2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编35:离散型随机变量的期望与方差一、解答题 1 .(山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;( 6分) (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ).【答案】解:(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则2132322531().5C C P A C C =⋅=②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则23B A A =,A 2,A 3互斥,()212312251213232225232=⋅+⋅=C C C C C C C C C A P 所以23117()()().2510P B P A P A =+=+= (2)法Ⅰ解:由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P X P X C P X ==-===-====X 的数学期望()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯=法Ⅱ:⎪⎭⎫ ⎝⎛107,2~B X ,于是可依次得出()0=X P ,()1=X P ,()2=X P ;()571072=⨯=X E 2 .(山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题)(本小题满分12分)某次考试中,从甲、乙两个班级各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于60分为及格.(I)从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人,已知有人及格,求乙班学生不及格的概率;(II)从甲班10人中取1人,乙班10人中取2人,三人中及格人数记为ξ,求ξ的分布列及期望.【答案】3 .(山东省枣庄市2013届高三4月(二模)模拟考试数学(理)试题)甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期E X.望()【答案】4 .(山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学)生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(1)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;(2)生产一件元件A,若是正品可盈利80元,若是次品则亏损10元;生产一件元件B,若是正品可盈利100元,若是次品则亏损20元,在(Ⅰ)的前提下.(i)求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率;(ii)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】5 .(山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 )(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为34、23、12.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分;若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响. (I)求该项技术量化得分不低于8分的概率;(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X 的分布列与数学期望.【答案】解:(Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A 、B 、C ,则事件“得分不低于8分”表示为ABC +C B A . ABC 与C B A 为互斥事件,且A 、B 、C为彼此独立∴(P ABC +CB A )=P(ABC )+P (C B A )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C ==⨯⨯+⨯⨯21314321324383(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X 的取值为0,1,2,3.)0(=X P =P (C B A )=213141⨯⨯=241, )1(=X P =P (C B A +C B A +C B A )=213143⨯⨯+213241⨯⨯+213141⨯⨯=41,)2(=X P =P (C AB +BC A +C B A )=213243⨯⨯+213241⨯⨯+213143⨯⨯=2411,)3(=X P =P (ABC )=213243⨯⨯=41,随机变量X 的分布列为EX ∴=2410⨯+411⨯+24112⨯+413⨯=1223 6 .(山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学(2012济南二模))一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:(1) 得60分的概率;(2) 所得分数ξ的分布列和数学期望. 【答案】解:(1) 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A ,“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B ,“有一道题不理解题意”选对的为事件C ,∴P(A)=12,P(B)=13,P(C)=14,∴得60分的概率为p =11111223448⨯⨯⨯= (2) ξ可能的取值为40,45,50,55,60P (ξ=40)=1123122348⨯⨯⨯=;P (ξ=45)=121123111311211722342234223448C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P (ξ=50)=1122⨯2334⨯⨯+1212C ⨯1123⨯⨯34⨯12C +12⨯⨯1223⨯11111174223448⨯+⨯⨯⨯=; P (ξ=55)=12C ⨯111223⨯⨯⨯14+1122⨯⨯2134⨯+12⨯12⨯13⨯34748=P (ξ=60)=1111111111223448223448⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=(3) E ξ=40×648+(45+50)×1748+55×748+60×148=575127 .(山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学(理)试题)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予10分降分资格;考核优秀,授予20分降分资格.假设甲乙丙考核为优秀的概率分别为23、23、12,他们考核所得的等次相互独立. (Ⅰ)求在这次考核中,甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率.(Ⅱ)记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.【答案】解:(Ⅰ) 记“甲考核为优秀”为事件A ,“乙考核为优秀”为事件B ,“丙考核为优秀”为事件C ,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A 、B 、C 是相互独立事件,事件CB A 与事件E 是对立事件,于是18172131311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P E P(Ⅱ)ξ的所有可能取值为60,50,40,30.()181)(30===C B A P P ξ, ()185)()()(40=++==C B A P C B A P C B A P P ξ, ()188)()()(50=++==BC A P C B A P C AB P P ξ,()184)(60===ABC P P ξ 所以ξ的分布列为31860185018401830=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 8 .(山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题)某公司组织员工活动,有这样一个游戏项目:甲箱里装有3个白球,2个黑球,乙箱里装有1个白球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出一个白球记3分,一个黑球记1分,规定得分不低于8分则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱). (I)求在1次游戏中,(1)得6分的概率;(2)获奖的概率; (Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望.【答案】解:(1)依题意“在一次游戏中得6分”的事件包括两种情况; ①甲箱中摸出1个白球1个黑球,乙箱中摸出2个黑球,其概率:X的数学期望9 .(山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学(理)试题)春节期间,某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中,选出3种商品进行促销活动.⑴)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率;⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高100元,规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为m元的奖金;若中两次奖,则共获得数额为m 3元的奖金;若中3次奖,则共获得数额为m 6元的奖金.假设顾客每次抽奖中获的概率都是31,请问:商场将奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?【答案】解:⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A,从3种服装、2种家电、3种日用品中,选出3种商品,一共有38C 种不同的选法 ,选出的3种商品中,没有家电的选法有36C 种所以,选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为1491)(3836=-=C C A P⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ,其所有可能的取值为0,m ,m 3,m 6.(单元:元)0ξ=表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以278)311()0(3=-==ξP 同理,9431)311()(213=⨯-⨯==C m P ξ92)31()311()3(2123=⨯-⨯==C m P ξ271)31()6(333=⨯==C m P ξ 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是m m m m E 342716923942780)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ 2 由10034≤m ,解得75≤m 所以故m 最高定为75元,才能使促销方案对商场有利 .10.(山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球. (I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =4 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 11.(2010年高考(山东理))某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题,规则如下:① 每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;② 每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;③ 每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答,直至答题结束.假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Εξ. 【答案】P(=4)=ξ312+423⨯⨯112423⨯⨯311423⨯⨯=1124, 所以ξ的分布列为数学期望E ξ=28⨯+324⨯+4⨯24=3.【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识,考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力. 12.(2013届山东省高考压轴卷理科数学)(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性 女性 合计反感 10不反感 8 合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X 的分布列和数学期望. 【答案】【解析】(Ⅰ)由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X 的分布列为:X 的数学期望为:012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=13.(山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学(理))某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为23,且各局比赛胜负互不影响. (Ⅰ)求比赛进行4局结束,且乙比甲多得2分的概率;(Ⅱ)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为21133-= 比赛进行4局结束,且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局,3,4局连胜,则12212114333381P C =⋅⋅⋅=(Ⅱ)由题意知,ξ的取值为2,4,6 则22215(2)()()339P ξ==+=12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=1221216(6)()3381P C ξ===所以随机变量ξ的分布列为ξ2 4 6P59 20811681则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=12 14.(山东威海市2013年5月高三模拟考试数学(理科))某单位在“五四青年节”举行“绿色环保杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,先胜3局者将赢得这次比赛,比赛结束.假设选手乙每局获胜的概率为13,且各局比赛胜负互不影响,已知甲先胜一局. (Ⅰ)求比赛进行5局结束且乙胜的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第二局开始到比赛结束时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】解(Ⅰ)设乙获胜的概率为P 乙,由已知甲每局获胜的概率皆为12133-=由题意可知,4局比赛中,最后一局乙嬴,前三局中乙赢了其中任意两局∴概率为2231212()33327P C =⋅⋅=乙 (Ⅱ)由题意知,ξ的取值为2,3,4 则224(2)()39P ξ===132122191(3)()3333273P C ξ==+==123212182(4)()=333819P C P ξ==+=乙 所以随机变量ξ的分布列为则 412252349399E ξ=⨯+⨯+⨯=15.(山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科))以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示.(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数; (Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望.【答案】解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为;435410988=+++=x(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=.81162=同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y PEY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×8+18×4+19×41+20×41+21×81=19 16.(山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学(理))甲、乙两人进行乒乓球比赛,已知一局中甲胜乙的概率为0.6,现实行三局两胜制,假设各局比赛结果相互独立- (1)求甲获胜的概率;(2)用x 表示甲获胜的局数,求x 的分布列和数学期望E(X). 【答案】17.(2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学)(本小题满分l2分)某次考试中,从甲,乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班10名学生成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分为及格.(I)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一人及格的概率;(Ⅱ)从甲班l0人中取两人,乙班l0人中取一人,三人中及格人数记为X,求X 的分布列和期望.【答案】18.(山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(理)试题)在某社区举办的《2013年迎新春知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关过年知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是34,甲、丙二人都回答错的概率是112,乙、丙二人都回答对的概率是1 . 4(1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;(2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为X,求X的分布列和数学期望. 【答案】19.(2009高考(山东理))在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A 处每投进一球得3分,在B 处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A 处的命中率q 1为0.25,在B 处的命中率为q 2,该同学选择先在A 处投一球,以后都在B 处投,用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为(1) 求q 2的值;(2) 求随机变量ξ的数学期望E ξ;(3) 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
第7讲 离散型随机变量的均值与方差【2014年高考会这样考】1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.对应学生180考点梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称D (X )=∑i =1n()x i -E (X )2p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差. 【助学·微博】 两个防范在记忆D (aX +b )=a 2D (X )时要注意:(1)D (aX +b )≠aD (X )+b ,(2)D (aX +b )≠aD (X ). 三种分布(1)若X 服从两点分布,则E (X )=p ,D (X )=p (1-p ); (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=np ,D (X )=np (1-p ); (3)若X 服从超几何分布,则E (X )=n M N . 六条性质(1)E (C )=C (C 为常数);(2)E (aX +b )=aE (X )+b (a ,b 为常数); (3)E (X 1+X 2)=EX 1+EX 2;(4)如果X 1,X 2相互独立,则E (X 1·X 2)=E (X 1)E (X 2); (5)D (X )=E (X 2)-(E (X ))2;(6)D (aX +b )=a 2·D (X )(a ,b 为常数).考点自测1.(2013·日照二模)已知随机变量ξ的分布列为:P (ξ=k )=13,k =1,2,3,则D (3ξ+5)等于( ). A .6 B .9 C .3 D .4 解析 E (ξ)=(1+2+3)×13=2, E (ξ2)=(12+22+32)×13=143 ∴D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=143-22=23. ∴D (3ξ+5)=9D (ξ)=6. 答案 A2.已知X 的分布列为设Y =2X +3,则E (Y )A.73 B .4 C .-1 D .1 解析 E (X )=-12+16=-13,E (Y )=E (2X +3)=2E (X )+3=-23+3=73. 答案 A3.设随机变量X ~B (n ,p ),且E (X )=1.6,D (X )=1.28,则( ). A .n =8,p =0.2 B .n =4,p =0.4C .n =5,p =0.32D .n =7,p =0.45 解析 ∵X ~B (n ,p ),∴E (X )=np =1.6, D (X )=np (1-p )=1.28,∴⎩⎨⎧n =8,p =0.2.答案 A4.(2013·成都五校联考)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E (5ξ+1)=( ). A .2 B .1 C .3 D .4解析 ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ=0)=A 313A 315=2235.P (ξ=1)=C 12C 213A 33A 315=1235.P (ξ=2)=C 22C 113A 33A 315=135.所以,ξ的分布列为于是E (ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25. 故E (5ξ+1)=5E (ξ)+1=5×25+1=3. 答案 C5.(2013·韵关调研)有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X 表示取到次品的次数,则D (X )=________. 解析 ∵X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,14,∴D (X )=3×14×34=916.答案 916对应学生181考向一 离散型随机变量的均值和方差【例1】►(2012·新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差.②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.[审题视点] (1)根据日需求量分类求出函数解析式.(2)①根据当天的需求量,写出相应的利润,列出分布列,求出数学期望和方差,②比较两种情况的数学期望或方差即可.解 (1)当日需求量n ≥16时,利润y =80. 当日需求量n <16时,利润y =10n -80.所以y 关于n 的函数解析式为y =⎩⎨⎧10n -80,n <16,80,n ≥16(n ∈N ).(2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )==76.X 的方差为D (X )=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为Y 的数学期望为E (Y )=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的方差为D (Y )=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,D (X )<D (Y ),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E (X )<E (Y ),但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为Y 的数学期望为E (Y ×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E (X )<E (Y ),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若属二项分布的,可用二项分布的均值与方差公式计算,则更为简单.【训练1】 A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是A 1、A 2、A 3,B 队队员是B 1、B 2、B 3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下:队最后所得总分分别为X ,Y(1)求X,Y的分布列;(2)求E(X),E(Y).解(1)X,Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X=3)=23×25×25=875,P(X=2)=23×25×35+13×25×25+23×35×25=2875,P(X=1)=23×35×35+13×25×35+13×35×25=25,P(X=0)=13×35×35=325;根据题意X+Y=3,所以P(Y=0)=P(X=3)=875,P(Y=1)=P(X=2)=2875,P(Y=2)=P(X=1)=25,P(Y=3)=P(X=0)=325.X的分布列为Y的分布列为(2)E(X)=3×875+2×2875+1×25+0×325=2215;因为X+Y=3,所以E(Y)=3-E(X)=23 15.考向二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X=k)=15,k=1,2,3,4,5,求E((X+2)2),D(2X-1),D(X-1).[审题视点] 利用期望与方差的性质求解.解∵E(X)=1×15+2×15+3×15+4×15+5×15=155=3.E(X2)=1×15+22×15+32×15+42×15+52×15=11.D(X)=(1-3)2×15+(2-3)2×15+(3-3)2×15+(4-3)2×15+(5-3)2×15=15(4+1+0+1+4)=2.∴E((X+2)2)=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27.D(2X-1)=4D(X)=8,D(X-1)=D(X)= 2.若X是随机变量,则η=f(X)一般仍是随机变量,在求η的期望和方差时,熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算.【训练2】A,B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别为:(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列为E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D (Y 2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. (2)f (x )=D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100Y 1+D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100-x 100Y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)+⎝⎛⎭⎪⎫100-x 1002D (Y 2) =41002[x 2+3(100-x )2] =41002(4x 2-600x +3×1002). 当x =6002×4=75时,f (x )=3为最小值. 考向三 均值与方差的实际应用【例3】►(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2,分别求X 1,X 2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.[审题视点] (1)利用互斥事件的概率公式求其概率.(2)确定随机变量X 1,X 2可能的取值,分别求出X 1,X 2每个值对应概率,列出X 1、X 2的分布列.(3)代入均值公式求出E (X 1)、E (X 2),比较E (X 1)、E (X 2)大小,做出判断.解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+3 50=1 10.(2)依题意得,X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得E(X1)=1×125+2×350+3×910=14350=2.86(万元),E(X2)=1.8×110+2.9×910=2.79(万元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.【训练3】(2013·庆安一模)在一次智力测试中,有A、B两个相互独立的题目,答题规则为:被测试者答对问题A可得分数为a,答对问题B可得分数为b.先答哪个题目由被测试者自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二个问题,否则终止答题.若你是被测试者,且假设你答对问题A,B的概率分别为p1,p2.(1)若p1=12,p2=13,你应如何依据题目分值的设置选择先答哪一道题?(2)若已知a=10,b=20,当p1,p2满足怎样的关系时,你选择先答A题?解(1)设先答问题A的得分为随机变量X,先答问题B的得分为随机变量Y. ∵P(X=0)=1-p1;P(X=a)=p1(1-p2);P(X=a+b)=p1p2.∴E(X)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)p1p2=ap 1(1-p 2)+(a +b )p 1p 2=ap 1+bp 1p 2. ∵P (Y =0)=1-p 2;P (Y =b )=p 2(1-p 1); P (Y =a +b )=p 1p 2.∴E (Y )=0×(1-p 2)+bp 2(1-p 1)+(a +b )p 1p 2 =bp 2(1-p 1)+(a +b )p 1p 2=bp 2+ap 1p 2. ∴E (X )-E (Y )=ap 1(1-p 2)-bp 2(1-p 1) 若p 1=12,p 2=13,则E (X )-E (Y )=13a -16b . ①当a >12b 时,先答A 题;②当a =12b 时,先答A 、B 均可; ③当a <12b 时,先答B 题.(2)若a =10,b =20,则E (X )-E (Y )=10p 1-20p 2+10p 1p 2 ∴当10p 1-20p 2+10p 1p 2>0, 即p 1+p 1p 2>2p 2时,选择先答A 题.对应学生183规范解答17——均值、方差与其他数学知识的综合问题【命题研究】 离散型随机变量的期望、方差与其他数学知识相结合的问题,在近两年的高考中时有出现,体现了在知识交汇处命题的指导思想.这类题目常以解答题的形式出现,将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融合在一起,综合考查学生分析问题、解决问题的能力.题目难度适中,一般属于中档题.【真题探究】► (本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(2)随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),[教你审题] (1)1,求出样本数据落在区间[40,60]内的频率,则易求出频数即为“体育迷”人数,2×2列联表中各个值随之求出,计算K2的值,并作出判断.(2)确定X的可能取值,利用二项分布概率公式求出概率,列出分布列,代入公式求E(X),D(X)[规范解答] (1)由所给的频率分布直方图知,“体育迷”人数为100×(10×0.020+10×0.005)=25,“非体育迷”人数为75,从而2×2列联表如下:(3分)将2×2列联表的数据代入公式计算:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(30×10-45×15)2 45×55×75×25=10033≈3.030.因为2.706<3.030<3.841,所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关.(6分)(2)由频率分布直方图知,抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意,X~B⎝⎛⎭⎪⎫3,14,从而X的分布列为(10分)E(X)=np=3×14=34,D(X)=np(1-p)=3×14×34=916.(12分)[阅卷老师手记] 求解概率统计题应会对事件构成进行分析.弄清“等可能性”与“非等可能性”的区别;“有序取”与“无序取”的区别;“有放回取”与“不放回取”的区别;“互斥”与“独立”的意义.会用排列、组合的知识求事件的概率,用互斥事件、独立事件、重复试验等概率公式求事件的概率,对于复杂事件,要能够分解成若干个简单事件的和事件,不能遗漏.求离散型随机变量的分布列时,要自觉应用随机变量的分布列的性质进行检验,一般利用随机变量的均值的定义求解.对于有些实际问题中的随机变量,如果能断定它服从某常见的典型分布,则可直接利用期望公式求得,因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可提高解题速度.【试一试】(2013·晋城一模)甲、乙两射手进行射击比赛,分别射击100次,已知甲、乙射手射击的环数X,Y稳定在7,8,9,10环上,他们这次成绩用直方图表示如下(如图):(1)根据这次比赛的成绩直方图,推断乙击中8环的概率P(Y=8),以及求甲、乙同时击中9环以上(含9环)的概率;(2)根据这次比赛成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次击中的环数多)?解(1)P(Y=7)=20100=0.2=P(Y=9),P(Y=10)=35100=0.35.所以P(Y=8)=1-P(Y=7)-P(Y=9)-P(Y=10)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理:P(X=7)=0.2,P(X=8)=0.15,P(X=9)=0.3,所以P(X=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.所以甲、乙同时击中9环及9环以上的概率为P=P(X≥9)·P(Y≥9)=(0.3+0.35)×(0.2+0.35)=0.357 5.(2)E(Y)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7.E(X)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8.因为E(X)>E(Y),所以甲的水平更高.对应学生341A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2013·西安模拟)样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为( ).A.65B.65C. 2D .2解析 由题意,知a +0+1+2+3=5×1,解得,a =-1. s 2=(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)25=2.答案 D2.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签,从中任意取3支,设X 为这3支签的号码之中最大的一个,则X 的数学期望为( ).A .5B .5.25C .5.8D .4.6解析 由题意可知,X 可以取3,4,5,6, P (X =3)=1C 36=120,P (X =4)=C 23C 36=320,P (X =5)=C 24C 36=310,P (X =6)=C 25C 36=12.由数学期望的定义可求得E (X )=5.25. 答案 B3.若p 为非负实数,随机变量ξ的分布列为则E (ξ)的最大值为( ).A .1B.32C.23D .2解析 由p ≥0,12-p ≥0,则0≤p ≤12,E (ξ)=p +1≤32.答案 B4.(2013·广州一模)已知随机变量X +η=8,若X ~B (10,0.6),则E (η),D (η)分别是( ).A .6和2.4B .2和2.4C .2和5.6D .6和5.6解析 由已知随机变量X +η=8,所以有η=8-X .因此,求得E (η)=8-E (X )=8-10×0.6=2,D (η)=(-1)2D (X )=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B二、填空题(每小题5分,共10分) 5.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξ的期望E (ξ)解析 x +0.1+0.3+y =1,即x +y =0.6.① 又7x +0.8+2.7+10y =8.9,化简得7x +10y =5.4.② 由①②联立解得x =0.2,y =0.4. 答案 0.4 6.(2013·温州调研)已知离散型随机变量X 的分布列如右表,若E (X)=0,D (X )=1,则a =________,b =________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a +b +c =1112,-a +c +16=0,a +c +13=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =512,b =14,c =14.答案 512 14 三、解答题(共25分)7.(12分)若随机事件A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1),用随机变量X 表示A 在一次试验中发生的次数.(1)求方差D (X )的最大值;(2)求2D (X )-1E (X )的最大值. 解 随机变量X 的所有可能的取值是0.1, 并且有P (X =1)=p ,P (X =0)=1-p . 从而E (X )=0×(1-p )+1×p =p , D (X )=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p -p 2. (1)D (X )=p -p 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫p -122+14.∵0<p <1,∴当p =12时,D (X )取最大值,最大值是14. (2)2D (X )-1E (X )=2(p -p 2)-1p =2-⎝ ⎛⎭⎪⎫2p +1p . ∵0<p <1,∴2p +1p ≥2 2. 当2p =1p ,即p =22时取“=”.因此当p =22时,2D (X )-1E (X )取最大值2-2 2.8.(13分)(2013·汕头一模)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求X 的分布列、期望和方差;(2)若η=aX +b ,E (η)=1,D (η)=11,试求a ,b 的值. 解 (1)X 的分布列为∴E (X )=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5.D (X )=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.(2)由D (η)=a 2D (X ),得a 2×2.75=11,即a =±2. 又E (η)=aE (X )+b ,所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2. 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4. ∴⎩⎨⎧ a =2,b =-2或⎩⎨⎧a =-2,b =4,即为所求.B 级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则2a +13b 的最小值为( ).A.323 B.283 C.143 D.163解析 由已知得,3a +2b +0×c =2, 即3a +2b =2,其中0<a <23,0<b <1. 又2a +13b =3a +2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +13b=3+13+2b a +a 2b ≥103+22b a ·a 2b =163,当且仅当2b a =a 2b ,即a =2b 时取“等号”,又3a +2b =2,即当a =12,b =14时,2a +13b 的最小值为163,故选D. 答案 D2.(2012·上海)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值x 1+x 22、x 2+x 32、x 3+x 42、x 4+x 52、x 5+x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)、D (ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差,则( ).A .D (ξ1)>D (ξ2)B .D (ξ1)=D (ξ2)C .D (ξ1)<D (ξ2)D .D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 解析 利用期望与方差公式直接计算.E (ξ1)=0.2x 1+0.2x 2+0.2x 3+0.2x 4+0.2x 5 =0.2(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5). E (ξ2)=0.2×x 1+x 22+0.2×x 2+x 32+…+0.2×x 5+x 12=0.2(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5). ∴E (ξ1)=E (ξ2),记作x ,∴D (ξ1)=0.2[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 5-x )2]=0.2[x 21+x 22+…+x 25+5x 2-2(x 1+x 2+…+x 5)x ] =0.2(x 21+x 22+…+x 25-5x 2).同理D (ξ2)=0.2⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 222+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+x 322+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5+x 122-5 x 2. ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 222<x 21+x 222,…,⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5+x 122<x 25+x 212, ∴⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 222+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+x 322+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5+x 122<x 21+x 22+x 23+x 24+x 25.∴D (ξ1)>D (ξ2). 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分) 3.随机变量ξ的分布列如下:其中a ,b ,c 成等差数列.若E (ξ)=13,则D (ξ)的值是________.解析根据已知条件:⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =1,2b =a +c ,-a +c =13,解得:a =16,b =13,c =12,∴D (ξ)=16×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-132+13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0-132+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-132=59.答案 594.(2013·滨州一模)设l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,22,用ξ表示坐标原点到l 的距离,则随机变量ξ的数学期望E (ξ)=________.解析 当l 的斜率k 为±22时,直线l 的方程为±22x -y +1=0,此时坐标原点到l 的距离d =13;当k 为±3时,d =12;当k 为±52时,d =23;当k 为0时,d =1,由古典概型的概率公式可得分布列如下:所以E (ξ)=13×27+12×27+23×27+1×17=47. 答案 47三、解答题(共25分)5.(12分)(2013·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a ,a (0<a <1),三人各射击一次,击中目标的次数记为ξ. (1)求ξ的分布列及数学期望;(2)在概率P (ξ=i )(i =0,1,2,3)中,若P (ξ=1)的值最大,求实数a 的取值范围. 解 (1)P (ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12(1-a )2=12(1-a )2,P (ξ=1)=12(1-a )2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12a (1-a )+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12(1-a )a =12(1-a 2),P (ξ=2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12a 2+12(1-a )a +12a (1-a )=12(2a -a 2),P (ξ=3)=a 22. 所以ξ的分布列为ξE (ξ)=0×12(1-a )2+1×12(1-a )2+2×12(2a -a 2)+3×a 22=4a +12. (2)P (ξ=1)-P (ξ=0)=12[(1-a 2)-(1-a )2]=a (1-a ), P (ξ=1)-P (ξ=2)=12[(1-a 2)-(2a -a 2)]=1-2a 2, P (ξ=1)-P (ξ=3)=12[(1-a 2)-a 2]=1-2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧a (1-a )≥0,1-2a 2≥0,1-2a 22≥0及0<a <1,得0<a ≤12,即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12.6.(13分)(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ. (1)求ξ的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?思维启迪:本题在求解时,一定要分清求解的是哪一个变量的均值,理清随机变量取值时的概率.解(1)由于1件产品的利润为ξ,则ξ的所有可能取值为6,2,1,-2,由题意知P(ξ=6)=126200=0.63,P(ξ=2)=50200=0.25,P(ξ=1)=20200=0.1,P(ξ=-2)=4200=0.02.故ξ的分布列为(2)1E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).(3)设技术革新后三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-x-0.01)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x.由E(ξ)≥4.73,得4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的意义,写出X可能取的全部值;②求X取每个值的概率;③写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时,只要在求解分布列的前提下,根据均值、方差的定义求E(X),D(X)即可.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练):2.4 函数的奇偶性与周期性一、选择题1.函数f (x )=-x2|x +3|-3是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x +3|-3≠0,得-1<x <1,且x ≠0.∴函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1). ∵f (x )=-x2|x +3|-3=-x2x,∴f (-x )=-x 2-x=-f (x ).∴f (x )是奇函数. 答案:A2.(2012·福建)设函数D (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x 为有理数,0,x 为无理数,则下列结论错误的是( )A .D (x )的值域为{0,1}B .D (x )是偶函数C .D (x )不是周期函数D .D (x )不是单调函数解析:显然A ,D 是对的.若x 是无理数,所以-x 也是无理数;若x 是有理数,则-x 也是有理数,则D (-x )=D (x ),所以D (x )是偶函数,B 对.对于任意有理数T ,f (x +T )=f (x )(若x 是无理数,则x +T 也是无理数;若x 是有理数,则x +T 也是有理数),故C 不对.答案:C3.(2012·山东)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2,当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=( )A .335B .338C .1 678D .2 012解析:由f (x +6)=f (x )可知函数是周期为6的周期函数,又因为当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2,当-1≤x <3时,f (x )=x 可知,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-(-3+2)2=-1,f (4)=f (-2)=-(-2+2)2=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,故而f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=1,故而f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=335×1+f (1)+f (2)=338.答案:B4.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)解析:由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知,f (x )在[-2,2]上递增,又f (x -4)=-f (x )⇒f (x -8)=-f (x -4)=f (x ),故函数f (x )以8为周期,f (-25)=f (-1),f (11)=f (3)=-f (3-4)=f (1),f (80)=f (0),故f (-25)<f (80)<f (11).故选D.答案:D5.(2013·太原五中月考)若函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数,且满足f (x )-g (x )=e x,则有( )A .f (2)<f (3)<g (0)B .g (0)<f (3)<f (2)C .f (2)<g (0)<f (3)D .g (0)<f (2)<f (3)解析:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧f x -g x =e x,-f x -g x =e -x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧f x =e x -e -x2,gx =-e x+e-x2.故g (0)=-1,f (x )为R 上的增函数,0<f (2)<f (3),故g (0)<f (2)<f (3).答案:D6.(2013·曲阜师大附中质检)若偶函数y =f (x )对任意实数x 都有f (x +1)=-f (x ),且在[0,1]上单调递减,则( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析:由f (x +1)=-f (x ),知f (x )是周期函数,且最小正周期为2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75=f ⎝⎛⎭⎪⎫-2+75=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35. 又因为35>12>13,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73. 答案:B 二、填空题7.(2012·上海)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1,若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=__________.解析:令h (x )=f (x )+x 2,∴h (1)=f (1)+1=2.h (-1)=f (-1)+1=-2,∴f (-1)=-3,∴g (-1)=f (-1)+2=-1. 答案:-18.(2013·银川质检)已知f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x <3时,f (x )的图像如图所示,那么不等式xf (x )<0的解集为__________.解析:当0<x <3时,由图像知,满足xf (x )<0的解为: 0<x <1,由奇函数的对称性可求. 答案:(-1,0)∪(0,1)9.(2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,则a +3b 的值为______________.解析:由题意得,f (12)=f (32)=f (-12),所以b2+232=-12a +1,∴32a +b =-1.①又f (-1)=f (1),∴b =-2a .② 解①②得a =2,b =-4,∴a +3b =-10. 答案:-10 三、解答题10.(2013·曲阜师大附中质检)定义域为[-1,1]的奇函数f (x )满足f (x )=f (x -2),且当x ∈(0,1)时,f (x )=2x +x .(1)求f (x )在[-1,1]上的解析式; (2)求函数f (x )的值域.解析:(1)当x =0时,f (0)=-f (0),故f (0)=0. 当x ∈(-1,0)时,-x ∈(0,1),f (x )=-f (-x )=-(-2x +-x )=2x --x .若x =-1时,f (-1)=-f (1).又f (1)=f (1-2)=f (-1),故f (1)=-f (1),得f (1)=0,从而f (-1)=-f (1)=0.综上,f (x )=⎩⎨⎧2x --x ,x ∈-1,,0, x =0,±1,2x +x , x ∈,(2)∵x ∈(0,1)时,f (x )=2x +x ,∴f ′(x )=2+12x >0,故f (x )在(0,1)上单调递增.∴f (x )∈(0,3).∵f (x )是定义域为[-1,1]上的奇函数, ∴当x ∈[-1,1]时,f (x )∈(-3,3). ∴f (x )的值域为(-3,3).11.(2013·舟山调研)已知函数f (x )=x 2+a x(x ≠0,常数a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.解析:(1)当a =0时,f (x )=x 2,对任意的x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),f (-x )=(-x )2=x 2=f (x ),∴f (x )为偶函数.当a ≠0时,f (x )=x 2+a x(a ≠0,x ≠0), 取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0,f (-1)-f (1)=-2a ≠0,∴f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1). ∴函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.(2)方法一:要使函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数, 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立, 即f ′(x )=2x -a x2≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立. 故a ≤2x 3在x ∈[2,+∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min =16.∴a 的取值范围是(-∞,16]. 方法二:设2≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 21+a x 1-x 22-a x 2=x 1-x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)-a ]. 要使函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数,必须f (x 1)-f (x 2)<0恒成立. ∵x 1-x 2<0,x 1x 2>0,即a <x 1x 2(x 1+x 2)恒成立, 又∵x 1+x 2>4,x 1x 2>4, ∴x 1x 2(x 1+x 2)>16.∴a 的取值范围是(-∞,16].12.(2013·沈阳质检)设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x .(1)求f (π)的值;(2)当-4≤x ≤4时,求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间.解析:(1)由f (x +2)=-f (x )得,f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ), 所以f (x )是以4为周期的周期函数. ∴f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4) =-f (4-π) =-(4-π) =π-4.(2)由f (x )是奇函数与f (x +2)=-f (x ),得:f [(x -1)+2]=-f (x -1)=f [-(x -1)],即f (1+x )=f (1-x ).故知函数y =f (x )的图像关于直线x =1对称.又0≤x ≤1时,f (x )=x ,且f (x )的图像关于原点成中心对称,则f (x )的图像如图所示.当-4≤x ≤4时,f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ,则S =4S △OAB =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1=4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k -1,4k +1](k ∈Z ),单调递减区间为[4k +1,4k +3](k ∈Z ).。
2014届高三数学第一轮复习第二十九讲 等差数列及其前n 项和授课教师 刘世宝一) 高考要求:★理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式;★能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应问题; ★了解等差数列与一次函数的关系。
二) 知识梳理:★等差数列定义: d a a n n =--1,(n ≥2)或d a a n n =-+1,(n ≥1) d m n a a m n )(-=-⇒,d m n a a m n )(-+=⇒ ★通项公式: d n a a n )1(1-+=★ 等差中项:a,A,b 成等差数列(或说A 是a 与b 的等差中项)⇔2A=a+b ⇔ 2b a A +=★性 质:若m+n=p+q,则q p n m a a a a +=+若d >0,则n a 递增,若d <0,则n a 递减,若d =0,则1a a n =★前n 项和公式:d n n na a a n S n n )1(212)(11-+=+= 三) 例题讲解:例题一:(等差数列的判定)已知数列{}n a 的首项11=a ,且点()1,+n n a a 在函数14)(+=x x f x 的图象上,若nn a b 1=。
求证数列{}n b 为等差数列。
(你会求数列{}n a 的通项公式吗?) 交流解题感悟:例题二:(等差数列的计算)1、等差数列{}n a 中,1051=+a a ,74=a ,则数列{}n a 的通项公式为=n a ___________2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10104-=+a a ,03=S ,则n S =_________3、在等差数列{}n a 中,已知1684=+a a ,则该数列前11项的和=11S _____________4、等差数列{}n a 共有100项,已知前10项和为10,后10项的和为100,则数列{}n a 所有项的和=100S ________5、在等差数列{}n a 中,621118+=a a ,则数列{}n a 前9项和=9S ___________交流解题感悟:例题三:(函数思想在数列中的应用)1、已知等差数列{}n a 满足202=a ,46-=a ,求数列{}n a 前n 项和n S 的最大值为_____2、设数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,99741=++a a a ,93852=++a a a ,若对于任意的正整数n 都有k n S S ≤成立,则k 的值为____________3、已知数列{}n a 满足331=a ,n a a n n 21=-+则=na n_________ 交流解题感悟: 四) 链接高考:(2013新课标卷1)(16)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知010=S ,2515=S ,则n n S 的最小值为 。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练):3.2 导数的应用(一)一、选择题1.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则下列图像不可能...为y=f(x)的图像是( )A.B.C.D.解析:设F(x)=f(x)·e x,则F′(x)=e x[f′(x)+f(x)].因为x=-1是F(x)的一个极值点,所以F′(-1)=0,得出f′(-1)+f(-1)=0,在选项D中,由图像观察得到f(-1)>0,f′(-1)>0,所以f(-1)+f′(-1)>0与f′(-1)+f (-1)=0矛盾,故选D.答案:D2.若a >0,b >0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx +2在x =1处有极值,则ab 的最大值等于( )A .2B .3C .6D .9 解析:∵f ′(x )=12x 2-2ax -2b , ∵Δ=4a 2+96b >0,又x =1是极值点, ∴f ′(1)=12-2a -2b =0,即a +b =6. ∴ab ≤a +b24=9,当且仅当a =b 时“=”成立,所以ab 的最大值为9,故选D.答案:D3.(2013·济宁模拟)若函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( )A .(0,1)B .(-∞,1)C .(0,+∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 解析:由f ′(x )=3x 2-6b =0,得x =±2b (b >0), ∴0<2b <1,∴0<b <12.答案:D4.已知对任意实数x ,都有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时( )A .f ′(x )>0,g ′(x )>0B .f ′(x )>0,g ′(x )<0C .f ′(x )<0,g ′(x )>0D .f ′(x )<0,g ′(x )<0解析:由题意知,f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,即x >0时,f (x )是增函数,g (x )是增函数,所以x <0时,f (x )是增函数,g (x )是减函数,即x <0时,f ′(x )>0,g ′(x )<0.答案:B5.(2013·德州联考)已知y =f (x )是定义在R 上的函数,且f (1)=1,f ′(x )>1,则f (x )>x 的解集是( )A .(0,1)B .(-1,0)∪(0,1)C .(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:令F (x )=f (x )-x ,则F ′(x )=f ′(x )-1>0,所以F (x )是增函数,故易得F (x )>F (1)的解集,即f (x )>x 的解集是(1,+∞).答案:C6.(2013·烟台质检)已知函数f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1),如果f (1-a )+f (1-a 2)<0成立,则实数a 的取值范围为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(-2,-2)D .(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:∵f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1), ∴f ′(x )=4+3cos x >0在x ∈(-1,1)上恒成立. ∴f (x )在(-1,1)上是增函数.又f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1)是奇函数,∴不等式f (1-a )+f (1-a 2)<0可化为f (1-a )<f (a 2-1). 从而可知,a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,1-a <a 2-1,解得1<a < 2.答案:B 二、填空题7.若函数y =a (x 3-x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33上为减函数,则a 的取值范围是__________. 解析:y ′=a (3x 2-1),∵函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33上为减函数, ∴y ′≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33上恒成立.∵3x 2-1<0,∴a ≥0. 当a =0时,函数为常数函数,不合题意,∴a >0. 答案:a >08.已知函数f (x )=x 3-3a 2x +a (a >0)的极大值为正数,极小值为负数,则a 的取值范围是__________.解析:f ′(x )=3x 2-3a 2=3(x +a )(x -a ),由f ′(x )<0,得-a <x <a .∴f (x )在区间(-∞,-a )内递增,在区间[-a ,a ]内递减,在区间[a ,+∞)内递增,极大值为f (-a )=2a 3+a =a (2a 2+1)>0,①极小值为f (a )=a (1-2a 2)<0,② 由①②得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎪⎫22,+∞ 9.(2013·绵阳模拟)下图是函数y =f (x )的导函数的图像,给出下面四个判断.①f (x )在区间[-2,-1]上是增函数; ②x =-1是f (x )的极小值点;③f (x )在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x =3是f (x )的极小值点.其中,所有正确判断的序号是__________. 解析:由函数y =f (x )的导函数的图像可知:(1)f (x )在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数; (2)f (x )在x =-1处取得极小值,在x =2处取得极大值. 故②③正确. 答案:②③ 三、解答题10.设a >0,讨论函数f (x )=ln x +a (1-a )x 2-2(1-a )x 的单调性. 解析:由题意知x >0.当a =1时,f (x )=ln x ,其在(0,+∞)上为增函数. 当a ≠1时,f ′(x )=1x+2a (1-a )x -2(1-a )=2a -a x 2--a x +1x,令f ′(x )=0得2a (1-a )x 2-2(1-a )x +1=0. 由Δ=4(1-a )2-8a (1-a )=0得a =13.(1)当0<a <13时,2a (1-a )x 2-2(1-a )x +1=0的判别式Δ>0,两根分别为x 1=1-a --a -3a 2a -a ,x 2=1-a +-a -3a2a -a.又[-a-3a]2-(1-a )2=2a (a -1)<0,所以x 1>0且x 2>x 1.所以当0<x <x 1或x >x 2时,f ′(x )>0;当x 1<x <x 2时,f ′(x )<0.f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,1-a --a -3a2a -a , ⎝⎛⎭⎪⎫1-a +-a -3a2a -a ,+∞上为增函数, 在⎝⎛⎭⎪⎫1-a --a -3a2a -a ,1-a +-a -3a 2a -a上为减函数. (2)当a =13时,f ′(x )≥0,f (x )在(0,+∞)上为增函数.(3)当13<a <1时,f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上为增函数.(4)当a >1时,x 1>0,x 2=1-a +-a -3a 2a -a =a -1--a -3aa -a<0,故当0<x <x 1时,f ′(x )>0;当x >x 1时,f ′(x )<0.f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,1-a --a -3a2a -a上为增函数, 在⎝⎛⎭⎪⎫1-a --a -3a2a -a ,+∞上为减函数.综上可知:(1)当0<a <13时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1-a --a -3a2a -a ,⎝⎛⎭⎪⎫1-a +-a -3a2a -a ,+∞上为增函数,在 ⎝⎛⎭⎪⎫1-a --a -3a2a -a ,1-a +-a -3a 2a -a上为减函数; (2)当13≤a ≤1时,f (x )在(0,+∞)上为增函数;(3)当a >1时,f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,1-a --a-3a2a -a上为增函数,在⎝⎛⎭⎪⎫1-a --a -3a2a -a ,+∞上为减函数.11.设f (x )=ex1+ax 2,其中a 为正实数.(1)当a =43时,求f (x )的极值点;(2)若f (x )为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 解析:对f (x )求导得f ′(x )=e x1+ax 2-2ax+ax.①(1)当a =43时,令f ′(x )=0,则4x 2-8x +3=0,解得x 1=32,x 2=12.综合①,可知所以,x 1=2是极小值点,x 2=2是极大值点.(2)若f (x )为R 上的单调函数,则f ′(x )在R 上不变号,结合①与条件a >0,知ax2-2ax +1≥0在R 上恒成立,因此Δ=4a 2-4a =4a (a -1)≤0,由此并结合a >0,知0<a ≤1.12.(2013·安徽名校联考)函数f (x )=ax 2+2x +1,g (x )=ln x . (1)设F (x )=f (x )-g (x ),求F (x )有两个极值点的充要条件; (2)求证:当a ≥0时,不等式f (x )≥g (x )恒成立. 解析:(1)函数f (x )=ax 2+2x +1,g (x )=ln x .∴F (x )=f (x )-g (x )=ax 2+2x +1-ln x ,其定义域为(0,+∞). ∴F ′(x )=2ax +2-1x =2ax 2+2x -1x.∴F (x )有两个极值点⇔方程2ax 2+2x -1=0有两个不等正根.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4+8a >0,x 1+x 2=-1a >0,x 1·x 2=-12a>0⇒-12<a <0.∴F (x )有两个极值点的充要条件是-12<a <0.(2)不等式f (x )≥g (x )恒成立⇔F (x )=ax 2+2x +1-ln x ≥0在(0,+∞)上恒成立,即a ≥ln x -x +x2在(0,+∞)上恒成立,令h (x )=ln x -(2x +1).h ′(x )=1x -2=1-2x x ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时,h ′(x )>0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞时,h ′(x )<0.∴x =12时,h (x )max =ln 12-2<0.故x ∈(0,+∞),都有ln x -x +x2<0.所以当a ≥0时,a ≥ln x -x +x2在(0,+∞)上恒成立.即不等式f (x )≥g (x )在(0,+∞)上恒成立.。
14.5 离散型随机变量的均值与方差考纲要求理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.1.离散型随机变量X 的均值与方差若离散型随机变量(1)均值(数学期望称____________________为离散型随机变量X 的均值或数学期望,记为E (X )或μ,即E (X )=_________________________________________.(2)方差称______________________________为离散型随机变量X 的方差,记为V (X )或σ2,即V (X )=σ2=________________________________________.(3)标准差随机变量X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差,即σ=_______________. 2.两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差(1)若X ~01分布,则E (X )=________,V (X )=________.(2)若X ~H (n ,M ,N ),则E (X )=_________________,V (X )=____________________. (3)若X ~B (n ,p ),则E (X )=_______________,V (X )=__________.1.随机变量ξ该随机变量ξ2.已知X设Y =2X +3,则E (3求a ,b ,c 的值.4.袋中有20号的有n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、均值和方差;(2)若η=aξ+b ,E (η)=1,V (η)=11,试求a ,b 的值.1.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的?提示:随机变量的均值、方差是一个常数,样本均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.2.你能证明V (aX +b )=a 2V (X )吗? 提示:∵E (aX +b )=aE (X )+b ,∴V (aX +b )=∑ni =1(ax i +b -aE (X )-b )2p i=∑ni =1(ax i -aE (X ))2p i =a 2∑ni =1(x i -E (x ))2p i =a 2V (X ).一、离散型随机变量的均值与方差【例1】(2012届某某期末)将三个小球随机地投入编号1,2,3,4的4个盒子中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制),求:(1)第1个盒子为空盒的概率;(2)小球最多的盒子中小球的个数X 的概率分布和数学期望. 方法提炼求数学期望、方差的步骤:(1)求随机变量的概率分布;(2)利用定义或性质求数学期望或方差.请做针对训练1二、数学期望与方差的应用【例2】 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为X .(1)求X 的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?方法提炼(1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率.(2)均值与方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般是先分析比较均值,若均值相同,再用方差来决定.请做针对训练2从近两年的高考试题来看,离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,题型为解答题,属中档题,常与排列组合、概率等知识综合命题,既考查基本概念,又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力.1.袋中有同样的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,求:(1)随机变量ξ的概率分布;(2)随机变量ξ的数学期望与方差. 2.在某一有奖销售中,每10万份奖券中有1个一等奖(奖金10 000元),2个二等奖(每个奖金5 000元),500个三等奖(每个奖金100元),10 000个四等奖(每个奖金5元),试求每X 奖券奖金的期望值.如果每X 奖券3元,销售一X 平均获利多少(假设所有奖券全部售完)?参考答案基础梳理自测 知识梳理1.(1)x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n (2)(x 1-μ)2p 1+(x 2-μ)2p 2+…+(x n -μ)2p n (x 1-μ)2p 1+(x 2-μ)2p 2+…+(x n -μ)2p n (3)V X2.(1)pp (1-p ) (2)nM NnM N -M N -nN 2N -1(3)npnp (1-p ) 基础自测1.8.2 解析:由题意知E (ξ)=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2. 2.73解析:E (X )=-12+16=-13,E (Y )=E (2X +3)=2E (X )+3=-23+3=73. 3.解:由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c +112=1,-a +c +16=0,a ·1+c ·1+4·112=1.解得a =512,b =14,c =14.4.解:(1)ξξ0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15∴E (ξ)=0×12+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5,V (ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.(2)由V (η)=a 2V (ξ),得a 2×2.75=11,即a =±2. 又E (η)=aE (ξ)+b ,∴当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =4即为所求.考点探究突破【例1】解:(1)任意投放共有43=64种方法,若第1个盒子为空盒,则小球可随机地投入编号2,3,4的3个盒子中,有33=27种方法,故所求的概率为2764.(2)小球最多的盒子中小球的个数X 的取值为1,2,3.则P (X =1)=A 3443=38;P (X =2)=C 24C 23A 2243=916;P (X =3)=C 1443=116.故X 的概率分布如表所示X 1 2 3所以X 的数学期望为E (X )=1×8+2×16+3×16=16.【例2】解:(1)X 的所有可能取值有6,2,1,-2.P (X =6)=126200=0.63,P (X =2)=50200=0.25,P (X =1)=20200=0.1,P (X =-2)=4200=0.02.故X 的分布列为(2)E (X )万元). (3)设技术革新后的三等品率为x ,则此时1件产品的平均利润为E (X )=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x )+x +(-2)×0.01=4.76-x (0≤x ≤0.29),依题意,知E (X )≥4.73,即4.76-x ≥4.73,解得x ≤0.03.所以三等品率最多为3%.演练巩固提升 针对训练1.解:(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,P (ξ=2)=C 12C 13C 12C 15C 14=35;P (ξ=3)=A 22C 13+A 23C 12C 15C 14C 13=310;P (ξ=4)=A 33C 12C 15C 14C 13C 12=110,所以随机变量ξ(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)=2×5+3×10+4×10=2;随机变量ξ的方差V (ξ)=(2-2.5)2×35+(3-2.5)2×310+(4-2.5)2×110=920.2所以E (X )=10 000×100 000+5 000×100 000+100×100 000+5×100 000+0×89 497100 000=1.20(元),故每X 获利1.80元.。
第6讲离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考】1.在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.考查两点分布和超几何分布的简单应用.对应学生177考点梳理1.离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1,x2,…,x i,…x n,X取每一个值x i(i =1,2,…,n)的概率为P(X=x i)=p i,则称表为随机变量X(4)分布列的两个性质①p i≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+p n=_1_.2.两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1,q=1-p X服从参数为p的两点分布.3.超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为:P(X=k)=C k M C n-kN-MC n N(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,则称分布列【助学·微博】一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格.第一行数据是随机变量的取值;第二行数据是第一行数据代表事件的概率.利用离散型随机变量的分布列,很容易求出其期望和方差等特征值.两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内;(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列;(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列;(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列.考点自测1.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是().A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率解析A中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量;B、D中的概率也是一个定值;而C中取到的次品数可能是0,1,2,是随机变量.答案 C2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于().A.0 B.12 C.23 D.13解析设X的分布列为即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p.由p+2p=1,得p=1 3.答案 D3.(2013·银川模拟)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为().A.27220 B.2755 C.1220 D.2125解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=C23C19C312=27220.答案 A4.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为().A.25 B.10 C.7 D.6解析X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.答案 C5.(人教A版教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠,若从中任取1只,记取到的白鼠的标号为Y,则随机变量Y的分布列是________.解析Y的所有可能值为1,2,3,4P (Y =1)=15,P (Y =2)=15, P (Y =3)=25,P (Y =4)=15. ∴Y 的分布列为答案对应学生178考向一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】► (2012·广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的分布列及数学期望.[审题视点] (1)抓住总面积和为1即可算得x 的值.(2)ξ的可能取值为0,1,2,算出其概率,即可列出ξ的分布列,从而求出ξ的期望.解 (1)由频率分布直方图知(0.006×3+0.01+x +0.054)×10=1,解得x =0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12,成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50=3. 因此ξ可能取0,1,2三个值.P (ξ=0)=C 29C 212=611,P (ξ=1)=C 19·C 13C 212=922,P (ξ=2)=C 23C 212=122.ξ的分布列为故E (ξ)=0×611+1×922+2×122=12.求离散型随机变量的分布列的步骤:①确定离散型随机变量所有的可能取值,以及取这些值时的意义;②尽量寻求计算概率时的普遍规律;③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质.【训练1】 (2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组 乙组⎪⎪⎪⎪⎪⎪9 9 1 1 01 9 8 9分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列;(2)每植一棵树可获10元,求这两名同学获得钱数的数学期望.解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4=16,这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17,18,19,20,21, P (Y =17)=216=18;P (Y =18)=416=14 P (Y =19)=416=14;P (Y =20)=416=14P(Y=21)=216=1 8则随机变量Y的分布列是:(2)由(1)知E(Y)=178+184+194+204+218=19,设这名同学获得钱数为X元,则X=10Y,则E(X)=10E(Y)=190.考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).[审题视点] 本题是一道有关古典概型的题目,对变量的取值要做到不重不漏,计算要准确.解(1)由题意,得X取3,4,5,6,且P(X=3)=C35C39=542,P(X=4)=C14·C25C39=1021,P(X=5)=C24·C15C39=514,P(X=6)=C34C39=121,所以X的分布列为(2)由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=13 3.求随机变量分布列的关键是概率的计算,概率计算的关键是理清事件之间的关系,把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系,求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列.【训练2】(2012·安徽)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束,试题库中现共有n+m道试题,其中有n 道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类型试题的数量.(1)求X=n+2的概率;(2)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望).解以A i表示第i次调题调用到A类型试题,i=1,2.(1)P(X=n+2)=P(A1A2)=nm+n·n+1m+n+2=n(n+1)(m+n)(m+n+2).(2)X的可能取值为n,n+1,n+2.P(X=n)=P(A1A2)=nn+n·nn+n=14,P(X=n+1)=P(A1A2)+P(A1A2)=nn+n·n+1n+n+2+nn+n·nn+n=12,P(X=n+2)=P(A1A2)=nn+n·n+1n+n+2=14,从而X的分布列是E(X)=n×14+(n+1)×12+(n+2)×14=n+1.考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列【例3】►(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ).[审题视点] (1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程,通过解方程得出结论;(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列,进而求出期望值.解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么 1-P (C )=1-110·p =4950,解得p =15. (2)由题意,P (ξ=0)=C03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103=11 000,P (ξ=1)=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-110=271 000, P (ξ=2)=C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1102=2431 000,P (ξ=3)=C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1103=7291 000.所以,随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξE (ξ)=0×11 000+1×271 000+2×2431 000+3×7291 000=2710.解决随机变量分布列问题时,首先应先根据随机变量的实际意义,利用试验结果,找出随机变量的取值,再正确求出随机变量的各个取值对应的概率,同时要做到计算准确无误.【训练3】 (2013·中山期末)某校对新扩建的校园进行绿化,移栽香樟和桂花两种大树各2株,若香樟的成活率为45,桂花的成活率为34,假设每棵树成活与否是相互独立的.(1)求两种树各成活一株的概率;(2)设ξ表示成活的株数,求ξ的分布列及数学期望.解 (1)记“香樟成活一株”为事件A ,“桂花成活一株”为事件B .则事件“两种树各成活一株”即为事件A ·B .P (A )=C 12·45×15=825,P (B )=C 12·34×14=38,由于事件A 与B 相互独立,因此,P (A ·B )=P (A )·P (B )=325.(2)ξ表示成活的株数,因此ξ可能的取值有0,1,2,3,4. P (ξ=0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫142=1400;P (ξ=1)=C 12×45×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫142+C 12×34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫152=7200; P (ξ=2)=325+⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫142+⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫342=73400;P (ξ=3)=C 12·45×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫342+C 12·34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫452=2150; P (ξ=4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342=144400=925.ξ的分布列为因此,E (ξ)=0×1400+1×7200+2×73400+3×2150+4×925=3.1.对应学生179规范解答16——求解离散型随机变量分布列的答题技巧【命题研究】 通过对近三年高考试题分析可以看出,本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算,以及概率统计在实际问题中的应用,题型以解答题为主.预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景,结合常见的概率事件,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法,一般属中等难度题目.【真题探究】► (本小题满分13分)(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用X ,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X -Y |,求随机变量ξ的分布列与数学期望 E (ξ).[教你审题] (1)本题是一个古典概型,根据上述规则可分别求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率,然后再利用二项分布的概率公式求解.(2)4个人中参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数含“3人参加甲游戏”和“4人全部参加甲游戏”两个互斥事件,利用二项分布和互斥事件的概率公式可求解.(3)分析出ξ的所有可能取值,求出各值对应的概率,建立概率分布表,利用期望的定义式求解数学期望.[规范解答] 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i =0,1,2,3,4),则P (A i )=C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234-i.(2分) (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)=C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232=827.(4分)(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ,则B =A 3∪A 4,(5分) 由于A 3与A 4互斥,故P (B )=P (A 3)+P (A 4)=C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23+C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134=19.(7分)所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(8分)(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A 1与A 3互斥,A 0与A 4互斥,故P (ξ=0)=P (A 2)=827,P (ξ=2)=P (A 1)+P (A 3)=4081, P (ξ=4)=P (A 0)+P (A 4)=1781.(10分) 所以ξ的分布列是(12分)随机变量ξ的数学期望E (ξ)=0×827+2×4081+4×1781=14881.(13分) [阅卷老师手记] 掌握离散型随机变量的分布列,需注意(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X 所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是:上为“事件”,下为事件发生的概率,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. (3)公式运用正确和计算准确是不失分的关键.概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现,其解题的一般步骤为:第一步:理解以实际问题为背景的概率问题的题意,确定离散型随机变量的所有可能值;第二步:利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;第三步:画出随机变量的分布列;第四步:明确规范表述结论.【试一试】(2012·江西)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望E(V).解(1)从6个点中随机选取3个点总共有C36=20(种)取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C13C34=12(种),因此V=0的概率为P(V=0)=12 20=3 5.(2)V的所有可能取值为0,16,13,23,43,因此V的分布列为由VE(V)=0×35+16×120+13×320+23×320+43×120=940.对应学生339A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如果X 是一个离散型随机变量,那么下列命题中假命题是( )..X 取每个可能值的概率是非负实数 .X 取所有可能值的概率之和为1.X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 .X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析 由离散型随机变量的性质,得p i ≥0,i =1,2,…n ,且 i =1np i =1.答案2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i2a(i =1,2,3),则P (X =2)等于 ( ). A.19B.16C.13D.14解析 ∵12a +22a +32a =1,∴a =3,P (X =2)=22×3=13.答案 C3.若随机变量X 的概率分布列为且p 1=12p 2,则p 1等于( ). A.12B.13C.14D.16解析 由p 1+p 2=1且p 2=2p 1可解得p 1=13. 答案 B4.已知随机变量X 的分布列为:P (X =k )=12k ,k =1,2,…,则P (2<X ≤4)等于( ). A.316B.14C.116D.516解析 P (2<X ≤4)=P (X =3)+P (X =4)=123+124=316. 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2012·上海虹口3月模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下,且E (ξ)=6.3,则a =________.解析 由分布列性质知:0.5+0.1+b =1,∴b =0.4.∴E (ξ)=4×0.5+a ×0.1+9×0.4=6.3.∴a =7. 答案 76.(2013·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数η的分布列为________.解析 η的所有可能值为0,1,2.P (η=0)=C 12C 12C 14C 14=14,P (η=1)=2C 12C 12C 14C 14=12,P (η=2)=C 12C 12C 14C 14=14.∴η的分布列为答案三、解答题(共25分)7.(12分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求: (1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列.解 (1)该顾客中奖,说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张,由于是等可能地抽取,所以该顾客中奖的概率P =C 14C 16+C 24C 210=3045=23.⎝ ⎛⎭⎪⎫或用间接法,即P =1-C 26C 210=1-1545=23. (2)依题意可知,X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元),且P (X =0)=C 04C 26C 210=13,P (X =10)=C 13C 16C 210=25,P (X =20)=C 23C 210=115,P (X =50)=C 11C 16C 210=215,P (X =60)=C 11C 13C 210=115.所以X 的分布列为:8. (13分)(2012·江苏)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0 ;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1. (1)求概率P (ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E (ξ).解 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C 23对相交棱,因此P (ξ=0)=8C 23C 212=8×366=411.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或2,其中距离为2的共有6对,故P (ξ=2)=6C 212=111,于是P (ξ=1)=1-P (ξ=0)-P (ξ=2)=1-411-111=611, 所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)=1×611+2B 级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2013·长沙二模)若离散型随机变量X 的分布列为:则常数c 的值为( ). A.23或13B.23 C.13D .1解析⎩⎪⎨⎪⎧9c 2-c ≥0,3-8c ≥0,9c 2-c +3-8c =1,∴c =13.答案 C2.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P (X =12)等于( ).A .C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B .C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C .C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D .C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析 “X =12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球,2次取到白球,因此P (X =12)=38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582=C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2013·郑州调研)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X -3|=1)=解析 由13+m +14+16=1,解得m =14,P (|X -3|=1)=P (X =2)+P (X =4)=14+16=512. 答案 5124.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X 的所有可能取值是________.解析 X =-1,甲抢到一题但答错了,或抢到三题只答对一题;X =0,甲没抢到题,或甲抢到2题,但答时一对一错;X =1时,甲抢到1题且答对或甲抢到3题,且一错两对;X =2时,甲抢到2题均答对;X =3时,甲抢到3题均答对. 答案 -1,0,1,2,3 三、解答题(共25分)5.(12分)(2013·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23. (1)求该高中获得冠军个数X 的分布列;(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分η的分布列.解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3,取相应值的概率分别为 P (X =0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23=19,P (X =1)=12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13×23=718,P (X =2)=12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×13×23+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13×23=718,P (X =3)=12×13×23=19. ∴X 的分布列为(2)∵得分η=5X +∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴η的可能取值为6,9,12,15,取相应值的概率分别为 P (η=6)=P (X =0)=19,P (η=9)=P (X =1)=718, P (η=12)=P (X =2)=718,P (η=15)=P (X =3)=19. ∴得分η的分布列为6. (13分)某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列,并求李明在一年内领到驾照的概率.解X的取值分别为1,2,3,4.X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)=0.6.X=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.X=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.∴李明实际参加考试次数X的分布列为李明在一年内领到驾照的概率为1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练):12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1.(2013·浙江联考)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为ξ,则E ξ为( )A .1B .1.5C .2D .2.5解析:ξ可取0,1,2,3,P (ξ=0)=C 36C 36C 36=120,P (ξ=1)=C 16C 25C 23C 36C 36=920,P (ξ=3)=C 36C 36C 36=120,P (ξ=2)=920,故E ξ=0×120+1×920+2×920+3×120=1.5. 答案:B2.(2013·深圳调研)设随机变量X ~N (1,32),若P (X ≤c )=P (X >c ),则c 等于( ) A .0 B .1 C .2 D .3解析:由正态分布的对称性知,c 为正态曲线对称轴对应值,故c =1. 答案:B3.(2013·眉山诊断)在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中.测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(0,1)内取值的概率为( )A .0.2B .0.4C .0.6D .0.3解析:正态分布曲线关于μ=1对称,ξ在(0,1)与(1, 2)内取值的概率相等,为0.4. 答案:B4.若X 是离散型随机变量,P (X =x 1)=23,P (X =x 2)=13,且x 1<x 2,又已知EX =43,DX=29,则x 1+x 2的值为( ) A.53 B.73 C .3 D.113解析:分析已知条件,利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得: ⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23+x 2·13=43,⎝⎛⎭⎪⎫x 1-432·23+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-432·13=29,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=53,x 2=23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1,x 2=2.又∵x 1<x 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1,x 2=2.∴x 1+x 2=3. 答案:C5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则2a +13b的最小值为( )A.323 B.283 C.143 D.163解析:由已知,得3a +2b +0×c =2, 即3a +2b =2,其中0<a <23,0<b <1.又2a +13b =3a +2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +13b =3+13+2b a +a 2b ≥103+2 2b a ·a 2b =163, 当且仅当2b a =a 2b ,即a =2b 时取“等号”,2a +13b 的最小值为163.答案:D6.(2012·上海)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值x 1+x 22、x 2+x 32、x 3+x 42、x 4+x 52、x 5+x 12的概率也均为0.2.若记D ξ1、D ξ2分别为ξ1、ξ2的方差,则( )A .D ξ1>D ξ2B .D ξ1=D ξ2C .D ξ1<D ξ2D .D ξ1与D ξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 解析:ξ1的分布列∴E (ξ1)=0.2(x 125D (ξ1)=0.2[(x 1-E (ξ1))2+…+(x 5-E (ξ1))2]=0.2[(x 21+x 22+…+x 25)-2E (ξ1)(x 1+x 2+…+x 5)+5(E (ξ1))2].①ξ2的分布列为E (ξ2)=125D (ξ2)=0.2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22-E ξ22+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5+x 12-E ξ52 =0.2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21+…+x 252+x 1x 2+…+x 1x 52-⎦⎤2E ξ2x 1+x 2+…+x 5+5E ξ22.②比较①式与②式,由均值不等式x 21+x 22>2x 1x 2, 可得D (ξ1)>D (ξ2).本题也可利用D (ξ)的含义判定. 答案:A 二、填空题7.(2012·课标全国)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________.解析:因为各元件的使用寿命超过1000小时的概率为12,所以P =C 1212×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×12+C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12=38. 答案:388.(2013·绥化质检)有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则E ξ=__________.解析:ξ的取值为0,1,2,3,则P (ξ=0)=C 312C 316=1128;P (ξ=1)=C 212C 14C 316=3370;P (ξ=2)=C 112C 24C 316=970;P (ξ=3)=C 34C 316=1140.∴E ξ=0×1128+1×3370+2×970+3×1140=34.答案:349.(2013·吉林通化调研)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为__________.解析:∵ξ服从正态分布(1,σ2),∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4+0.4=0.8. 答案:0.8 三、解答题10.(2012·山东)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解析:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A ,“该射手射击甲靶命中”为事件B ,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ,由题意知P (B )=34,P (C )=P (D )=23,由于A =BC -D -+B -CD -+B -C -D , 根据事件的独立性和互斥性得P (A )=P (BC -D -+B -CD -+B -C -D )=P (BC -D -)+P (B -CD -)+P (B -C -D )=P (B )P (C -)P (D -)+P (B -)P (C )P (D -)+P (B -)P (C -)P (D )=34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23×23=736. (2)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X =0)=P (B -C -D -)=[1-P (B )][1-P (C )][1-P (D )]=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23=136, P (X =1)=P (BC -D -)=P (B )P (C -)P (D -)=34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23=112P (X =2)=P (B -CD -+B -C -D )=P (B -CD -)+P (B -C -D )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23×23=19, P (X =3)=P (BCD -+BC -D )=P (BCD -)+P (BC -D )=34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23+34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23×23 =13, P (X =4)=P (B -CD )=⎝⎛⎭⎪⎫1-34×23×23=19, P (X =5)=P (BCD )=34×23×23=13.故X 的分布列为所以EX =0×136+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=12.11.(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X ,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X -Y |,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.解析:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i =0,1,2,3,4),则P (A i )=C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234-i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)=C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232=827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B .则B =A 3∪A 4,由于A 3与A 4互斥,故P (B )=P (A 3)+P (A 4)=C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23+C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134=19.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥,A 0与A 4互斥,故P (ξ=0)=P (A 2)=827, P (ξ=2)=P (A 1)+P (A 3)=4081, P (ξ=4)=P (A 0)+P (A 4)=1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E ξ=0×27+2×81+4×81=81.12.(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.(1)确定x ,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过...2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)解析:(1)由已知得25+y +10=55,x +30=45, 所以x =15,y =20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得P (X =1)=15100=320, P (X =1.5)=30100=310, P (X =2)=25100=14, P (X =2.5)=20100=15, P (X =3)=10100=110. X 的分布列为2.5 X 的数学期望为E (X )=1×320+1.5×310+2×14+2.5×15+3×110=1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,X i (i =1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则P (A )=P (X 1=1,且X 2=1)+P (X 1=1且X 2=1.5)+P (X 1=1.5且X 2=1).由于各顾客的结算相互独立,且X 1,X 2的分布列都与X 的分布列相同,所以P (A )=P (X 1=1)×P (X 2=1)+P (X 1=1)×P (X 2=1.5)+P (X 1=1.5)×P (X 2=1)=320×320+320×310+310×320=980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.。