培优3三数和的完全平方公式

三个式子的完全平方公式完全平方公式是解二次方程的重要工具，它可以帮助我们简化计算过程，快速求得方程的解。

在数学中，我们常常会遇到关于平方的问题，而完全平方公式则提供了一种简便的方法来解决这些问题。

我们来看一下完全平方公式的第一个式子：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的平方和。

例如，我们可以将$(x+3)^2$展开为$x^2+6x+9$。

这个公式在代数中非常常见，它帮助我们将复杂的二次项拆解成简单的一次项相加。

接下来，我们来看一下完全平方公式的第二个式子：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。

这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的差的平方。

例如，我们可以将$(x-3)^2$展开为$x^2-6x+9$。

这个公式与第一个式子非常相似，只是符号不同。

它也可以帮助我们将复杂的二次项拆解成简单的一次项相减。

我们来看一下完全平方公式的第三个式子：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的乘积。

例如，我们可以将$x^2-9$展开为$(x+3)(x-3)$。

这个公式在因式分解中非常有用，它可以帮助我们将二次项分解成两个一次项的乘积。

通过这三个完全平方公式，我们可以更加灵活地处理二次项。

无论是展开还是因式分解，这些公式都能够帮助我们简化计算过程，提高效率。

因此，在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择适合的公式来运用。

除了解决数学问题，完全平方公式还有一些其他的应用。

例如，在物理学中，我们经常会遇到运动方程。

如果我们知道物体的位移和加速度，可以使用完全平方公式来求解物体的速度。

通过将位移用完全平方公式展开，我们可以得到速度的表达式，从而更好地理解物体的运动规律。

在实际生活中，完全平方公式也有一些应用场景。

例如，我们购买商品时常常会遇到打折优惠的情况。

如果我们知道原价和折扣率，可以使用完全平方公式来计算打折后的价格。

《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。

这两个公式分别称为完全平方和公式与完全平方差公式。

完全平方和公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²完全平方差公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。

对于完全平方和公式（a ＋ b)²，将其展开：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼对于完全平方差公式（a b)²，展开可得：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼三、完全平方公式的特点1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是左边二项式中两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。

3、公式中的字母 a、b 可以表示数、单项式或多项式。

四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²（a b)²＝ 4ab五、完全平方公式的应用1、整式乘法运算在进行整式乘法运算时，若遇到形如（a ＋ b)²或（a b)²的式子，可以直接运用完全平方公式进行计算，简化运算过程。

培优3三数和的完全平方公式(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc其中，a、b、c为任意实数。

这个公式可以通过展开两个完全平方和的和的方式来证明：(a+b+c)^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2= a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc因此，培优3三数和的完全平方公式可以用来求解三个实数的和的平方。

下面将详细介绍培优3三数和的完全平方公式的应用。

首先考虑一个简单的例子：若a=2，b=3，c=4，代入公式，则有：(2+3+4)^2=2^2+3^2+4^2+2*2*3+2*2*4+2*3*4=81公式的应用可以用于解决类似于完全平方和的问题。

例如，考虑以下问题：问题：给定实数a、b、c，求(a+b+c)^2解法：使用培优3三数和的完全平方公式，可以得到：(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc因此，我们只需要将a、b、c的值代入公式中进行计算即可。

这个公式的一个重要应用是在代数表达式的展开中。

例如，我们可以使用完全平方公式将(x+2)(x+3)展开：(x+2)(x+3)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6在这个例子中，我们使用了(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2ac + 2bc的形式来展开表达式。

另一个应用是在求解二次方程中。

考虑一个简单的二次方程，例如x^2+5x+6=0。

我们可以通过将方程转化为完全平方形式来求解它：x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0然后，我们可以使用零乘积法则求解该方程，即x+2=0或x+3=0。

因此，方程的解为x=-2或x=-3在最后的应用中，我们来考虑一个更复杂的例子。

假设我们有三个实数a、b、c，我们想要求解三个数的和的平方再加上乘积等于一些特定值的问题，即(a+b+c)^2 + abc = k。

七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。

而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。

完全平方公式计算法则咱今天就来好好唠唠完全平方公式计算法则。

话说我以前教过一个学生叫小明，那可真是个有趣的孩子。

有一次上课，我正讲着完全平方公式，这小家伙一脸懵，眼睛瞪得圆圆的，好像我在讲外星语言。

咱们先来说说这完全平方公式到底是啥。

完全平方公式啊，就俩：(a + b)² = a² + 2ab + b²还有 (a - b)² = a² - 2ab + b²。

这公式看起来简单，用起来可得小心。

比如说，给你个式子 (3 + 2)²，那按照公式就得这么算：先看第一个 a = 3 ， b = 2 ，代入公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²，就是 3² + 2×3×2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25 。

再比如 (5 - 3)²，这里 a = 5 ， b = 3 ，套进公式 (a - b)² = a² - 2ab + b²，就是 5² - 2×5×3 + 3² = 25 - 30 + 9 = 4 。

咱可别小看这公式，用处大着呢！像在解决几何问题的时候，要是求一个正方形边长增加或者减少后的面积变化，用完全平方公式就能轻松搞定。

我还记得小明后来自己做题的时候，有一道是这样的：一个长方形的长是 x + 2 ，宽是 x - 2 ，求它的面积。

这要是不会完全平方公式，那可就抓瞎啦。

但要是会用，先算出长乘以宽，就是 (x + 2)(x - 2) ，这可以用平方差公式算出是 x² - 4 。

还有一次考试，有个题是已知 (x + y)² = 25 ，xy = 3 ，求 x² + y²的值。

这就得灵活运用完全平方公式啦。

因为 (x + y)² = x² + 2xy + y²，把已知条件带进去，就是 25 = x² + 2×3 + y²，所以 x² + y² = 25 - 6 = 19 。

《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识工具，有两个：1、两数和的完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²2、两数差的完全平方公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²这两个公式可以合写成一个公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。

2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。

3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。

以两数和的完全平方公式为例：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼同理，对于两数差的完全平方公式：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²＝（a b)²＋ 4ab4、（a b)²＝（a ＋ b)² 4ab这些变形公式在解题时非常有用，可以根据具体题目条件灵活选择使用。