小学数学数论讲解及练习题整数分拆之分类与计数真题

整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。

加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。

要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。

【例1】把63表示成几个连续数的和，试写出各种可能的表示法。

【例2】有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都要能够用“8”表示才好。

现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。

【例3】电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？【例4】(美国小学数学奥林匹克试题)美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。

现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币。

问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？〖答案〗【例1】本题需要将63拆成几个连续数的和，根据拆分项数进行分类讨论如下：⑴把63拆分成两个连续自然数：63=31+32由于相邻两个数的和是奇数（单数），凡是奇数都可以拆成两个连续自然数的和。

63是奇数。

⑵把63拆分成三个连续自然数：63÷3=21，所以63=20+21+22。

根据中间数公式：如果一个数能被3，5，7，…整除，都可以求出中间数，也就可以拆分成三个、五个、七个连续自然数的和。

⑶把63拆分成四个连续自然数：四个连续自然数：2偶、2奇，和为偶数，63是奇数不能拆分⑷把63拆分成五个连续自然数：63不是5的倍数所以不可能⑸把63拆分成六个连续自然数：63=8+9+10+11+12+13⑹把63拆分成六个连续自然数：63÷7=9，所以63=6+7+8+9+10+11+12。

⑺把63拆分成九个连续自然数：63÷9=7，所以63=3+4+5+6+7+8+9+10+11。

综上共有5种拆分方法。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题、把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之与n=ｎ１+n2+…＋nｍ(n1≥n2≥…≥nm≥1)的一种表示法,叫做n的一种分拆、对被加项及项数ｍ加以一些限制条件,就得到某种特别类型的分拆、早在中世纪,就有关于特别的整数分拆问题的研究。

１742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于６的偶数都能够写成两个奇质数的与”,这就是著名的哥德巴赫猜想,中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果、下面我们通过一些例题,简单介绍有关整数分拆的基本知识、一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法能够把6表示为若干个自然数之与？解:依照分拆的项数分别讨论如下:①把６分拆成一个自然数之与只有1种方式;②把6分拆成两个自然数之与有3种方式6=５+1=4＋2=3＋３;③把6分拆成3个自然数之与有3种方式6=4+1＋1=３+2＋1=2+2＋2;④把6分拆成4个自然数之与有2种方式６=3＋1+１+１=2＋2+1+1;⑤把6分拆成5个自然数之与只有1种方式6=２+1＋1＋１+１;⑥把６分拆成６个自然数之与只有1种方式6＝1+１+１＋1＋1＋1、因此,把6分拆成若干个自然数之与共有１+3+3＋２＋１+1＝11种不同的方法。

说明:本例是不加限制条件的分拆,称为无限制分拆,它是一类重要的分拆、例２有多少种方法能够把1994表示为两个自然数之与?解法1:采纳有限穷举法并考虑到加法交换律:１994＝1９９3+1＝１+1993=1992+２＝2＋1９9２=998＋９９６＝９96+998=9９７+997因此,一共有997种方法能够把1９94写成两个自然数之与。

解法2:构造加法算式:因此,只须考虑从上式右边的1993个加号“＋”中每次确定一个,并把其前、后的1分别相加,就能够得到一种分拆方法;再考虑到加法交换律,因此共有997种不同的分拆方式。

说明:应用本例的解法,能够得到一般性结论:把自然数n≥2表示为两个自然数之与,一共有k种不同的方式,其中例3有多少种方法能够把100表示为(有顺序的)3个自然数之与?(例如,把3+５+92与5+３＋92看作为１０0的不同的表示法)分析本题仍可运用例1的解法2中的处理方法、解:构造加法算式因此,考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个,并把它们所隔开的前、中、后三段的１分别相加,就能够得到一种分拆方法、因此,把100表示为3个自然数之与有种不同的方式。

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小学奥数数论习题：整数拆分问题
1、把60分拆成10个素数之和，要求其中的素数尽可能小，那么这个素数是几?
2、一个自然数，可以分拆成3个连续自然数之和，也可以分拆成4个连续自然数之和，还可以分拆成7个连续自然数之和。

这个自然数最小是几?
3、自然数2000能否拆成若干个连续自然数之和?如果能，有几种不同的拆法?
4、百货店要将铁钉包成10包，每包数量互不相等。

如果顾客来买不超过1000枚的任意个数的铁钉，都要能从这10包中适当选取而不用拆包，能否做到?若能，请给出一种包装方法：若不能，说明理由。

5、有一把长度为9厘米却没有刻度的尺子，能否在上面画3条刻度线，使得这把尺子可以直接测量出1---9厘米的所有整厘米长度?若能，共有几种不同的画法?
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【导语】海阔凭你跃，天⾼任你飞。

愿你信⼼满满，尽展聪明才智;妙笔⽣花，谱下锦绣第⼏篇。

学习的敌⼈是⾃⼰的知⾜，要使⾃⼰学⼀点东西，必需从不⾃满开始。

以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼆年级整数分拆练习题及答案【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇：分拆玻璃球】
问：把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？(此题是美国⼩学数学奥林匹克试题).
解：共6种。

15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
【第⼆篇：四数分拆15】
问：将15分拆成不⼤于9的四个不同的⾃然数之和，有多少种不同的分拆⽅式，请⼀⼀列出。

解：共6种.
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
【第三篇：分拆15】
问：将15分拆成三个不同的⾃然数相加之和，共有多少种不同的分拆⽅式，请⼀⼀列出.。

解：共12种。

小学奥数数论试题：整数的拆分
导读：本文小学奥数数论试题：整数的拆分，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元;为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费.在托运的50千克物品可拆分(按整数千克拆分)的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.
2. 把10拆分成三个数的和(0除外)有_____种拆分方法.
3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和?。

课题六：整数的分拆班级姓名【例1】甲和乙用玩具枪玩打靶游戏，见下图所示。

他们每人打两发子弹，甲共打中6环，乙共打中5环。

又知没有两发子弹环数相同，并且弹无虚发。

甲打中的是环和环，乙打中的是环和环。

【例2】有些人认为8是个吉利的数字，于是他们得到的东西都希望用数字“8”表示。

现有200块糖要分发给一些人，请制定一个吉利的分糖方案。

【例3】把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头数目都带有数字6，应怎样分？【例4】试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。

你能发现有什么规律吗？【例5】将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

【例6】将21分拆成不大于9的四个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

【例7】将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

【例8】（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组，如果不考虑数字排列的顺序，和为10的三元自然数组共有个。

1. 把100个苹果分成6堆，要求每堆中苹果的数目中都必须含有6这个数字，你怎样分？请列出等式。

2. 把1000个鸡蛋放到五只篮子里，每只篮子里的鸡蛋数都由数字8组成，你怎样分？请列出等式。

3. 七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果，现在要从这七只箱子里取出87个苹果，要求每只箱子里的苹果要么全部取走，要么不取。

你怎样取？请列出等式。

109个呢？4. 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

5. 把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有种不同的分法。

6. 美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。

现有10枚硬币，价值是1元，其中有3枚25分的硬币。

余下的硬币有种，每种各有多少枚？用等式表示。

1. 把100个苹果分成6堆，要求每堆中苹果的数目中都必须含有6这个数字，你怎样分？请列出等式。

整数的拆分1（一）基本概念整数的分拆是古老而又有趣的问题，整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆方式。

（二）基本方法有序枚举法：1.小到大—直接拆数2.从大到小—有具体要求要用到哪些数（三）解题步骤拆数之前：1.明确拆谁，2.拆成几个数，3.对数有什么样的要求，比如拆成几个不同的数之和，拆成大于3的几个数之和等等怎么拆数：1.分类，2.没类有序拆数，从小到大或者从大到小，3.列举所有拆数办法，计算有多少种拆数办法。

把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出。

1.1.23可以拆成8+_______的和。

2.2.100可以拆成23+56+________的和。

将15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？1.1.10个红球分成不同的3堆，并且其中一堆红球的个数为1个，一共________种分法。

2.2.将12分拆成三个不同的非零自然数相加之和，共有________种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

1.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果。

现在要从这七只箱子中取出87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走要么不取，你看怎么取？1.猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10 个野果，每只小猪至少摘2 个，按照妈妈的要求，它们最后会有________种不同的摘法？从1~9的九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？1.1.把整数20分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有________种不同的分拆方式？2.2.把整数10分拆成三个不同的不为0的自然数相加之和，共有________种不同的分拆方法？（1,1,8）是一个和为10的三元自然数组，如果不考虑数字排列顺序，即把（1,1,8）与（1,8,1）及（8,1,1）看成是相同的三元自然组。

那么和为10的自然数组共有多少个？1.1.把6 拆分成几个自然数相加的形式，共________种拆分办法。

小学数论知识学习：整数拆分习题二1、把50分拆成10个素数之和，要求其中最大的素数尽可能大，那么那个最大的素数是几？2、把17分拆成若干个互不相等的质数之和，这些质数的连乘积最大是多少？3、一个自然数，能够分拆成9个连续自然数之和，也能够分拆成10个连续自然数之和，还能够分拆成11个连续自然数之和。

那个自然数最小是几？4、100那个数最多能写成多少个不同的自然数之和？5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好为100元？6、有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币能构成的1分到1元之间的币值有多少种？7、是否有若干个连续自然数，它们的和恰好等于64？8、若干只外观相同的盒子摆成一排，小明把54个同样的小球放进这些盒子中后外出，小亮从每只盒子里取出一个小球，然后把这些取出的小球放进小球数最少的一个盒子中，再把盒子重新摆了一下。

小明回来后认真查看了每个盒子，却没有发觉有人动过小球和盒子。

那么一共有盒子多少只？9、2021以内凡能拆成两个或两个以上连续自然数之和的所有自然数之和是多少？单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

10、有一把长度为13厘米却没有刻度的尺子，能否在上面画4条刻度线，使得这把尺子能够直截了当测量出1---13厘米的所有整厘米长度？课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。

要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。

小学数学数论讲解及练习题整数分拆之最值与应用真题整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。

二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。

2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n；⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)；⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。

例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？2+3+4+5+6+7+8=35比30大5，故将5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。

【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。

【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。

它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。

这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个3的和）；②自然数=（若干个3的和）+2；③自然数=（若干个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。