 4x - 4，即函数f(x) = x^2在x=2处的切线方程。
二、极值问题极值是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
通过使用导数的概念，我们可以判断函数在给定区间内的极值。
设函数f(x)在区间[a, b]内可导。
为了判断f(x)在[a, b]内的极值，我们需要找到f'(x) = 0的点，以及f'(x)不存在的点。
这些点称为f(x)的临界点。
然后，我们将f(x)的临界点与区间的端点进行比较，找出极值点。
举个例子，我们考察函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 3]上的极值。
首先，我们计算f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
为了找到临界点，我们需要解方程f'(x) = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1或x = 2。
然后，我们将这些临界点与区间的端点进行比较。
考点49：利用导数求切线方程【思维导图】【常见考法】考点一：求切线的斜率或倾斜角1．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 . 【答案】2【解析】由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为.2．点P在曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 . 【答案】2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意可知：''1xy e ==+⎝⎭ 则()()()221111'111x xxx e y e e e ⎫+-⎪=-=-⎪+++⎝⎭令()1,0,11x t t e =∈+所以)()2',0,1y t t t =-∈可知)'y ⎡∈⎣ 曲线在点P 处的切线的斜率范围为)⎡⎣，所以)tan α⎡∈⎣故2,3παπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3．已知函数()()21,.f x g x xx==若直线l 与曲线()f x ，()g x 都相切，则直线l的斜率为 . 【答案】4-【解析】设直线l 的斜率为k ，则()21'k f x x ==-，解得x =，切点为⎛⎝；且()'2kg x x ==，解得2kx =，切点为2,24k k ⎛⎫⎪⎝⎭； 因为l 与曲线()f x ，()g x 都相切，所以2k k +=，解得4k =-．考法二：在某点处求切线方程1．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．2．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________. 【答案】20x y -+=【解析】由题3(1)12ln123f =-+=,又22'()3f x x x=-,故3()2ln 2f x x x =-+在(1,3)处的斜率为2'(1)311f =-=,故在(1,3)处的切线方程为31(1)20y x x y -=⨯-⇒-+= 故答案为：20x y -+= 3．已知函数()2()1xf x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为 .【答案】210x y -+=【解析】因为()2()32x f x e x x '=++，所以(0)2f '=，又因为(0)1f =，所以切点为(0)1，， 所以曲线()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为210x y -+=.4．已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为 .【答案】40x y +=【解析】由题：()()221f x x xf =+'，所以()()'221f x x f +'=，()()'1221f f =+'，所以()'12f =-，所以()24f x x x =-，()24f x x '=-，()00f =，()04f '=-所以切线方程为40x y +=.5．设a 为实数，函数()()322f x x ax a x =++-的导函数是fx ，且fx 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为 . 【答案】2y x =-【解析】由()()322f x x ax a x =++-所以()()2'322f x x ax a =++-，又()f x '是偶函数，所以20a =，即0a =所以()2'32f x x =-则()'02f =-，所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-考法三：过某点求切线方程1．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】由题, 1'y x=,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒.故答案为：10x y --= 2．求函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为 . 【答案】0x y -=【解析】由函数()32f x x x x =-+，则()2321f x x x '=-+，所以()01f '=，所以函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=.3．若过原点的直线l 与曲线2ln y x =+相切，则切点的横坐标为 . 【答案】1e【解析】设切点坐标为()00,2ln x x +，由1y x'=，切线方程为00012ln ()y x x x x --=-， 原点坐标代入切线方程，得02ln 1x +=，解得01ex =.4．已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为 .【答案】2【解析】设切点坐标 3000(,)P x x x -,由()3f x x x =-，得2()31x f x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过3000(,)P x x x -的切线方程为320000(31)()y x x x x x -+=--，即2300(31)2y x x x =--，切线过点()1,0，故32002310x x -+=，令()32000231h x x x =-+,则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =，当0(,0),(2,)x ∈-∞+∞时，()00h x '>，当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为 h (0)10=>，(1)0h =， 故其图像与x 轴交点2个，也就是切线条数为2.考法四：已知切线求参数1．已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a = .【答案】-1 【解析】因为'()(1)xf x x a e =++ ，所以1'(1)(2)'(1)af a e f aee，-=+-==，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-.2．已知在曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为 .【答案】43【解析】当0x >时，()()2221ax axf x x +'=+，()11f '=，即314a=，得43a =.. 3．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 。
导数的切线方程怎么求
先求出函数在（x0，y0）点的导数值导数值就是函数在X0点的切线的斜率值。
之后代入该点坐标（x0，y0），用点斜式就可以求得切线方程。
当导数值为0，改点的切线就是y=y0；当导数不存在，切线就是x=x0；当在该点不可导，则不存在切线。
切线方程：切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。
是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。
导数：导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）第一步：设切点为()()00,Q x f x ；第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．二、公切线问题研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
三、切线条数问题求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
四、已知切线求参数问题此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。
常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
题型一“在”点求切线问题【例1】函数2()ln 2f x x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为（）A．33y x =-B．3y x =C．31y x =+D．33y x =+【答案】B【解析】因为2()ln 2f x x x x =++，所以()1ln 2f x x x=++'()13f '∴=，又()13f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为33(1)y x -=-，即3y x =.故选：B.【变式1-1】已知函数()f x 满足()()3211f x x f x =-'⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程.【答案】（1）()11f '=；（2）8110x y --=【解析】（1）因为()()3211f x x f x =-'⋅+，则()()2321f x x f x ''=-，所以，()()1321f f ''=-，解得()11f '=.（2）由（1）可知()321f x x x =-+，则()232f x x x '=-，则()25f =，()28f '=，因此，()f x 的图象在2x =处的切线方程为()582y x -=-，即8110x y --=.【变式1-2】若曲线2y x ax b =++在点(0,)P b 处的切线方程为10x y -+=，则a ，b 的值分别为（）A．1，1B．1-，1C．1，1-D．1-，1-【答案】A【解析】因为2y x a '=+，所以0|x y a='=曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线10x y -+=的斜率为1，1a ∴=，又切点(0,)b 在切线10x y -+=上，010b ∴-+=1b ∴=．故选：A．【变式1-3】已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=（）A．2-B．1-C．0D．1【答案】B【解析】因为()2ln f x a x x =+，所以()2af x x x'=+.又()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，所以()123f a '=+=，解得1a =，则()2ln f x x x =+，所以()11f =，代入切线方程得310b -+=，解得2b =-，故1a b +=-.故选：B.题型二“过”点求切线问题【例2】（多选）已知曲线()()3211f x x =++，则曲线过点()0,3P 的切线方程为（）A．630x y +-=B．630x y -+=C．5260x y -+=D．3260x y -+=【答案】BD【解析】设切点坐标为()()300,211x x ++，()()261f x x '=+，∴切线斜率为()()20061k f x x '==+切线方程为()()()2003012161y x x x x ⎤=+-++⎦-⎡⎣曲线过点()0,3P ，代入得()()()20030362111x x x ⎡⎤++⎣=--⎦+可化简为()()032001113x x x +-+=，即3020023x x -=-，解得00x =或032x =-则曲线过点()0,3P 的切线方程为630x y -+=或3260x y -+=故选：BD【变式2-1】过原点的直线,m n 与分别与曲线()e xf x =，()lng x x =相切，则直线,m n 斜率的乘积为（）A．-1B．1C．eD．1e【答案】B【解析】设()(),f x g x 的切点分别为()()1122,e ,,ln xx x x ，由题意可得()e xf x '=，()1g x x'=，所以()f x 在1x x =处的切线为()111e e x xy x x -=-，()g x 在2x x =处的切线为()2221ln y x x x x -=-，又因为两条切线过原点，所以()()1112220e e 010ln 0x x x x x x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得121e x x =⎧⎨=⎩，所以直线,m n 斜率的乘积为()()1121e 1ef xg x ''=⨯=，故选：B【变式2-2】设点P 是曲线e e e ex xx x y ---=+上任意一点，直线l 过点P 与曲线相切，则直线l 的倾斜角的取值范围为______.【答案】π0,4⎛⎤⎥⎦⎝【解析】设直线l 的倾斜角为α2e e e e 4(e e e e e e x x x x x x x x x x y y -------''=∴=+++=（）0e e 1x x y -≥∴≤<'+2][]tan (0,1,0,ααπ∴∈∈π0,4α⎛⎤∴∈ ⎥⎦⎝【变式2-3】过点()1,0作曲线e x y =的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.【答案】2e 1-【解析】0x >时，e x y =，设切点()11,ex x ，则11e ,e x xy k=='，切线()1111:e e x xl y x x -=-过()1,0，()111e e 1x x x ∴-=-，2112,e x k ∴==，0x ≤时，e x y -=，切点()22,e xx -，22e ,e x x y k --=-=-'，切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()1,0，()222e e 1x x x --∴-=--，220,1x k ∴==-，故212e 1k k +=-.故答案为：2e 1-.题型三切线的条数问题【例3】若过点()0,(0)b b >只可以作曲线e xxy =的一条切线，则b 的取值范围是__________.【答案】24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】函数e x x y =的定义域为R ，则1e x x y -'=，设切点坐标为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率为001e x x k -=，故切线方程为：()000001e e x x x x y x x --=-，又切线过点()0,(0)b b >，则()000200001e e e x x x x x x b x b --=-⇒=，设()2ex x h x =，则()()20e xx x h x -'==得，0x =或2x =，则当(),0x ∈-∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当()0,2x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()()2400,2e h h ==，又x →-∞时，()h x →+∞，x →+∞时，()0h x →，所以02ex x b =有且只有一个根，且0b >，则24e b >，故b 的取值范围是24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【变式3-1】若曲线(2)e x y x a =-有两条过坐标原点的切线，则实a 的取值范围为______.【答案】(,0)(8,)-∞⋃+∞【解析】设切点坐标为：00(,)x y ，(22)e x y x a '=+-，所以切线斜率为00(22)e x k x a =+-，即切线方程为0000(2)e (22)e ()x xy x a x a x x --=+--，又切线过坐标原点，所以00000(2)e (22)e (0)x x x a x a x --=+--，整理得20020x ax a -+=，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以280a a ∆=->，解得(,0)(8,).a ∈-∞⋃+∞故答案为：(,0)(8,).-∞⋃+∞【变式3-2】已知过点(),0A a 可以作曲线()2e xy x =-的两条切线，则实数a 的取值范围是（）A．()2,+∞B．()(),e 2,∞∞--⋃+C．()(),22,∞∞--⋃+D．()(),12,-∞-+∞【答案】C【解析】设切点是()00,P x y ，0R x ∈，即()0002e x y x =-，而()1exy x '=-故切线斜率()001e x k x =-，切线方程是()()()00002e 1e x xy x x x x --=--，又因为切线经过点(),0A a ，故()()()00002e 1e x xx x a x --=--，显然01x ≠，则()0000021111x a x x x x -=+=-+--，在01x ≠上有两个交点，令01x x =-，设()1,0h x x x x =+≠，则()222111x h x x x-=-='，令()0h x '=得11x =-，21x =，所以当(),1x ∈-∞-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，又()12h -=-，()12h =，且x →-∞时，()h x →-∞，0x -→时，()h x →-∞，0x +→时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，所以()a h x =有两个交点，则2a >或2a <-，故实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+.故选：C.【变式3-3】已知函数()326f x x x =-，若过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切，则t 的取值范围是（）A．()5,4--B．()4,3--C．()3,2--D．()2,1--【答案】A【解析】设过点()1,P t 的切线与()f x 相切于点()32,6m m m -，()2312f x x x '=-，()2312f m m m '∴=-，则切线方程为：()()()3226312y m m m m x m --=--，又切线过点()1,P t ，()()()23232312162912t m m m m m m m m ∴=--+-=-+-，令()322912g m m m m =-+-，则问题等价于y t =与()g m 有三个不同的交点，()()()261812612g m m m m m '=-+-=---，∴当()(),12,m ∈-∞+∞时，()0g m '<；当()1,2m ∈时，()0g m '>；()g m ∴在()(),1,2,-∞+∞上单调递减，在()1,2上单调递增，又()15g =-，()24g =-，由此可得()g m 图象如下图所示，由图象可知：当()5,4t ∈--时，y t =与()g m 有三个不同的交点，即当()5,4t ∈--时，过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切.故选：A.题型四两曲线的公切线问题【例4】若直线1:2l y kx b k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与曲线1()e x f x -=和()ln(1)g x x =+均相切，则直线l 的方程为___.【答案】y x=【解析】设()f x ，()g x 上的切点分别为()111,ex A x -，()()22,ln 1B x x+，由()1e xf x -'=，()11g x x '=+，可得1121e 1x k x -==+，故()f x 在A 处的切线方程为()()1111111111ee e e 1x x x x y x x y x x -----=-⇒=+-，()g x 在B 处的切线方程为()()()222222211ln 1ln 1111x y x x x y x x x x x -+=-⇒=++-+++，由已知()()()111122121221e 1ln 11e 1ln 11x x x x x x x x x --⎧=⇒-=+⎪+⎪⎨⎪-=+-⎪+⎩,所以()()()22222222221ln 1ln 1ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⇒=+ ⎪++++⎝⎭，故20x =或()2ln 11x +=，而()222111ln 111e 1e 2x x x +=⇒+=⇒=<+，不合题意舍去，故20x =，此时直线l 的方程为y x =.故答案为：y x =.【变式4-1】已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线，则b =________.【答案】2【解析】设该公切线过函数()e xf x =、函数()lng x x b =+的切点分别为()11,ex x ，()22,ln b x x +.因为()e xf x '=，所以该公切线的方程为()1111111e e e e ex x x x x y x x x x =-+=+-同理可得，该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++-因为该公切线过原点，所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩，解得1211,e ,2x x b ===.故答案为：2【变式4-2】函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则a b -=（）A．1B．3C．6D．2【答案】C【解析】()bf x ax x =+，则2()b f x a x '=-，则在点(1,3)处的切线的斜率为12(1)1bk f a a b '==-=-，213x y =，则6y x '=，则在点(1,3)处的切线的斜率为26k =，函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则12k k =，即6a b -=，故选：C.【变式4-3】若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【解析】令()e x f x a =，()g x ()e xf x a '=，()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ，()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线，()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩，即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =，12e a ∴=a ==题型五切线平行、垂直问题【例5】若曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直，则实数=a （）．A．12B．1C．32D．2【答案】C 【解析】因为21ln x ay x --'=，所以曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-，直线l 的斜率22k =，由切线与直线l 垂直知121k k =-，即()211a -=-，解得32a =．故选：C．【变式5-1】已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________．【答案】2250x y -+=【解析】设切点为(),m n ，因为y =y '=，因为曲线的切线与直线y x =--24垂直，()21-=-，解得25m =，又点(),m n在曲线y =25n ==，所以切点坐标为()25,25，所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为：()125252y x -=-，即2250x y -+=，故答案为：2250x y -+=.【变式5-2】若曲线s n e i =+x y x a 存在两条互相垂直的切线，则a 的取值范围是________．【答案】()(),00,∞-+∞U 【解析】由题知，令()e sin x f x a x =+，则()e cos xf x a x '=+．若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得1x ∃，2x ，()()121f x f x ''⋅=-．当0a =时，()21e 0,xx x f x '=>⇒∀，()()120f x f x ''>，与题目矛盾；当0a ≠时，由()e 0,xy =∈+∞，cos y a x a=≥-可得()f x '的值域是(),a -+∞故12,x x ∃，使得()()1,0f x a '∈-，()210,f x a ⎛⎫'∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()()121f x f x ''⋅=-．故答案为：()(),00,∞-+∞U ．【变式5-3】曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为______．【答案】()1,3或()1,3-【解析】由已知得231y x '=-，令2y '=，则2312x -=，解得1x =或=1x -，所以()1,3P 或()1,3P -．经检验，点()1,3P 与()1,3P -均符合题意．故答案为：()1,3或()1,3-【变式5-4】若曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，则实数a 的最大值为______.【答案】3【解析】()()10f x x a x x=++>，因为曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，所以15x a x ++=在()0,∞+有解.即15a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+有解.设()15g x x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，则()1553g x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，即()3g x ≤.所以3a ≤，即a 的最大值为3.故答案为：3题型六与切线有关的最值问题【例6】若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A．14B．4C．22D．18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-，∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+，,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴24=.故选：B .【变式6-1】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线24x y =上的一个动点，则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.【答案】2【解析】设直线0x y b ++=与214y x =相切，则切线的斜率为1-且12y x '=，令112y x '==-，则2x =-，即切点的横坐标为2-，将2x =-，代入214y x =，可得1y =，即切点坐标为()2,1-，所以点P 到直线40x y ++=的距离的最小值即为()2,1-到直线的距离，即2d =，故答案为:【变式6-2】已知P 为直线210x y +-=上的一个动点，Q 为曲线423242210x x y x x --++=上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为______.【解析】直线210x y +-=可化为：1122y x =-+.对于曲线423242210x x y x x --++=.当0x =时，代入10=不成立，所以0x ≠.所以423242210x x y x x --++=可化为22112122y x x x =-++，导数为31142y x x -'=-所以线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时，两平行线间的距离.设切点(),Q m n .由题意可得：322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即32214112122m m n m m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或234m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.当Q ⎝⎭时，PQ当,324Q ⎛-+ ⎝⎭时，PQ =综上所述：线段PQ.【变式6-3】点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，且点P 到直线y x a =+的距离的a 的值是__________.【答案】2-【解析】由题设12y x x '=-且0x >，令0'>y ，即22x >；令0'<y ，即202x <<，所以函数2ln y x x =-在0,2⎛⎝⎭上单调递减，在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，且12|ln 022x y ->，如图所示，当P 为平行于y x a =+并与曲线2ln y x x =-相切直线的切点时，距离最近.令1y '=，可得12x =-（舍）或1x =，所以1|1x y ==，则曲线上切线斜率为1的切点为(1,1)P ，=2a =（舍去）或2-，故答案为：2-.。
考点49：利用导数求切线方程【思维导图】【常见考法】考点一：求切线的斜率或倾斜角1．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 .2．点P 在曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 .3．已知函数()()21,.f x g x x x==若直线l 与曲线()f x ，()g x 都相切，则直线l 的斜率为 .考法二：在某点处求切线方程1．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________.2．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________.3．已知函数()2()1xf x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为 .4．已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为 .5．设a 为实数，函数()()322f x x ax a x =++-的导函数是fx ，且fx 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为 .考法三：过某点求切线方程1．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________．2．求函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为 .3．若过原点的直线l 与曲线2ln y x =+相切，则切点的横坐标为 .4．已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为 .考法四：已知切线求参数1．已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a = .2．已知在曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为 .3．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 。
专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.......................................................1二、典型题型.......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................3题型三：已知切线斜率求参数......................................3题型四：确定过一点可以做切线条数................................4题型五：已知切线条数求参数......................................4题型六：距离问题转化为相切问题..................................5题型七：公切线问题..............................................5三、专项训练. (6)一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x .第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。
