培优3三数和的完全平方公式

三个式子的完全平方公式完全平方公式是解二次方程的重要工具，它可以帮助我们简化计算过程，快速求得方程的解。

在数学中，我们常常会遇到关于平方的问题，而完全平方公式则提供了一种简便的方法来解决这些问题。

我们来看一下完全平方公式的第一个式子：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的平方和。

例如，我们可以将$(x+3)^2$展开为$x^2+6x+9$。

这个公式在代数中非常常见，它帮助我们将复杂的二次项拆解成简单的一次项相加。

接下来，我们来看一下完全平方公式的第二个式子：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。

这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的差的平方。

例如，我们可以将$(x-3)^2$展开为$x^2-6x+9$。

这个公式与第一个式子非常相似，只是符号不同。

它也可以帮助我们将复杂的二次项拆解成简单的一次项相减。

我们来看一下完全平方公式的第三个式子：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的乘积。

例如，我们可以将$x^2-9$展开为$(x+3)(x-3)$。

这个公式在因式分解中非常有用，它可以帮助我们将二次项分解成两个一次项的乘积。

通过这三个完全平方公式，我们可以更加灵活地处理二次项。

无论是展开还是因式分解，这些公式都能够帮助我们简化计算过程，提高效率。

因此，在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择适合的公式来运用。

除了解决数学问题，完全平方公式还有一些其他的应用。

例如，在物理学中，我们经常会遇到运动方程。

如果我们知道物体的位移和加速度，可以使用完全平方公式来求解物体的速度。

通过将位移用完全平方公式展开，我们可以得到速度的表达式，从而更好地理解物体的运动规律。

在实际生活中，完全平方公式也有一些应用场景。

例如，我们购买商品时常常会遇到打折优惠的情况。

如果我们知道原价和折扣率，可以使用完全平方公式来计算打折后的价格。

4. 解法：
（1）先把二次方程化为完全 平方公式的形式： ax² + bx + c = 0
完全平方公式
（2）然后将方程按照完全平方公式的标准形式：
(x + p)² + q = 0
01
（5）求出方程的根：
x1 = -p + √(-q)
04
x2 = -p - √(-q)
（3）求出p、q的值：
02
p = -b/2a q = c - b²/4a
一、完全平方公式
演讲人 2023-01-14
目录
01
02
完全平方公式
实例
完全平方公式
1. 定义：
完全平方公式，又称为对称二 次方程，指的是可以表示为一
个完全平方式的二次方程。
2. 标准形式：
ax² + bx + c = 0
3. 用途：
完全平方公式可以用来解决二 次方程，求解方程的根，从而
解决一些数学问题。
04
0 5
（1）将二次方程化为完全平方公式的形式：
x² - 10x + 25 = 0
（3）求出p、q的值：
p = -10/2 q = 25 - 100/4
实例
x1 = 5 + √24 01
03 x1 = 9
（5）求出方程 的根：x2 = 5 - √2 0204 x2 = 1
谢谢
03
（4）由求出的p、q值代入完全平方公式中：
(x + p)² + q = 0
实例
例1：解x² - 10x + 25 = 0
在右侧编辑区输入内容
（2）按照完全平方公式的标准形式：

完全平方公式
-.
思考:
你能计算图1和图2的面积吗？
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
b ab b²
(a+b)
a a²² ab
ab
(a b)2 a2+ 2ab+b2
b a b²
a
b
a² a
(a-b)² b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
完全平方公式的数学表达式：
3、若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
基础练习:
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2；
(2) (y-5)2；
(3) (-2x+5)2；
(4) ( 2 x - 3 y)2.
34
2.运用完全平方公式计算:
(1) 9.9
(2)201
3.若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
4.已知 x y 8，x y 4，求xy.
.
(1)
(1 x 2 y2)2 23
(2) 1012
解：1
1 2
x
2 3y2Βιβλιοθήκη 21 2x
2
2
1 2
x
2 3
y2
2 3
y2
2
1 x2 2 xy2 4 y4;
43
9
21012 100 12
1002 21001 12
10201.
例3：计算： (1) (x 2y) (x 2y) (x 2y)2 8y2
2
x
2
1 2
x
2 3
y

《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。

这两个公式分别称为完全平方和公式与完全平方差公式。

完全平方和公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²完全平方差公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。

对于完全平方和公式（a ＋ b)²，将其展开：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼对于完全平方差公式（a b)²，展开可得：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼三、完全平方公式的特点1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是左边二项式中两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。

3、公式中的字母 a、b 可以表示数、单项式或多项式。

四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²（a b)²＝ 4ab五、完全平方公式的应用1、整式乘法运算在进行整式乘法运算时，若遇到形如（a ＋ b)²或（a b)²的式子，可以直接运用完全平方公式进行计算，简化运算过程。

提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。

=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中

x=( )
2 023
,y=2

2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;

2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];

(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2

培优3三数和的完全平方公式(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc其中，a、b、c为任意实数。

这个公式可以通过展开两个完全平方和的和的方式来证明：(a+b+c)^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2= a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc因此，培优3三数和的完全平方公式可以用来求解三个实数的和的平方。

下面将详细介绍培优3三数和的完全平方公式的应用。

首先考虑一个简单的例子：若a=2，b=3，c=4，代入公式，则有：(2+3+4)^2=2^2+3^2+4^2+2*2*3+2*2*4+2*3*4=81公式的应用可以用于解决类似于完全平方和的问题。

例如，考虑以下问题：问题：给定实数a、b、c，求(a+b+c)^2解法：使用培优3三数和的完全平方公式，可以得到：(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc因此，我们只需要将a、b、c的值代入公式中进行计算即可。

这个公式的一个重要应用是在代数表达式的展开中。

例如，我们可以使用完全平方公式将(x+2)(x+3)展开：(x+2)(x+3)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6在这个例子中，我们使用了(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2ac + 2bc的形式来展开表达式。

另一个应用是在求解二次方程中。

考虑一个简单的二次方程，例如x^2+5x+6=0。

我们可以通过将方程转化为完全平方形式来求解它：x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0然后，我们可以使用零乘积法则求解该方程，即x+2=0或x+3=0。

因此，方程的解为x=-2或x=-3在最后的应用中，我们来考虑一个更复杂的例子。

假设我们有三个实数a、b、c，我们想要求解三个数的和的平方再加上乘积等于一些特定值的问题，即(a+b+c)^2 + abc = k。

七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。

而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。

完全平方公式计算法则咱今天就来好好唠唠完全平方公式计算法则。

话说我以前教过一个学生叫小明，那可真是个有趣的孩子。

有一次上课，我正讲着完全平方公式，这小家伙一脸懵，眼睛瞪得圆圆的，好像我在讲外星语言。

咱们先来说说这完全平方公式到底是啥。

完全平方公式啊，就俩：(a + b)² = a² + 2ab + b²还有 (a - b)² = a² - 2ab + b²。

这公式看起来简单，用起来可得小心。

比如说，给你个式子 (3 + 2)²，那按照公式就得这么算：先看第一个 a = 3 ， b = 2 ，代入公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²，就是 3² + 2×3×2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25 。

再比如 (5 - 3)²，这里 a = 5 ， b = 3 ，套进公式 (a - b)² = a² - 2ab + b²，就是 5² - 2×5×3 + 3² = 25 - 30 + 9 = 4 。

咱可别小看这公式，用处大着呢！像在解决几何问题的时候，要是求一个正方形边长增加或者减少后的面积变化，用完全平方公式就能轻松搞定。

我还记得小明后来自己做题的时候，有一道是这样的：一个长方形的长是 x + 2 ，宽是 x - 2 ，求它的面积。

这要是不会完全平方公式，那可就抓瞎啦。

但要是会用，先算出长乘以宽，就是 (x + 2)(x - 2) ，这可以用平方差公式算出是 x² - 4 。

还有一次考试，有个题是已知 (x + y)² = 25 ，xy = 3 ，求 x² + y²的值。

这就得灵活运用完全平方公式啦。

因为 (x + y)² = x² + 2xy + y²，把已知条件带进去，就是 25 = x² + 2×3 + y²，所以 x² + y² = 25 - 6 = 19 。

《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识工具，有两个：1、两数和的完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²2、两数差的完全平方公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²这两个公式可以合写成一个公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。

2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。

3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。

以两数和的完全平方公式为例：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼同理，对于两数差的完全平方公式：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²＝（a b)²＋ 4ab4、（a b)²＝（a ＋ b)² 4ab这些变形公式在解题时非常有用，可以根据具体题目条件灵活选择使用。

二、完全平方公式的特征
1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的2倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导
我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
2、公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式，在使用时要注意将多项式看作一个整体。
3、不要与平方差公式混淆，平方差公式是（a＋b）（a b）＝a² b²。
七、完全平方公式的拓展
1、三项的完全平方公式
（a＋b＋c）²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc
2、多个数的完全平方
（a₁＋a₂＋…＋an）²＝a₁²＋a₂²＋…＋an²＋2a₁a₂＋2a₁a₃＋…＋2an 1an
八、完全平方公式在实际生活中的应用
完全平方公式在实际生活中有着广泛的应用，比如在计算面积、体积、成本、利润等方面。
例如，在一个长方形花园中，长增加a米，宽增加b米，那么面积增加的部分可以用完全平方公式来计算。
又比如，在计算物体运动的路程时，如果速度随时间的变化是一个二次函数，也可能会用到完全平方公式来求。
2、a²＋b²＝（a b）²＋2ab
3、（a＋b）²（a b）²＝4ab
五、完全平方公式的应用
1、用于整式的乘法运算
例如：计算（2x＋3y）²
解：（2x＋3y）²
＝（2x）²＋2×2x×3y＋（3y）²
＝4x²＋12xy＋9y²
2、用于简便计算
例如：计算99²
解：99²＝（100 1）²
＝100² 2×100×1＋1²
＝10000 200＋1

数学七年级下期培优学案(3)----平方差公式和完全平方公式一、平方差公式1. 公式：22)()a b a b a b +-=-（2. 公式的特征：（1）左边是两个二项式的乘积，存在一组相同的量和一组相反的量（2）右边是相同量的平方与相反量平方的差；3. 公式的顺用例1. 用平方差公式计算22224433(1)(4)(4)22(2)()()()()a a y x y x y x y x -+--+-++练习1计算(1)(1)(1)(1)x x x x +-+- (2)(23)(23)x y x y --- (3)()()x y z x z y +-+-4. 公式逆用例2计算2211(5)(5)22x x +--练习2填空(1)(1)ab -+（ ）=221a b - (2)()()a b a b -+（）=44a b - 2(3)6,3,b a b -=-=2若a 且则a+b= ；5. 利用平方差公式计算例3.利用平方差公式计算2(1)9991001(2)39.840.2(3)200420032005⨯⨯-⨯练习3计算22222242222222007(1)2007200820061111(2)(1)(1)(1)...(1)23410(3)3(41)(41)(41)1(4)2012201120102009...21-⨯----⨯++++-+-++-二、完全平方公式1. 公式及其变形 22222222222222222222)2()())22()()()()22()()4,()()411()2a b a ab b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab x x x x±=±+++-+=±=+-++--==+=-+-=+-±=±+ （（ 2. 口诀：（1）展开式：首平方，尾平方，首尾二倍在中央（2）中间项口诀：同正异负3.公式的识别与求完全平方的展开式例4.计算2(1)(25)x -+ 2(2)(38)x --2(3)(2)(2)x y x x y --+ 22(4)()()()2m n m n m n m +-++-(5)(21)(21)a b a b +++- 22(6)(21)(21)x x -+2(7)498 2(8)199202198-⨯（9）（－21ab 2－32c ）2 210()a b c -+（）4.结合完全平方公式特征，完善公式例5.(1)(5x+2y)2-(5x-2y)2＝ （2）( -2)2＝ 1-2x+ （3）( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2练习4. （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－______＝（a －b ）2－__________．（2） 如果4a 2－m ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则m = .（3） x 2－xy ＋________＝（x －______）2．22222(4)4___,412 ____.(5)()2,____.x ax a x xy m m x y M x xy y M ++=++=-+=++=是完全平方公式，则是一个完全平方式，则则 5.利用完全平方公式求值例6.（1） 已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值（2） 已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值（3） 若x+y=a,xy=b,求x 2+y 2,x 4+y 4的值.练习5.（1） 已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值 （2） 已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值 （3） 已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

3次方的完全平方公式是什么？
三次方完全平方公式是“(a+b)³=(a+b)(a+b)²=(a+b)(a²+2ab+b²)=a³+3a ²b+3ab²+b³”和“(a-b)³=(a-b)(a-b)²=(a-b)(a²-2ab+b²)=a³-3a²b+3ab ²-b³”。

完全平方是指用一个整数乘以自己，例如1*1、2*2、3*3等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。

完全平方公式，即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等)。

完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。

(a+b)²=a²+2ab+b²。

两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

(a-b)²=a²-2ab+b²。

《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。

这两个公式分别叫做两数和与两数差的完全平方公式。

（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特点1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。

2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。

3、公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。

三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。

以（a ＋ b）²为例：（a ＋ b）²＝（a ＋ b）（a ＋ b）＝ a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b＝ a²＋ 2ab ＋ b²同理，对于（a b）²：（a b）²＝（a b）（a b）＝ a×a a×b b×a ＋ b×b＝ a² 2ab ＋ b²四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b）² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b）²＋ 2ab3、（a ＋ b）²（a b）²＝ 4ab五、完全平方公式的应用1、用于整式的乘法运算例如：计算（3x ＋ 2y）²解：（3x ＋ 2y）²＝（3x）²＋ 2×3x×2y ＋（2y）²＝ 9x²＋ 12xy ＋ 4y²2、用于因式分解例如：分解因式 x²＋ 6x ＋ 9解：x²＋ 6x ＋ 9 ＝（x ＋ 3）²3、用于简便计算例如：计算 102²解：102²＝（100 ＋ 2）²＝ 100²＋ 2×100×2 ＋ 2²＝ 10000 ＋ 400 ＋ 4＝ 104044、用于求解代数式的值已知 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 3，求 a²＋ b²的值。

初中数学培优讲座3 三数和的完全平方公式三个数和的平方公式:ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两数的积的2倍。

一般地，我们有即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍。

这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式。

扩展：几个数的和的平方，等于这几个数中每个数的平方和加上其中每两个数的积的2倍。

练习：运用三数和的完全平方公式计算：（1）2()a b c -+；（2）2()a b c +-；（3）2()a b c --；（4）2()a b c --+。

例1 运用三个数的完全平方公式计算：（1）2(2)x y z ++； （2）（a-2b+c ）2； （3）2(3)m n --。

解：（1）2222(2)(2)2(2)2(2)2x y z x y z x y y z z x ++=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2224442x y z xy yz xz =+++++；（2）2222(2)(2)2(2)2(2)2a b c a b c a b b c c a -+=+-++⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯ 2224442a b c ab bc ac =++--+；（3）2(3)m n -- 222()(3)2()2()(3)2(3)()m n m n n m =+-+-+⨯⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯229266m n mn n m =++-+-222669m mn n m n =-+-++。

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．例3 运用三数和的完全平方公式计算：（1）2213； （2）2128。

15.3.3 三数和的完全平方公式我们来计算2()a b c ++。

222()()()[()][()]()2()a b c a b c a b c a b c a b c a b a b c c ++=++++=++++=++++222222222222a ab b ac bc c a b c ab bc ca =+++++=+++++。

一般地，我们有即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍。

这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式。

练习运用三数和的完全平方公式计算：（1）2()a b c -+；（2）2()a b c +-；（3）2()a b c --；（4）2()a b c --+。

例1 运用三个数的完全平方公式计算：（1）2(2)x y z ++； （2）2(2)a b c -+； （3）2(3)m n --。

解：（1）2222(2)(2)2(2)2(2)2x y z x y z x y y z z x ++=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2224442x y z xy yz xz =+++++；（2）2222(2)(2)2(2)2(2)2a b c a b c a b b c c a -+=+-++⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯ 2224442a b c ab bc ac =++--+；（3）2(3)m n --222()(3)2()2()(3)2(3)()m n m n n m =+-+-=⨯⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯ 229266m n mn n m =++-+-222669m mn n m n =-+-++。

ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．例3 运用三数和的完全平方公式计算：（1）2213； （2）2128。

培优3三数和的完全平方公式题目中提到的"培优3三数和的完全平方公式"是指关于三个整数和的完全平方的公式，也可以叫做"完全平方三数和公式"。

在数学中，已经有一种已知的完全平方三数和公式，被称为Fermat三平方和定理。

然而，这个定理涉及到复数的运算，不适用于此处要求的整数解。

因此，我们将提供一种基于暴力的方法来找到和为完全平方数的三个整数。

我们可以使用双重循环来所有三个整数的组合，并计算它们的和是否是一个完全平方数。

以下是我们的算法：1.假设我们要求三个整数a、b和c的和为一个完全平方数。

2.我们可以选择一个整数a（从1开始），并设定b=a+1和c=b+13.在一个循环中，我们测试当前组合（a，b，c）的和是否是一个完全平方数。

如果是，我们立即终止循环，输出这个组合。

4.如果不是，我们将增加c的值，重复步骤35.如果c的值超过了一个特定的上限（例如100），我们将增加b的值，并将c重置为b+1，重复步骤36.当b的值超过了一个特定的上限（例如100），我们将增加a的值，将b重置为a+1，c重置为b+1，然后重复步骤37.当我们找到一个完全平方数的和时，我们输出结果，并结束算法。

以下是基于上述算法的Python代码：```pythonimport mathdef find_perfect_squares(:a=1while True:b=a+1while True:c=b+1while True:#计算和total_sum = a + b + c#检查和是否是一个完全平方数if math.sqrt(total_sum).is_integer(:#如果是完全平方数，输出结果并结束算法print(f"整数组合为：{a}，{b}，{c}")print(f"和的平方根为：{int(math.sqrt(total_sum))}") returnc+=1if c > 100: # 设定c的上限breakb+=1c=b+1if b > 100: # 设定b的上限breaka+=1b=a+1c=b+1#运行算法find_perfect_squares```这段代码会输出所有符合要求的整数组合，并给出它们的和的平方根。