角平分线的性质和判定经典复习题

For personal use only in study and research; not for commercial use 角平分线的性质及判定内容及典型例题【典型例题】例1.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．例3.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定（1）（4）2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P 到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC（5）（7）（8）6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．（9）（10）（11）10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11.如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．（12）（13）（14）13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．三. 解答题15. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．16. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？17. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．18. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题19. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

[角平分线的性质与判定]一、选择题1.如图BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.点MB.点NC.点PD.点Q3.如图已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB, BC∥OA交y轴于点C,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C的坐标是()A.(0,2) B .(0,5) C.(0,√5) D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°6.已知如图AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD, PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm7.如图∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB 于点E,CD=3.(1)求DE的长; (2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积10.如图P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.课时作业(十)[三角形三条内角的平分线]一、选择题1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,则凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点处B.△ABC的三边的垂直平分线的交点处C.△ABC的三条角平分线的交点处D.△ABC的三条高所在直线的交点处2.如图已知△ABC的周长是18 cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D,若OD=3 cm,则△ABC的面积是()A.24 cm2B.27 cm2C.30 cm2D.33 cm2二、填空题3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则∠BDC的度数是.4.在△ABC中,AB=13 cm,AC=5 cm,BC=12 cm,若△ABC 内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为cm.5.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC 的平分线BP相交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP=°.三、解答题如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系(不需要证明).(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,则你在(1)中所得到的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(提示:四边形的内角和为360°)。

角的平分线的性质、判定（人教版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC，射线OC即为所求．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )A.SSSB.ASAC.AASD.SAS答案：A解题思路：由作法得OM=ON，CM=CN，在△OMC和△ONC中∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC（全等三角形对应角相等）即OC是∠AOB的平分线故选A．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD答案：B解题思路：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC=PD在Rt△OPC和Rt△OPD中，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）∴∠CPO=∠DPO，OC=OD故选B．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD过点P，且与AB垂直∴AD⊥CD∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC∴PA=PE∵CP平分∠BCD，PD⊥CD，PE⊥BC∴PE=PD∴PA=PE=PD即PE=AD==4故选B．试题难度：三颗星知识点：略4.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点答案：C解题思路：由角平分线的性质“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，故要使集贸市场到三条公路的距离相等，集贸市场应建在∠A，∠B，∠C的角平分线的交点处．故选C．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，已知PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB．若∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA 为( )A.20°B.45°C.55°D.80°答案：C解题思路：∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB∴点P在∠MON的角平分线上即OP平分∠MON∴∠POC=∠MON=50°=25°∵∠PCA是△POC的一个外角∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°故选C．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )A.15B.30C.45D.60答案：B解题思路：如图，过点D作DE⊥AB于E，由题意可知AP是∠BAC的平分线∵∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 的长是( )A.3B.4C.5D.6答案：A解题思路：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF∴∴AC=3故选A．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是( )A.25B.84C.42D.21答案：C解题思路：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD，∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OF=OD，故选C．试题难度：三颗星知识点：略9.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DF在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）∴，在Rt△ADF和Rt△ADH中，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）∴，设，则，∴，∴，解得：．故选B试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数有( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③S△DAC:S△ABC=1:3．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：D解题思路：由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°，∵在△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，故②正确如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴，在△ADE和△BDE中，∴△ADE≌△BDE（AAS），∴，∴，∴S△DAC:S△ABC=1:3，故③正确故选D试题难度：三颗星知识点：略。

角平分线的性质定理和判1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º21NPF CBA7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF为∠BAC的平分线。

11．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ， 证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=， 点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .14.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＢＤＥAFCDEB。

角平分线的性质和判定复习一知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）思考：这一画法的根据是什么？2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）∴PA＝PB．（角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）二、典型例题角平分线的性质一例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等例题2如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.例题3已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ， 求证：CF=EB 。

D FE C BA例题4已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.例题5 已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.例题6 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.A F DE B例题7如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=CF,求证:BD=FD.例题8如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.例题8 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.角平分线的性质二例题1如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F,AE=AF.求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的平分线上.例题2如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.例题3已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：（1）当∠1＝∠2时，OB＝OC；（2）当OB＝OC时，∠1＝∠2.例题4已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.例5、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC 的中点，求证：BE平分∠ABC．例题6 .如图所示,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.求证:AC平分∠BAD.例7如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？。

角平分线的性质和判定复习二、典型例题例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE 平分∠ABC．例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．三、巩固练习1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB 的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处第3题图第4题图第5题图4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36，BC=24，S△ABC=144则DE=7、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180°8. （上一题变式）如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF；9．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．。

第5讲 三角形的角平分线❖ 基本知识（熟记，会画图，要提问。

） 1等。

如何证明？2、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如何证明？3、三角形的内心：三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心。

4、三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。

如何证明？【角的平分线的性质】 【基本题型】1、【易】如图，铁路OA 和铁路OB 交于O 处，河道AB 与铁路分别交于A 处和B 处，试在河岸上建一座水厂M ，要求M 到铁路OA ，OB 的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位置？请在图中标出M 点的位置．2、【易】如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE△AB 、DF△AC ，垂足为E 、F ，求证：EB=FC ．3、【易】如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE//AB ，交BC 于点E ，PF//AC ，交BC 于点F 。

求证：点D 到PE 和PF 的距离相等。

4、【中】已知：如图，OC 是△AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD△OA ，PE△OB ，垂足分别为D 、E ，点F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ．求证：DF=EF ．5、【中】如图，△1=△2，AE△OB 于点E ，BD△OA 于点D ．AE ，BD 交于点C ，试说明AC=BC ．6、【中】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE△AB ，DF△AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是______．7、【中】如图，在△ABC 中，△C=90°，AD 是△BAC 的平分线，DE△AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ．求证： （1）CF=EB ；（2）△CBA+△AFD=180°．8、【中】【周长】如图，三角形纸片中，AB=8cm ，BC=6cm ，AC=5cm ．△ABC 的平分线交AC 于点D ，AC △BC ，DE △AB ，求△ADE 的周长．9、【中】【周长】如图，在△ABC 中，△C=90°，AC=BC ，AD 平分△CAB 交BC 于点D，DE△AB于点E，若AB=6cm ．求△BDE 的周长．10、【中】【面积】如图：在△ABC 中，AD 是它的角平分线．求证：（1）S △ABD ：S △ACD =AB ：AC ； （2）S △ABD ：S △ACD =DB ：DC ； （3）AB ：AC=DB ：DC ．11、【中】【面积】如图，BD 平分△ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，则DE 等于______．12、【中】【面积】如图，△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC ，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是_________．13、【中】【面积】如图，AD 是△ABC 中△BAC 的角平分线，DE△AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是______．14、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】如图，AC 平分△BAD ，CD=CB ，AB>AD ，说明:△B+△D=180°．15、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ＞AD ，AC 平分△DAB ，△B+△D=180°． 求证：CD=CB ．16、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】在△ABC 中，AD 是△BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且△EDF+△EAF=180°，求证：DE=DF ．参考答案1、作AOB 的平分线，交AB 于点M 。

专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。

角平分线的性质和判定
重难点易错点解析 题一 (1) 如图，△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，求证：点P 在∠A 的角平分线上．
P
B C A
(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．
角平分线的性质与判定
金题精讲
题一
如图，已知△ABC 的周长是21，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =4，△ABC 的面积是多少？
D O
B C A
角分线性质的应用
题二
如图：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，
且∠EDF +∠EAF =180°．求证：DE =DF ．
C B
D A
E
F
角分线性质的应用
题三
四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠ADC +∠B =180°，
求证：2AE =AB +AD ．
C
E B D A
角分线性质的应用
思维拓展
题一
在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．请证明：AB ：AC =BD ：CD ．
D B
面积法的应用，角分线性质的应用
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：做辅助线，用性质和判定证明．
金题精讲
题一
答案：42．
题二
答案：作垂直，证全等AAS．
题三
答案：作垂直，证全等AAS．
思维拓展
答案：做距离，用面积法来解．
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】。

【知识梳理】【听课笔记】12.3 角平分线的性质1.角的平分线的性质(1)性质1:角的平分线上的点相等.(2)性质2：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离 .2.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【范例分析】DF ACE B【题型1】尺规作图1.用直尺和圆规作一个角的平分线的如图，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等2.如图，在△ABC ，∠C ＝90°，∠CAB ＝50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ；②分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为 . 3.如图，在△ABC 中，用尺规作图作出∠ABC 的平分线，保留作图痕迹，但不写作法.4.如图，根据尺规作图的痕迹，先判断得出的结论： ，证明你的结论(不要求写已知，求证).【题型2】角平分线的性质1.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ，其中正确的有 .【变式训练】1.如图，若DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F ，要使DE=DF ，只需添加一个条件是 ．2.如图，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，则∠MAB 的度数为________．3.在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD:CD=3:2，BC=15cm ，则点D 到AB 的距离是__________．第1题第2题第3题A BOMNDF A CEB4.（1）如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE DF ． （2）已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且DE=DF ，则∠1 ∠2．5.如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BA C 的平分线，DE⊥AB 于E ，若AB = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm6.如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，236ABC S cm ∆=，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长.7.如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB=AD ，BC=CD ，CE ⊥AD 于E ， CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF.8.如图，在△ABC 中∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB,交BC 于点D ，DE ⊥BE. 求证：（1）DE+BD=AC.（2）若AB=6cm ，求△DBE 的周长.EDCBA第5题21AB CDEF第4题第1题第2题 FABECD【题型3】角平分线的判断如图，BD ⊥AM 于点D,CE ⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF. 求证:点F 在∠A 的平分线上.【变式训练】1.到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ）A.三条边上的高线的交点B. 三个内角平分线的交点C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对2.在△ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC ，BC=8cm ,BD=5cm ,则D 到AB 的距离是 .3.如图，若BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，且BD=CD. 求证：AD 平分∠BAC.4.如图，AB ||CD ，∠B=90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC. 求证：AE 平分∠DAB.FMADB EC森林古塔河流OABP5.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等. 求证：AD 平分∠BAC.【题型4】角平分线的性质与判定的应用M 考古队要找一座古墓M 的遗址，根据已知资料，该古墓就在森林附近，到两条河岸OA,OB 的距离相等，离古塔P 有1500m 的距离，你能应用你所学的知识，在图中确定古墓M 的位置吗？（比例尺1:100 000）【变式训练】1.如图，a 、b 、c 三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（ ） A.三角形两边高线的交点处 B.三角形两边中线的交点处 C.∠α的平分线上 D.∠α和∠β的平分线的交点处2.如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.1处 B.2处 C.3处 D.4处ACB FDE第1题④①②③第2题A区B3.如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河岸AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M 点的位置.4.公园有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供游人休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置.5.如图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区，到公路、铁路的交叉处B点700m．如果你是红方指挥员，请在地图上标出蓝方指挥部的位置．比例尺1:20000。

是题库不是教案第一章1.4角平分线2一、角平分线性质与判定1．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，连接AF ，那么下列结论正确的是（ ）①,BDF CEF 都是等腰三角形；②1902BFC BAC ∠=+∠ ③ADE 的周长为+AB AC ；④AF 平分BAC ∠．A ．①③④B ．①②③C ．①②③④D ．②③④ 2．如图，在△ABC 中，BF 、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过点F 作EG ∥BC 分别交于点AB 、AC 于点E 、G ．若AB =9，BC =10，AC =11，则△AEG 的周长为（ ）A ．15B ．20C ．21D ．193．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点E ．若AB+AC=20，可求得△AEF 的周长为________．4．已知，ABC ∆中，9AB =，7BC =，8AC =，点O 是ABC ∆的三个内角的角平分线的交点，AOB S ∆、BOC S ∆、AOC S ∆分别表示AOB ∆、BOC ∆、AOC ∆的面积，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=__________．5．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，过点D 作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ．若2BE =，3CF =，求线段EF 的长．6．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过O 作EF BC ∥交AB ，AC 于E ，F ．若ABC 的周长比AEF 的周长大12cm ，O 到AB 的距离为3cm ，则OBC 的面积为__________2cm ．7．如图，在ABC 中，AB AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线分别交于点O ，过O 点作//MN BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．（1）求证：AMN 是等腰三角形；（2）求证：2MN BM =8．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）是题库不是教案A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线， DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，ABC ∆面积是228,16,12cm AB cm AC cm ==，则DE 的长为( )A ．2B ．2.4C ．3D ．3.2 10．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．11．已知，如图，ABC 中，90C ∠=︒，点O 为ABC 的三条角平分线的交点，OD 垂直BC ，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 分别是垂足，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则OF =__________．12．如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OB ∕∕，PD OB ⊥于点D ，4PD =，则PC 等于____．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D ，E ，F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则OD 的长度为________cm.14．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．8D ．6 15．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，O 为ABC ∆角平分线的交点，若ABO ∆的面积为20，则ACO ∆的面积为是（ ）A ．12B ．15C ．16D ．1816．如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（ ）A ．3:2:4B ．1:1:1C ．2:3:4D ．4:3:2 17．如图，,AO BO 分别平分,CAB CBA ∠∠，且点O 到AB 的距离 2 OD cm =，ABC 的周长为28cm ，则ABC 的面积等于( )是题库不是教案A ．27cmB ．214cmC ．221cmD ．228cm 18．如图所示，已知点P 是△ABC 三条角平分线的交点，PD ⊥AB ，若PD =5，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积．19．如图，在△ABC 中，点D 为边AC 上的一点，BD ＝BC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，且 DE 平分∠BDC ．求证：AD ＝BC ．20．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．21．如图，△ABC 中，AB =4cm ，BC =AC =5cm ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，点D 到AC 的距离是1cm ，则△ABC 的面积是_____．22．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．23．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =______ 。

角平分线的性质与判定1、角平分线：把一个角为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点一、角平分线的性质定理例1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D 到直线AB的距离是cm．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．4二：角平分线的性质定理的逆定理例1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．三、常见题型（一）利用角平分线的性质求线段长度例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足是点E，AC＝DE+BD．（1）求∠BAD的度数；（2）若△DBE的周长为4cm，则AB＝．变式2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．（二）利用角平分线的性质求角度问题例1．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，P A＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．变式1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间？直接写出结果（三）利用角平分线解决与面积有关的问题例1.如图，BD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为60，AB＝15，BC＝9，求△ABD的面积．变式1 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？(四)角平分线性质定理的逆定理应用例1.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．变式1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．(五)角平分线性质定理的实际应用例1.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？变式1．如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．。

第1课时 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO＝∠EPOD ．PD ＝OD3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A ．4㎝B ．6㎝C ．10㎝D ．不能确定21DAPOEBDC EB第2题图 第3题图 第4题图5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．4B ．3C ．6D ．5第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.58.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ）A ．2cm 、2cm 、2cmB ．3cm 、3cm 、3cmC ．4cm 、4cm 、4cmD ．2cm 、3cm 、5cmFE O DCAB二、填空题9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） . 10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离__cm ． 11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为 ．第9题图 第10题图 第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．第12题图 第13题图 第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD:CD=3:2，则点D 到线段AB 的距离为 ．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF 与AD的关系是．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为．17.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．第16题图第17题图第18题图18.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S △ABO：S△BCO：S△CAO = ．三、解答题19．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD.求证：∠B＝∠C.20.如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．21.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E， F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．22.如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、B A、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点EEF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．第1课时角的平分线的性质定理参考答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9. PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 10 15. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．CAB=180°∠∵22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．，第2课时 角的平分线的判定一、选择题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，则∠1与∠2的大小是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1＞∠2C ．∠1＜∠2D ．无法确定第2题图 第3题图 第4题图3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE=BEB ．DB=DEC ．AE=BD D ．∠BCE=∠ACE4. 如图，△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等； ∠A=40°，则∠BOC=（ ）A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°5．如图，,△ABC 的两个外角平分线交于点P ，则下列结论正确的是（ ） ①PA=PC ②BP 平分∠ABC ③P 到AB ，BC 的距离相等 ④BP 平分∠APC ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④5题图 第6题图 第7题图6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）MFEDCBAA．DE＝DF B．ME＝M F C．AE＝AF D．BD＝DC．8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第8题图第10题图第11题图二、填空题9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的．10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA= °．第12题图第13题图13.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，∠EBC= °15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为第14题图第15题图第16题图16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．三、解答题17. 如图，AB AC ，表示两条相交的公路，现要在BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1 000米． （1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置P ．18． 如图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE=AF ．求证： （1）PE=PF ；（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．19. PB ，PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P ．求证：P 在∠A 的平分线上（如图）．20．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．（1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论．（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案： （Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线． （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA ，PN ⊥OB ．此方案是否可行？请说明理由．第2课时角的平分线的判定参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.A5.C6.D7.D8.D二、填空题9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55三、解答题17.解:（1）1 000米=100 000厘米，100 000÷50 000=2（厘米）；(2)18. 证明：（1）如图，连接AP并延长，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP 是∠BAC 的角平分线，故点P 在∠BAC 的角平分线上．19.证明：过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ．∵PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG ，∴PE=PG．∴P 点在∠A 的平分线上．20．（1）AM 平分DAB ∠．证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ．12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥，ME MC =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又MC MB =∵，ME MB =∴．MB AB ∵⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分DAB ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）AM DM⊥，理由如下：90B C∠=∠=∵，CD AB∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）．180CDA DAB∠+∠=∴（两直线平行，同旁内角互补）又112CDA ∠=∠∵，132DAB∠=∠（角平分线定义）2123180∠+∠=∴，1390∠+∠=∴，90AMD∠=∴．即AM DM⊥．21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；方案（Ⅱ）可行．证明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；∴OP就是∠AOB的平分线．（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，∵PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），当∠AOB不为直角时，此方案不可行；因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．。

角均分线内容及典型例题一.复习内容：1.角均分线的作法．2.角均分线的性质及判断．3.角均分线的性质及判断的应用．二. 知识重点：1. 角均分线的作法（尺规作图）①以点 O 为圆心，随意长为半径画弧，交OA 、 OB 于 C、D 两点；②分别以 C、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P；③过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求．2.角均分线的性质及判断（1）角均分线的性质：角的均分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知： OC 均分∠ MON ， P 是 OC 上随意一点， PA ⊥ OM ， PB⊥ ON，垂足分别为点 A 、点 B ．求证： PA ＝PB．证明：∵PA ⊥ OM ，PB⊥ON∴∠ PAO＝∠ PBO＝ 90°∵OC 均分∠ MON∴∠ 1＝∠ 2在△ PAO 和△ PBO 中，∴△ PAO≌△ PBO∴PA＝ PB②几何表达：（角的均分线上的点到角的两边的距离相等）以下图，∵OP 均分∠ MON （∠ 1＝∠ 2）， PA ⊥ OM ， PB⊥ ON，∴PA＝ PB．（2）角均分线的判断：到角的两边的距离相等的点在角的均分线上．①推导已知：点 P 是∠ MON 内一点， PA ⊥ OM 于 A ， PB⊥ ON 于 B，且 PA ＝PB ．求证：点 P 在∠ MON 的均分线上．证明：连结 OP在 Rt△PAO 和 Rt△ PBO 中，∴Rt △PAO ≌ Rt △PBO（ HL ）∴∠ 1＝∠ 2∴OP 均分∠ MON即点 P 在∠ MON 的均分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的均分线上．）以下图，∵PA⊥ OM ， PB⊥ ON，PA ＝ PB∴∠ 1＝∠ 2（ OP 均分∠ MON ）3. 角均分线性质及判断的应用①为推导线段相等、角相等供给依照和思路；②实质生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300 米．在以下图中标出工厂的地点，并说明原因．4.画一个随意三角形并作出两个角（内角、外角）的均分线，察看交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三.重点难点：1.重点：角均分线的性质及判断2.难点：角均分线的性质及判断的应用【考点剖析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中有时以选择题或填空题的形式出现，但角均分线的性质及判断有时出此刻综合题题目中间，所以仍是比较重要的．【典型例题】例 1. 已知：以下图，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（ 1）∠ ABC ＝∠ ABC ′；（ 2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判断）．剖析：由条件∠ C＝∠ C′＝ 90°， AC ＝AC ′，能够把点 A 看作是∠ CBC ′均分线上的点，由此可翻开思路．证明：（1）∵∠ C＝∠ C′＝ 90°（已知），∴ AC ⊥BC ，AC ′⊥ BC ′（垂直的定义）．又∵ AC＝ AC′（已知），∴点 A 在∠ CBC′的角均分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的均分线上）．∴∠ ABC ＝∠ ABC′．（ 2）∵∠ C＝∠ C′，∠ ABC ＝∠ ABC′，∴180°－（∠ C＋∠ ABC ）＝ 180°－（∠ C′＋∠ ABC′）（三角形内角和定理）．即∠ BAC ＝∠ BAC′，∵ AC ⊥BC ，AC′⊥ BC′，∴BC＝ BC′（角均分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有必定的踊跃作用，但也会产生悲观作用，在解题时，要能打破思想定势，追求解题方法的多样性．例 2. 以下图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 能否均分∠ BAC ，并说明原因．剖析：判断一条射线能否是一个角的均分线，可用角均分线的定义和角均分线的判断定理．依据题意，第一由角均分线的判断定理推导出∠ 1＝∠ 2，再利用平行线推得∠3＝∠ 4，最后用角均分线的定义得证．解： AD 均分∠ BAC ．∵ D 到 PE 的距离与到PF 的距离相等，∴点 D 在∠ EPF 的均分线上．∴∠ 1＝∠ 2．又∵ PE∥ AB ，∴∠ 1＝∠ 3．同理，∠ 2＝∠ 4．∴∠ 3＝∠ 4，∴ AD 均分∠ BAC ．评析：由角均分线的判断判断出 PD 均分∠ EPF 是解决本例的重点．“同理”是当推理过程同样，不过字母不一样时为书写简易能够使用“同理”．例 3. 以下图，已知△ABC的角均分线BM，CN订交于点P，那么AP可否均分∠BAC？请说明原因．由本题你能获取一个什么结论？剖析：由题中条件可知，本题能够采纳角的均分线的性质及判断来解答，所以要作出点P到三边的垂线段．解： AP 均分∠ BAC ．结论：三角形的三条角均分线订交于一点，而且这一点到三边的距离相等．原因：过点P 分别作 BC ，AC ， AB 的垂线，垂足分别是E、 F、 D．∵ BM 是∠ ABC 的角均分线且点P 在 BM 上，∴PD＝ PE（角均分线上的点到角的两边的距离相等）．同理 PF＝ PE，∴ PD＝ PF．∴AP 均分∠ BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的均分线上）．例 4. 以下图的是相互垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的均分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、 y 轴成立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在地点的坐标．剖析：因为角均分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点 P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号．解：（ 1）∵点 P 在公路与铁路所夹角的均分线上，∴点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点 P 到公路的距离是400m，∴点 P（学校）到铁路的距离是400m．（ 2）学校所在地点的坐标是（400，－ 400）．评析：角均分线的性质的作用是经过角相等再联合垂直证明线段相等．例 5. 以下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA均分∠CAB否在 AB 上确立一点 E，使△ BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点若不可以，请说明原因．交BC 于D，问能E，并给出证明；剖析：因为点 D 在∠ CAB 的均分线上，若过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，则 DE ＝ DC．于是有 BD ＋ DE ＝ BD ＋DC＝ BC＝ AC ，只需知道 AC 与 AE 的关系即可得出结论．解：能．过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，则△ BDE 的周长等于 AB 的长．原因以下：∵AD 均分∠ CAB ， DC⊥ AC ，DE ⊥ AB ，∴DC＝DE ．在 Rt△ACD 和 Rt△ AED 中，，∴Rt △ACD ≌ Rt△ AED （ HL ）．∴AC ＝AE ．又∵ AC＝ BC，∴ AE ＝BC ．∴△ BDE 的周长＝ BD ＋ DE＋BE ＝BD ＋ DC＋ BE＝BC ＋BE＝ AE ＋ BE ＝ AB ．评析：本题是一道研究题，要擅长利用已知条件获取新结论，找寻与要解决的问题之间的联系．本题利用角均分线的性质将要研究的结论进行转变．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的均分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的均分线上” 这两个结论后，很多波及角的均分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有很多同学对质明两个三角形全等的问题已经很熟习了，所以证题时，不习惯直策应用这两个结论，仍旧去找全等三角形，结果相当于从头证了然一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一.选择题1.以下图， OP 均分∠ AOB ， PC⊥ OA 于 C，PD⊥ OB 于 D ，则 PC 与 PD 的大小关系是（）A. PC ＞ PDB. PC＝ PDC. PC＜ PDD. 不可以确立2.在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， AD 是角均分线，若BC ＝ 10， BD ∶ CD ＝3∶ 2，则点 D 到 AB 的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103.在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， E 是 AB 边的中点， BD 是角均分线，且 DE ⊥ AB ，则（）A. BC＞AEB. BC ＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4.（2007 年浙江义乌）以下图，点 P 是∠ BAC 的均分线 AD 上一点， PE⊥ AC 于点 E，已知 PE＝3，则点 P 到 AB 的距离是（）A.3B.4C.5D.65.以下图，在△ ABC 中，∠ C＝90°， AD 均分∠ BAC ，AE ＝ AC ，以下结论中错误的选项是（）A. DC ＝ DEB. ∠AED ＝ 90°C. ∠ ADE ＝∠ ADCD. DB ＝DC6.到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角均分线的交点D. 不可以确立7.以下图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝BC ，AD 均分∠ CAB 交 BC 于 D， DE ⊥ AB于 E，且 AB ＝ 6cm，则△ DEB 的周长为（）A. 4 cmB. 6 cmC. 10cmD. 以上都不对8.以下图，三条公路两两订交，交点分别为A 、B 、 C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地点有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四周二. 填空题9.以下图，点 P 是∠ CAB 的均分线上一点， PF⊥ AB 于点 F， PE⊥AC 于点 E，假如PF＝ 3cm，那么 PE＝__________ ．10.以下图， DB ⊥ AB ，DC⊥AC ，BD ＝ DC，∠ BAC ＝ 80°，则∠ BAD ＝ __________ ，∠CDA ＝ __________．11. 以下图， P 在∠ AOB 的均分线上，在利用角均分线性质推证PD＝ PE 时，一定知足的条件是 ____________________．12. 以下图，∠B＝∠ C， AB ＝AC ， BD ＝ DC，则要证明AD是∠ BAC的__________线．需要经过__________ 来证明．假如在已知条件中增添∠ B 与∠ C 互补后，就能够经过__________来证明．因为此时BD 与 DC 已经分别是 __________的距离．13. 以下图， C 为∠ DAB 内一点， CD⊥ AD 于 D，CB⊥ AB 于 B，且 CD ＝ CB，则点 C 在__________ ．14.以下图，在 Rt△ ACB 中，∠ C＝ 90°， AD 均分∠ BAC 交 BC 于点 D．（1）若 BC＝ 8， BD ＝5，则点 D 到 AB 的距离是 __________ ．（2）若 BD ∶ DC＝ 3∶ 2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长为 __________．15. （ 1）∵ OP 均分∠ AOB ，点 P 在射线 OC 上，PD⊥ OA 于 D ，PE⊥ OB 于 E，∴ __________（依照：角均分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵ PD⊥ OA ， PE⊥ OB，PD＝ PE，∴ OP 均分∠ AOB （依照： ___________）．三.解答题16.已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 是 AC 上一点， DE ⊥AB 于 E，且 DE ＝DC ．（1）求证： BD 均分∠ ABC ；（2）若∠ A ＝ 36°，求∠ DBC 的度数．17.如图：△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的均分线， E、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF ＋∠ BAF ＝180°．（1）求证： DE＝ DF；（2）若把最后一个条件改为： AE ＞ AF ，且∠ AED ＋∠ AFD ＝ 180°，那么结论还成立吗？18.如图，∠ 1＝∠ 2， AE ⊥ OB 于 E， BD ⊥ OA 于 D， AE 与 BD 订交于点 C．求证： AC ＝BC ．19. 以下图，某铁路MN 与公路 PQ 订交于点O，且夹角为90°，其库房G 在 A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出库房 G 的地点．（比率尺为 1∶10000，用尺规作图）（2）求出库房 G 到铁路的实质距离．四. 研究题20.有位同学发现了“角均分线”的另一种尺规作法，其方法为：（ 1）以下图，以O 为圆心，随意长为半径画弧交OM 、 ON 于点 A 、B ；（ 2）以 O 为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM 、ON 于点 C、 D；（ 3）连结 AD 、BC 订交于点E；（ 4）作射线OE，则 OE 为∠ MON 的均分线．你以为他这类作法对吗？试说明原因．。