初一角平分线的性质专题一

专题07 角的平分线性质知识网络重难突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP典例1 （2018春 泰安市期中）如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB=4，AC=3，则△ADF 周长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】B【详解】 因为∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，所以∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB.因为DF∥BC，所以∠EBC=∠BED，∠ECB=∠FEC，则DE=DC ，EF=FC ，则DF=DE+EF=DB+FC ，所以△ADF 周长=3+4=7.故选择B 项.典例2 （2019春 邯郸市期中）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【详解】 解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，故选D.典例3 （2018出 盐城市期末）如图，AOB ∠与AOC ∠互余，AOD ∠与AOC ∠互补，OC 平分BOD ∠，则AOB∠的度数是（）A.20︒B.22.5︒C.25︒D.30°【答案】B【详解】解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=45°，∴∠AOC=45°+∠AOB，∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），∴∠AOB=22.5°，故选：B．知识点二角平分线常考四种辅助线：⏹图中有角平分线，可向两边作垂线。

2023-11-06contents •角平分线的性质的基本概念•角平分线的性质的应用•角平分线的性质的证明方法•角平分线的性质的实践应用•总结与展望•参考文献目录01角平分线的性质的基本概念定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

记法$\overset{\frown}{AB}$表示角平分线，简记为“ABfrown”或“frownAB”。

角平分线的定义语言描述一般地，我们用“$\overset{\frown}{AB}$”表示从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线。

符号表示$\overset{\frown}{AB}$或简记为“ABfrown”或“frownAB”。

角平分线的表示方法•定理：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的性质定理02角平分线的性质的应用利用角平分线的性质证明等腰三角形总结词角平分线性质是等腰三角形证明中的重要工具。

详细描述利用角平分线的性质，可以证明等腰三角形的两个底角相等，从而得出等腰三角形的性质。

这是因为在角平分线上，从顶角到两边分角线上的点到两边的距离相等，所以两边的三角形内角和相等，从而得出两个底角相等。

总结词角平分线性质也是证明平行四边形的重要工具。

要点一要点二详细描述在平行四边形ABCD中，AC和BD是对角线，O是AC的中点。

利用角平分线的性质，可以证明三角形ABO和三角形CBO全等，从而得出三角形ABO是等腰三角形。

因为等腰三角形的底边上的中线也是高，所以可以得出ABO是等腰三角形的高，从而得出AB和BC平行且相等，证明了平行四边形的性质。

利用角平分线的性质证明平行四边形•总结词：角平分线性质还可以用于证明三角形内角和定理。

•详细描述：在三角形ABC中，AD是角平分线。

利用角平分线的性质，可以证明三角形ABD和三角形ACD全等，从而得出三角形ABD和ACD的面积相等。

专题12.3 角平分线的性质二、考点点拨与训练考点1：角平分线性质定理及其应用典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代数式表示)．（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC 的面积．方法或规律点拨本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．巩固练习1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．152B．203C．3D．1252．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，15AB =，则ABD ∆的面积是 （ ）A ．15B ．30C ．45D ．604．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a 、b 、c 三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）A ．三角形两边高线的交点处B ．三角形两边中线的交点处C ．∠α的平分线上D ．∠α和∠β的平分线的交点处5．（2020·河南省初三二模）如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．526．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm7．（2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.58．（2019·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，AD 平分∠BAC ，BA ：CA=2：3，AD 与BE 相交于点O ，若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1，则△ABC 的面积是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．119．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点I 为△ABC 三条角平分线的交点，则点I 到边AB 的距离为__________10．（2019·湖北省初二期中）如图，∠B =∠C =90°，DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，CB =8，则点M 到BC 的距离_______．11．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，ABC 的三边AB BC CA 、、 的长分别为405060、、，其三条角平分线交于点O ，则::ABOBCOCAOSSS=______．12．（2019·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB ＝6，BC ＝8.若S △ABC ＝21，则DE ＝________．13．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD =DF . （1）求证：CF=EB ．（2）若AF =2,EB =1,求AB 的长.14．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知OM 是AOB ∠的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C 、D 分别在射线OA 、OB 上，连接PC 、PD ． （1）发现问题如图①，当PC OA ⊥，PD OB ⊥时，则PC 与PD 的数量关系是________． （2）探究问题如图②，点C 、D 在射线OA 、OB 上滑动，且∠AOB =90°，∠OCP ＋∠ODP =180°，当PC PD ⊥时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．考点2：角平分线性质定理的逆定理及其应用典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的中垂线DE 交于点E ，过点E 作AC 边的垂线，垂足为N ，过点E 作AB 延长线的垂线，垂足为M.(1)求证：BM=CN ；(2)若，AB=2，AC=8，求BM 的长.方法或规律点拨本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用． 巩固练习1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确2．（2020·湖北省中考真题）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图，ABC 中，90C ∠=︒，点O 为ABC 的三条角平分线的交点，OD 垂直BC ，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 分别是垂足，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则OF =__________．4．（2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，点D 为斜边BC 上一点，且BD=BA ，过点D 作BC 的垂线交AC 于点E ．求证：点E 在∠ABC 的角平分线上．5．（2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC=CD ． （1）求证：△BCE ≌△DCF ； （2）求证：AB+AD=2AE.6．（2019·云龙县第三中学初二期中）如图，BE ⊥AC 、CF ⊥AB 于点E 、F ，BE 与CF 交于点D ，DE=DF ，连接AD ．求证：（1）∠FAD=∠EAD ； （2）BD=CD ．7．（2018·江苏省初二期中）已知：如图BAC ∠中，BF AC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为F 、E ，BF 交CE于点D ，BD CD =，求证：D 点在BAC ∠的平分线上．考点3：与角平分线有关的尺规作图典例：（2020·河北省中考真题）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长 C ．a 有最小限制，b 无限制 D ．0a ≥，12b DE <的长方法或规律点拨本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法． 巩固练习1．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业，OC 为AOB ∠的平分线，这样的作法依据是( )A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．（2020·河南省初二月考）如图，△ABC 中，点 E ，F ，G 分别在 BC ，AC ，AB 上，AE 与 BF 交于点 O ，且点 O 在 CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）A ．AE ，BF 是△ABC 的角平分线B ．点 O 到△ABC 三边的距离相等 C ．CG 也是△ABC 的一条角平分线D ．AO ＝BO ＝CO3．（2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在AOB ∠中，尺规作图如下：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD OE =；分别以点D 和点E 为圆心、大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点C ；作射线OC ，连结CE 、CD .下列结论不一定．．．成立的是( )A ． OE EC =B ．CE CD =C ．OEC ODC ∠=∠D ．ECO DCO ∠=∠4．（2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA ，OB 上分别截取线段OD ，OE ，使OD=OE ； ②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点C ； ③作射线OC ．则∠AOC 的大小为_________．5．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO 交BC 于点D ，若CD ＝3，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为_____．6．（2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：AOB∠求作：AOB∠的平分线做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在AOB∠的内部相交于点C（3）画射线OC，射线OC即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为AOB∠的平分线．7．（2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC 的延长线于点E．②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题：（1）求证：△ABC≌△DBC；（2）若∠A=100°，∠E=50°，求∠ACB的度数．8．（2019·广西壮族自治区初一期末）如图，平面内有A，B，C，D四点，请按要求完成：（1）尺规作图：连接AB ，作射线CD ，交AB 于点E ，作射线EF 平分CEB ∠．须保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明．（2）在（1）的条件下，若100AEC ∠=︒，求CEF ∠的度数．9．（2020·佛山市南海外国语学校初三月考）如图，已知在ABC 中，点D 在边AC 上，且AB AD =．（1）用尺规作图法，作BAC ∠的平分线AP ，交BC 于点P ；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接PD ．求证：PD PB =．。

、角平分线和线段垂直平分线一、（1）角平分线的性质定理：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点， 若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.（2）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.（2）、角平分线性质定理的逆定理：（1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥ OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.（2）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.（3）、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线， 那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：图4C DOAB FE 图5CDOABP图6EFDIP RQ BCA例1：如图，已知△ABC 中，AB = AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则下列四个结论 中正确的个数是( )①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等； ②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等； ③BD = CD ，AD = BC ；④∠BDE =∠CDF ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2：如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离 等于______________。

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED＝△ACD，又由△ACBAB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC＝2△B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+． 证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△． △ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．解：猜想AB AC CD+=，证明如下：△AD平分EAC∠，△EAD CAD∠=∠，在AED与ACD△中,AE ACEAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS≅，△ED CD=，AED ACD∠=∠，如图，△180180AED ACD︒-∠=︒-∠，即FED ACB∠=∠，△2ACB B∠=∠，△2FED B∠=∠，又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，△AB AE EB ED CD+===，△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC的平分线交BC 于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD △△AED （SAS ）．△△AED =△C =90°，CD =ED ，又△△ACB =2△B ，△C =90°，△△B =45°． △△EDB =△B =45°．△DE =BE ， △CD =BE ．△AB =AE ＋BE ， △AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, △△ACD△△AED ，△△C=△AED ，CD=DE ，又△△C=2△B ，△△AED=2△B ，△△AED 是△EDC 的外角，△△EDB=△B ，△ED=EB ，△CD=EB ，△AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+= 1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____． D B【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△ABCD的周长为AB BC+=BE平分∠EQ EF=ABCS S∆∆=4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA 于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120°，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF =CG ；（2）CF =CG ，见解析【分析】（1）结论CF =CG ，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF =CG ，作CM △OA 于M ，CN △OB 于N ，证明△CMF △△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF =CG ；证明：△OP 平分△AOB ，CF △OA ，CG △OB ，△CF =CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF =CG ．理由如下：如图，过点C 作CM △OA ，CN △OB ，△OP 平分△AOB ，CM △OA ，CN △OB ，△AOB =120°，△CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC =△BOC =60°（角平分线的性质），△△DCE =△AOC ，△△AOC =△BOC =△DCE =60°，△△MCO =90°-60° =30°，△NCO =90°-60° =30°，△△MCN =30°+30°=60°，△△MCN =△DCE ，△△MCF =△MCN -△DCN ，△NCG =△DCE -△DCN ，△△MCF =△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

七年级数学角平分线的定义
一、角平分线的定义（人教版七年级数学）
1. 定义内容。

- 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。

- 例如，在∠AOB中，若射线OC是∠AOB的角平分线，那么∠AOC = ∠BOC，且∠AOC=(1)/(2)∠AOB，∠BOC=(1)/(2)∠AOB。

2. 角平分线的表示方法。

- 通常用符号“OC平分∠AOB”来表示射线OC是∠AOB的角平分线。

3. 角平分线的性质在几何图形中的应用。

- 在三角形中，如果有角平分线，会涉及到一些角度关系的计算。

- 例：在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D。

若∠BAC = 80°，那么∠BAD=(1)/(2)∠BAC = 40°。

- 角平分线还与三角形的其他线段（如中线、高线）共同构成三角形中的重要线段关系，在解决三角形全等、相似等问题时也经常用到角平分线的性质。

4. 角平分线的实际应用。

- 在建筑设计、工程测量等领域，角平分线的概念也有应用。

- 比如在规划一块三角形的土地时，要将某个角平分成相等的两部分，就会用到角平分线的知识来确定分割线的位置。

角的平分线【基础知识精讲】角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B 是满足条件A 的点的集合，要说明两点：①图形B 上的所有点满足条件A.②满足条件A 的所有点都在图形B 上.关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS ”定理及“HL ”公理.本节还介绍了互逆命题及互逆定理，两个命题若条件（题设）与结论位置互换，即一个命题条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一命题的条件，则两命题互为逆命题.若一个定理的逆命题是真命题，则称逆命题为该定理的逆定理.这两个定理互为逆定理. 应当注意，每个命题都有逆命题，每个定理也有逆命题，但不一定有逆定理，只有当逆命题正确而成为定理时，才是原定理的逆定理.一个命题的正确与否与它的逆命题正确与否无关.难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用. 例1 △ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=64，BD ∶DC=9∶7,求D 到AB 的距离.(图3.9-1)图3.9-1分析 设DE 为D 到AB 的距离，由角平分线性质CD=DE ，再由已知可求CD 、DE. 解 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，DC ⊥AC ，又AD 为∠BAC 平分线，∴DC=DE ，BC=64，BD ∶DC=9∶7∴DC=167×64=28 ∴DE=28 例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.分析 此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC 与∠ACB 的平分线交于O ，再证AO 平分∠BAC.图3.9-2已知：△ABC 中，AA ′，BB ′，CC ′为角平分线，求证AA ′，BB ′，CC ′交于一点.证 设BB ′，CC ′交于O ，过O 分别作OD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，∵O 在∠ABC 平分线上，∴OD=OF.O 在∠ACB 平分线上，∴OE=OD ∴OE=OF.∴O 在∠BAC 平分线上，即O 在AA ′上，∴AA ′，BB ′，CC ′交于一点.注：该点称为三角形内心.例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.分析 先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理例4 判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“21+21=1，31+35=2”等，都能说明逆命题为假命题.【难题巧解点拨】例1 △ABC 的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD 将△ABC 分为面积比为3∶5的两部分，且AB ＜AC ，求AB ，AC.(图3.9-3)图3.9-3分析 设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而S △ABD ∶S △ADC =3∶5,此条件不好利用，故考虑AD 为角平分线，它到两边的距离相等，即△ABD 中AB 边上的高，△ADC 中AC 边上的高相等，从得求出x ∶y,进而求出x,y.解 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.∵AD 为角平分线∴DE=DF∵AB ＜AC ，∵S △ABD ∶S △ADC =（21DE ·AB ）∶（21DF ·AC ）=AB ∶AC=3∶5 ∴x+y+17=41 x ∶y=3∶5 (x ＜y)∴x=9,y=15 即AB=9cm, AC=15cm.例2 “三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？图3.9-4分析 先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P 为△ABC 的两外角∠MBC 和∠NCB 的角平分线交点.此时P 到三边AB 、AC 、BC 的距离PD=PF=PE.而P 不为△ABC 的内角平分线交点.注意：不要误以为过点向△ABC 三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.【同步达纲练习】一、判断（3分×8=24分）( )1.P 为∠AOB 内一点，C 在OA 上，D 在OB 上，若PC=PD ，则OP 平分∠AOB.( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.( )3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.( )4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.( )5.任何命题都有逆命题.( )6.任何定理都有逆定理.( )7.“三角形三条角平分线交点到三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.( )8.有命题“若x=y ，则x 2=y 2”的逆命题是个假命题.二、填空(4分×8=32分)1.角平分线是到角的两边 相等的所有点的 .2.三角形三内角平分线 ，该点到三边的距离 .3.“对顶角相等”的逆命题是 ，它是一个 命题.4.P 在∠MON 的角平分线上，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，PA+PB=12，则PA= ，PB= .5.一个定理的 是正确的时，我们称它为原定理的 .6.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.7.定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .三、选择(5分×6=3分)1.下列说法正确的是( )A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题是假命题2.P 、Q 为∠AOB 内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=31∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，PQ ⊥OP,则下面结论正确的是( )A.PM ＞QMB.PM=QNC.PM ＜QND.PM=PQ3.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )A.两角平分线交点在三角形内B.两角平分线交点在第三个角的平分线上C.两角平分线交点到三边距离相等D.两角平分线交点到三顶点距离相等4.下列命题中，正确的命题有几个( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③不是对顶角的两个角就不相等;④不相等的角不是对顶角A.1个B.2个C.3个D.0个5.设a,b为实数，下面四个命题.①若a＞b, 则a2＞b2②若a2＞b2, 则a＞b③若a＞b，则a2＞b2④若a2＞b2则a＞b其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列命题真命题是( )A.同位角相等B.同旁内角相等，两直线平行C.不相等的角不是内错角D.同旁内角不互补，两直线不平行四、解答题(7分×2=14分)1.如图3.9-6，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.图3.9-62.△ABC的外角∠CBD，∠BCE的角平分线交于点F，求证AF平分∠BAC.【素质优化训练】1.如图3.9-7，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.图3.9-72.△ABC 中，AB=BC=CA ，三内角平分线交于O ，OP ⊥AB 于P ，OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CA 于N ，AH ⊥BC 于H.求证OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】1.如图(3.9-8)，某铁路MN 和公路PQ 相交于点O ，且交角为90°,某仓库G 在A 区，到公路、铁路距离相等(即G 在∠NOQ 的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m.(1)在图上标出仓库G 的位置(比例尺1∶10000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：(2)求出仓库G 到铁路的实际距离.图3.9-8参考答案：【同步达纲练习】一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√二、1.距离，集合 2.交于一点，相等 3.相等的角是对顶角，假 4.6，6 5.逆命题，逆定理 6.有两个锐角的三角形是直角三角形，假 7.两直线平行，同位角相等三、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D四、1.作PM ⊥OA 交OA 延长线于M PN ⊥OB 交OB 延长线于N.∵S △OPA =S △OPB ∴21OA ·PM=21OB ·PN OA=OB ∴PM=PN ∴∠AOP=∠BOP 2.提示：过F 分别作三边的垂线FM ，FP ，FN. 易证FM=FP=FN ，再利用角平分线性质可得结论.【素质优化训练】1.作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N. AB=AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE∴△ABD ≌△ACE ∴S △ABD =S △ACE ∴S △BOE =S △COD .又BE=CD ∴OM=ON ∴AO 平分∠BAC.2.S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC .21AH ·BC=21OP ·AB+21BC ·OM+21AC ·ON 又AB=BC=CA ∴OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】(1)略 (2)1002(m)。

12.3 角的平分线的性质专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21BAC B∠∠，AD是∠∶∶BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是( )A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是( )3．下列方程是一元一次方程的是( )A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为( )A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是( )A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C ．3＋x ＝3xD ．－0.25ab ＋14ba ＝0 6．已知ax ＝ay ，下列各式中一定成立的是( )A ．x ＝yB ．ax ＋1＝ay －1C ．ax ＝－ayD ．3－ax ＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为( )A ．100元B ．105元C ．110元D ．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( )A ．130°B ．40°C ．90°D ．140°9．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF ＝m ，CD ＝n ，则AB 的长是( )A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论： ①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12； ②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0；④若|a |>|b |，则a －b a ＋b>0. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________. 13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x －22－1＝x ＋13－x ＋86.21．先化简，再求值：2(x 2y ＋xy )－3(x 2y －xy )－4x 2y ，其中x ＝1，y ＝－1.22．有理数b 在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b |＋2|2＋b |－|3b －2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE 的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O 的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A 8.D 9.C 10.B二、11.23；5 12.－8 13.－514．19°31′13″15.3 16.717．> 18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t －4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。

1．（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）2．（2015•惠山区二模）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）B3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）4．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB 于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）中，5．（2015•高新区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（），6．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）BC×7．（2015•麒麟区一模）Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°．以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分别以E、F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点N，若BC=，则点M到AC的距离是（）心，大于）8．（2015•从化市一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC长是（）的面积为9．（2015•西安模拟）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）二．解答题（共21小题）10．（2015•台湾）如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．11．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．12．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD 上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．13．（2015春•福鼎市校级月考）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．14．（2015春•蓬溪县校级月考）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．中，中，15．（2015春•武汉校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，求AB的长．AB==4．16．（2014•厦门校级模拟）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，sinB=，AB=10，求D到AB的距离．，×=6BC==8AC CD+AC××DE=17．（2013秋•盐都区期末）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．∵18．（2013秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．19．（2013秋•黄山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若△DBE的周长为15cm，求AB的长．20．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．第21页（共21页）。

专题1.6 角的平分线重难点题型【北师大版】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.【题型1 角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是．（将①②③重新排列）①作射线OC；②以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．【变式11】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON，点B，C分别在射线OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圆规作出∠MON的角平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下求证：AB＝AC．【变式12】（2020秋•沛县期中）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．【变式13】（2021秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如图1）①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．②分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C ． ③作射线OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 和OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ＝ON ．②分别过M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为∠AOB 的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．②小聪的作法正确吗？请说明理由．③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【题型2 角平分线的性质的应用】【例2】（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB ＝10，则△DEB 的周长为（ ）A ．9B ．5C ．10D ．不能确定【变式21】（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【变式22】（2020秋•增城区期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【变式23】（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）△ADGA．2B．3C．4D．6【题型3 角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．【变式31】（2021春•浦江县期末）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，若AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，求BD 的长．【变式32】（2020春•番禺区校级期中）点P 为△ABC 三内角平分线的交点，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，求：点P 到三边的距离．【变式33】（2020秋•渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD 是△ABC 的高，则△ABC 的面积S △ABC =12BC •AD ．比例的性质：若b a =d c =⋯=n m ，则b+d+⋯+n a+c+⋯+m =b a =d c =n m ．知识运用：（2）如图2，BE 是△ABC 的角平分线，运用上述知识，求证：AB BC =AE CE ；知识延展：（3）如图3，△ABC 的角平分线BE 平分△ABC 的周长，求证：△ABC 是等腰三角形．【题型4 角平分线的性质与全等】【例4】（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F 在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【变式41】（2020秋•平山县期中）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．【变式42】（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．【变式43】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB【题型5 角平分线的判定】【例5】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【变式51】（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式52】（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【变式53】（2021春•道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③【题型6 角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋•朝阳区校级期中）如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N．求证：PM＝PN．【变式61】（2020秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：P A平分∠MAN．【变式62】（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【变式63】（2020秋•庆阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．。