2015年北京东城高三一模数学(文科)试题及答案

北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。

考试时长120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。

2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）A (−3, 1]B (−3, 1)C [1, 2)D (−∞, 2)∪[3, +∞)2. 已知复数z1＝a+2i，z2＝1−2i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为（）A −2B 1C 2D 43. “α=π3”是“cosα=12”的（）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A k≤11B k≤10C k≤9D k≤85. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A 4cm2B 12cm2C 8+4√2cm2D 4+4√2+2√3cm26. 已知f(x)＝2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为（）A −3B −2C −1D 07. 已知直线y＝x−2与圆x2+y2−4x+3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A 12B 14C 16D 188. 已知f(x)={x 2−4x+3,x≤0−x2−2x+3,x>0，不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a, a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A (−∞, −2)B (−∞, 0)C (0, 2)D (−2, 0)二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 不等式组{x −y +1≥0x +y ≥1x ≤1表示的平面区域的面积为________．10. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a →⊥b →，则|2a →−b →|＝________．11. 在等差数列{a n }中，a 1=3，a 4=2，则a 4+a 7+...a 3n+1等于________．12. 直线x −√3y −4=0被圆(x −2)2+y 2=4截得的弦长为________．13. 已知0<x <π，且sin2x =−725，则sin(π4−x)的值为________． 14. 已知数集A ＝{a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质p ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i ≤j ≤5，均有(a j −a i )∈A ，若a 5＝60，则a 3＝________．三、解答题．（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n −1(n ＝1, 2,…)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n+1＝a n +b n (n ＝1, 2,…)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足c ＝1，cosBsinC −(a −sinB)cosC ＝0．（1）求C 的大小；（2）求a 2+b 2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．17. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(Ⅰ)求证：BC ⊥A 1D ；(Ⅱ)求证：平面A 1CD ⊥平面A 1BC ；(Ⅲ)若AB ＝10，BC ＝6，求三棱锥A 1−BCD 的体积．18. 设a ∈R ，已知函数f(x)＝ax 3−3x 2．(Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, 3]，有f(x)+f′(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆W:x 22m+10+y 2m 2−2=1的左焦点为F(m, 0)，过点M(−3, 0)作一条斜率大于0的直线l 与W 交于不同的两点A 、B ，延长BF 交W 于点C ．(Ⅰ)求椭圆W 的离心率；(Ⅱ)求证：点A 与点C 关于x 轴对称．20. 已知定义在(1, +∞)上的函数f(x)＝x −lnx −2，g(x)＝xlnx +x ．（1）求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3, 4)；（2）若k∈Z，且g(x)>k(x−1)对任意的x>1恒成立，求k的最大值．2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）答案1. A2. D3. B4. B5. D6. C7. B8. A9. 110. 511. n(5−n)212. 2√313. −4514. 3015.(I)因为S n＝2a n−1(n＝1, 2,…)，则S n−1＝2a n−1−1(n＝2, 3,…)，所以当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，整理得a n＝2a n−1，由S n＝2a n−1，令n＝1，得a1＝2a1−1，解得a1＝1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n=2n−1(II)因为a n=2n−1，由b n+1＝a n+b n(n＝1, 2,…)，得b n+1−b n=2n−1，由累加得b n＝b1+(b2−b1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−2n−11−2=2n−1+1,(n≥2)，当n＝1时也满足，所以b n=2n−1+1．16. cosBsinC−(a−sinB)cosC＝0，即有sinBcosC+cosBsinC＝acosC，即sin(B+C)＝acosC，即sinA＝acosC．由正弦定理可知：asinA =csinC=1cosC，由于c＝1，则sinC＝cosC，即tanC＝1，C是三角形内角，∴ C=π4．由余弦定理可知：c2＝a2+b2−2abcosC，得1＝a2+b2−√2ab，又ab≤a 2+b22，∴ (1−√22)(a2+b2)≤1，即a2+b2≤2+√2．当且仅当a＝b即A＝B=3π8时，a2+b2取到最大值为2+√2．17.(I)证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD．又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O．又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD．又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D．(II)证明：因为矩形ABCD，所以A1D⊥A1B．由(I)知BC⊥A1D．又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．又A1D⊂平面A1CD，所以平面A1BC⊥平面A1CD．(III)因为A1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C．因为CD＝10，A1D＝6，所以A1C＝8．所以V A1−BCD =V D−A1BC=13×12×6×8×6=48．18.(I)当a＝1时，f(x)＝x3−3x2，则f′(x)＝3x2−6x，由f′(x)>0，得x<0，或x>2，由f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)．(II)依题意，对∀x∈[1, 3]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x 2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈[1, 3]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈[1,3])，则ℎ(x)=3(x 2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间[1, 3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(3)=56．所以a ≤56，即实数a 的取值范围为(−∞,56]． 19.(I)由题意(2m +10)−(m 2−2)＝m 2(m <0)，解得m ＝−2．所以椭圆W:x 26+y 22=1． 离心率e =ca =2√6=√63．(II)设直线l 的方程为y ＝k(x +3)．联立{y =k(x +3)x 26+y 22=1得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6＝0．由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知△＝(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k 2，x 1x 2=27k 2−61+3k 2，y 1＝k(x 1+3)，y 2＝k(x 2+3)． 因为F(−2, 0)，设点A 关于x 轴的对称点为C′，则C′(x 1, −y 1)， 所以FC ′→=(x 1+2,−y 1)，FB →=(x 2+2,y 2)．又因为(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)＝(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)＝k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[54k 2−121+3k 2+−90k 21+3k 2+12]=k(54k 2−12−90k 2+12+36k 2)1+3k 2=0，所以B ，F ，C′共线，从而C 与C′重合，故点A 与点C 关于x 轴对称．20. 证明：令f(x)＝0，得：x −2＝lnx ，画出函数y ＝x −2，y ＝lnx 的图象，如图示：∴ f(x)存在唯一的零点，又f(3)＝1−ln3<0，f(4)＝2−ln4＝2(1−ln2)>0，∴ 零点属于(3, 4)；由g(x)>k(x −1)对任意的x >1恒成立，得：k <xlnx+xx−1，(x >1)，令ℎ(x)=xlnx+xx−1，(x >1)，则ℎ′(x)=x−lnx−2(x−1)2=f(x)(x−1)2，设f(x0)＝0，则由（1）得：3<x0<4，∴ ℎ(x)在(1, x0)递减，在(x0, +∞)递增，而3<ℎ(3)=31n3+32<4，83<ℎ(4)=41n4+43<4，∴ ℎ(x0)<4，∴ k的最大值是3．。

2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|−1≤x ≤2}，B ＝{x|x <−3, 或x >4}，那么A ∩(∁U B)＝（ ）A {x|−1≤x ≤4}B {x|−3≤x ≤2}C {x|−1≤x ≤2}D {x|−3≤x ≤4} 2. 复数a+i2−i 为纯虚数，则实数a ＝（ ） A −2 B −12 C 2 D 123. 在区间[0, 2]上随机取一个实数x ，若事件“3x −m <0”发生的概率为16，则实数m ＝（ ）A 1B 12C 13D 164. 已知点M 的极坐标为(5,2π3)，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )A (−5√32,−52) B (−5√32,52) C (52,5√32) D (−52,5√32) 5. “x <1”是“log 12x >0”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A A 62×A 54种B A 62×54种C C 62×A 54种D C 62×54种7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（ ）A 16 B √26 C √36 D 128. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A (0, 2) B (0, 8) C (2, 8) D (−∞, 0)二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝8，S 4＝12，则{a n }的公差d ＝________． 10. 曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．11. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60∘，AB ＝2AC ＝8，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE ＝________．12. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．13. 已知函数f(x)是R 上的减函数，且y ＝f(x −2)的图象关于点(2, 0)成中心对称．若u ，v 满足不等式组{f(u)+f(v −1)≤0f(u −v −1)≥0，则u 2+v 2的最小值为________12 ．14. 已知x ∈R ，定义：A(x)表示不小于x 的最小整数．如A(√3)=2，A(−1.2)＝−1．若A(2x +1)＝3，则x 的取值范围是________；若x >0且A （2x ⋅A(x)）＝5，则x 的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. 在△ABC 中，b ＝2，cosC =34，△ABC 的面积为√74．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求sin2A 值．16. 某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]．规定90分及其以上为合格． (Ⅰ)求图中a 的值(Ⅱ)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；(Ⅲ)若三个人参加交通法规考试，用X 表示这三人中考试合格的人数，求X 的分布列与数学期望．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝PA ＝BC ＝2．D ，E 分别为AB ，AC 的中点，过DE 的平面与PB ，PC 相交于点M ，N （M 与P ，B 不重合，N 与P ，C 不重合）．(Ⅰ)求证：MN // BC；(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的大小；(Ⅲ)若直线EM与直线AP所成角的余弦值3√14时，求MC的长．14+lnx，a∈R．18. 已知函数f(x)＝x+ax(Ⅰ)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(Ⅱ)若f(x)在区间(1, 2)上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)讨论函数g(x)＝f′(x)−x的零点个数．19. 在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点(1, 0)的距离与它到直线x＝−1的距离相等．(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；(Ⅱ)设动直线l:y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝−1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．20. 在无穷数列{a n}中，a1＝1，对于任意n∈N∗，都有a n∈N∗，且a n<a n+1．设集合A m ＝{n|a n≤m, m∈N∗}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．(Ⅰ)设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；(Ⅱ)设a n＝3n−1(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和；(Ⅲ)设a n＝3n−2(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}前n项和S n．2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. D5. B6. D7. A8. B9. −110. 211. 212. √5−1213. 1214. (12, 1],(1, 54]15. （1）△ABC中，∵ b＝2，cosC=34，∴ sinC=√74，∴ △ABC的面积为√74=12ab⋅sinC=12a⋅2⋅√74．a＝（1）（2）由余弦定理可得c2＝a2+b2−2ab⋅cosC＝1+4−3＝2，∴ c=√2．再由正弦定理可得asinA =csinC，即1sinA=√2√74，∴ sinA=√148．由于a不是最大边，故A为锐角，故cosA=5√28，∴ sin2A＝2sinAcosA＝2×√148⋅5√28=5√716．16. （I）由直方图知．(0.01+0.02+0.06+0.07+a)×5＝（1）解得a＝0.(04)（2）设事件A为“某名学员交通考试合格”．由直方图知，P(A)＝(0.06+0.02)×5＝0.(4)(III)以题意得出X的取值为0，1，2，（3）P(X＝0)＝(1−0.4)3＝0.2(16)P(X＝1)=C31×0.4×(0.6)2＝0.4(32)P(X＝2)=C32×(0.4)2×(0.6)＝0.2(88)P(X＝3)=C33×(0.4)3＝0.06(4)所以X的分布列为E(X)＝0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064＝1.(2) 17. （1）证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点；∴ DE // BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴ DE // 平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴ DE // MN；∴ MN // BC；（2）如图，在平面PAB内作BZ // PA，则根据：PA ⊥底面ABC ，及AB ⊥BC 即知，BC ，BA ，BZ 两两垂直；∴ 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BZ 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则： B(0, 0, 0)，C(2, 0, 0)，A(0, 2, 0)，P(0, 2, 2)； ∴ BC →=(2,0,0),BP →=(0,2,2)，AC →=(2,−2,0)； 设平面PBC 的法向量为n →=(x 1,y 1,z 1)； 则由{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0得： {2x 1=02y 1+2z 1=0 ，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝−1； ∴ n →=(0,−1,1)；设直线AC 和平面PBC 所成角为α，则： sinα=|cos <AC →,n →>|=|AC →⋅n→|AC →||n →||=22√2⋅√2=12； 又α∈[0,π2]； ∴ α=π6；即直线AC 和平面PBC 所成角为π6；(Ⅲ)设M(0, y, z)，M 在棱PB 上，则：BM →=λBP →,(0<λ<1)； ∴ (0, y, z)＝λ(0, 2, 2)；∴ M(0, 2λ, 2λ)，E(1, 1, 0)；∴ EM →=(−1,2λ−1,2λ),AP →=(0,0,2)； 因为直线EM 与直线AP 所成角的余弦值3√1414； 设直线EM 和直线AP 所成角为θ； 所以cosθ=|EM →⋅AP →|EM →||AP →||=4λ√8λ2−4λ+2⋅2=3√1414； ∴ 8λ2−18λ+9＝0； 解得λ=34，或λ=32（舍去）；∴ M(0, 32,32 )；∴ MC=√4+94+94=√342．18. （1）函数f(x)＝x+ax+lnx(x>0)，f′(x)＝1−ax2+1x=x2+x−ax2，f(x)在x＝1处取得极小值，即有f′(1)＝0，解得a＝2，经检验，a＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值．则有a＝2；（2）f′(x)＝1−ax2+1x=x2+x−ax2，x>0，f(x)在区间(1, 2)上单调递增，即为f′(x)≥0在区间(1, 2)上恒成立，即a≤x2+x在区间(1, 2)上恒成立，由x2+x∈(2, 6)，则a≤2；(Ⅲ)g(x)＝f′(x)−x＝1−ax2+1x−x，x>0，令g(x)＝0，则a＝−x3+x2+x，令ℎ(x)＝−x3+x2+x，x>0，则ℎ′(x)＝−3x2+2x+1＝−(3x+1)(x−1)，当x∈(0, 1)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)递增；当x∈(1, +∞)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)递减．即有ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝1，则当a>1时，函数g(x)无零点；当a＝1或a≤0时，函数g(x)有一个零点；当0<a<1时，函数g(x)有两个零点．19. （1）设动点E的坐标为(x, y)，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1, 0)为焦点，x＝−1为准线的抛物线，∴ 动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b(k≠0)，由{y2=4xy=kx+b，消去x得：ky2−4y+4b＝（0）∵ 直线l与抛物线相切，∴ △＝16−16kb＝0，即b=1k．∴ 直线l的方程为y＝kx+1k．令x＝−1，得y=−k+1k，∴ Q(−1, −k+1k)，设切点坐标P(x 0, y 0)，则ky 02−4y 0+4k=0，解得：P(1k2,2k)，设M(m, 0)，则MQ →⋅MP →=(1k 2−m)(−1−m)+2k (−k +1k ) =−1k 2+m −m k 2+m 2+2k 2−2 =(m −1)(1k 2−m −2)． 当m ＝1时，MQ →⋅MP →=0．∴ 以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M(1, 0)．20. （I ）由{a n }伴随数列{b n }的定义可得前5项为1，1，1，2，（3） (II)由a n ＝3n−1≤m ，可得n ≤1+log 3m ，m ∈N ∗， ∴ 当1≤m ≤2时，m ∈N ∗，b 1＝b 2＝1；当3≤m ≤8时，m ∈N ∗，b 3＝b 4＝...＝b 8＝2； 当9≤m ≤20时，m ∈N ∗，b 9＝b 10＝ (3)∴ 数列{a n }的伴随数列{b n }的前20项和＝1×2+2×6+3×12＝50； (III)由a n ＝3n −2≤m ，解得n ≤m+23，∵ 不等式a n ≤m 成立的最大值为b m ，∴ b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝b 6＝2，…，b 3n−2+b 3n−1+b 3n ＝t(t ∈N ∗)， ∴ 当n ＝3t −2时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)2(t −1)+t =3t 2−t 2=16(n +1)(n +2)；当n ＝3t −1时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)2(t −1)+2t =3t 2+t 2=16(n +1)(n +2)；当n ＝3t 时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+t 2×t =3(t 2+t)2=16n(n +3)．∴ S n ={(n+1)(n+2)6,(n =3t −23t −1)n(n+3)6,(n =3t)(t ∈N ∗)．。

北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题 命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD. }63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ． ），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则)4tan(πα+=_____________． 13. 若等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比=q _________；前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则ω=______________；ϕ=____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，则称函数)(x f 为n 阶整点函数，有下列函数：① xx f 2sin )(= ② 3)(x x g = ③ x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5答案 B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。

2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题 命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD. }63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ． ），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则)4tan(πα+=_____________． 13. 若等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比=q _________； 前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则ω=______________；ϕ=____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，则称函数)(x f 为n 阶整点函数，有下列函数：① xx f 2sin )(= ② 3)(x x g = ③ x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5答案 B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）54（10）1 5 （11）25 （12）4（13）（14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，由12a = ，解得2d =.所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，整理得 220k k --=，*k ∈N . 解得1k =-（舍去）或2k =.故2k =. ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()f x 的周期()22T ππ=--=π， 所以22ωπ==π. 又由()sin 201ϕ⨯+=，且02ϕ<<π，所以2ϕπ=. 所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=. ………………………………6分 （Ⅱ）2()()2sin cos 22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+2132(sin )22x =--+. 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32； 当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-. ………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. ………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. ………………………………6分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的1位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C .其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，11(,)B C ，21(,)B C ，12(,)B B 9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P =93155=. ………………………13分 （18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE .设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FMCD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CDAB .又FM CD ，所以FMAB .因为3CD AB =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AFBM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以AF平面BCE . ………………………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e xf x x =-，()1e xf x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-. ………………………………4分（Ⅱ）由()e xf x x a =-，得()1e xf x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a af a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-，所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； …………………8分 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：ABCED FM若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e0aa a ---=.解得1ea =.综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点. …………………12分 （Ⅲ）曲线()e xfx x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. …………………14分（20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(0，则b =又a b += 故a =所以椭圆C 的方程为12822=+y x . ………………………………4分(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =由2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点.设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x .又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .故021=+k k . ………………………………14分。

绝密★启用前2015届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：51分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．2、如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，某同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了四种测量方案：（△的角，，所对的边分别记为，，）①测量，，②测量，，③测量，，④测量，， 则一定能确定，间距离的所有方案的序号为A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④3、已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ．4、当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为A ．B ．C ．D ．5、设，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是A ．B ．C ．D ．7、已知集合，集合，则A ．B ．C ．D ．8、已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△是直角三角形，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过元，则不给予优惠； ②如果一次性购物超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；③如果一次性购物超过元，则元按第②条给予优惠，剩余部分给予折优惠．甲单独购买商品实际付款元，乙单独购买商品实际付款元，若丙一次性购买，两件商品，则应付款 元．10、设函数则=________；若函数存在两个零点，则实数的取值范围是________．11、已知，满足则的最大值为_______．12、某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为________cm ．13、若,则________．14、已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为________．参考答案1、C2、A3、D4、C5、A6、B7、A8、B9、52010、11、712、13、-214、2【解析】1、因为平面上任意向量都可以用唯一表示，所以是平面向量的一组基底，即为不共线的非零向量，则，即，故选C.考点：平面向量基本定理.2、已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；已知两边及夹角，可以确定三角形，故②正确；已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能一个、两个或无解，故④错误；故选A.考点：解三角形.3、试题分析：由题意，所以，故选D．考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．4、该程序框图的功能为计算的值，而.考点：程序框图.5、因为，所以“”是“”的充分而不必要条件.考点：充分条件与必要条件.6、先研究函数的奇偶性：是非奇非偶函数，故排除A,C；为奇函数，且在上为增函数，故选B.考点：函数的奇偶性与单调性.7、，，则.考点：集合的运算.8、构成三角形，三点不共线，即，排除C,D；显然，当为直角时，在直线一定存在点，若至少存在三个点使△是直角三角形，即至少存在一个点，使为直角，即直线与圆至少有一个交点，则，解得，即.考点：直线与圆的位置关系.9、设商品价格为，实际付款为；则；，商品的价格为100；，商品的价格为500；令时，，即若丙一次性购买，两件商品，则应付款520元.考点：函数应用题.10、由题意，得，；的图像如图所示，存在两个零点，即与的图像有两个不同的交点；由图像，得.考点：分段函数、函数的零点.11、作出可行域与目标函数基准线（如图）；将直线化成，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大；当直线经过点时，在轴上的截距最大；联立，得即最大为.考点：线性规划.12、试题分析：由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中底面是边长分别为与的矩形，，且，由其结构知最长，在中.考点：空间几何体的三视图和直观图．13、，则.考点：复数的运算.14、抛物线的焦点，准线方程为；其焦点到准线的距离为2. 考点：抛物线的标准方程.。

北京市东城区2021 届高三上学期期末数学试卷〔文科〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．〔5分〕集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，那么A∩B=〔〕A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4}2．〔5分〕以下函数中，既是奇函数，又在区间〔0，+∞〕上为增函数的是〔〕A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx3．〔5分〕假设x∈R，那么“x＞1”，那么“x2＞1”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．〔5分〕当n=4时，执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．6 B．8 C．14 D．305．〔5分〕cosα=，α∈〔﹣，0〕，那么sin2α的值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣6．〔5分〕如下图，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：〔△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c〕①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．那么一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为〔〕A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．〔5分〕=〔1，3〕，=〔m，2m﹣3〕，平面上任意向量都可以唯一地表示为=λ+μ〔λ，μ∈R〕，那么实数m的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕B．〔﹣∞，3〕C．〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，+∞〕D．[﹣3，3〕8．〔5分〕两点M〔﹣1，0〕，N〔1，0〕，假设直线y=k〔x﹣2〕上至少存在三个点P，使得△MNP 是直角三角形，那么实数k的取值范围是〔〕A．[﹣，0〕∪〔0，] B．[﹣，0〕∪〔0，] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9．〔5分〕抛物线的方程为y2=4x，那么其焦点到准线的距离为．10．〔5分〕假设=1+mi〔m∈R〕，那么m=．11．〔5分〕某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该几何体最长棱的棱长为cm．12．〔5分〕x，y满足那么z=2x+y的最大值为．13．〔5分〕设函数f〔x〕=那么f〔f〔〕〕=；假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣k 存在两个零点，那么实数k的取值范围是．14．〔5分〕某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，那么不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，那么按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，那么500元按第②条给予优惠，剩余局部给予7折优惠．甲单独购置A商品实际付款100元，乙单独购置B商品实际付款450元，假设丙一次性购置A，B两件商品，那么应付款元．三、解答题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．〔13分〕函数f〔x〕=Asin〔ωx﹣〕〔A＞0，ω＞0〕的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．〔Ⅰ〕求f〔x〕的解析式及最小正周期；〔Ⅱ〕设α∈〔0，〕，且f〔〕=1，求α的值．16．〔13分〕数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．〔Ⅰ〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．17．〔14分〕在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．〔Ⅰ〕求证：AC⊥平面PBC；〔Ⅱ〕求证：CM∥平面BEF；〔Ⅲ〕假设PB=BC=CA=2，求三棱锥E﹣ABC的体积．18．〔13分〕为选拔选手参加“中国谜语大会〞，某中学举行了一次“谜语大赛〞活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了局部学生的分数〔得分取正整数，总分值为100分〕作为样本〔样本容量为n〕进展统计．按照[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图〔图中仅列出了得分在[50，60〕，[90，100]的数据〕．〔Ⅰ〕求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；〔Ⅱ〕在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上〔含80分〕的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会〞，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．〔13分〕椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有一样的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．〔Ⅰ〕求椭圆C2的标准方程；〔Ⅱ〕设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，假设=2，求直线AB的方程．20．〔14分〕函数f〔x〕=alnx﹣bx2，a，b∈R．〔Ⅰ〕假设f〔x〕在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求f〔x〕在[，e]上的最大值；〔Ⅲ〕假设不等式f〔x〕≥x对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，求a的取值范围．北京市东城区2021 届高三上学期期末数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．〔5分〕集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，那么A∩B=〔〕A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进展求解．解答：解：集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，那么A∩B={0，2}，应选：A点评：此题主要考察集合的根本运算，比拟根底．2．〔5分〕以下函数中，既是奇函数，又在区间〔0，+∞〕上为增函数的是〔〕A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进展判断即可．解答：解：y=lnx的定义域为〔0，+∞〕，关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数．y=x3是奇函数，又在区间〔0，+∞〕上为增函数，满足条件．y=3X在区间〔0，+∞〕上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y=sinx是奇函数，但在〔0，+∞〕上不是单调函数，应选：B点评：此题主要考察函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．3．〔5分〕假设x∈R，那么“x＞1”，那么“x2＞1”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．解答：解：因为“x＞1〞，那么“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1〞，所以“x＞1〞，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．应选A．点评：此题考察充要条件的判定方法的应用，考察计算能力．4．〔5分〕当n=4时，执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．6 B．8 C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．应选：D．点评：此题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环构造的功能是解题的关键，属于根本知识的考察．5．〔5分〕cosα=，α∈〔﹣，0〕，那么sin2α的值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由及同角三角函数的关系式可先求sinα的值，从而有倍角公式即可代入求值．解答：解：∵cosα=，α∈〔﹣，0〕，∴sinα=﹣=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．应选：D．点评：此题主要考察了同角三角函数的关系式，二倍角的正弦公式的应用，属于根底题．6．〔5分〕如下图，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：〔△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c〕①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．那么一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为〔〕A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．对于④测量a，b，B，，sinA=，b＜a，此时A不唯一应选：A．点评：此题以实际问题为素材，考察解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．7．〔5分〕=〔1，3〕，=〔m，2m﹣3〕，平面上任意向量都可以唯一地表示为=λ+μ〔λ，μ∈R〕，那么实数m的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕B．〔﹣∞，3〕C．〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，+∞〕D．[﹣3，3〕考点：平面向量的根本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先，根据题意，得向量，不共线，然后，根据坐标运算求解实数m的取值范围．解答：解：根据平面向量根本定理，得向量，不共线，∵=〔1，3〕，=〔m，2m﹣3〕，∴2m﹣3﹣3m≠0，∴m≠﹣3．应选：C．点评：此题重点考察了向量的共线的条件、坐标运算等知识，属于中档题．8．〔5分〕两点M〔﹣1，0〕，N〔1，0〕，假设直线y=k〔x﹣2〕上至少存在三个点P，使得△MNP 是直角三角形，那么实数k的取值范围是〔〕A．[﹣，0〕∪〔0，] B．[﹣，0〕∪〔0，] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．解答：解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，∴k≠0，如下图，△MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，那么，解得﹣≤k≤，且k≠0．∴实数k的取值范围是[﹣，0〕∪〔0，]．应选：B．点评：此题考察直线与圆的位置关系等根底知识，意在考察运用方程思想求解能力，考察数形结合思想的灵活运用．二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9．〔5分〕抛物线的方程为y2=4x，那么其焦点到准线的距离为2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=2px的焦点为〔，0〕，准线为x=﹣，可得抛物线y2=4x的焦点为〔1，0〕，准线为x=﹣1，再由点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：抛物线y2=2px的焦点为〔，0〕，准线为x=﹣，那么抛物线y2=4x的焦点为〔1，0〕，准线为x=﹣1，那么焦点到准线的距离为2．故答案为：2．点评：此题考察抛物线的方程和性质，主要考察抛物线的焦点和准线方程，同时考察点到直线的距离的求法，属于根底题．10．〔5分〕假设=1+mi〔m∈R〕，那么m=﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．分析：利用复数的运算法那么、复数相等即可得出．解答：解：∵1+mi===1﹣2i，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考察了复数的运算法那么、复数相等，属于根底题．11．〔5分〕某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该几何体最长棱的棱长为cm．考点：由三视图复原实物图．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA⊥平面ABCD，∴PA=3，AB=3，AD=4，∴PB=3，PC==，PD=5．该几何体最长棱的棱长为：．故答案为：．点评：此题考察了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的构造特征是解答此题的关键．12．〔5分〕x，y满足那么z=2x+y的最大值为7．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A〔3，1〕，代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：7点评：此题主要考察线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法．13．〔5分〕设函数f〔x〕=那么f〔f〔〕〕=；假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣k存在两个零点，那么实数k的取值范围是〔0.1]．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数求解第一个空，利用函数的图象求解第二问．解答：解：函数f〔x〕=那么f〔f〔〕〕=f〔﹣1〕=；函数g〔x〕=f〔x〕﹣k存在两个零点，即f〔x〕=k存在两个解，如图：可得a∈〔0，1]．故答案为：；〔0，1]．点评：此题考察函数的零点以及分段函数的应用，考察数形结合以及计算能力．14．〔5分〕某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，那么不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，那么按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，那么500元按第②条给予优惠，剩余局部给予7折优惠．甲单独购置A商品实际付款100元，乙单独购置B商品实际付款450元，假设丙一次性购置A，B两件商品，那么应付款520元．考点：分段函数的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：单独购置A，B分别付款100元与450元，而450元是优惠后的付款价格，实际标价为450÷0.9=500元，假设丙一次性购置A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品，按规定〔3〕进展优惠计算即可．解答：解：甲单独购置A商品实际付款100元，乙单独购置B商品实际付款450元，由于商场的优惠规定，100元的商品未优惠，而450元的商品是按九折优惠后的，那么实际商品价格为450÷0.9=500元，假设丙一次性购置A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品时，应付款为：500×0.9+〔600﹣500〕×0.7=450+70=520〔元〕．故答案为：520．点评：此题考察了应用函数解答实际问题的知识，解题关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出适宜的解题途径，从而解答问题，是根底题．三、解答题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．〔13分〕函数f〔x〕=Asin〔ωx﹣〕〔A＞0，ω＞0〕的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．〔Ⅰ〕求f〔x〕的解析式及最小正周期；〔Ⅱ〕设α∈〔0，〕，且f〔〕=1，求α的值．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ〕由最大值为2可求A的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T，根据周期公式即可求ω，从而得解；〔Ⅱ〕由得，由，得，从而可解得α的值．解答：〔共13分〕解：〔Ⅰ〕因为函数f〔x〕的最大值为2，所以A=2．由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T=π．所以ω=2．故函数的解析式为．…〔6分〕〔Ⅱ〕，由得．因为，所以．所以，故．…〔13分〕点评：此题主要考察了由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，考察了周期公式的应用，属于根本知识的考察．16．〔13分〕数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．〔Ⅰ〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：〔Ⅰ〕设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；〔Ⅱ〕由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n}的前n项和S n．解答：解：〔Ⅰ〕设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由a1=2，a3=8，得8=2+2d，解得d=3．∴a n=2+〔n﹣1〕×3=3n﹣1，n∈N*．由b1=2，b3=8，得8=2q2，又q＞0，解得q=2．∴，n∈N*；〔Ⅱ〕∵，∴=3×2n+1﹣n﹣6．点评：此题考察了等差数列与等比数列的通项公式，考察了等比数列的前n项和，是中档题．17．〔14分〕在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．〔Ⅰ〕求证：AC⊥平面PBC；〔Ⅱ〕求证：CM∥平面BEF；〔Ⅲ〕假设PB=BC=CA=2，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：〔Ⅰ〕由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．〔Ⅱ〕取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG⊄平面BEF，有EF⊂平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．〔Ⅲ〕取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E﹣ABC的体积．解答：〔共14分〕证明：〔Ⅰ〕因为PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，所以AC⊥PB．由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，所以AC⊥平面PBC．…〔5分〕〔Ⅱ〕取AF的中点G，连结CG，GM．因为AF=2FP，G为AF中点，所以F为PG中点．在△PCG中，E，F分别为PC，PG中点，所以EF∥CG．又CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以CG∥平面BEF．同理可证GM∥平面BEF．又CG∩GM=G，所以平面CMG∥平面BEF．又CM⊂平面CMG，所以CM∥平面BEF．…〔11分〕〔Ⅲ〕取BC中点D，连结ED．在△PBC中，E，D分别为中点，所以ED∥PB．因为PB⊥底面ABC，所以ED⊥底面ABC．由PB=BC=CA=2，可得．…〔14分〕点评：此题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，考察了转化思想，属于中档题．18．〔13分〕为选拔选手参加“中国谜语大会〞，某中学举行了一次“谜语大赛〞活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了局部学生的分数〔得分取正整数，总分值为100分〕作为样本〔样本容量为n〕进展统计．按照[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图〔图中仅列出了得分在[50，60〕，[90，100]的数据〕．〔Ⅰ〕求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；〔Ⅱ〕在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上〔含80分〕的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会〞，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．考点：列举法计算根本领件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：〔Ⅰ〕由样本容量和频数频率的关系易得答案；〔Ⅱ〕由题意可知，分数在[80，90〕内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．解答：解：〔Ⅰ〕由题意可知，样本容量，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；〔Ⅱ〕由题意可知，分数在[80，90〕内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，a4〕，〔a1，a5〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a2，a3〕，〔a2，a4〕，〔a2，a5〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a3，a4〕，〔a3，a5〕，〔a3，b1〕，〔a3，b2〕，〔a4，a5〕，〔a4，b1〕，〔a4，b2〕，〔a5，b1〕，〔a5，b2〕，〔b1，b2〕．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，a4〕，〔a1，a5〕，〔a2，a3〕，〔a2，a4〕，〔a2，a5〕，〔a3，a4〕，〔a3，a5〕，〔a4，a5〕．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．点评：此题考察列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属根底题．19．〔13分〕椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有一样的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．〔Ⅰ〕求椭圆C2的标准方程；〔Ⅱ〕设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，假设=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕通过设椭圆C2的方程为：，由C1方程可得，计算即得结论；〔Ⅱ〕通过及〔Ⅰ〕知可设直线AB的方程为y=kx，并分别代入两椭圆中、利用，计算即可．解答：解：〔Ⅰ〕由C1方程可得，依题意可设椭圆C2的方程为：，由C1的离心率为，那么有，解得a2=16，故椭圆C2的方程为；〔Ⅱ〕设A，B两点的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，由及〔Ⅰ〕知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx，将y=kx代入中，解得；将y=kx代入中，解得．又由，得，即，解得k=±1．故直线AB的方程为y=x或y=﹣x．点评：此题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考察运算求解能力，考察分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．〔14分〕函数f〔x〕=alnx﹣bx2，a，b∈R．〔Ⅰ〕假设f〔x〕在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求f〔x〕在[，e]上的最大值；〔Ⅲ〕假设不等式f〔x〕≥x对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：〔Ⅰ〕求出f〔x〕的导数，求得切线的斜率，由题意可得f〔1〕=﹣，f′〔1〕=0，即可解得a，b的值；〔Ⅱ〕求出f〔x〕的导数，求得单调区间，即可得到最大值；〔Ⅲ〕由题意可得alnx﹣bx2≥x对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈〔e，e2]恒成立，即对x∈〔e，e2]恒成立，求得右边函数的最大值即可．解答：解：〔Ⅰ〕．由函数f〔x〕在x=1处与直线相切，得即解得；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，定义域为〔0，+∞〕．此时=．令f'〔x〕＞0，解得0＜x＜1，令f'〔x〕＜0，得x＞1．所以f〔x〕在〔，1〕上单调递增，在〔1，e〕上单调递减，所以f〔x〕在上的最大值为；〔Ⅲ〕假设不等式f〔x〕≥x对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈〔﹣∞，0]，x∈〔e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈〔e，e2]恒成立．即对x∈〔e，e2]恒成立，即a大于或等于在区间〔e，e2]上的最大值．令，那么，当x∈〔e，e2]时，h'〔x〕＞0，h〔x〕单调递增，所以，x∈〔e，e2]的最大值为．即．所以a的取值范围是．点评：此题考察导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考察不等式的恒成立问题注意运用参数别离和转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．。