- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
������2 ������2(������,������)
（投影法，先一后二） （截面法，先二后一)
������(������,������,������)
换变量： ∭ ������(������, ������, ������)������������������������������������ = ∭ ������(������(������, ������, ������), ������(������, ������, ������), ������(������, ������, ������))| |������������������������������������ ������ ������′ ������(������,������,������) x = arcosφ 广义柱坐标： y = brsinφ z=z φϵ[0,2π] |J| = abr
������
������
������������
������������
������
������ ������������ | ������������������������
Green 公式:
∬ ������
|������������ ������
������
=∮ ������������������ + ������������������ ������
二重积分： 奇函数为零 偶函数双倍
������(������, ������)������������ ������������ ∬ ������ 换变量：∬ ������(������, ������)������������ ������������ = ∬ ������(������(������, ������), ������(������, ������)) ������������ ������������ ������ ������′ ������(������,������) 广义极坐标： x = arcosθ y = brsinθ θϵ[0,2π] |J| = abr
Green: Stokes: Guass:
������������������ + ������������������ = ∬ ( − ������������) ������������������������ ∮ ������ ������ ������������ ⃗⃗⃗⃗ = ∬ ������ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ × ������ ∙ ������������ ������ ∙ ������������ ∮ ������ ������ ⃗⃗⃗⃗ = ∭ ������ ⃗ ∙ ������ ������������ ∯������ ������ ∙ ������������ ������
x = arsinφcosθ 广义球坐标： y = brsinφsinθ z = crcosφ
θϵ[0,2π]
φϵ[0, π]
|J| = abc������ 2 ������������������������
第一类曲线积分（曲线质量） ： ∫������ ������(������, ������) ������������ x = φ(t) 对 L： y = ∅(t) t ∈ [α, β] ∫������ ������(������, ������) ������������ = ∫������ ������(������(������), ∅(������))√������′(������)2 + ∅′(������)2 ������������ ⃗ = (������, ������) F ⃗⃗⃗⃗ = (������������, ������������) ds
������ ������ ������������|
②: |������������ ������ Guass 公式：
������������ ������������
������
=0⇔∮ ������������������ + ������������������与积分路径无关。 ������
������������������������������ + ������������������������������ + ������������������������������ ∬ ������ 注：若∬ ������������������������������，S 取向与 dy^dz（x 正向）一致则为+，反之为-； ������ 若z = z(x, y)，∬ ������������������������������ + ������������������������������ + ������������������������������ = ± ∬ (−������������������ − ������������������ + ������)������������������������ ������ ������ 若Σ单位法向量为n ⃗ = (a, b, c),原式= ∬ (������������ + ������������ + ������������)������������ ������
������ ������������
������ ������������
������ ������������
| ������������
������ ������ ������ ������ ⃗ 符合右手定则。 注：S 为双侧曲面，P 为边界曲线，则n ⃗ 与P ⃗ × (wenku.baidu.com�����, ������, ������) = 0 ⇔与积分路径无关。 推论：������
������(������,������)
三重积分： 奇函数为零 偶函数双倍
������(������, ������, ������)������������������������������������ ∭ ������ 计算： ∭ ������(������, ������, ������)������������������������������������ = ∬ ������������������������ ∫������1(������,������) ������(������, ������, ������)������������ ������ ������ = ∫������1 ������������ ∬ ������(������, ������, ������)������������������������ ������������
������=������(������,������) ������(������,������) ������(������,������) ������(������,������)
⇒ 第二类曲面积分（流量） ：
2 + ������ 2 ������������������������ ������(������, ������, ������(������, ������))√1 + ������������ ∬ ������ ������
( + ������������ + ������������ ) ������������������������������������ = ∯������ ������������������������������ + ������������������������������ + ������������������������������,S 取外侧 ∭ ������ ������������ 注：P,Q,R 在 V 上连续且一阶偏导存在。 ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ |=∬ | ������
������ ������������
������������
������������������������
������ ������������
������������������������
������ ������������
Stokes 公式：
������������������ + ������������������ + ������������������ = ∬ | ∮ ������ ������
������
第二类曲线积分： （变力做功） ： ∬ ������������������ + ������������������ ������ 对 L： x = φ(t) y = ∅(t)
������
t ∈ [α, β]
∫������ ������(������, ������) ������������ = ∫������ [������(������(������), ∅(������))������′ (������) + ������(������(������), ∅(������))∅′ (������)]������������ 第一类曲面积分（曲面质量） ： ∬ ������(������, ������, ������)������������ = ∬ ������(������, ������, ������)√(������(������,������))2 + (������(������,������))2 + (������(������,������))2 ������������������������ ������ ������
1
(������������������ − ������������������) = ∮ 推论①：∬ ������������������������ = ∮ ������������������ = − ∮ ������������������ ������ ������ ������ 2 ������
