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第三节、二维与三维波动方程 研究波在空间传播问题.归结为求下列三维波动方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞=+∞<<-∞=>+∞<<-∞=∆-==),,(),,(),,(),,()0,,,(0002z y x z y x uz y x z y x u t z y x u a u t t t tt ψϕ一、 球对称情形 在球坐标系⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x 下：2222222sin 1)(sin sin 1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆u r u r r u r r r u 若初位移、初速度),,(),,,(z y x z y x ψϕ仅是r 的函数，则解);,,(t z y x u 也仅是r 和t 的函数，此时称定解问题是球对称的．．．．。
且 222222222r ur u r zu y u x u u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∆这时波动方程可简化为0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂r u r u r a t u 进一步有0)()(22222=∂∂-∂∂rru a t ru 所以球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂==∂∂-∂∂===0|)(|)()(|)(0)()(0022222r t t ru r r tru r r ru r ru a tru ψϕ 由D ’Alembert 公式，⎪⎩⎪⎨⎧⎰≤-+---++⎰>-+--+++=+-+-rat r at atr at r at r d arr r at r at at r at r at r d arr at r at r at r at r t r u 0)(212)()()()(0)(212)()()()(),(ξξξψϕϕξξξψϕϕ二. 一般情况 令ωςηξπςηξπd t u dS t u rt r u M M rS S ⎰⎰=⎰⎰=1),,,(41),,,(41),(2),(t r u —函数),,,(t z y x u 在球面M r S 上的平均值。
波动方程初值问题波动方程初值问题是在物理学中经常遇到的一类问题，研究的是在给定初始条件下的波动现象。
下面将详细介绍波动方程初值问题的相关知识点。
一、波动方程初值问题的基本概念波动方程初值问题是指，在已知波动方程及其初值条件的情况下，求解波动过程中各时刻的波动状态的问题。
波动方程通常描述的是波动的传播过程，具有一定的数学形式，解析解往往难以直接求得，需要利用适当的数值方法进行逼近求解。
二、波动方程初值问题的求解方法1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法，适用于求解一类边值问题。
对于某些特定的波动方程，可以采用分离变量法，将其转化为一系列常微分方程，进而求解出波动状态函数。
2.有限差分法有限差分法是通过离散化波动方程，在网格节点处计算差分近似值，并通过求解差分方程组来求解问题。
它是一种基本且有效的数值方法，被广泛地应用于求解波动方程初值问题。
3.有限元法有限元法是将具有一定连续性的结构或介质离散成若干个有限单元，在有限单元内进行数值计算，最终求解整个问题的方法。
比起有限差分法，有限元法的适用范围更广，也更为精确，但计算量较大，在实际应用时需要考虑计算效率和求解精度之间的平衡。
三、波动方程初值问题的应用波动方程初值问题广泛应用于物理学、化学工程、机械制造等领域中，如声波、电磁波、光波、地震波等的传播与反射，可以通过波动方程初值问题来描述和计算这些物理现象。
总之，波动方程初值问题是一类具有一定难度的数学问题，求解该类问题需要掌握一定的数值计算方法和物理知识，并且需要对实际问题进行具体分析才能得出最优的求解方案。
