上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十二(含答案)

2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -= ．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 ． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 ． 6．（4分）若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = ． 7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 ． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = ． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 ．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 .11．（5分）已知椭圆221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 ．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC∆的三个内角，a、b、c是其三条边，2a=，1 cos4C=-．（1）若sin2sinA B=，求b、c；（2）若4cos()45Aπ-=，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20-=PA PB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QBQC QD-=千米，||||10千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1︒）20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21． 【评注】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -【解析】13z i =-，∴1312z i i i i-=+-=+，则|||12|zi i -=+=． 【评注】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4π ．【解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ． 【解析】252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 6π． 【解析】直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π10y -+=3π， 故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．【评注】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．（4分）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = 0 ． 【解析】对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===， 根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0． 【评注】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【解析】由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=． 故答案为：64．【评注】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ． 【解析】()33112153131x xx x a a f x a =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【评注】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 (4,0)(0,4)- ．【解析】无穷等比数列{}n a ，∴公比(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，214(4,0)(0,4)a a q q ∴==∈-．故答案为：(4,0)(0,4)-．【评注】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .【解析】由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种）．故答案为：23种．【评注】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．（5分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 1x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ⎧=⎨=+⎩，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ⊥，又22112,PF F F c PF ===所以所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =【评注】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 25π． 【解析】在单位圆中分析，由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=，所以3AOB πθ>∠=，因为对任意*n N ∈都成立，所以2*N πθ∈，即2kπθ=，*k N ∈， 同时3πθ>，所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【评注】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【解析】选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确， 选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ． 【评注】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【解析】已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，解得{|2B x x =或1,}x x R -∈，{|1,}RA x x x R =-∈，{|12}RB x x =-<<；则A B R =，{|2}A B x x =，故选：D ．【评注】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 【解析】根据题意，依次判断选项： 对于A ，()cos12xf x π=+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x π=，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误， 对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ， ()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++， 与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确， 对于D ，()sin2xf x π=，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立； ②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG 不共线，即②不成立．故选：B ．【评注】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．【解析】（1）PAB ∆为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE ∴=，又PE ⊥平面ABCD ，∴四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形． （2）PE ⊥平面ABCD ，PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒，即45PFE ∠=︒，PEF ∴∆为等腰直角三角形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE ∴==，PB ∴== //AD BC ，PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ⊥平面ABCD ，PE BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PE AB E =，PE 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，在Rt PBC ∆中，tan PB PCB BC ∠==，故PC 与AD 所成角的大小为 【评注】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解析】（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为4cos()sin )45A A A π-=+=，可得cos sin A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =，或sin A =cos A因为1cos 4C =-，可得sin C tan C =，可得C 为钝角，若sin A =cos A =tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin cA C=，可得c = 【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1︒）【解析】（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y P 的坐标为． （2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125200y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒．【评注】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()f x x =，由|1|10x +-，得|1|1x +，解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(,2][0,)-∞-+∞；（2）()f ax ax =，()f ax a ax a =⇔=+，设0ax a t +=，∴t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t ， 211()24a t ∴=--+，0t ，当且仅当104a <时，方程有2个不同实数根，又0a ≠，a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞上单调递减，此时需要满足14a-，即14a -，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(,2]a -∞-上递减， 104a -<，20a a ∴->->，即当14a -时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减． 综上，当1(,]4a ∈-∞-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【评注】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a ∴=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===，322a a ∴=，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2512aa a =-=-（舍)，∴254a a =； ∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍)，∴268a a =； ∴628216a a a ==，或2868aa a =-=-（舍)，∴2816a a =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14； （3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a ∴=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈，∴11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈，∴11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++∴++的最大值2164． 【评注】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。

2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= ． 2．（4分）半径为2的球的表面积为 ． 3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 ． 4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则AB = ．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = ． 6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC = ． 7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 ．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．（用数字作答）9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 ． 10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 ．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为 ．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点(2Q ，22为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值．2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= \{1}{2}frac ． 【解答】解：\\_{}\{}{21}\\_{}\{1}{2\{1}{}}\{1}{2}lim limits n frac n n lim limits n frac frac n frac →∞+=→∞+=，故答案为：\{1}{2}frac ．2．（4分）半径为2的球的表面积为 16π ．【解答】解：球的半径为2，所以球的表面积为：2416r ππ= 故答案为：16π3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 1y = ． 【解答】解：抛物线24x y =-焦点在y 轴的负半轴上，则12p=， ∴抛物线的焦点坐标为(0,1)-，准线方程：1y =，故答案为：1y =．4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则A B = (0，1] ．【解答】解：{|0}A x x =>，{|11}B x x =-，(0AB ∴=，1]．故答案为：(0，1]．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = 【解答】解：复数z 满足(1)4z i -=， 则41z i=-，所以4|||1|z i ===-．故答案为：6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC【解答】解：51243A B C πππππ=--=--=， 由正弦定理得sin sin AB BCC A =，所以2sinsin 3sin sin 4AB A BCC ππ===．7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 [3，)+∞ ． 【解答】解：函数2()1log (4)f x x x =+的值域为[3，)+∞， 故其反函数的定义域为[3，)+∞．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 12．（用数字作答）【解答】解：因为7(x 展开式的通项为7721772r r rrr r r T C x C x --+==，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而[0r ∈，7]()r N ∈，故有0r =，2，4，6满足题意， 所以所求概率4182P ==， 故答案为：12． 9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 [0，1] ． 【解答】解：取EF 中点为O ，则22\{}\{}(\{}\{})(\{}\{}){}{}overrightarrow AE overrightarrow AF overrightarrow AO overrightarrow OE overrightarrow AO overrightarrow OE A O O E ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以\{2},[{1,\{2}}]AO sqrt OE sqrt =∈， 所以\{}\{}[{0,1}]overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅∈． 故答案为：[0，1]．10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 122n n S +=- ．【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等比数列，设等比数列{}n a 的公比为q ， 数列{}n a 满足1||211n na S +=，则有12n n a S +-=，当1n =时，有21212a S a a -=-=，① 当2n =时，有32312()2a S a a a -=-+=，② 联立①②可得：12a =，2q =，则数列{}n a 的前n 项和为11(1)221n n n a q S q +-==--， 故答案为：122n n S +=-．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+ ．【解答】解：由方程()1f x =，得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 令()||,()\{2}{}1h x x a a g x frac x =-+=+， 则()||h x x a a =-+的顶点(,)a a 在y x =上，而y x =与()\{2}{}1g x frac x =+的交点坐标为(2,2)，(1,1)--， 联立\\{{\.\{}{}{2}\\{\{2}{}1}\{}\.}\.left left begin array l y x a y frac x end array right right =-+=+得{2}(12)20x a x +-+=，由△{2}(12)80a =--=，解得\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +， 作出图象，数形结合，要使得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +或2． 故答案为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 22229a a b ++的取值范围为 2[ ．【解答】2222219()22953ba ab a a++++=+，故可看作2(319())b bA a a⨯+与(5,22)B --两点的斜率，其中点A 在221(0,0)y x x y -=>>上，故AB k 最小值在相切时取得， 设2(5)y k x +=+，联立2222(5)1y k x y x ⎧++⎪⎨-=⎪⎩，由△0=，解得122132k k ==（舍) 当ba→+∞时，22219()153AB ba k a++=→+⨯， 22229a a b ++的取值范围是2[．故答案为：2[． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：根据题意，因为2x y =是增函数，若a b >，必有22a b >， 反之若22a b >，必有a b >， 则a b >是22a b >的充要条件， 故选：C ． 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定【解答】解：该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解； 故选：C ．15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【解答】解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为//a b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点．其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，所以f （1）1=，(1)1f -=-， 所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为f （3）35f =<=，所以()f x 在[0，)+∞不是增函数，故错误；③因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，显然()F x 的值域中不含负无理数， 故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即x a =，x 为有理数或2x a =，x 为无理数， 对于x a =，x 为有理数，必有解x a =，对于2x a =，x为无理数，必有解x = 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）【解答】解：（1）111122ABC S ∆=⨯⨯=，11422ABC V S A A ∆∴==⨯=．（2）11//BC B C ，MBC ∴∠或其补角是异面直线BM 与11B C 所成的角，在MBC ∆中，5BM CM ==2BC ，由余弦定理得，22210cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==， 10MBC ∴∠= 故异面直线BM 与11B C 所成的角为10 18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．【解答】解：（1）因为()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，所以2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)6f x x π=+，令222262k x k πππππ-++，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈．（2）在ABC ∆中，若()12Af =，由（1）得，()sin(2)6f x x π=+，所以sin()16A π+=因为0A π<<，所以62A ππ+=，解得：3A π=，即23sin sin sin sin()sin )326B C B B B B B ππ+=+-==+， 因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以13sin()1,3sin()3266B B ππ<+<+，所以sin sin B C +的取值范围． 19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． 【解答】解：（1）当16n 时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用， 当7n =时，因为764676467(6497747618)160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S 对1n =，2，⋯，12恒成立， ①当16n 时，635pn n 恒成立，可得635p ，②当712n 时，26774618pn n n -+-恒成立，即1037746()p n n-+恒成立，因为1037746()7746652.2n n n n -+-⨯≈，当且仅当103n n=，即10.15n =≈时，等号成立，又因为*n N ∈，且12n ，所以当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2， 综上所述，652.2p ，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点Q为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆221:14x C y +=，可得2a =，1b =，c =， 则椭圆1C的焦距为2c = （2）由12OQ k =，设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=， 由△22248(1)840m m m =--=->，得||m < 2A B x x m +=-，222A B x x m =-，所以222||(2)4(22)52AB mm m =---=-，又Q 到直线l 的距离为d =由1|||1,12QAB S d AB m m ∆===±，所以1:12l y x =±； （3）由2222441x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得M M x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(,)N x y 是曲线C 上一点，则1(0)F ，20)F ，1(,)NF x y =--，2(3,)NF x y =-， 所以22123NF NF x y =+-；当点N 在曲线2244(||||)M x y x x +=上时，21213NF NF y =-，当y 时，124()5min NF NF =-，当0y =时，12()1max NF NF =， 所以124[,1]5NF NF ∈-；当点N 在曲线221(||||)M x y x x -=上时，21222NF NF y =-；当y 时，124()5min NF NF =-，124[,)5NF NF ∈-+∞； 综上，124[,)5NF NF ∈-+∞．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值． 【解答】解：（1）1()f x 不是，2()f x 是．因为1f （1）1f >（2），则1()f x 不是[1，4]上的非减函数， 21,12()2,24x f x x ⎧=⎨<⎩，1x ∀，2[1x ∈，2]，且设1212x x <，则2122()()f x f x =，显然满足2122()()f x f x ， 1x ∀，2(2x ∈，4]，且设1224x x <<，则211222()2323()f x x x f x =-<-=，显然满足2122()()f x f x ，1[1x ∀∈，2]，2(2x ∀∈，4]，则21()1f x =，222()231f x x =->，显然满足2122()()f x f x ，综上所述，2()f x 是[1，4]上的非减函数． （2）1x ∀，2[2x ∈，4]，设1224x x <， 则12()()0g x g x -， 12121222()()2(2)22x x x x a a g x g x -=+-+ 121221121222222()22(22)2222x x x x x x x x x x a a a =-+-=-+-12122(22)(1)022x x x x a=--， 则1x ∀，2(2x ∈，4]，设1224x x <，不等式1221022x x a -恒成立，即1222x a 2x ，则8a ．（3）h （1）(0)1h +=，所以h （1）1=， 所以11()32h h =（1）12=，211()1()332h h =-=， 得出121()()332h h ==，1(3x ∀∈，2)3，因为函数()h x 在[0，1]上为非减函数，所以12()()()33h h x h ，所以11()22h x ， 得到1[3x ∀∈，2]3，1()2h x ≡，由②1()()32x h h x =知，1()(3)2h x h x =，1131729()()()202022020642020h h h ==⋯=， 所以11()2020128h =．。

参考答案：一、填空题：1.(,0)-∞ 2.32 3.83π 4.25 5.7 6.7267.2108.(2,4)9.2π10.12b c b +=-⎧⎨<-⎩（或11b c c +=-⎧⎨>⎩）11.312.33-二.选择题13.B14.D 15.A 16.D 三.解答题17、（1）π96；（2）196，7.6；18、（1）123；（2）3max =y ，此时()Z k k x ∈+=6ππ；19、（1）联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得6=-B A y y ，827=∆AOB S ；（2）设点D 、M 、N 的纵坐标分别为321,,y y y ，AD 为抛物线px y 22=的一条弦，M 是AD 中点，且D A ,两点纵坐标之差为定值，即()021>=-a a y y A ，由已知的结论，得p a p a S AMD 168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆，同理，可得p a p a S BND168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆；20．(1)解设数列{}n a 的公差为d ，由113615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分(2)对任意m ∈N *，若1212212m m n ++<-<，则2112222m m n +<<+，故222m m m b =-,m ∈N *，…………………………………………………………6分S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )=21)21(241)41(4-----m m =322644+⨯-⨯m m ，………………………………8分令4462220183m m ⨯-⨯+>，解得23l 5.34og m +>≈，故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分(3)1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分记2(21)1(21)(21)n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *，由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++，知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234A A A A =<<< 而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………18分【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分21、解(1)依据题意，知()21f x x =-，若(2)()f a x k f x -=⋅，即2(2)1(21)a x k x --=-.化简得2412x a kx k -+-=-，此等式对R x ∈都成立，则22,41.k a k =-⎧⎨-=-⎩解得1,1.2k a =-⎧⎪⎨=⎪⎩于是，函数()21f x x =-有理想数对1(,1)2-.所以，函数()f x M ∈.证明(2)用反证法证明()g x M ∉.假设()g x M ∈，则存在实数对(,)(0)a k k ≠使得(2)()g a x k g x -=⋅成立.又()2x g x =，于是，222a x x k -=⋅，即2222a x k =⋅.一方面，此等式对R x ∈都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随x 变化而变化的实数.这是矛盾！故假设不成立.因此，函数()g x 不存在理想数对(,)(0)a k k ≠，即()g x M ∉.解(3) 数对(2,1)(1,1)-和都是函数()h x 的理想数对，(4)(),(2)(),R h x h x h x h x x ∴-=-=-∈.(4)(4(4))(2(2))(2)(4(2))(2)().h x h x h x f x h x h x h x ∴+=-+=-+=-+=---=--=∴函数()h x 是以4为周期的周期函数.由(2)(),(2)()0,R h x h x h x h x x -=--+=∈，可知函数()h x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形.又11x -≤≤时，2()1h x x =-.13121x x ∴<≤-≤-<时，，则2()(2)(2)1h x h x x =--=--.先画出函数()h x 在[1,3]-上的图像，再根据周期性，可得到函数()h x的图像如下：221(2),2121,()(2)1,212 1.x k k k x k h x x k k k x k ⎧---≤<+⎪∴=⎨---≤<+⎪⎩为偶数，为奇数，2()1(8),79h x x x ∴=--≤≤；2()1(12),1113h x x x =--≤≤.由2()1(8),(79)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得1616)m m =-=+.由2()1(12),(1113)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得2424)m m =-=+.∴函数(0)y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[0,12]上有且仅有5个交点时，实数m的取值范围是2416m -<<-。

上海市2021年普通高等学校春季招生模拟考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =I __________． 4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．下列函数中，为偶函数的是（） （A ）2y x -=（B ）13y x =（C ）12y x -=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =u u u r．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤u u u r ，6AB AP ⋅=u u r u u ru u ，2AQ AP =-u u u r u u u r ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（） （A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．数学试卷详细解析一、填空题 1.2. 解析：3.解析：提示：共轭复数实部相等，虚部互为相反数 4.解析： 5. 6解析：6. 10解析： 7. 2解析：提示：圆上两动点之间距离最大为圆的直径 8.解析：原式=9. 160解析：，常数项为{1,2,3,4}(2,4)-23i -2323z i z i =+⇒=-1234533153=255=255210a a a a a a a a a a ++++⇒⇒=⇒+==(12)7296n n +=⇒=3362=160C ⨯10. 6解析：中当时，中当时，同理：中当时，11. 48解析：提示：分为1和2；,3和4；5和6三组，每组里面有2种排列方式，共12F F P V 12F P=F P 12P (0,1),P (0,1),-12F F P V 121F F =FP 12F F P V 122F F =FP 333248P ⋅=2228⨯⨯=又这三组数排列为：,所以 12.解析：当时，在区间上为增函数，不合题意所以：此时应满足所以的取值范围为二、选择题 13. B解析：抛物线的对称轴是，开口向上，所以单调递增区间是33P 333248P ⋅=(0,1)0a ≤(1,2)0a >(1)f(0,1)1x =[1,)+?14. C解析：当时，，所以“”是“”的充分条件当时，，所以“”是“”的必要条件所以“”是“”的充要条件15. A 解析：0a 0a >0a >0a>B.长方形C.对角线不相等的菱形16. B解析：如图，根据勾股定理可以求得根据图像和的增减性我们可以知道当P 在正八边形边上时为正，此时当P 在处时最大当P 在正八边形边上时为负，此时当P 在处时最小127...A A A ---4A 781A A A --8A最大时： 最小时：三、解答题 17. （1）4；（2）解析：（1）（2）异面直线与所成角即为直线与所成角:或者写为；18. （1）；（2） 解析：（1）由题意可知：所以要使为奇函数，则必须 （2）由题意可知：对任意恒成立设,则，在恒成立 所以（提示：y 是关于t 的一次函数，要使条件恒成立，则必须是增函数或常数函数）19. （1）半径34.6，半径16.1；（2）半径30，半径20，造价263.9千元1A C 1DD 1A C 1AA 1CA A∠1a =-[0,2]()f x 101a a +=⇒=-x R Î2,x t x R =∈()120y a t =-+>(0,)t ∈+∞1M 2M 1M 2M解析：(1)做如图所示辅助线可得：米米（2）如图，所以总造价： 化简：千元当且仅当时造价最小，此时米，米20. （1）；（2）；（3）解析：（1）；的渐近线方程为：（2）点在直线上得：，=160tan 30M r θ==e 3y x =?2,13c a b ==⇒=G (1,0)-(0)y kx m km =+?k m ='(1,0)P联立方程组：所以,所以直线的方程为：,又（3）联立方程组：直线过点，所以带入得：'P Q 'P Q21. （1）；（2）略；（3）解析：（1）（2）记则∴∵对于要证明的等式， 左边右边左边，证毕。

2021届上海市高三上学期一模暨春考模拟考试数学试卷（十二）★祝考试顺利★(含答案)一.填空题:1.不等式2log 1|021x >的解为____.2.已知复数z 满足(1+i)·z=4i (i 为虚数单位),则Z 的模为____.3. 若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1),则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点____.4. 若一个球的体积是其半径的43倍,则该球的表面积为____. 5.在一个袋中装有大小､质地均相同的9只球,其中红色､黑色､白色各3只,若从袋中随机取出两个球,则至少有一个红球的概率为_____. (结果用最简分数表示)6.设(x 5236012361)(1)x a a x a x a x a x -+=+++++, 则3a =____(结果用数值表示)7.在△ABC 中,边a ､b ､c 满足a+b=6,∠C=120°,则边c 的最小值为____.8.若函数2y ax a =+,则实数a 的取值范围是____.9.已知数列{}n a 中,111,(1)1,n n a na n a +==++若对于任意的[]*2,2a n N ∈-∈､,不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立,则实数t 的取值范围为____. 10. 已知函数22()(815)()(,,)f x x x ax bx c a b c =++++∈R 是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[1,2]上有解,则实数a 的取值范围是____.11.设P是长为123456A A A A A A 的边上的任意一点,长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦,PM PN ⋅的取值范围为____.12.若M ､N 两点分别在函数y= f(x)与y=g(x)的图像上,且关于直线x=l 对称,称M ､N 是y= f(x)与y=g(x)的一对“伴点”(M ､N 与N ､M 视为相同的一对),已知2(),()||12x f x g x x a x ⎧<⎪==++≥,若y= f(x)与y= g(x)存在两对“伴点”,则实数a 的取值范围为____.二.选择题:13.下列命题正确的是()(A)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行14. “m∈{1,2}”是“lnm<1”的成立的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15. 已知点A(1,-2),B(2,0), P 为曲线y =,则AP AB ⋅的取值范围为()(A) [1,7](B) [-1,7] ()[1,3C + ()[1,3D -+ 16.直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点11(,),P a b 则ab 的最大值为() 7.6A .4B - .5C -.6D -三.解答题:17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2.f x x x =(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在△ABC 中,6BC BA ⋅=,若函数f(x)的图像经过点(B,2), 求△ABC 的面积.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图所示,某地出土的一种“钉” 是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为i A (i=1,2,3,4) .(1)记(0)i OA a a =>,当123A A A 、、在同一平面内时,求1OA 与平面123A A A 所成角的大小(结果。

2021年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}，则A B = ．2．（4分）函数2x y =的反函数是 ．3．（4分）行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 ．4．（4分）已知复数z 满足40z z+=，则||z = ． 5．（4分）圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ= ． 6．（4分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()limn n na S →∞= ． 7．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(da c，b ，c ，*)d N ∈，则b d ac ++是x 的更为精确的近似值．已知15722507π<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为 ． 8．（5分）在二项式521)(0)a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是 ． 9．（5分）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点1F ，2F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF 的值为 ．10．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 .（结果用最简分数表示）11．（5分）记m a 为数列{3}n 在区间(0，](*)m n N ∈中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S = ．12．（5分）已知向量e 的模长为1，平面向量m ，n 满足：|2|2m e -=，||1n e -=，则m n 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．（5分）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④15．（5分）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )ABCD16．（5分）设函数,()1,x x P f x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P ，M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()A P y y f x ==，}x P ∈，(){|()A M y y f x ==，}x M ∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若PM R ≠，则()()A P A M R ≠；（3）一定有P M =∅；（4）若PM R =，则()()A P A M R =．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．18．（14分）设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值； （2）设0a >，()()f x g x x=，(0x ∈，]a 为减函数，求实数a 的取值范围． 19．（14分）如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．20．（16分）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．21．（18分）若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且*2,2()n n a n b n n N ==+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系P （1）？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，*11,n n b a n N +=+∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）；并求A 的最小值； （3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为(*)q q N ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件．2021年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}，则A B = {2，4} ．【解答】解：集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}， 则{2AB =，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）函数2x y =的反函数是 2log y x = ． 【解答】解：2x y =，2log x y ∴=，∴函数2x y =的反函数为2log y x =．故答案为：2log y x =．3．（4分）行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 3- ．【解答】解：在行列式123456789中，元素3在第一行第三列，那么化去第一行第三列得到3的代数余子式为445(1)378-=-， 故答案为：3-．4．（4分）已知复数z 满足40z z+=，则||z = 2 ． 【解答】解：因为复数z 满足40z z+=， 所以4z z-=，则24z =-， 所以22|||||4|4z z ==-=， 可得||2z =．故答案为：2．5．（4分）圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ= π ． 【解答】解：圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为212()cm ππ⨯=； 所以扇形的圆心角为22πθπ==． 故答案为：π．6．（4分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= 4 ．【解答】解：因为等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =， 所以12(1)21n a n n =+-=-，2(1)122n n n S n n -=⨯+⨯=． 故2222(21)441lim lim n n n n n n n→∞→∞--+=． 故极限为441=．故答案为：4．7．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(da c，b ，c ，*)d N ∈，则b d ac ++是x 的更为精确的近似值．已知15722507π<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为 20164 ．【解答】解：根据15722507π<<经过一次“调日法”可得π的近似分数为17957， 根据17922577π<<，经过一次“调日法”可得π的近似分数为20164， ∴使用两次“调日法”后可得π的近似分数为20164． 故答案为：20164． 8．（5分）在二项式521)(0)a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是【解答】解：二项式521)(0)a ax>的展开式的通项公式为552151()r rr r T C x a -+=，令5552r -=-，求得3r =，故展开式中5x -的系数为3351()C a ； 令5502r -=，求得1r =，故展开式中的常数项为1515C a a=，由为33511()5C a a=，可得a =9．（5分）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点1F ，2F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF 的值为 21 ． 【解答】解：设椭圆与双曲线在第一象限的交点为A 则， 由椭圆与双曲线的方程可得二者焦点相同， 根据椭圆与双曲线的定义可得：12||||10AF AF +=， 12||||4AF AF -=，两式平方相减得：124||||84AF AF =，故答案为：21．10．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 1318.（结果用最简分数表示）【解答】解：盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，基本事件总数2936n C ==， 这两个球的编号之积为偶数包含的基本事件个数：21144526m C C C =+=，则这两个球的编号之积为偶数的概率是26133618m p n ===． 故答案为：1318． 11．（5分）记m a 为数列{3}n 在区间(0，](*)m n N ∈中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S = 284 ．【解答】解：对于区间(0，]m ，{|m m m N ∈∈，1100}m ，可知： （1）当1m =，2时，区间内不含3n 项，故120a a ==，共2项；（2）当3m =，4，5，8⋯⋯时，区间内含有13一项，故34581a a a a ===⋯⋯=，共6项； （3）当9m =，10，11，26⋯⋯时，区间内含有13，23两项，故91011262a a a a ===⋯⋯==，共18项；（4）当27m =，28，29，⋯⋯，80时，区间内含有13，23，33三项，故272829803a a a a ===⋯⋯==，共54项；（5）当81m =，82，83，⋯⋯，100时，区间内含有3，23，33，43四项，故8182831004a a a a ===⋯⋯==，共20项．故1002061182543204284S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 故答案为：284．12．（5分）已知向量e 的模长为1，平面向量m ，n 满足：|2|2m e -=，||1n e -=，则m n 的取值范围是 [0，8] ．【解答】解：根据条件，不妨设(1,0)e =，(,)m x y =，(,)n p q =， 则由|2|2m e -=，||1n e -=，可得22(2)4x y -+=，22(1)1p q -+=， 由柯西不等式，得(1)m n xp yq p x qy x =+=-++2222(1)p x y x x -++=+，令t =[0x ∈，4]，[0t ∴∈，2]，∴222(1)1m n t t t =+=+-[0t ∈，2]，∴[0,8]m n ∈．故答案为：[0，8]．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a b =”不能推出“2a b +，如1a b ==-，则12a b+=-1=；反之成立，由“2a b+=，两边平方，即得“a b =”，∴ “a b =”是“2a b+= 故选：B ．14．（5分）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故①错误；②垂直于同一条直线的两个平面的法向量共线，则两平面互相平行，故②正确；③由直线与平面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故③正确； ④垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．∴正确的结论是②③．故选：C ．15．（5分）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )ABCD【解答】解：顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，0y ∴>，且22191OP y =+=，求得y =，则sin()6y πα+==，1cos()63πα+=-，则11sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666632ππππππαααα=+-=+-+=⨯， 故选：D ．16．（5分）设函数,()1,x x Pf x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P ，M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()A P y y f x ==，}x P ∈，(){|()A M y y f x ==，}x M ∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若PM R ≠，则()()A P A M R ≠；（3）一定有P M =∅；（4）若PM R =，则()()A P A M R =．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由题意知，()A P 为分段函数中函数()f x x =-，x P ∈的值域， ()A M 为分段函数中函数1()f x x=，x M ∈的值域． 若()f x 的图象如图所示，则()()(0A P A M =，)+∞≠∅，故（1）错误；PM R =，但()()A P A M R ≠，故（4）错误；对于分段函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，只有{0}P =，{|0}M x x =≠时，满足PM R =，()()A P A M R =， 若PM R ≠，则()()A P A M R ≠，故（2）正确；分段函数不同段的定义域没有公共部分，故一定有PM =∅，故（3）正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【解答】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点． 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD ． 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂/平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC ．（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角． 因为2PA PC ==，1222AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．18．（14分）设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）设0a >，()()f x g x x=，(0x ∈，]a 为减函数，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由已知，()()f x f x -=．2⋯分 即||||x a x a -=+，3⋯分 解得03a =⋯分（2）当(0x ∈，]a 时，2(),()1af x x a xg x x x=+-=+-，7⋯分 设1x ，2(0x ∈，]a ，且210x x >>，于是2120x x a -<，120x x >． 1212121212()()1(1)()(1)0a a a f x f x x x x x x x x x -=+--+-=--> 1x ，2(0x ∈，]a 且12x x <，所以212x x a <，所以2a a ，因此实数a 的取值范围是(0，1]12⋯分19．（14分）如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．【解答】解：（1）在PME ∆中，EPM θ∠=，4PE m =，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理可得sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ∠==∠+， 同理，在PNE ∆中，22PN = 2148sin 2sin cos 2)14PMN S PM PN MPN cos πθθθθ∆∴=∠==+++，M 与E 重合时，0θ=，N 与D 重合时，tan 3APD ∠=，即3544πθ=-， 35044πθ∴-， 综上所述，8)14PMN S πθ∆=++，35044πθ-； （2）当242ππθ+=即8πθ=时，S1)=平方米．20．（16分）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．【解答】解：（1）动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1， 等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等， 由抛物线的定义可得，曲线C 的方程为24y x =；证明：（2）设直线PA 的斜率为k ，由直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数， 得直线PB 的斜率为k -，则：:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=．结合根与系数的关系，可得22(2)(k A k -，42)kk-；联立22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，得2222(244)(2)0k x k k x k -++++=，结合根与系数的关系，可得22(2)(k B k +，42)kk--． ∴222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--， 即直线AB 的斜率为定值1-；证明：（3）设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为2k -，由（2）可知，22(2)(k A k -，42)kk-；PB 所在直线方程为2(2)(1)y k x -=--，联立22(2)(1)4y k x y x -=--⎧⎨=⎩，得2(2)440k y y k --+=，解得22((2)k B k -，2)2kk-．∴22222242(2)2(2)22(2)ABk kk k k k k k k k k k k ----==--+--， AB ∴所在直线方程为2222(2)()222(2)k k k k y x k k k k --=---+-， 整理得2(2)(1)22k k y x k k -=+-+，∴直线AB 过定点(1,0)-．21．（18分）若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且*2,2()n n a n b n n N ==+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系P （1）？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，*11,n n b a n N +=+∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）；并求A 的最小值； （3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为(*)q q N ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件． 【解答】解：（1）因为*2,2()n n a n b n n N ==+∈， 若数列{}n a 与{}n b 具有关系P （1），则对任意的*n N ∈，均有||1n n a b -，即|2(2)|1n n -+，亦即|2|1n -， 但4n =时，|2|21n -=>，所以数列{}n a 与{}n b 不具有关系P （1），（2）证明：因为无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以11()3n n a -=，因为11n n b a +=+，所以1()13n n b =+，所以1112|||()()1|11333n n n n n a b --=--=-<，所以数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）． 设A 的最小值为0A ，0||n n a b A -， 因为||1n n a b -<，所以01A ． 若001A <<，则当302log 1n A >-时，0231n A >-，则0213n A ->，这与“对任意的*n N ∈，均有0||n n a b A -”矛盾， 所以01A =，即A 的最小值为1．（3）因为数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为*()q q N ∈的等比数列，所以1112(1)1,n nn n a a n d dn d b b q q q-=+-=+-==， 设21,0d a b q-==>，则*,,n n n a dn a b bq n N =+=∈． 数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ），即存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -． （Ⅰ）当0d =，1q =时，|||12|11n n a b -=-=，取1A =，则||n n a b A -，数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）（Ⅱ）当0d =，2q 时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为|||||n n n n b a a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n b a A -，即1n bq A +，1nA q b +，所以1log q An b+，这与“对任意的*n N ∈，均有||||n n b a A -”矛盾，不合；（Ⅲ）当0d ≠，1q =时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为||||||n n n n a b a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n a b A -，即||2n a A +，即||2dn a A ++，所以||||2dn a A -+，||2||a And ++，这与“对任意的*n N ∈，均有||||n n a b A -”矛盾，不合；（Ⅳ）当0d ≠，2q 时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为|||||n n n n b a a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n b a A -，所以||||||n bq dn a A d n a A ++++，所以||||nd a Aq n b b++，设||||0,0d a A b bλμ+=>=>，则对任意的*n N ∈，n q n λμ+．因为2n nq 所以，对任意的*n N ∈，2n n λμ+，下面先证明：存在1N >，当n N >时，22n n >．即证220nln lnn ->．设()0)f x lnx x =->，则1()f x x '==所以(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间(0,4)上递增，同理()f x 在区间(4,)+∞上递减，所以()max f x f =（4）420ln =-<，所以lnx <因此，22(2)22)xln lnx ln x ->-=-，所以，当22()2x ln >时，220xln lnx ->，设22()2N ln =，则当x N >时，220xln lnx ->，即当n N >时，22n n >，又2nn λμ+，所2n n λμ<+，即20n n λμ--<，解得0n <<，这与对任意的*n N ∈，2n n λμ+矛盾，不合．综上所述，数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件为0d =，1q =．。

参考答案：一．填空题：1、4(,)+∞；2、22；3、()13,；4、4；5、712；6、0；7、；8、3[0,3；9、(],1-∞-；10、11[,]83；11、[6-+；12、(3-+；二．选择题：13、D；14、A；15、A；16、B；三．解答题：17、（1）,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π；18、（1）322arccos ；（2）42162米。

19、（1）35；（2）1[,)4a ∈+∞．20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a == ，又焦距为4，则224a b +=，…………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅< ，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，……………………………4分即223503m m -<-，则153m <<-或153m <<，即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P +，……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-，即200000322x x y y x y y --=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x --++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+，即02(3)1(33x x x +-+=，则0234x x =，即点Q的横坐标为024x +，……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值，请相应评分.21、解：（1）(1)1f =，(2)2f =，猜想()f n n =；（2）98n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ，21199m m m t --∴=-，352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--，2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ；（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈，1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈，11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。

2021年上海市高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2021•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2021•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2021•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2021•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2021•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2021•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2021•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2021•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2021•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2021•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2021•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2021•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2021的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2021的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2021﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2021﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2021•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2021•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2021•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2021•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2022成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2022，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2022，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。

2021年上海市长宁区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（4分）不等式201x x -<+解集为 ． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 ．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- ． 4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 ．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 ．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为 ．7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k = ．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为 ．9．（5分）设F 为双曲线222:1(0)y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P 、Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF =，则b = ．10．（5分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上．若1AB AD =，53AD AC =，则AB AC 的值为 ．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为 ． 12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a b D ．||||||||a b a b --15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为32． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．2021年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式201x x -<+解集为 {|12}x x -<< ． 【解答】解：由不等式不等式201x x -<+，可得(2)(1)0x x -+<，解得12x -<<， 故答案为{|12}x x -<<． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 π ．【解答】解：函数sin(2)6y x π=-的最小正周期是：22ππ=． 故答案为：π．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- 0 ． 【解答】解：1212()2133lim lim 013113n n nnn n n+→∞→∞⨯++==--． 故答案为：0．4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 3.0 ． 【解答】解：该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8； 所以这组数据的中位数为1(2.9 3.1) 3.02⨯+=． 故答案为：3.0．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 15 ．【解答】解：根据二项式定理，61()x x +的通项为6621661()r r r r rr T C x C x x--+==，0r =，1，2，⋯，6，当622r -=时，即2r =时，可得2315T x =，即2x 项的系数为15， 故答案为：15．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为12． 【解答】解：由已知可得3log 82a =，即328a =，解得4a =，所以14()log f x x -=，再令41log 2x =-，即124x -=，解得12x =，由反函数的定义可得11()22f -=， 故答案为：12． 7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =1- ．【解答】解：直线1201x y k-+=，即(1)1(2)0k x y ⨯--⨯+=，即20kx y k ---=， 直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，∴这两条直线互相平行，故它们的斜率相等，即1k =-， 故答案为：1-．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为[1-，1] ．【解答】解：2{|1}{|11}M x x x x ==-，M N M =，N M ∴⊆，{}N b =，11b ∴-．故答案为：[1-，1]．9．（5分）设F为双曲线222:1(0)yx bbΓ-=>的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF=，则b=1．【解答】解：如图，可得(2cP，)2c，又点P在渐进线by xa=上，∴22c b ca=，整理得：1ba=，又1a=，1b∴=，故答案为：110．（5分）在ABC∆中，3AB=，2AC =，点D在边BC上．若1AB AD=，53AD AC=，则AB AC 的值为3-．【解答】解：由已知设AD xAB y AC=+，且1x y+=，因为1AB AD=，53AD AC=，所以()15()3AB xAB y ACAC xAB y AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即91543x y AB ACy xAB AC⎧+⋅=⋯⋯⎪⎨+⋅=⋯⋯⎪⎩①②，结合1x y+=，消去AB AC，得195431x yxyx y-⎧=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，解得12,33x y==，代入①式，可得3AB AC=-．故答案为：3-．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为19． 【解答】解：x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，∴数对(,)x y 共有9872⨯=个．12arctan 3AOB ∠=，2233tan 241()3AOB ∴∠==-，4cos 5AOB ∴∠=，又连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，得(,)OA x y ==，(,)OB y x =， 则2224cos 5||||OA OB xy AOB x y OA OB ∠===+，即(2)(2)0x y x y --=，即2y x =，或12y x =， ∴满足12arctan 3AOB ∠=的数对有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共8个，12arctan 3AOB ∴∠=的概率81729P ==．故答案为：19．12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 45 ． 【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列，设n a pn q =+，若存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则有22()()()(2)(2)(2)pr q pt q ps q pr q pt q ps q ⎧++=+⎨++=+⎩，即()()222222224444p rt pq t r p s pqs p rt pq t r p s pqs ⎧++=+⎪⎨++=+⎪⎩①② 联立①②，变形可得222p rt p s =，又由等差数列{}n a 的公差不为0，即0p ≠，则有2rt s =，代入①式可得()2pq r t pqs +=，又由r ，s ，t 互不相等且2rt s =，则2r t s +≠，必有0q =，则n a pn =，所以11S a p ==，1()(1)22n n a a n n n pS +⨯+==， 故1(1)9909909901222nnn n p S S n a pn n +++==++，设9901()22n f n n =++，则990199011()22222n f nn n =++⨯=， 当且仅当21880n =时等号成立，此时n 不是正整数，不符合题意， 而4344<<， 所以9904311936(43)432243f =++=，990441(44)454422f =++=， 所以(43)(44)f f >， 所以1990nnS S a +的最小值为45， 故答案为：45．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），当0a =，且0b ≠时，z 为纯虚数，则“0a =”是“z 为纯虚数”必要非充分条件， 故选：B ．14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是()A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a bD ．||||||||a b a b --【解答】解：因为22||a a =，所以22()||a b a b +=+正确，所以A 正确；22()()a b a b a b +-=-，满足向量的运算法则，所以B 正确； ||||||cos ,||||a b a b a b a b =<>，所以C 正确；如果两个向量是相反向量，||||||||a b a b --，不正确，所以D 不正确；故选：D ．15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ【解答】解：对于A ：由于m α⊥，n β⊥，所以直线m 和n 相当于平面α和β的法向量，由于m n ⊥，所以αβ⊥，故A 正确；对于B ：由于m α⊥，//n β，所以m 相当于α的法向量，由于//m n ，则αβ⊥，故B 正确；对于C ：由于m n ⊥，//m α，//n β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ：由于//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ，故D 正确． 故选：C ．16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)【解答】解：由图象可知，当x →+∞时，123123()2(1)()f x x b kx b x b k x b b b =-+--+=--+-恒为负值，所以1k =，1230b b b +->，即123b b b +>，观察选项可知，只有A 选项中123b b b +>， 故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，【解答】解：（1）由题意知，23h =，2r =，∴圆锥的母线224l h r =+=，∴圆锥的侧面积112422822S l r πππ==⨯⨯⨯=．（2）取OA 的中点N ，连接MN ，PN ，M 为AB 的中点，//MN OB ∴，PMN ∴∠或其补角即为直线PM 与直线OB 所成的角， OB OA ⊥，OB OP ⊥，OA OP O =，OA 、OP ⊂平面POA ，OB ∴⊥平面POA ，MN ∴⊥平面POA ，MN PN ∴⊥，在Rt PMN ∆中，PN ==112MN OB ==，tan PNPMN MN∴∠== 故直线PM 与直线OB．18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 【解答】解：（1）根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，则(1,0)F ，直线:0l x my n --=经过点F ，则有100n --=，解可得1n =，直线l 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可得：2440y my --=，则有124y y m +=，124y y =-，又由||8AB =，则2||4(1)8AB m =+=， 解可得1m =±，（2）根据题意，抛物线2:4y x Γ=的准线为1x =-，设3(1,)C y -，由直线OA 的方程11y y x x =， 则有13114y y x y =-=-， 又由124y y =-，则214y y =-，故2314y y y ==-，故直线BC平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．【解答】解：（1）连接BD ，在ABD ∆中，因为60BAD ∠=︒，AB AD =，所以ABD ∆为等边三角形，所以20BD =，因为105ADC ∠=︒，所以1056045BDC ∠=︒-︒=︒， 在BCD ∆中，由正弦定理可得sin120sin 45BC BC =︒︒，所以20616BC =≈千米，（2）连接BD ，2BD AD ==，且60ADB ∠=︒，可得2BD =， 在BCD∆中，由余弦定理可得222222232cos120()()()()24BC CD BD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD +=+-︒=+-+-=+，所以2241600()33BC CD BD +=，所以403()max BC CD +=，所以四边形ABCD 的周长为：403()202073max AB BC CD AD +++=++≈米．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．【解答】解：（1）当0a =时，3()2f x x x =-，显然()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数， 当0a ≠，f （1）1a =-，(1)1f a -=+，(1)f f -≠±（1），故()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）原问题转化为122a x x >+在区间1[2，1]上有解，函数122y x x =+在区间1[2，1]上单调递减，故52min y =，故a 的取值范围是5(2，)+∞；（3）假设存在对称中心(,)m n ，则32322(2)(2)2(2)2x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立，得2232(62)(124)8442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成立，故23262012408442m a m am m am m n +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩， 故3a m =-，322273a an =+， 故函数()y f x =的对称中心是(3a -，322)273a a+． 21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．【解答】解：（1）数列{}n a 的通项公式为：n a n =，22a =，33a =，23292a a =不是整数，故不是数列{}n a 的项， 故数列{}n a 不是“X 数列”；（2）数列{}n a 的前n 项和*21()n n S n N =-∈，故12n n a -=，当3n 时，取1K m =-，2l m =-，则221122k l n k n la a a ---===，故数列{}n a 是“Y 数列”， （3）证明：记21a q a =，而数列{}n a 为各项均为正数的递增数列， 故1q >且当k l >时，1k laa >，若k l >，2k kn k k l l la a a a a a a a ==⨯>>，则n k l >>①， 数列{}n a 为“X 数列”，故存在i j >，且23i ja a a =，由①知：31i j >>，故2i =，1j =，即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等比数列，数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k ，()l k l >，使得24k la a a =，由①得：4k l >>，故3k l >，从而22141k l k la a a q a --==，记*421n k l N =--∈，数列{}n a 是“Y 数列”，存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==⨯=，由1q >，得3m a a >，若43411na a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与*4n N ∈矛盾，若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增矛盾， 故341a a q =，即1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．。

2021年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合{|30A x x =+>，}x R ∈，2{|280B x x x =+-<，}x R ∈，则A B = ．2．（4分）方程2220x x ++=的根是 ． 3．（4分）行列式sin sin cos ||cos sin cos αααααα-+的值等于 ．4．（4分）函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1f -（4）= ．5．（4分）从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为 .（用数字作答）6．（4分）在8(21)x +的二项式展开式中，2x 项的系数是 ． 7．（5分）计算：|423|lim2n n n→∞-= ．8．（5分）过抛物线22(0)y px p =>的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，且||4AB =，则p = ．9．（5分）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α= ．10．（5分）设1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠= ． 11．（5分）若a 、b 分别是正数p 、q 的算术平均数和几何平均数，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q pq ++的值形成的集合是 ．12．（5分）已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a = ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若a b >，则下列各式中恒正的是( ) A ．()lg a b -B ．33a b -C ．0.50.5a b -D ．||||a b -14．（5分）在ABC ∆中，若20AB BC AB +=，则ABC ∆的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形15．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ω>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数()f x 单调递增区间的是( ) A ．[0，3]B ．3[,3]2C ．[3，6]D ．9[3,]216．（5分）在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A 、B ，过直线l 做平面α，使得点A 、B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积．18．（14分）已知函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-，其中a R ∈． （1）当()f x 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数()f x 在[2，)+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．19．（16分）如图所示，A 、B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：)km 与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A 、B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当15AP km =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB ∆的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？20．（14分）已知点(1,0)A -、(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=（其中a ，b ，)c R ∈，点P 在直线l 上．（1）若a 、b 、c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a 、b 、c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a 、b 、c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围．21．（18分）设x 是实数，n 是整数，若1||2x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数． （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a 2n S 最接近的整数；（3）n T 是首项为2，公比为23的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋯+．2021年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合{|30A x x =+>，}x R ∈，2{|280B x x x =+-<，}x R ∈，则A B =(3,2)- ．【解答】解：{|30A x x =+>，}{|3}x R x x ∈=>-，2{|280B x x x =+-<，}{|42}x R x x ∈=-<< {|32}AB x x ∴=-<<，故答案为：(3,2)-．2．（4分）方程2220x x ++=的根是 1i -± ． 【解答】解：因为判别式△484=-=-，2212ii -±==-±， 故答案为：1i -±． 3．（4分）行列式sin sin cos ||cos sin cos αααααα-+的值等于 1 ．【解答】解：22sin sin cos ||sin (sin cos )cos (sin cos )sin sin cos cos sin cos 1cos sin cos αααααααααααααααααα-=+--=+-+=+．故答案为：1．4．（4分）函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1f -（4）= 6 ． 【解答】解：函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=， 要求1f -（4）的值，即可求使得2log (24)4x +=的x 值， 由2log (24)4x +=，得2416x +=，则6x =．1f -∴（4）6=． 故答案为：6．5．（4分）从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为16.（用数字作答） 【解答】解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，有246C =种选法，则甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种， 则甲、乙两人都没有被选到的概率16P =， 故答案为：16． 6．（4分）在8(21)x +的二项式展开式中，2x 项的系数是 112 ． 【解答】解：根据题意，8(21)x +的展开式通项为818(2)r r r T C x -+=， 当6r =时，有22278(2)112T C x x ==， 即2x 项的系数是112， 故答案为：112． 7．（5分）计算：|423|lim2n n n→∞-= 2 ．【解答】解：234|423|423lim lim lim2222n n n n n n n n→∞→∞→∞---===． 故答案为：2．8．（5分）过抛物线22(0)y px p =>的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，且||4AB =，则p = 2 ．【解答】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2p，0)，可得直线AB 的方程为2p x =， 代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±， 即有||24AB p ==， 解得2p =， 故答案为：2．9．（5分）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=． 【解答】解：由12sin2cos2αα-=，得1cos22sin2αα-=，即22sin 4sin cos ααα=； 又(0,)απ∈，所以sin 0α≠， 所以sin 2cos 0αα=>；由22222sin cos (2cos )cos 5cos 1ααααα+=+==，解得cos α=．10．（5分）设1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠= 45．【解答】解：设双曲线的半焦距为c ， 由双曲线的渐近线方程，可得43b a =，则53c a =， 在△12PF F 中，212||||2PF F F c ==，1||22PF c a =+， 由余弦定理可得22212(2)(22)(2)cos 22(22)c c a c PF F c c a ++-∠=⨯+54310253a aa c c a ++===． 故答案为：45． 11．（5分）若a 、b 分别是正数p 、q 的算术平均数和几何平均数，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q pq ++的值形成的集合是 {9} ．【解答】解：a 、b 分别是正数p 、q 的算术平均数和几何平均数， 2p qa +∴=，b =，且2a b >-，a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴222(2)b a ab =-⎧⎨-=⎩，解得4a =，1b =， 8p q ∴+=，1pq =，9p q pq ∴++=，p q pq ∴++的值形成的集合是{9}．故答案为：{9}．12．（5分）已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a = 0 ． 【解答】解：32n n S a n =+，1131(2)2n n S a n n --∴=+-，两式相减得，1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，化简整理得，113(1)n n a a --=-，∴1131n n a a --=-，即数列{1}n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列， 11333n n n a -∴-=-=-， 31n n a ∴=-+．()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，∴令2x =，则f （2）(0)0f ==，令2x x =-，则(4)(2)(2)f x f x f x -=-=--，(4)()()f x f x f x ∴-=-=-，即()f x 是以4为周期的周期函数．20212021202131(41)1a =-+=--+2021[4C =-2021012021(1)4C -+2020120202021(1)4C -+⋯+1202020212021(1)4C -+02021(1)]1-+2021[4C =-2021012021(1)4C -+2020120202021(1)4C -+⋯+12020(1)]2-+，其中020214C 2021012021(1)4C -+2020120202021(1)4C -+⋯+12020(1)-能被4整除，20212021()(31)f a f f ∴=-+=（2）0=． 故答案为：0．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若a b >，则下列各式中恒正的是( ) A ．()lg a b -B ．33a b -C ．0.50.5a b -D ．||||a b -【解答】解：选项A ：令1a =，12b =，则12a b -=，而1202lg lg =-<，A 错误，选项B ：因为函数3y x =在R 上单调递增，又a b >，所以有33a b >，则330a b ->，B 正确，选项C ：因为函数0.5x y =在R 上单调递减，又a b >，所以有0.50.5a b <，即0.50.50a b -<，C 错误，选项D ：令1a =，2b =-，则||||1210a b -=-=-<，D 错误， 故选：B ．14．（5分）在ABC ∆中，若20AB BC AB +=，则ABC ∆的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：在ABC ∆中，2()0AB BC AB AB AB BC AB AC +=+==，∴AB AC ⊥， 2A π∴∠=，则ABC ∆为直角三角形，故选：B ．15．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ω>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数()f x 单调递增区间的是( ) A ．[0，3]B ．3[,3]2C ．[3，6]D ．9[3,]2【解答】解：与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4， 知函数的周期为2413T πω==-=，解得23πω=， 再由三角函数的图象与直线(0)y b b A =<<知， 1与2的中点必为函数的最大值的横坐标， 由五点法知23322ππϕ⨯+=，解得2πϕ=-， 22()sin()cos()323f x A x A x πππ∴=-=-， 令2223k x k ππππ+，k Z ∈，解得3332k x k +，k Z ∈， ∴当0k =时，()f x 的单调递增区间是[3，9]2．故选：D ．16．（5分）在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A 、B ，过直线l 做平面α，使得点A 、B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【解答】解：①如图：当直线AB与l异面时，则只有一种情况；②当直线AB与l平行时，则由无数种情况，平面 可以绕着l转动；③如图，当直线l在AB的中垂面时，有两种情况．故选：C ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积．【解答】解：（1）在AC 上取点N ，使113AN AC ==，连接MN ，BN ，3AP =，1AM =， //MN PC ∴，BMN ∴∠或其补角即为异面直线BM 和PC 所成的角，在BMN ∆中，10BM 2MN =10BN =由余弦定理知，2225cos 22102BM MN BN BMN BM MN +-∠===⨯⨯，5arccos10BMN ∴∠=， ∴异面直线BM 和PC 所成的角的大小为5arccos10．（2）111()3323332P ABC M ABC ABC V V V S AP AM --∆=-=-=⨯⨯⨯⨯=，故三棱锥P BMC -的体积为3．18．（14分）已知函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-，其中a R ∈． （1）当()f x 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数()f x 在[2，)+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由函数()f x 为奇函数可得()()f x f x -=-， 则2222(1)()(1)()(1)(1)(1)(1)a x a x a a x a x a +-+--+-=-+----， 所以21010a a +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-．（2）当1a =-时，()2f x x =-，为减函数，不符合题意；当1a ≠-时，函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-的对称轴为12(1)a x a -=-+，因为函数()f x 在[2，)+∞上单调递增，所以10122(1)a a a +>⎧⎪-⎨-⎪+⎩，解得35a -．综上，实数a 的取值范围是35a -． 19．（16分）如图所示，A 、B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：)km 与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A 、B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当15AP km =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB ∆的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【解答】解：（1）由题意15PA =，505303PA PB ==， 可得9PB =，可得222222159165cos 2215927AP PB AB APB AP PB +-+-∠===⨯⨯， 所以5arccos 27APB ∠=．（2）222cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠=，设5PA x =，则3PB x =，可得8cos 105x PAB x∠=+，可得2sin 1PAB cos PAB ∠=-∠P 到AB 距离sin h PA PAB =∠，42228645102525x x h x =---42117644x x =-+-221(34)2254x =--+，当2340x -=，即34x =h 取得最大值为15km ， 因此选址方案满足534PA km =，334PB km =．20．（14分）已知点(1,0)A -、(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=（其中a ，b ，)c R ∈，点P 在直线l 上．（1）若a 、b 、c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a 、b 、c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a 、b 、c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围．【解答】解：（1）a 、b 、c 是常数列， 0a b c ∴==≠，∴直线l 的方程为10x y ++=，∴点B 到直线l 的距离为\{|101|}{\{2}}\{2}d frac sqrt sqrt =++=，||PB ∴的最小值为\{2}sqrt ；（2）当a ，b ，c 成等差数列时，2b a c =+，即20a b c -+=，直线l 过点(1,2)M -， 由于PA l ⊥，故点P 在以AM 为直径的圆上，此圆的圆心为(0,1)C -，半径为\{2}sqrt ，方程为{2}{2}(1)2x y ++=，而点B 在此圆上，故||PB 的最大值为||\{2}\{2}2\{2}BC r sqrt sqrt sqrt +=+=； （3）由a ，b ，c 成等比数列，得{2}b ac =，a ，b ，c 都不为0，由\\{\{}{}{\{}{}(1)}\\{0}\{}\.left begin array l y frac b a x ax by c end array right =+++=，得{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}\\{\{}{}{\{2{}}{{}{}}}\\{\{({}{})}{({}{})}}\{}\.left begin array l x frac b a b y frac b a b a a b end array right =-+=-+，∴|{|}(\{2{}}{{}{}}1)\{{}({}{})}{{}({}{})}\{{}6{}{}{}}{{}({}{})}\{(\{}{})6(\{}{}PB frac b a b frac b a b a a b frac a a b b a a b frac frac b a frac b a =-+-+-+=+++=+)1}{(\{}{})1}frac b a ++，令{2}(\{}{})1(1,2)(2,)t frac b a =+∈+∞，则{2}|{|}\{4}{}4(1,4)(4,)PB t frac t =-+∈+∞，||PB ∴的取值范围为(1，2)(2⋃，)+∞．21．（18分）设x 是实数，n 是整数，若1||2x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数． （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a 2n S 最接近的整数；（3）n T 是首项为2，公比为23的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋯+．【解答】解：（1）由题意可得n a n =，可得1||2n a n -<， 所以11|1|2a -<，11a =，满足条件； 21|2|2a -<，22a =，满足条件； 31|3|2a -<，33a =，满足条件； （2）因为n a n =， 所以(1)2n n n S +==所以1||2n a n ===<， 整数n a（3）22[1()]236[1()]2313n n n T -==--，n T 为递增数列， 12T =，所以12d =，542281T =，55d =； 2103T =，所以23d =，61330243T =，65d =；3384T =，所以34d =，74118729T =，76d =； 61327T =，所以45d =， 当7n 时，21|6|6()32n n T -=⨯<，所以6n d =，所以122020234536201412108d d d ++⋯+=+++⨯+⨯=．。