仿射变换

仿射变换作用一、什么是仿射变换仿射变换是指在平面上对点、直线、平行线等进行变换的一种数学方法。

它是一种保持平行线仍然平行的变换，因此在计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。

二、仿射变换的作用1. 图像处理在图像处理中，仿射变换可以用来实现图像的旋转、缩放、平移等操作。

例如，我们可以通过仿射变换将一张倾斜的图片旋转成正常的图片，或者将一张图片缩小或放大。

2. 计算机视觉在计算机视觉中，仿射变换可以用来实现图像的配准、纠正畸变等操作。

例如，我们可以通过仿射变换将两张不同角度的图片进行配准，或者将一张畸变的图片进行纠正。

3. 三维重建在三维重建中，仿射变换可以用来实现相机的标定、图像的投影等操作。

例如，我们可以通过仿射变换将相机的内参和外参进行标定，或者将三维模型投影到二维平面上。

三、仿射变换的分类1. 平移变换平移变换是指将图像沿着某个方向进行移动的变换。

它可以用一个二维向量来表示，例如 (tx, ty) 表示在 x 方向上移动 tx 个像素，在 y 方向上移动 ty 个像素。

2. 旋转变换旋转变换是指将图像绕着某个点进行旋转的变换。

它可以用一个角度来表示，例如θ 表示绕着原点旋转θ 度。

3. 缩放变换缩放变换是指将图像沿着某个方向进行缩放的变换。

它可以用一个二维向量来表示，例如 (sx, sy) 表示在 x 方向上缩放 sx 倍，在 y 方向上缩放 sy 倍。

4. 剪切变换剪切变换是指将图像沿着某个方向进行剪切的变换。

它可以用一个二维向量来表示，例如 (shx, shy) 表示在 x 方向上剪切 shy 个像素，在 y 方向上剪切 shx 个像素。

四、仿射变换的实现仿射变换可以通过矩阵运算来实现。

具体来说，我们可以将仿射变换表示为一个 3x3 的矩阵，然后将图像中的每个点表示为一个 3x1 的向量，通过矩阵乘法来实现变换。

例如，对于平移变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```1 0 tx0 1 ty0 0 1```对于旋转变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1```对于缩放变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```sx 0 00 sy 00 0 1```对于剪切变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```1 shy 0shx 1 00 0 1```通过这些矩阵，我们可以实现各种不同的仿射变换操作。

详细描述
平移仿射变换涉及将图形在二维平面内沿某一方向进行移动，而不改变图形之 间的相对位置和形状。这种变换通常由一个平移矩阵表示，其中包含平移向量 和单位矩阵。平移向量决定了图形移动的距离和方向。
旋转仿射变换
总结词
旋转仿射变换是围绕某一点旋转图形，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
旋转仿射变换涉及将图形围绕某一点进行旋转，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个 旋转矩阵表示，其中包含旋转角度和旋转中心点坐标。旋转角度决定了图形旋转的角度，而旋转中心点坐标决定 了旋转的基准点。
缩放仿射变换
总结词
缩放仿射变换是改变图形的大小，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
缩放仿射变换涉及将图形的大小进行缩放，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常 由一个缩放矩阵表示，其中包含缩放因子和缩放中心点坐标。缩放因子决定了图形缩放的程度，而缩 放中心点坐标决定了缩放的基准点。
03
图像校正
通过仿射变换，可以将倾 斜的图像进行校正，使其 恢复水平或垂直状态。
图像拼接
在图像拼接过程中，可以 使用仿射变换将多张图像 进行对齐，实现无缝拼接。
特征点匹配
通过仿射变换，可以将不 同视角下的图像进行对齐， 便于特征点匹配和计算。
计算机图形学中的仿射变换
3D模型渲染
在3D模型渲染过程中，可以使用 仿射变换对模型进行旋转、缩放 和平移等操作，以实现各种视觉
THANKS.
仿射变换的基本性质
仿射变换不改变图形间的相对 位置和大小关系，即保持平行 性和等比例性。
仿射变换可以分解为一系列基 本变换的组合，如平移、旋转、 缩放等。
仿射变换可以保持直线的性质， 如直线的平行性和垂直性。

仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆b2仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积k AC-k BC=--a仿射变换定理二：-=-（拉伸短轴）；-=-（压缩长轴）.S b S a拉伸短轴后点的坐标变化：AO。

,％）T A’。

；。

,一%）,横坐标不变，纵坐标拉伸一倍.b b斜率的变化：如图纵坐标拉伸了色倍，故k'=-k,由于k.-k..=-l.b b AC BCb b b2bk AC'k BC=~k AC'^k BC=——，S徵BC=一、函毗/（水平宽不变，铅垂高缩小）•a a a a压缩长轴后点的坐标变化：A（x0,y0）A'（—x0,y0）,纵坐标不变，横坐标缩小'倍.a a斜率的变化：如图横坐标缩小了"倍，故k'=-k,由于k.-k RC.=-1.a b AC BCh h h ak AC，k BC=-k AC,-k BC=一~'S a ABC=检,，，（水平宽扩大，铅垂高不变）.a a a b例1（2013-新课标）椭圆C:j+：=l的左、右顶点分别为A、劣，点P在C上且直线必2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线F&斜率的取值范围是（）12~「°3"113,; B.; C.-,1; D.-,1_2'4__8'4_24例2（2016•北京）已知椭圆C:与+土=1过点A（2,0）,5（0,1）两点.a b（1）求椭圆。

的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆。

上，直线PA与y轴交于点M,直线P3与x轴交于点N,求证:四边形A3NM的面积为定值.22A7例3(2014•新课标I)已知点A(0-2),椭圆E:二+二=1(。

〉力〉0)离心率为匚，F是椭圆的右a b2焦点，直线AF的斜率为全3,。

为坐标原点.3(1)求E的方程;(2)设过点A的直线/与E相交于P、。

§3 仿射对应
1. 仿射对应 图形表示
ÖÐÎ çÑô¹ ß âÏ
代数表示
ÔçÉÏ Ñô¹ ß âÏ
B0 A0
0
C0 B
1
1 1
2
C B' C' A'
µØÃæ
2 11
A

ǽ ±Ú
仿射对应：有限个平行投影的积称为仿射对应。 仿射变换：从平面到自身的仿射对应称为仿射变换。
2 31 4 ( ABC ) 。 2 ( 1) 3 2 1 3
D A C E B
4. 仿射变换的代数表示 如图, OP OO OP , 另一方面, OP xe1 ye2 , 所以 xe1 ye2 OO OP 。 OO x 0 e1 y0 e 2 又
。
例2 试确定仿射变换, 使 y 轴, x 轴的象分别为直线 x + y + 1 = 0,
x – y – 1 = 0，且点 (1, 1) 的象为原点。
解：设
hx x y 1, ky x y 1
将 (1, 1) 变为 (0, 0) 得 h = 1 , k = –1， 所以
x a x c 1 ( 1) 2 , x b x c 2 ( 1) 3
( ABC )
ya yc 2 0 2 ， yb yc 3 0 3
2 。 3
所以A、B、C三点共线，所以
例2 已知A(1, 1), B(–1, 2), 直线AB交直线2x + 3y – 1 = 0于C， 求 (ABC) 。 解：
仔细观察下列各图:
A A0 A' B'
B B0 C'