第3章命题逻辑的推理理论3.1 推理的形式结构一、有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
关于定义3.1还需要做以下几点说明：1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。
因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。
若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。
这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。
2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：(1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0.(2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1.(3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0.(4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1.由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
例3.1判断下列推理是否正确：(1){p,p→q}q(2){p,q→p}q解只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.表3.1对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。
在(1)中，当q 为假时，无论p是真是假，p∧(p→q)均为假，因而不会出现前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理正确。
而在(2)中，当q为假，p为真时，出现了前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理不正确。
二、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重言式。
证首先证明其必要性。
若A1,A2,…,A k推B的推理正确，则对于A1,A2,…,A k,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1∧A2∧…∧A k为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧A k )→B均为真，故它为重言式。
再证明其充分性。
若蕴涵式(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式，则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法：1．真值表法2．等值演算法3．主析取范式法下面用例子说明。
例3.2判断下面推理是否正确：(1)若a能被4整除，则a能被2整除；A能被4整除。
所以a能被2整除。
(2)若a能被4整除，则a能被2整除；A能被2整除。
所以a能被4整除。
(3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。
所以，她去游泳了。
(4)若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不去看电影了。
所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了30℃。
解解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号化。
然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。
(1)设p：a能被4整除。
q: a能被2整除。
前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：(p→q)∧p→q (3.1)由例3.1可知，此推理正确，即(p→q)∧p q。
(2)设p，q的含义同(1)。
前提：p→q，q结论：p推理的形式结构：(p→q)∧q→p (3.2)当然可以用真值表法、等值演算、主析取范式等方法来判断(3.2)式是否为重言式。
但在此推理中，容易看出01是(3.2)式的成假赋值，所以(2)推理不正确。
(3)设p：马芳下午看电影。
q：马芳下午去游泳。
前提：p∨q，┐p结论：q推理形式结构：((p∨q)∧┐p)→q (3.3)用等值演算法来判断(3.3)式是否为重言式。
((p∨q)∧p)→q┐((p∨q)∧┐p)∨q((┐p∧┐q)∨p)∨q((┐p∨p)∧(┐q∨p))∨q┐q∨p∨q1这说明(3.3)式为重言式，所以推理正确。
（4）设p：下午气温超过30℃。
q：王小燕去游泳。
r：王小燕去看电影。
前提：p→q，q→┐r结论：┐r→p推理的形式结构：((p→q)∧(q→┐r))→(┐r→p) (3.4)用主析取范式法判断(3.4)式是否为重言式。
((p→q)∧(q→┐r))→(┐r→p)┐((┐p∨q)∧(┐q∨┐r))∨(r∨p)((p∧┐q)∨(q∧r))∨r∨pr∨p (用两次吸收律)(p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r) ∨(p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧r) m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7（重排了序）可见(3.4)式不是重言式（主析取范式中少两个极小项m0，m2），所以推理不正确。
三、重言蕴涵式由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A B，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称1．A(A∨B) 附加律2.(A∧B) A 化简律3.(A→B)∧A B 假言推理4.(A→B)∧┐B┐A 拒取式5.(A∨B)∧┐B A 析取三段论6.(A→B)∧(B→C)(A→C) 假言三段论7.(A B)∧(B C)(A C) 等价三段论8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)9.(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C) 破坏性二难这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
3.2 自然推理系统P一、形式推理系统我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：（1）非空的字符表集，记作A(I)。
（2）A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作A X(I)。
（4）推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为<A(I),E(I),A X(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是I的形式语言系统，<A X(I),R(I)>为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类。
一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。
另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、自然推理系统PP是一个自然推理系统，因而没有公理。
故P只有三个部分。
定义3.3自然推理系统P定义如下：1．字母表（1）命题变项符号：p，q，r，…,p i，q i，r i，…（2）联结词符号：┐,∧,∨,→,（3）括号和逗号：( , )，，2．合式公式同定义1.63．推理规则（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
（4）假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧A B可知，B是A→B和A的有效结论。
由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。
用图式表示为如下形式：以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
（5）附加规则：（6）化简规则：（7）拒取式规则：（8）假言三段论规则：（9）析取三段论规则：（10）构造性二难推理：（11）破坏性二难推理规则：（12）合取引入规则：本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。
这就完成了P的定义。
三、P中的证明P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。
当然此结论也为P中公式。
例3.3在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s结论：r∧(p∨q)(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s结论：p→s解 (1)证明：①p→s 前提引入②┐s 前提引入③┐p ①②拒取式④p∨q 前提引入⑤q ③④析取三段论⑥q→r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理⑧r∧(p∨q) ⑦④合取此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。
(2)证明：①┐p∨q 前提引入②p→q ①置换③r∨┐q 前提引入④q→r ③置换⑤p→r ②④假言三段论⑥r→s 前提引入⑦p→s ⑤⑥假言三段论从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
例3.4在自然推理系统P中构造下面推理的证明：若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。
所以a是无理数。
解首先将简单命题符号化：设p：a是实数。
q：a是有理数。
r：a是无理数。
s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s结论：r证明：①p∧┐s 前提引入②p ①化简③┐s ①化简④p→(q∨r) 前提引入⑤q∨r ②④假言推理⑥┐s→┐q 前提引入⑦┐q ③⑥假言推理⑧r ⑤⑦析取三段论P中证明的两个常用技巧：1．附加前提证明法2．归谬法四、附加前提法有时推理的形式结构具有如下形式（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B) （3.5）（3.5）式中结论也为蕴涵式。
