二次函数与二元方程、二次不等式的关系

一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。

首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。

与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。

但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。

其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。

一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。

与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。

最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。

一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。

与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。

综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。

深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。

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二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数的平移只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。

将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减1.抛物线y= －32x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

2.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

3.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

4.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

5.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .6.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.函数的交点1. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。

2. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有 个交点。

二次函数与方程、不等式的关系1如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）2.二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为3.抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点4.如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15.已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m 的值为( )A.－2B.12C.24D.48 6.若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是7.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .8.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；9.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A.0,0>∆>aB.0,0<∆>aC.0,0>∆<aD.0,0<∆<a2510.若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ） A.x ＝－3 B.x ＝－2 C.x ＝－1 D.x ＝111.已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

二次函数与不等式的关系二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

不等式是数学中的一种比较关系，表示两个数或者两个表达式之间的大小关系。

本文将探讨二次函数与不等式的关系，并分析二次函数不等式的求解方法。

一、二次函数的图像二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线。

开口向上的抛物线a > 0，开口向下的抛物线a < 0。

当a > 0时，二次函数的最小值存在；当a < 0时，二次函数的最大值存在。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键在于确定抛物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方还是下方。

1. 求解开口向上的二次函数不等式当a > 0时，二次函数图像开口向上。

首先，找到二次函数与x轴的交点，即确定二次函数的零点。

设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。

若存在实数x使得x1 < x < x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。

2. 求解开口向下的二次函数不等式当a < 0时，二次函数图像开口向下。

同样地，需要找到二次函数与x轴的交点，并确定二次函数的零点。

设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。

若存在实数x使得x < x1或x > x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。

三、二元二次不等式的解法二元二次不等式是含有两个未知量的不等式，形如ax^2 + by^2 + cx + dy + e > 0或ax^2 + by^2 + cx + dy + e < 0。

解二元二次不等式的方法之一是利用配方将其转化为一元二次不等式。

具体步骤如下：1. 将二元二次不等式化简为一元二次不等式，例如通过平方完成配方；2. 根据一元二次不等式的解法，求解得到满足不等式的区间；3. 将解得的区间带入原二元二次不等式，确定满足不等式的解集。

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。

本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。

一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。

二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。

二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。

要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。

二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。

1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。

在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。

2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。

解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。

三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。

1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。

而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。

一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。

他们之
间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。

首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解
它们之间的关系。

一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为
ax²+bx+c=0 (a≠0)。

二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程
组合出的不等式表达式。

而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐
标系上表示成曲线。

接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间
的联系。

一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。

二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。

就如，
y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，
前者生成的关系图像就是后者的解的图象。

综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。

它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。

只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的
联系和区别
二次函数、一元二次不等式、一元二次方程都是关于二次方的数
学概念。

它们在形式和性质上各有不同，但都具有密切联系。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。

其图像为一个开口向上或向下的抛物线，与x轴交点为其根。

一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。

其解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

这个方程的解
决了抛物线与x轴交点的问题。

一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。

这个式子就是要解出抛物线的正负。

因此，从几何角度来看，二次函数和一元二次不等式都与抛物线
的开口方向和根相关。

一元二次方程和二次函数的解方程式中的x为
根有关。

而一元二次不等式则是解出某个范围内x的取值。

同时，这些概念还有着实际意义。

二次函数的图像在物理学中很
常见，比如抛物线运动。

而一元二次方程在物理学和工程学中也有广
泛的应用。

在学习过程中需要注意，这些概念虽然看似相似，但细节处的不同很重要。

需要分类讨论、注意符号、掌握解法等，才能真正理解这些概念并活用于实际问题中。

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

二次不等式与二次函数的关系《二次不等式与二次函数的关系，你真的懂吗？》嘿！同学们，你们知道吗？二次不等式和二次函数就像是一对亲密无间的好伙伴，它们之间的关系可奇妙啦！先来说说二次函数吧。

它就像是一个调皮的小精灵，在坐标轴上跳来跳去。

比如说，y = x² - 2x - 3 这个二次函数，它的图像是一条弯弯的抛物线。

当x 取不同的值时，y 也跟着变化，这多有趣呀！那二次不等式又是什么呢？它就像是给二次函数戴上了一个“紧箍咒”。

比如说，x² - 2x - 3 > 0 ，这就是一个二次不等式。

你们想想，二次函数的图像能帮我们解决二次不等式的问题吗？当然能啦！比如说，我们要求x² - 2x - 3 > 0 的解集，不就可以通过看二次函数y = x² - 2x - 3 的图像在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围嘛！这难道不神奇吗？就像我们找宝藏一样，二次函数的图像就是那张藏宝图，而二次不等式就是告诉我们要找什么样的宝藏。

有一次，在课堂上，老师出了一道题：求x² + 4x + 3 < 0 的解集。

我和同桌都绞尽脑汁地思考着。

我看着那个二次函数的表达式，心想：“这可怎么办呀？”同桌则在一旁不停地写写画画。

突然，我灵机一动，画出了二次函数y = x² + 4x + 3 的图像，一下子就找到了答案。

我得意地对同桌说：“你看，这不就解决啦！”同桌惊讶地看着我，说：“哇，你真厉害！” 我们俩都开心地笑了起来。

所以说呀，二次不等式和二次函数的关系那叫一个紧密！如果我们能把它们之间的关系搞清楚，那解决数学问题不就像玩儿一样轻松吗？同学们，你们是不是也觉得二次不等式和二次函数的关系很有趣呢？反正我是这么认为的！只要我们认真去探索，就能发现数学世界里更多的奇妙之处！。

高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法重难点归纳1二次函数的基本性质2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小⇔a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆)(,2,042rfarabacb(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅)()(qfapfa3分式不等式转化策略:分式转化为整式,且分母是否为0典型题例示范讲解考题欣赏1:(2007年湖北文)设二次函数2()f x x ax a=++，方程()0f x x-=的两根1x和2x满足1201x x<<<．（I）求实数a的取值范围；（II）试比较(0)(1)(0)f f f-与116的大小．并说明理由．剖析:本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a=-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =．当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-121617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法2：（I ）同解法1．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知03a <<-，1170-<<∴又10+>，于是22112(321)1616a a -=-11)016=-+< 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，．（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<．考题欣赏2已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m或112m ∴-<≤-(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) 巩固练习 1 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A (－∞,2] B [－2,2] C (－2,2] D (－∞,－2) 2 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 3 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________ 4 二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________5 已知实数t 满足关系式33log log ay a t a a = (a >0且a ≠1) (1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值6如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7. 若不等式kx 2-2x+1-k<0对满足22≤≤-k 的所有k 都成立，求x 的取值范围.点评：用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法8 一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？。

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。

高考培优 数学“一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。

该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。

这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。

2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。

因此，这部分内容也是基础的内容。

其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。

1. （★★★☆）已知函数2()f x x bx c =++，,b c R ∈，对于任意的x R ∈，不等式2()x b f x +≤恒成立，证明当0x ≥时，2()()f x x c ≤+2. （★★☆☆）已知不等式()22454(1)30m m x m x +---+>恒成立，求实数m 的取值范围。

知识点一：一元二次方程与一元二次不等式的基本解法✧ 子知识点一：一元二次不等式的基本解法。

一般地，对于一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其解集有如下形式：这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。

✧ 子知识点二：注意有关含参数的一元二次方程与一元二次不等式求解时的讨论。

知识点二：利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题✧ 子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。

具体可以参见知识点一中的表格。

✧ 子知识点二：一元二次方不等式（方程）的恒成立问题。

一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点；类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。

不过这道题需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。

二次函数与二次不等式的关系考纲要求：理解二次函数、二次方程与二次不等式的关系，并能利用它们的关系解决相关问题知识梳理：1、二次函数的解析式一般式: y=ax 2+bx+c(a ≠0);顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);两根式: y=a(x -x 1)(x -x 2)(其中x 1, x 2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);2、二次函数的图象有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.诊断练习： 1、解不等式：(1) x 2-7x+12>0 (2)x 2-2x+1<0 (3) -x 2-2x+3≥02、求函数 86)(2+-=x x x f 的定义域。

3、已知不等式ax 2+bx+6>0的解集是{x|-2<x<3}，求a.b 的值4、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.易错点透析：1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.2、函数()86)(2++-=k kx kx x f （K ＞0）的定义域为R ， 求K 的取值范围3、m 是什么实数时，关于x 的方程mx 2-（1-m ）x+m=0没有实数根？巩固练习：1、x 2-3x-4≥0的解集是 (x-1)(2-x) ≥0的解集是 x 2<9的解集是2、求函数()23223log 32)(x x x x x f -++-+=的定义域3、*已知A=｛x │－1≤x ≤1｝ B=｛x │x 2+(a+1)x+a ≤0｝若A ∩B=B ，求a 的取值范围小结：作业：1、 已知集合M={x|3x-x 2>0}, N={x|x 2-4x+3>0},求 M ∩N MUN2、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.3、求函数y=x 2+ax －3 ， x ∈［0,2］的最小值。

二次函数专题二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系问题1：你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗？问题2：请你画出函数223y x x =--图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系，你有什么发现吗？问题3：研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数223y x x =-+的图像和x轴的交点个数，你能得到什么结论？问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？归纳：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x轴没有交点（抛物线全部在x 轴上方或全部在x 轴下方）.（2）当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·a c x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆= 例1 如图，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .例2 二次函数y=c bx ax ++2 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程02=++c bx ax 的两个根（2）写出不等式c bx ax ++2＞0的解集 （3）若方程c bx ax ++2=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.例3 若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．例4 已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12 x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32例5 已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．(1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足k （x 1+x 2）＝2x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．例6 直线y=2x+3与抛物线y=x 2交于A 、B 两点，求AB 的长。