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垂线在生活中的应用我们在平时的生活经常会垂直的问题，这些垂直的问题就是我们相交线中的有关垂线的知识，下面就用实例来说明垂线在我们生活中的应用.例1 如图1，A 是个居民小区的位置，BC 是一条公路，现决定在小区与公路之间再修建一条公路，使得这条新建的公路最短，则这条公路应如何修筑？分析 要使得这条新建的公路最短，可知新建的公路所在的直线应与原来的公路BC 垂直，这样就相当于过直线外一点引已知直线的垂线.解 可以用三角板或用直尺圆规画出点A 到BC 的垂线段.如图4中的粗线AD 即为所求. 说明 本题中实际上就是过点A 作出BC 的垂线段.垂线段的性质是许多几何说理和作图的重要理论依据，一定要注意训练和巩固.例2 如图2，P 为农田，农民要想将小河里的水引到农田里灌溉，请你为农民设计一个引水方案，使得引水的路径最短.分析 要解决这个问题，实质上就是利用几何作图找出它们之间的垂线段的有关知识即可求解.解 如图2，过点P 作小河的垂线，即图中的PQ 为所作.说明 有关线段的最短实际上就是利用“两点之间线段最短”的性质.例3 如图3，木匠师傅要检测多个长方形木窗是否合格，他应当怎样检测所做的长方形木窗，才知道合不合格？分析 只要检验四个都是直角，即相邻互相垂直即是合格的，否则就是不合格的.解 因为长方形的每个角都是直角，根据长方形的每相邻的两边都互相垂直，所以木匠师傅可利用角尺来检测。
角尺是由互相垂直的两根木条组成，如检查长方形的某一顶点的两边与角尺的拐角不吻合，则可确定这个角不是直角，这个长方形木窗就不合格；如果吻合，就合格.说明 以后学习了矩形的知识时，木匠师傅不会通过量对角线的方法检验.DA BC 图1 Q 图2 小河 P 图3例4 一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的学校，如图4所示.（1）汽车在公路上行驶时，会对两个学校的教学都造成一定的影响，当汽车行驶到何处是，分别对两个学校的影响最大？并在图上标出来.（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段路上对两个学校的影响越来越大？又哪一段上对M 学校的影响逐渐减小，而对N 学校的影响逐渐增大？分析 由生活赏识告诉我们，汽车离学校的距离越近，噪音对学校的影响就越大，离学校的距离越远，则噪音对学校的影响就越小.解 利用垂线的知识解答：（1）如图5，作MC ⊥AB 于点C ，ND ⊥AB 于点D ，根据垂线段最短，所以汽车在点C 处对M 学校的影响最大，在点D 处对N 学校的影响最大.（2）汽车由A 和点C 行驶时，对两个学校的影响逐渐增大；汽车由点D 向B 行驶时，对两个学校的影响逐渐减小；汽车由点C 向点D 行驶时，对M 学校的影响逐渐减小，而对N 学校的影响逐渐增大.图4 N M B A 图52. 有理数的减法【知识与技能】1.经历探索有理数减法法则的过程，掌握有理数减法运算.2.从有理数的减法法则中进一步体会加法和减法互为逆运算，以及减法化为加法的转化的数学思想方法.3.在探索有理数减法法则的过程中，向学生渗透归纳、转化等数学思想；在合作学习解决问题过程中，体会合作交流的重要性.【过程与方法】从学生熟悉的生活实例得出“有理数减法”法则，结合温度计的实例，进一步验证了有理数的减法法则的合理性，同时向学生指出了有理数减法的实际意义，从而使学生体会到数学来源于实际，又服务于实际.使学生在经历结论得出的过程中，体会转化的数学思想.【情感态度】通过有理数减法的学习，让学生在学习的过程中加强数感的培养，感受数的意义，学会与人交流，发展学生的思维，培养实事求是的科学态度，渗透讨论法、转化法、归纳法的运用.【教学重点】重点是有理数减法法则和运算.【教学难点】难点是有理数减法法则的推导.一、情境导入，初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：下表是中央气象台发布的2015年1月28日天气预报中部分城市的最高气温和最低气温的统计表：你知道这三个城市的温差吗？如何用数学式子表示？【情境2】实物投影，并呈现问题：从温度计上观察得到三个城市的温差，并得到相应的数学算式.完成下列填空：昆明：9-2=______ 9+______=7杭州：6-（-2）=______ 6+______=8北京：-2-（-12）=______ -2+______=10思考（1）观察每组算式的结果有什么关系？（2）每组算式的运算符号有什么关系？（3）第一组算式中的减数与第二组算式中的第二个加数有什么关系？（4）第一组算式中的被减数与第二组算式中的第一个加数有什么关系？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确理解减法运算的实际意义，通过对比得出有理数的减法与加法的关系，并归纳出有理数的减法法则.情境1中温差=最高气温-最低气温.昆明：9-2；杭州：6-（-2）；北京：-2-（-12）.情境2中（1）每组算式的结果相同；（2）每组算式的运算符号不同，一加一减；（3）第一组算式中的减数与第二组算式中的第二个加数互为相反数；（4）第一组算式中的被减数与第二组算式中的第一个加数相同.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知有理数的减法法则问题1有理数的减法法则的内容是什么？问题２有理数的减法与有理数的加法有什么关系？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.对于法则内容的理解：(1)减法转化为加法，减数要变成相反数.(2)法则适用于任何两个有理数相减.(3)用字母表示一般形式为：a-b=a+(-b).三、运用新知，深化理解1.填空：(1)3-（-3）＝______；(2)（-11）-2＝______；(3)0-（-6）＝______；(4)（-7）-（＋8）＝______；(5)-12-（-5）＝______.2.3比5大______.3.-8比-2小______.4.-4-（）＝10.5.如果a＞0，b＜0，a＞b，则a-b的符号是______.6.用算式表示：珠穆朗玛峰的海拔高度是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度是-155米，两处高度相差______米.7.判断：（1）两数相减，差一定小于被减数.（）（2）（-2）-（＋3）＝2＋（-3）.（）（3）零减去一个数等于这个数的相反数.（）（4）方程x+8=5在有理数范围内无解.（）（5）若a＜0，b＜0，a＞b，a-b＜0.（）8.计算：(1)（-2.5）-5.9；(2)1.9-（-0.6）；(3)（-34）-12；(4)14-（-23）.【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对有理数的减法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.(1)6 (2)-13 (3)6 (4)-15 (5)-72.-23.64.-145.正6.8848-（-155）=90037.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√8.解：（1）(-2.5)-5.9=(-2.5)+(-5.9)=-8.4；（2）1.9-(-0.6)=1.9+0.6=2.5；（3）(-34)-12=(-34)+(-12)=-54；（4）14-(-23)=14+23=1112.四、师生互动，课堂小结1.有理数的减法法则的内容是什么？有理数加法与有理数减法的关系是怎样的？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第21页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.在本节的教学中，通过实际生活的需要引出有理数的减法运算，让学生体会把实际问题转化为有理数减法的过程，说明数学来源于实际，又应用于实际.在教学过程中使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识.学生自己总结、归纳、思考，加强学生的思维，充分发挥学生的学习主动性，同时也培养了学生分析问题的能力.同时强调解题的规范性，培养学生的表达能力.第3课时 实际问题与二元一次方程组（3）【知识与技能】图文信息问题、行程问题、方案设计问题、其他问题.【过程与方法】先独立作业，再交流成果.【情感态度】加强应用能力训练，提高数学兴趣.【教学重点】行程问题、方案设计问题.【教学难点】分析题目中的两个等量关系.一、情境导入，初步认识问题1·千米），铁路运价为 1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？解：设产品重x 吨，原料重y 吨，根据题意填表题目所求数值是______，为此需先解出_____与_____.由上表，列方程组_________________._________________.⎧⎨⎩解得__________.x y =⎧⎨=⎩，因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_____元.问题2 某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中，甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台？解：选择A 型号的电脑后，另外一种只能从D 、E 当中选，所以可分情况讨论.本题中存在的两个等量关系是______,_______________________.A D E A +=⎧⎨+=⎩型号电脑数量或型号电脑数量型号电脑价格 （1）当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x 台，y 台.根据题意，得_________________._________________.⎧⎨⎩解得__________.x y =⎧⎨=⎩，经检验，_______________.（2）当选用方案（A ，E ）时，设购买A 型号、E 型号电脑分别为x 台，y 台. 根据题意，得_________________._________________.⎧⎨⎩ 解得__________.x y =⎧⎨=⎩，经检验，_______________.答：希望中学购买了台A 型号电脑.问题3 （吉林中考）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度是28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ，设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求x,y 的值.解：本题存在两个等量关系：一是演员的身高是高跷长度的2倍；二是演员的身高与高跷和腿重合部分长度的差等于演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度与高跷的长度的差.设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm.根据题意得_________________._________________.⎧⎨⎩解得__________. xy=⎧⎨=⎩，答：演员的身高为______cm,高跷的长度为______cm.【教学说明】在问题1中，要告知学生这种设未知数的方法叫“间接设法”.在问题2中，应用分类讨论思想，注意对求得的结果进行检验.在问题3中，要注意挖掘图中已知条件，找出等量关系.二、思考探究，获取新知思考行程问题的基本数量关系是什么？追及问题、相遇问题的基本等量关系是什么？【归纳结论】行程问题：路程=速度×时间.追及问题：快车路程-慢车路程=被追路程.相遇问题：两者路程之和=两者开始的距离.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快.当两物体反向运动时，每15秒钟相遇1次；当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度.（提示：反向：甲15秒所走路程+乙15秒所走路程=600，同向：甲60秒所走路程-乙60秒所走路程=600.）2.两地相距280千米，一艘轮船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.3.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这批货车的情况如下表：现租用该公司4辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付费30元计算，问货主应付费多少元？【答案】1.解：设甲物体的速度为x m/s，乙物体的速度为y m/s.依题意列方程组得2.解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，依题意列方程组得3.解：设甲、乙两种货车每次分别运货x吨，y吨，依题意有这批货吨数为：4×4+5×2.5=28.5(吨).货主应付费：28.5×30=855（元）.答：货主应付费855元.四、师生互动，课堂小结行程问题：路程=速度×时间工程问题：工作量=工作效率×时间顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速逆水（风）速度=静水（风）速度-水（风）速1.布置作业：从教材“习题8.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的重点是让学生抓住实际问题的等量关系建立方程组模型，以此解决行程问题、图文信息问题和方案设计问题等.教学中采取让学生独立思考、合作交流等方式，帮助学生形成严谨的思维方式，养成良好的学习习惯.。
平行线在生活中的应用数学来源于生活，生活中处处有数学，用数学知识可以解决实际生活中的一些问题。
让我们看看生活中的平行线。
潜望镜与平行线例1 平面镜可以用来制作潜望镜，如图1 ，在管子的上下拐角处，各安装一个平面镜，两块平面镜互相平行放置。
光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，请解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？分析：要解释潜望镜所蕴涵的数学知识，应根据实际问题画出数学图形，如图2，用a表示进入光线，用b表示离开时的光线，只要说明直线a与直线b平行即可。
要说明a//b，只要说明∠5=∠6即可.根据∠1=∠2，∠3=∠4以及平角定义可以说明∠5=∠6。
解：如图2，根据两镜面平行，可知∠1=∠3，因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4，又由∠1+∠2+∠5=180°，∠3+∠4+∠6=180°，所以∠5=∠6.根据“内错角相等，两直线平行〞可知a//b.所以进入和离开潜望镜的光线互相平行。
图1 图2评注：利用平行线的知识解决实际问题，关键是从实际问题中画出相符合的数学图形，借助平行线的性质或判定进行说理.街道与平行线例2 如图3，一条街道的两个拐角∠ABD与∠BDE，∠BDE为150°，你用什么方法可以知道街道AB与街道DE是否图3 平行？分析：学习了平行线判别方法，我们可以将实际为转化数学问题解决，如图32可以将街道ABDE看成是直线AB和DE被直线BD所截，其中∠ABD和∠BDE是内错角，根据两直线平行的判别方法：“内错角相等，两直线平行〞可以测量∠ABD的度数，如果∠ABD=150°，那么AB//DE；如果∠ABD≠150°，那么AB不平行DE.解：测量ABD与EDB，观察是否相等，如果相等，那么根据“内错角相等，两直线平行〞可判断AB//DE。
评注：解决此问题，关键是从实际问题抽象出数学图形，然后根据平行线的识别方法进行判定。
