第五章 非周期信号的频谱分析44页PPT

6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 {u(t) u(-t)} 1 {u(t) - u(-t)} 1 1 sgn(t)
2
2
22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2022/3/22
阶跃信号及其频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
2
]
0
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2022/3/22
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2022/3/22
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
2022/3/22
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (

但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如 x(t)= sinω0t+sin2πω0t，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成 后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是一个周期信号。但 是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为准周期 信号。在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形 成的振动往往是属于这一类的信号。
1.2 傅里叶变换与非周期信号的频谱
在式
x(t)
x(t
)e
j2ft
dt
e
j2ft
df
括号里的积分中，t是积分变
量，因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数，记作
X ( f ) x(t)e j2ftdt
此式称为函数 x(t) 的傅里叶变换（FT）。傅里叶变换是把时域函数
x(t) 变换为频域函数 X(f)的桥梁，其功能与式
单乘积。
（3） δ 函数的频谱
将 δ 函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数，即
( f )
(t)e j2ftdt e0
(t)dt 1
可根见据，傅时里域叶的变脉换冲的信对号称具性有、无时限移宽性广和的频频移谱性，等而，且可各得频到率下上列的傅信里叶
号变强换度对都: 相等。在信号的检测中，一般爆发电火花的地方（如雷电、火
(t )
0
t0 t0
(t)dt
0 s (t)dt 1
s (t)
O t
(a)
(t)
(1)
Ot
(b)
在工程上，常将 δ 函数用一个高度等于1的有向线段来表示，如下 图所示，这个线段的高度表示 δ 函数的积分，亦称 δ 函数的强度（并非 幅度值）。用这种方法表示的 δ 函数称为单位脉冲函数。

jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞

( )
以及
lim
G
(t
)
1和傅立叶变换的唯一性，有
lim E[sa( )] 2E[ ()]
2
f2(t) (t) lim K E[sa( Kt )]
K 2
2
(t) lim [ k sa(Kt)]
K
6
波形
p380, 附录三
f (t )
A E
矩
t
2
2
形
f
(t)
E，
0，
| t | / 2 | t | / 2
F ()
16
f (t) 1 2 e jt d 1 sin t d
2 j
sgn( t) 2
j
F ( j) 2 f (t)sin tdt 2 sin tdt
0
0
所以只有当
0
sin
tdt
1才是有效的。
需从分配函数的观点解释。
17
四.常数的付立叶变换
EG
(t)
E
sa(
2
)
f (t)
2 at
当 0 时
F ( j ) 0 f (t)dt Sa a
a
Sa F ( j ) 0
48
2、线性（叠加性）
若：FT fi (t) Fi ()
则：FT
n i1
2
4
f1(t)
1
2
[ e j (t ) d ] f 2 ( )d
(t ) f2 ( )d f2 (t)
f1(t), f2 (t) 在积分意义上相等。
傅立叶变换的唯一性表明了信 号及其频谱的唯一对应关系。
5
证明p17 1-35

X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。

2
5.1 连续非周期信号的频谱
注意到
T0
lim fT0 (t ) f (t )
相应地，T (t ) 的Fourier级数将等于f(t)的Fourier级数。 f0
(a)
(b) 图5-1 非周期信号的周期化
3
5.1 连续非周期信号的频谱
为了避免 T0 时，式(5.2)中的Cn趋于零，将(5.1)和(5.2)等 价地定义为
1
2 2
相位频谱为 () arctan
(5 21)
20
5.2 常见连续信号的频域分析
5 单边指数信号 f (t ) e
t
u(t ), 0
单边指数信号的幅度频谱和相位频谱见图5-8。
图5-8 单边指数信号的幅度频谱和相位频谱
21
(5 13)
15
5.2 常见连续信号的频域分析
2 单位冲激信号 利用冲激信号的取样特性，可得
F[ (t )] f (t )e
jt
dt (t )e jt dt 1 (5 14)


单位冲激信号及其频谱函数见图5-5所示。
图5-5 单位冲激信号及其频谱函数
Dn jn0t fT0 (t ) e n=- T0 Dn
T0 / 2 T0 / 2

(5.3) (5.4)
fT0 (t )e jn0t dt
下面说明如何由周期矩形脉冲的频谱得出非周期矩形脉冲 信号的频谱。由4-1节知，周期为T0、宽度为 的周期矩形脉 冲的Fourier系数为
52常见连续信号的频域分析单位冲激信号利用冲激信号的取样特性可得图55单位冲激信号及其频谱函数171752常见连续信号的频域分析由单位冲激信号是偶函数得直流信号ft1利用单位冲激信号的频谱和fourier反变换公式可得图56直流信号及其频谱函数18因此单位阶跃信号的频谱函数为52常见连续信号的频域分析单位阶跃信号ut单位阶跃信号也不满足dirichlet条件但其fourier变换存在

非周期信号的频谱 2.傅立叶逆变换
浙江工业大学
X
(
j
)

lim
T0
Cn
T0
lim f 0
Cn f
→
Cn

lim
T0
X ( j)
T0

lim
T0
X(
j) 0 2

x(t) Cne jn0t
n 0,1,2,
n
x(t) lim X ( j) 0 e jn0t

3 23
0 0
(a) T=3
3 23
t t
2 (a) T=3 2
WR (t)
k=3 WR (t) 1
1
0 0
-1 -1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1t0
n T0
2
✓ 当T0→∞时，ω0=2π/T0→0 ， ① ω0=dω，②离 散频率nω0→连续变量ω。③求和Σ→积分。则：
x(t) 1 X ( j) e jtd
2
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
非周期信号的频谱 3.傅立叶变换对
X ( j) x(t)e jt dt
Af0

x( f ) A
10 1 f0 f0
t
f0
0
f0 f
2
2
浙江工业大学
非周期信号的频谱
浙江工业大学
(3).尺度特性 若x(t) ↔ X(jƒ)，则

3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)， 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时： 谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F

lim T
1 T
f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F
(
j)
lim
T
TCn
f (t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。
狄里赫莱条件是充分不必要条件
8
例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。
解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
f
(t
)
A， 0，
| t | t / 2 | t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
F ( j)
f (t)e jt dt
t
2t
A e jt dt
2
At Sa(t )
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)
1 2π
F ( j)e jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F(j)/2p]d 的虚指数信号ej t的线性组合。
6
傅立叶正变换： 傅立叶反变换：
符号表示ห้องสมุดไป่ตู้ 或
F( j) f (t)e jt dt
f
(t)
16
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号 f (t)
直流信号及其频谱
1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。

ak T
2T1
周期T → ∞
F (ω) lim akT = 2T1Sa(ωT1 )
T →∞
F(ω)
2T1
−
π T1
π T1
−
kω0
4π T1
−
3π T1
−
π 2π − T1 T1
π T1
2π T1
3π T1
4π T1
ω
0 ω0
2ω0
0
由周期傅里叶级数：
∞ ⎧ f (t ) = ∑ Fn e jnΩ t ⎪ n = −∞ ⎪ ⇒ ⎨ T ⎪ F = 1 2 f (t )e − jnΩ t dt ⎪ n T ∫− T 2 ⎩ n = 0,±1,±2,...
0
∞
t
− 2 jω = 2 α +ω2
−e
αt
−1
− 2 jω F1( jω) = 2 2 α +ω
2 F( jω) = limF1( jω) = α→0 jω 2 F( jω) =
F( jω)
ω
ω
ϕ(ω) π
2
−
⎧ π − ⎪ 2 ⎪ ϕ(ω) = ⎨ ⎪π ⎪2 ⎩
ω >0 ω <0
π
2
ω
（2）单位冲激信号
F
a 其中 a1 、 2 为任意常数
● 两个信号加权求和的傅氏变换等于各个信号傅 氏变换的加权求和； ● 线性同样适用于多个信号加权求和的情况。
例5－1：已知信号 f (t ) = 2 + 3δ (t ) 根据线性，其傅氏变换为 F (ω ) = 4πδ (ω ) + 3 已知信号f(t)
jω a 的傅氏变换 F (ω ) = jω + a = 1 − jω + a

（一）．矩形脉冲信号
f t
E j t 2 e F Ee d t j 2 2

2 j t
E
t
2 0
2
E e . 2
j 2
e 2j
j 2
E
sin

2
2
E S a 2
F
E
F

F 0
0


1 tg 相位频谱：
0 , , ,


0 2 2
0 2
2

（三）．直流信号

四．傅里叶变换存在的条件
td t 有限值 ( 充分条件 ) f

即 f t 绝对可积
所有能量信号均满足此条件。
当引 入 函数的概念 变 后 换 ， 的 允 函
型大大扩展了。
五.典型非周期信号的频谱
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
频谱图
j 2 2 2 sgn t j e2 j
F ( )
2 2 2 F
2
O

2
是偶函数 F
2 /2 , 1 tg 0 /2 ,
f( t) F ( n ) e 1
n j n t 1
除以 ，再乘以 1 1
F T F ( n ) lim 1 1
T 1
F ( n ) j n t 1 1 f ( t ) e 1

R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为

的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2

0
0 0
lim
2[

2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t

0
j t
dt e
0

t
e
j t
dt

1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )

0
(a) 振幅频谱
0
- / 2
(b) 相位频谱
图 3.4-3 单边指数函数 e t t 0 15
例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
解：上图所示的信号可表示为：
f(t)et , 0 1
et, t 0
或者写为 f1(t)et ,
t 0
16
将 f (t) 代入到式 1
f 1
(t
)
的频谱函数为：
F1(
j)222
当 趋近于零时
2 0 , 0 l i0 m 22 , 0
lim d lim d 2
0 2 2
2 0 1 2
lim 2a 0
rc t) an2(
所以
即
l i0m 22 2 2()
ℱ
[1]2() 25
f1 (t)
4 3 2 1
e-t
0
t
-et
-1
解: 上图所示的信号可写为 ：
et, f2(t)et,
t0
（其中 0)
t0
19
F(j 2
) f(t)ejtdt
0 ete d jt t e e dt t jt
0
1 1
j j
2
j
2 2
f2 (t)
1
e-t
0
t
-et
-1
20
f2 (t)
1
e-t
其频谱图如下图所示：
ℱ
[
1 2
]
ℱ
[
1 2
s gn(t )]
ℱ[(t) ]( )j1 ( ) j( 1 ) 30

3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
语音信号 频率大约为 300~3400Hz， 音乐信号 频率大约为 50~15,000Hz， 扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。 ▲ ■ 第 14 页 人耳可以听到的声波频率20~20000Hz 。
§4.4
非周期信号的频谱
• 傅里叶变换 • 常用函数的傅里叶变换
第 21 页
频谱图
幅度频谱： F j
0, ,
1
2 2
1
F j
1

F j
F j 0
O

arctan 相位频谱：
0, , ,
■
第 15 页
一．傅里叶变换
f ( t ) ：周期信号 非周期信号 T 1 2 0 频 谱 Fn T f (t )e j nt d t T 2 2π 0 谱线间隔 T n Ω→ ω
1. 由傅里叶级数到傅里叶变换： T
离散谱
连续谱
幅度无限小
再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限 小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令
4 2 , n 奇数 [1 cos(n )] n n 0，n 偶数
4 1 1 1 f (t ) [sin( t ) sin( 3t ) sin( 5t ) sin( nt ) ], n 1,3,5, 3 5 n
1 j1t 1 j1t 1 j 4 j 21t 1 j 4 j 21t f (t ) 1 e e e e 1 2 j e 1 2 j e 2 2 2 1 j0.15π 1 j0.15π F 1 Fn e j n1t 1 . 12 e 1 F1 2j 1 2 j 1.12 e n 2 π π j 1 j F0 1 F2 e 4 F 1 e 4 n 2 2 2