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乘法公式完全平方公式

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乘法公式与因式分解——基础知识

乘法公式与因式分解——基础知识
若有两项，则对应平方差公式， 若有三项，则对应完全平方公式或十字相乘， 若有四项及四项以上，则分组分解， 都不行，展开重新组合。 ▪ Finally，检查能否继续分解。
总结
完全平方公式的变形 a²+b²=(a+b) ²-2ab a²+b²=(a-b) ²+2ab 2ab=(a+b) ²-(a²+b²) 2ab=(a²+b²)-(a-b) ² (a-b) ²=(a+b) ²-4ab
因式分解及其相关概念
• 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
提公因式法
• 若一个多项式的各项有公因式，则可将公因式提到括号外面，这种把多
项式因式分解的方法叫做提公因式法。
例
因式分解。
(1) a³-a², (2) (1-3a) ²-3(1-3a), (3) (a+2) ²+a+2.
有了这些乘法公式，我们就可以进行因式 分解了。
因式分解
因式分解及其相关概念
公因式：多项式中各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式 确定公因式的方法： ①对于系数，若各项系数都为整数，则取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式 的系数，若有需要，还可以将负号提出，作为公因式的一部分。 ②对于字母，应取各项中相同的字母，且各项的相同字母的次数取其最低的。
平方差公式的变形 (b+a)(-b+a)=a²-b² (-a-b)(a-b)=b²-a² (a²+b²)(a²-b²)=(a²) ²-(b²) ²
平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式： a²±2ab+b²=(a±b) ²
因式分解 ： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。

完全平方的四个公式

完全平方的四个公式

完全平方的公式
数学完全平方公式：
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

完全平方公式

完全平方公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
方法总结
本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( D )
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y+__9_y_2 _ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____； (4)(-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2

乘法公式

乘法公式

乘法公式【例1】 计算：⑴ ()()22552516a a a b +-=-；⑵ ()22121453259x y x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ⑶ 2211()()22x y x y -+；⑷ (41)(41)a a ---+；⑸ ()()m n m n a b a b +-基础知识示例剖析常用公式(一)：⑴平方差公式：()()22a b a b a b +-=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+()()2224x x x +-=- ()()()()()()22x y x y x y x y x y x y ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+--()2222m n m mn n -=-+常见变形：()()224a b a b ab +--=()()()22222a b a b a b ++-=+()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+2221()2ab a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 2221()2a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 221()()4a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 公式的意义：乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的．一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳和总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算，同时培养学生的求简意识．公式的特征：⑴公式中的a ，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式；⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用；⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜．模块一 平方差公式【例2】 计算：⑴ 2(3)(3)(9)x x x +-+；⑵ 2244()()()()a b a b a b a b -+++；⑶ (23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--【例3】 ⑴ 如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值是⑵ 已知2a b +=，则224a b b -+的值是_______【例4】 ⑴ 计算：()()()()2432212121211+++++⑵ 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶ 计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【备选】求123517.....(21)n -⨯⨯⨯⨯+的值．【例5】 计算：9621-有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数．【例6】 计算：⑴2(4)m n +；⑵21()2x -；⑶2(32)x y -；⑷21(4)4y --；⑸2(811)a b -+；⑹2(23)x y --【例7】 计算：⑴22(2)(2)x x +-；⑵(59)(59)x y x y +--+；⑶()()a b c a b c ++--【例8】 ⑴ 若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4 ⑵ 如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为⑶ 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值． ⑷ 如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值．【例9】 若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 【巩固】 若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的M ．【例10】 ⑴ 若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵ 若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ．模块二 完全平方公式【例1】 ⑴ 已知3a b +=，12ab =，求下列式的值：22a ab b -+= ；2()a b -=⑵ 已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【例2】 ⑴ 若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．⑵ 已知(2012)(2010)2011a a --=，那么22(2012)(2010)a a -+-= ．【例3】 ⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________．⑵ 已知：2217a a +=，求1a a+的值．【例4】 已知：2710x x -+=，求⑴ 1x x +；⑵ 221x x +；⑶ 441x x+的值．【备选】若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________．模块三 公式的应用能力提升知识模块一 平方差公式 课后演练【演练1】 ⑴ 计算：()()()()()()x y x y y z y z z x z x +-++-++-=________；⑵ 计算 ()()2211ab ab +--=________；⑶ 已知1a b -= ，221a b -=- ，则a b +=_________； ⑷ 已知()()118a b a b +++-=，则a b +=_________【演练2】 已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．知识模块二 完全平方公式 课后演练【演练3】 计算：⑴222(30.5)a b ab +；⑵2(1113)m n a b -；⑶2(25)(52)(25)x x x ----【演练4】 计算：⑴(22)(22)x y y x -+-+；⑵()()22a b c b c a --+-【演练5】 如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为【演练6】 ⑴ 已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值．⑵ 证明：当a ，b 取任意有理数时，多项式222611a b a b +-++的值总是正数．【演练7】 已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+， 求代数式222a b c ab bc ca ++---的值．【演练8】 已知：2213a a +=，求1a a-的值．。

完全平方公式2

完全平方公式2


完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9

学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-

整式的乘法公式

整式的乘法公式

整式的乘法公式一、整式乘法的基本概念。

1. 单项式乘单项式。

- 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

- 例如：3x^2y· 4xy^2=(3×4)(x^2· x)(y· y^2)=12x^2 + 1y^1+2=12x^3y^3。

2. 单项式乘多项式。

- 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

- 例如：a(b + c)=ab+ac，具体计算如2x(x^2 - 3x+1)=2x· x^2-2x·3x + 2x·1 = 2x^3-6x^2 + 2x。

3. 多项式乘多项式。

- 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

- 例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。

计算(x + 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+2· x+2×(-3)=x^2-3x + 2x-6=x^2 - x - 6。

二、乘法公式。

1. 平方差公式。

- 公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2。

- 推导：(a + b)(a - b)=a· a - a· b+b· a - b· b=a^2 - b^2。

- 应用示例：计算(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2。

2. 完全平方公式。

- 完全平方和公式：(a + b)^2=a^2+2ab + b^2。

- 推导：(a + b)^2=(a + b)(a + b)=a· a+a· b+b· a + b· b=a^2+2ab + b^2。

- 应用示例：(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。

8.3乘法公式1完全平方公式


(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
作业：
(2) 3a 2b
2
(3) 2 x y
(4) (-
2
x – 2y2)2
练习2 运用完全平方公式计算： (1)(-2x+y)2
(2) 4a b
2
(3) 3x 2 y
(4) (-
2
x – 3y2)2
几点注意：
1、项数：积的项数为三； 2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
3、字母：不要漏写；
4、字母指数：当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时，乘方时要记
住字母指数需乘2。
例2 运用完全平方公式计算： (1) (4a2 – b2)2 = ( 4a2)2 – 2( 4a2 )( b2 )+( b2 )2 =16a4 – 8a2b2+b4 (2) (y+ )2 =( y )2+2( y )( )+( )2 = y2 +y+ 解题过程分3步：记清公式、代准数式、 准确计算。
(x +y)2 =x2+2xy +y2
例3 计算：
(1) (
a2 + b3)2
a 2) 2
解：原式= ( b3 =
b6 - 2 a2 b3+ a4
(a-b)2 =(b-a)2
( a2 + b3)2 = ( a2 b3)2
(2)(- x2y -
)2
(-a-b)2 =(a+b)2
解：原式= ( x2y + = x4y2 + )2 x2y +

北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

乘法公式

（1）完全平方公式：
a b
2

a 2ab b
2 2 2
2
(2)平方差公式：
a b a b a b
（3）立方和公式：
a b a a b a
2
ab b ab b
2
2
a b
3 3
3
(4)立方差公式：
2 2
3 2 2
3
例1：将下列式子写成完全平方式
1.
16 8m m
2
2.Βιβλιοθήκη 1 2 1 1 2 m mn n 25 5 4
例2：将下列完全平方式补充完整：
1. 16m
2
2
8 2m 2 2. n n
1 4
例3：
2
1 若x mx k是一个完全平方式， 2 则k和m的关系是：
练习: (1)若3x xy 2 y 0( x 0, y 0),
2 2
x y x y 求 的值; y x xy
2 2
练习: (2)学海导航P 11 8
6.分式方程的解法: ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母, 将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根(求出未知数的值后必须验根, 因为在把分式方程化为整式方程的过程 中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增 根).
1．x 7 x 15 (2 x 3)( x 5) 2
2
(2 2.18 x 19 x 5 x 1)(9 x 5)
2
3.6 x 13 x 6 (3x 2)(2 x 3)
2
4.6 11a 35a
2

14.2.2乘法公式—完全平方公式(2)


（2）(a + b +c ) 2. (a + b + c ) 2 解： = [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
2.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
遇加不变遇减变
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b - c );
(4) a + b + c = a - ( -b - c ).
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
例 运用乘法公式计算: (1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形
(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 （ ）
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得到正确结果是4x小兵计算一个二项整式的平方式时5.,2( )A 10xy B 20xy这一项应是但中间一项不慎被污染了+25y,,20xy
±±10xy DC222.的值(a－6.已知a+b=2,ab=1,求a+bb)、
想一想五．
观察完全平方公式、平方差公式有什么特征？⑴
dc,ba,))((abcd,bdadbcac满足什么条⑵在式子中，当件时，由它能得到完全平方公式，满足什么条件时能得到平方差公式？
六．课堂小结这一节课你学到了什么？让学生试着小结，师再评议。
2 /
七．课后作业见作业纸
总结反思
板书设计
:教案后记
3 / 3
1122yx3yx2xy；②例5．已知，，求①yx
习堂练四．随算式计全平方公1、用完2 x）)（1＋(1 2)4 (y-（2）2)?2y（3）( x
2 )+ x（4）(2xy少积减形的面，则这个正方长边长为acm。若边减少6cm2.一个正方形的？了多少:
习练3．纠错：请改正如有错误，下面的计算是否正确？222 y＝x。+(1) (x+y)22 2；+n-m+n)＝-m)(2 (22aaa12.??-)-(3) (＝?1 2）+c算：（a+b4．计2+
宿城区2010-2011学年度第二学期
七年级数学教案案
课题
乘法公式（完全平方公式）
课型
新授
主备
唐兵
审核
张继辉
教案目标
1.探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的计算；2.引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。
点重
完全平方公式
难点
正确的应用完全平方公式、进行计算
学习过程
旁注与纠错
一.情景创设如右图：你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？从而你发现了什么？二.探索活动问题一：如何用字母表示上图中大正方形的面积？2)b(a生：将上图看成一个大正方形，则面积为。师：很好，还有没有其它的方法呢？生：可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，那么它22ba2ab的面积为。师：两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？222)b(ab2aba生：=。这个公式就叫做一个完全平方公式222)b(ab2aba吗？=问题二：你能用多项式的乘法法则推导公式22222)b(ab2abbabaaab)b(ab)(a=生：==2)ab(吗？师：很好，你能用同样的方法计算22222babba2baab)aab)(ab(ab)(生：222ba2ab(ab)另一个完全平方公，这是我们要学习的即：式。222)b(ababa2完全平方公式：222b2(ab)aba
师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？倍积的两数（减去）这两乘于差)的平方等这两数的平方和加上和两数(？特点吗出这两个公式的师：你能说）（减去的平方和加上）的平方.右边是:两数和生：左边是：两数（差两倍.两数乘积的这.范例点睛三2)–b例1计算：( a2 a-b)方几种法计算(想一想：你有
算公式计例2用完全平方22) 7y 2) ( 2x - ) ) (1 (5 +3p (
式计算公3用完全平方例22)a-( )( y -（1（）x+2）2 2 -5
1 / 3
计算平方公式例4用完全221）1）9980（2（1
b）4：填空题：（注意分析，找出a、例2216x②①；
222y3x4
22aab④③；
2225aab50
211⑤2216y4xxy42⑥222222bababbaaabba