下载文档原格式
数列知识点及常用解题方法归纳总结一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn ab n n n ⇔=+0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。
a d a a S n n n n 11000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133== 5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
数学中的数列知识点解析及解题技巧数列是数学中一个重要的概念，它在数学的各个领域都有广泛的应用。
本文将对数列的基本概念、分类以及解题技巧进行解析，帮助读者更好地理解和应用数列知识。
一、数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数，它由若干个数按照一定的顺序组成。
数列中的每个数叫做数列的项，用 a1, a2, a3, ... 表示，其中ai表示数列的第i个项。
当数列的每个相邻的项之间有相等的差值时，这个数列叫做等差数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n表示数列的第n个项。
当数列的每个相邻的项之间有相等的比值时，这个数列叫做等比数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n表示数列的第n个项。
二、数列的分类除了等差数列和等比数列，数列还有其他的分类。
常见的数列分类包括等差-等比混合数列、递推数列、等差级数和等比级数等。
等差-等比混合数列是由等差数列和等比数列的项构成的，通常可以通过找规律或使用递推公式进行求解。
递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或多项推出的数列。
常见的递推数列有斐波那契数列等。
等差级数是指等差数列的前n项和，用Sn表示。
等差级数的求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1是首项，an是末项，n表示项数。
等比级数是指等比数列的前n项和，用Sn表示。
等比级数的求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比，n表示项数。
三、解题技巧1. 找出数列的规律：数列解题的关键是找出数列的规律，可以通过观察数列的前几项来推测规律，或者利用已知的概念和公式进行分析。
2. 使用递推公式：当数列是递推数列时，可以通过递推公式来求解数列的任意项。
递推公式可以是线性递推或非线性递推。
3. 利用通项公式：当数列是等差数列或等比数列时，可以使用通项公式来求解数列的任意项。
初三数学复习数列与数学归纳法知识点总结一、数列概念与性质1. 数列的定义：数列是指按照一定规律排列的数的序列，可以用公式表示。
2. 通项公式与通项：通项公式是指数列中每一项与项号之间的关系，用数学关系式表示。
通项是指数列中的某一项，通常用字母表示。
3. 数列的分类：常数数列、等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的混合数列等等。
4. 等差数列的性质：（1）任意项与其前后两项的关系是等差数列的性质之一。
（2）公差为常数。
（3）前n项和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
5. 等比数列的性质：（1）任意项与其前后两项的关系是等比数列的性质之一。
（2）公比为常数。
（3）前n项和的公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
6. 等差数列与等比数列的关系：某数列同时满足等差和等比的要求，即为等差数列与等比数列的混合数列。
二、数列的求解1. 求通项公式：根据已知条件，观察数列的规律，并利用数列的性质或运算规律推导出通项公式。
2. 求任意项：利用通项公式，将已知的项号代入，即可求得任意项的值。
3. 求前n项和：使用等差数列或等比数列前n项和的公式，将已知的项数代入，即可求得前n项和的值。
三、数学归纳法1. 数学归纳法的基本思想：（1）证明基本步骤：- （归纳基）首先证明当n取某个特定值时命题正确。
- （归纳假设）假设当n取k时命题成立，即前提条件为假设命题对于k成立。
- （归纳步骤）利用归纳假设，证明当n取k+1时命题成立。
（2）结论：若在步骤（1）中基本步骤和归纳步骤都成立，那么命题对任意自然数n都成立。
2. 使用数学归纳法证明数列的性质：（1）以求证数列性质为目标；（2）首先证明性质对于第一项成立；（3）假设第k项满足性质，证明第k+1项也满足性质；（4）结论：该性质对于任意项都成立。
总结：数列与数学归纳法是初中数学中重要的知识点。
数列涉及到等差、等比等不同类型的数列，通过寻找规律和运用通项公式，可以求解数列中的任意项和前n项和。
数学初中必考数列与数学归纳法知识点解析与解题技巧分享数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，数列与数学归纳法作为数学的重要内容，在初中数学中必然会出现，并且是考试中的重点考点。
本文将为大家详细解析数列与数学归纳法的知识点，并分享一些解题技巧，以帮助同学们更好地应对考试。
一、数列的概念和分类数列是由一列按照一定规律排列的数所组成的，常用字母表示为a1, a2, a3...an，其中a1是数列的第一个数，an是数列的第n个数。
根据数列的规律和性质，数列可以分为等差数列、等比数列、等差数列的前 n 项和等比数列的前 n 项等。
1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差恒定。
设首项为a1，公差为d，那么第n项an可表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，an为等差数列的第n项。
2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比恒定。
设首项为a1，公比为q，那么第n项an可表示为：an = a1 * q^(n-1)。
其中，an为等比数列的第n项。
二、数学归纳法的概念和应用数学归纳法是一种用来证明数学命题的方法。
它的基本思想是：先证明命题对某个特殊的整数成立，然后再假设对某个特定的正整数k成立，并由此证明命题对k+1也成立。
按照这个思路循环下去，就可证明对于所有的正整数都成立。
1. 数学归纳法的步骤数学归纳法一般分为三个步骤：（1）证明基础步骤：证明当n为某个特定正整数时，命题成立。
（2）归纳假设：假设对于正整数k成立，即n=k时命题成立。
（3）归纳步骤：证明当n=k+1时，命题也成立。
2. 数学归纳法的应用举例数学归纳法在解题过程中应用广泛，以下是一道经典的基于数学归纳法的题目：题目：证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2解：首先，我们证明基础步骤成立，即当n=1时，等式左边等于1，右边等于1(1+1)/2，两边相等，命题成立。
其次，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
学习数学的基本概念和技巧数学作为一门科学，是研究数量、结构、空间以及变化规律的学科。
学习数学需要掌握一些基本概念和技巧，下面将为大家介绍一些重要的内容。
一、基本概念1. 数字和数的概念数字是表示数量的符号，包括0到9这十个基本数字，其他数字可以通过组合和排列表示。
而数是具体的概念，可以表示某个具体的数量，如1、2、3等。
2. 运算符和运算规则数学运算符包括加法、减法、乘法、除法等，通过运算符的组合和运算规则可以进行各种数学运算。
加法是两个数相加，减法是一个数减去另一个数，乘法是两个数相乘，除法是一个数除以另一个数。
3. 数学符号在数学中，有许多特定的符号表示特定的概念或运算，如加号“+”表示加法，减号“-”表示减法，乘号“×”表示乘法，除号“÷”表示除法，大于号“>”表示大于，小于号“<”表示小于等等。
掌握这些符号的含义和使用方法，有助于理解和解决数学问题。
二、基本技巧1. 灵活运用数字的性质数字有许多特定的性质，如偶数可以被2整除，奇数不能被2整除，任何数字与0相乘等于0等。
在解决数学问题时，可以根据数字的性质灵活运用，简化计算过程。
2. 强化基本的四则运算四则运算是数学的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
通过不断练习和巩固四则运算的基本技巧，可以提高解决数学问题的能力。
3. 善于分析和理解问题在解决数学问题时，要善于分析和理解问题的要求，找到问题的关键点，明确解题思路。
可以通过画图、列式、设变量等方法，将问题转化为数学模型，进而解决问题。
4. 注意计算的准确性在进行数学计算时，要注意计算的准确性，避免粗心导致的计算错误。
可以通过多次检查和验证结果的方法，确保计算的准确性。
5. 注重实际问题的应用数学是一门应用广泛的学科，可以应用于各个领域。
在学习数学时，要注重实际问题的应用，将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高数学的实际运用能力。
总结：学习数学的基本概念和技巧是掌握数学的重要基础。
三数人教版知识点总结
一、数的认识
1. 术语：数字、数、数字之间的大小比较
2. 数的读法：数字的读法、读0的注意事项
3. 数的写法：用数字写出常见的数字
4. 数的线段表示：从0到10的线段表示
5. 数与线段相联系：线段表示数，数表示线段
6. 数的多样表示：文字、阿拉伯数字、物体的多样表示
7. 一组数：用阿拉伯数字表示一组数
8. 数的比较：用数字比较大小
9. 数的不同面：数值与数的读法
10. 空数轴概念：认识空数轴，学习用空数轴表示数
二、数的运算
1. 数的加法：认识加法、认识加法符号、认识十以内的加法
2. 数的减法：认识减法、认识减法符号、认识十以内的减法
3. 一步加减法：认识一步加减法，练习一步加减法
4. 用两数加减法计算：不带进位加法、不带借位减法、一般加法、一般减法
5. 计算方法综合：加法与减法计算练习
6. 整体感：数的整体感，感受计算的整体感
三、整数
1. 整数的认识：认识整数，认识整数线段
2. 整数的相减：整数之间的相减
3. 整数的加法：整数间的加法计算
4. 整数计算的应用：解决实际问题，综合计算
5. 混合计算：整数计算的混合计算
6. 整数计算的规律：整数计算的规律性
7. 整数计算的特殊性：整数计算的特殊性
8. 计算方法的综合：综合整数计算的基本方法
以上便是三年级数学上册的知识点总结，这些知识点是孩子们在初学数学时需要掌握和理解的基础知识。
通过这些知识点的学习，孩子们可以对数学有一个较为全面的了解，为将来更复杂的数学运算打下坚实的基础。
希望孩子们能够认真学习这些知识点，提高数学能力，为将来的学习打下基础。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一.不等式的性质：1. 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 ：若aAb'CAd ，则a + c>b + d （若 a>b,c<：d ，则a-CAb-d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2. 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ，但不能相除；异向不等式可以相除， a b但不能相乘：若 a Ab A O, C AdA O ，贝U ac > bd （若 a 》b > 0,0 c c <d ，贝U - >—）； c d> b n或忆A% ；②若ac 2>■ be 2,则a >■ b ； ④若a <b cO,则-a其中正确的命题是（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知—1<x + y<1，1<x —y<3，贝U 3x —y 的取值范围是 _______（答：1<3x-y<7 ）；（3）已知a>b:>c ，且a +b +c = O,则-的取值范围是 a(答:二.不等式大小比较的常用方法：1. 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;2. 作商（常用于分数指数幕的代数式）；3. 分析法；4. 平方法；5. 分子（或分母）有理化；6. 利用函数的单调性；7. 寻找中间量或放缩法；8.图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
女口1 t +1（1）设 a A O 且aH1,t>O ，比较-log a t 和log a 的大小3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b 〉O ，贝U a n1 1 1 1 4 .若 ab >O ， a^b ，贝U — <—;若 ab <O ， a ；>b ，贝U — > —o 女口 a b a b（1）对于实数a,b,c 中，给出下列命题：①若a Ab,贝yac 2 Abe 2；③若a c b c O,则 a 2 >ab >b 2；⑤若a cb cO,则->a ；a ba⑦若c :>a Ab >O,则—— ⑥若acbcO,则ab >--- c -b贝 U a>O,bcO 。
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广 ：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为 终边。
2、象限角的概念 ：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示 ： （ 1） 终边与 终边相同 ( 的终边在 终边所在射线上 ) 2 k ( kZ ) ，注意： 相等的角的终边一定相同， 终边相同的角不一定相等 . 如与角 1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25；5）36（ 2） 终边与 终边共线 ( 的终边在 （ 3） 终边与 终边关于 x 轴对称 （ 4） 终边与 终边关于 y 轴对称 （ 5） 终边与 终边关于原点对称（ 6） 终边在 x 轴上的角可表示为：终边所在直线上 ) k ( kZ ) .2 k ( kZ ) .2 k ( k Z ) . 2k (kZ ) .k , kZ ；终边在 y 轴上的角可表示为：k, k Z ；终边在坐标轴上的角可表示为：k , kZ . 如的终边与的226终边关于直线 yx 对称，则＝____________。
（答： 2 k, kZ ）34、 与的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定 . 如若是第二象限角，2则 是第 _____象限角2（答：一、三）5. 弧长公式 ：l || R ，扇形面积公式： S1lR1| |R2，弧度 (1rad) 57.3 . 如221已知扇形 AOB 的周长是 6cm ，该扇形的中心角是1 弧度，求该扇形的面积。
6、任意角的三角函数的定义 ：设 是任意一个角， P ( x ,（答： 2 cm 2 ） y ) 是的终边上的任意一点（ 异 于 原点 ）， 它 与 原 点的 距 离 是 rx 2 y 20 ， 那 么 s i ny , c o s x ，rry , x 0，cotx 0) ， secr 0 ，cscr y 0。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围 （答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）A B C D二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤）3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
如 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函 数一．映射f : A →B 的概念。
在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
如：（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.二．函数f : A →B 是特殊的映射。
特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
如：（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）三．同一函数的概念。
构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）A B C D 二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤）3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则 A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0（答：B ）4．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。
（答：225）5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S Sk k =+。
如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n nAf n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如 设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nnb a ___________ （答：6287n n --）7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =. 四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a a a +-=(2)n ≥。
如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .（答：6n =，12q =或2）3．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a q q-=-。
如 （1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++（答：44）；（2）)(1010∑∑==n nk kn C 的值为__________（答：2046）； 特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4．等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a aa aq aq q q…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q aq a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。
（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a = .如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=（答：10）。
(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n nS S S S S -- ，…也是等比数列。
当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如 （1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o ga n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++= ，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4) 当1q ≠时，b aq qaq q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。
