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量子力学中的维里定理
梁如鑫
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1986(000)001
【摘要】本文首先给出经典力学的维里定理，然后用三种方法证明在量子力学中维里定理同样成立，最后应用于几个特例．这些例子告诉我们若是应用量子力学的普遍公式来计算将是十分繁复的，而应用维里定理却十分简单．
【总页数】4页(P8-11)
【作者】梁如鑫
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.维里定理,理想气候和第二维里系数 [J], Hans.,MP;尹树斌
2.4He在石墨上的吸附系统与其量子力学三阶维里系数 [J], 娄平
3.霍尔曼—费曼定理和维里定理的两类应用 [J], 李江林;黄燕霞
4.经典与量子力学二阶维里系数 [J], 国宗明;郭志椿;娄平
5.维里定理及其在天体物理中的应用 [J], 孙峪怀
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第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
写 在 开‘博’之 前在引力理论中存在如下两类能动张量密度守恒定律[1,2]:I, 0()()()M G x μμααμ∂=∂(1) 0()()M G μμαα= (2)II, ~0()()()M G x μμααμ∂+=∂ (3)~()()()G G G u x μμμβαααβ∂=-∂ (4) (()()G G u u x x μββμααββ∂∂=-∂∂)由于Lorentz 与Levi-Civita 赞同守恒定律I[3，4]，我们把它称为Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律；而爱因斯坦赞同守恒定律II[3，4]，我们把它称为爱因斯坦守恒定律。
1917-1918年Levi-Civita 等人曾同爱因斯坦就守恒定律I 和守恒定律II 孰更合理展开过一次重大学术争论[3,4]。
由于当时学术界对广义相对论的理解还不够全面和深入，也由于爱因斯坦的学术声望较高，争论的结果，爱因斯坦的观点占了上风。
以致直到今日，~()G μα及Eq.(3)都缺乏依照广义相对论的精神应当具有的协变性, 但爱因斯坦守恒定律却仍在引力理论中占着主流的地位；目前关于引力波、宇宙学、黑洞的研究，其主要理论都是建立在爱因斯坦守恒定律基础之上的。
近十余年来，本文作者曾对Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律进行了全面和深入的研究[1,2,4-15]; 作者发现, Eq.(1)与Eq.(3)在数学上是等价的, ()G μα与~()G μα具有等价类(equivalence class)的关系, 但Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律比起爱因斯坦守恒定律有着更为丰富的物理内含。
类如应用Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律研究引力波、宇宙学和黑洞, 可分别得出: 所谓PSR1913+16双星公转周期变化之观测结果证实了引力波携带能量辐射的看法并不可信[6,7,11]; 宇宙起源于‘大爆炸’的标准模型可能并不真实[1，9，12]以及黑洞可能并不存在[10]等等。
量子力学和热力学统计常用数学知识一、常用积分公式 1、Γ函数：定义10()n x n x e dx Γ∞--=⎰递推关系：()(1)(1)n n n ΓΓ=--，(1)1Γ=，1()2Γ=2、高斯积分：定义2I(),(0)n x n x e dx λλ∞-=>⎰121()2()2n n I n λΓ++=，2(0)2I λ=，1(1)2I λ=递推关系：(2)()I n I n λ∂+=-∂ 3、广义高斯积分：,;Re 0C αβα∈>2240x xJ edx βαβα∞-±-∞==⎰，2n x x n J x e dx αβ∞---∞=⎰递推关系：21210()m m J J β++∂=-∂；20()()m m m J J α∂=-∂；1n n J J β+∂=-∂；2n n J J α+∂=-∂ 4、其他 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n axn ⎰⎰--=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e axax-+=⎰ (3) =⎰axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax aaxdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰ (5) =⎰axdx x sin 2ax a x aax a x cos )2(sin 2222-+(6)ax a xax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰(7) ax a a x ax ax axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰)ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)⎰=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x --++ (a<0) ⎰20sin πxdx n2!!!)!1(πn n - (=n 正偶数)(9) =⎰20cos πxdx n!!!)!1(n n - (=n 正奇数) 2π(0>a ) (10)⎰∞=0sin dx xax2π- (0<a )(11))1!+∞-=⎰n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=⎰∞- (13) 121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞-+=⎰n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π⎰∞= (16)⎰∞-+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )⎰∞-+-=022222)(c o s b a b a b x d x xeax(0>a ) 二、积分变换公式1、广义高斯定理：体积分→面积分。
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。
“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。
讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。
而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。
从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。
在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。
三阶张量的计算公式三阶张量是一个包含三个指标的多维数据结构。
它可以表示为一个立方体中的数字或向量，其中每个元素由三个指标索引。
在数学和物理领域，三阶张量广泛应用于各种领域，例如流体力学、量子力学、图像处理等。
T(i,j,k)=A(i,j,k)+B(i,j,k)这个公式表示了将两个具有相同维度的三阶张量A和B相加得到一个新的三阶张量T。
其中i、j、k为张量的三个索引，可以是任意整数。
另外，三阶张量还可以通过一些其他运算进行计算。
下面列举几个常见的计算公式。
1.三阶张量的点乘运算：C(i,j,k)=A(i,j,k)*B(i,j,k)这个公式表示了将两个具有相同维度的三阶张量A和B进行点乘，得到一个新的三阶张量C。
2.三阶张量的叉乘运算：C(i,j,k)=ε(i,m,n)*A(m,j,k)*B(n,j,k)这个公式表示了将两个具有相同维度的三阶张量A和B进行叉乘，得到一个新的三阶张量C。
其中ε(i,m,n)为Levi-Civita符号，用于表示交替的排列。
3.三阶张量的缩并运算：C(i,j)=A(i,j,k)*B(k)这个公式表示了将一个三阶张量A和一个向量B进行缩并运算，得到一个新的二阶张量C。
其中k为缩并的索引。
4.三阶张量的张量积运算：C(i,j,k,l,m,n)=A(i,j,k)*B(l,m,n)这个公式表示了将两个具有不同维度的三阶张量A和B进行张量积运算，得到一个新的六阶张量C。
除了上述的基本运算，三阶张量还可以进行高级的运算，例如矩阵乘法、逆运算、特征值分解等。
这些运算可以通过一系列的计算公式来实现。
总结起来，三阶张量的计算公式涵盖了基本的加法、减法、点乘、叉乘、缩并和张量积等运算。
通过这些公式，我们可以对三阶张量进行各种复杂的计算操作，从而应用于各种学科领域的问题中。
第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。
