公司的投资问题_数学建模 2

公司投资问题的数学模型摘要本文要研究的是公司在未来5年内如何利用20亿投资金额来投资使得第五年年末时所得利润最大的问题。

对此，我们综合利用了线性规划、灰色预测、灵敏度分析、残差检验等方法对题中所给问题逐一解决。

对于问题一：问题一是典型的线性规划问题，我们建立了在不考虑风险的情况下以第五年末最大利润为目标的单目标最优化模型。

首先，每一年年初投资的金额不能大于可用投资金额，可列出第一个约束条件。

其次，每一个项目在其运行期再进行投资时不能超过其投资上限，可列出第二个约束条件。

第五年年末的利润即为第五年年末的本利与20亿投资金额之差，可列出目标函数。

然后通过建立的最优化模型求得第五年年末的最大利润为153254.4万元。

每个项目每年的投资金额见问题一求解的表二。

最后对所建模型进行灵敏度分析。

对于问题二：首先，对题中表二和表三所给数据利用公式（到期利润率=到期利润/投资总金额）对数据进行处理，求出其对应的利润率（见附录二）。

然后利用灰色系统理论中的GM（1,1）预测模型分别对独立投资和同时投资两种方案的到期利润率进行预测。

再以负利润率的期望作为衡量风险损失率的指标，即风险损失率等于负利润率的期望，最后得到到期利润率和风险损失率的预测值（预测结果见问题二的求解）。

对于问题三：在前两问的基础上，考虑同时投资时项目间的相互影响，利用问题二中所求得的到期利润率建立以第五年年末最大利润为目标的单目标最优化模型。

最后求得第五年年末的最大利润为248511.3万元。

每个项目每年的投资金额见问题三求解的表二。

对于问题四：问题四考虑了投资风险，利用问题二中得到的风险损失率，在问题三的基础上，建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。

最后求得最大利润为267314.3万元。

每个项目每年的投资金额见问题四求解的表一。

对于问题五：问题五同样考虑了投资风险，多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资，贷款的钱用于其它项目的投资，类比问题四，建立多目标优化模型，通过LINGO软件包求得，当风险度a为0.13时，得到最大利润为277858.3万元。

每个项目每年的投资金额见问题五求解的表一。

关键词：线性规划、灵敏度分析、灰色预测、残差检验、1.问题重述1.1问题背景某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。

其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。

1.2需要解决的问题问题一:根据附录一表1实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？问题二:公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见附录一表2。

同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附录一表3。

(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。

问题三:未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。

对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。

各投资项目的投资上限见附录一表4。

在问题三的背景下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？问题四:考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。

如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？问题五:为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?2.模型的假设假设一：题目所给的数据是真实可靠的。

假设二：没有交易费、投资费等开支。

假设三：在投资的五年时间内市场发展基本上是稳定的。

假设四：公司的经济发展对投资无较大影响。

假设五：投资期间社会政策无较大变化。

假设六：假设每一年银行与公司只有贷款或存款中的一种业务。

假设七：贷款利率和存款利率稳定。

假设八：第五年年末，银行与公司终结存款或贷款业务。

3.符号的说明符号符号说明u ij第j年第i个项目的投资金额r i问题一中第i个项目的预计到期利润率Q j第j年年初可用用于投资的金额Q第五年年末的本利s i问题一第i个项目在运行期的投资上限()n i问题三、四中第i个项目在运行期的投资上限()q ij第i个项目第j年的风险损失率c j第j年存入银行的金额e j第j年在银行存款的金额m j第j年银行存款利率n j第j年贷款利率4.问题分析此题研究的是公司在未来五年内有八个项目可供投资的条件下如何来安排每年的投资使得第五年年末时能获取最大利益的问题。

针对问题一:要得到第五年年末的最大利润，则要建立一个以最大利润为目标的单目标最优化模型。

对于约束条件的确定，首先，题目已给出每个项目每年的投资上限，因此每个项目每年投资金额不能大于此上限。

其次，由于每一年年末的本利可用于下一年投资，因此要计算出每一年年初可用于投资的金额Q i，而这一年的投资金额不能大于可用于投资的金额。

对于目标函数的建立，由于第五年年末的利润即为第五年年末的本利与20亿投资金额之差，据此即可建立以第五年年末的最大利润为目标的目标函数。

针对问题二:由于实际投资中，同时投资的项目之间会有相互影响，因此要根据所给数据来预测独立投资和项目之间相互影响下同时投资的到期利润率和风险损失率。

我们采用灰色系统理论中的GM（1,1）预测模型，对五年的利润率进行预测并对预测值进行检验和残差修正。

再根据预测的五年内的利润率和前20年的利润率，用公式（风险损失率=利润率的期望）来预测未来五年的风险损失率。

最终得到到期利润率和风险损失率的预测值。

针对问题三:在不考虑投资风险的情况下，若项目1投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。

在模型一的基础上，通过问题二得出的到期利润率以及问题三中所要求的条件，对目标函数和约束条件进行改造，建立模型三。

针对问题四:前三问都是不考虑投资风险，问题四是在考虑投资风险的情况下，由于投资每个项目都存在风险，因此以投资风险最大的一个风险作为总风险。

利用问题二中得到的风险损失率，在问题三的基础上，建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。

并对模型进行简化，转化为以第五年年末最大利润率为目标的单目标优化模型。

针对问题五：问题五同样考虑了投资风险，多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资，贷款的钱用于其它项目的投资，类比问题四，建立多目标优化模型，然后通过LINGO软件包求最大利润。

5.数据分析定义1 运行期指从投资开始到回收本利的这段时间。

定义2 到期利润率指到期利润与投资本金的商。

定义3 风险损失率等于到期损失率的期望。

5.1问题五中银行历年贷款利率调整时间利率（%）贷款时间六个月至一年（含一年）调整时间利率（%）贷款时间六个月至一年（含一年）1991.04.21 8.64 2007.03.18 6.39 1993.05.15 9.36 2007.05.19 6.57 1993.07.11 10.98 2007.07.21 6.84 1995.01.01 10.98 2007.08.22 7.02 1995.07.01 12.06 2007.09.15 7.29 1996.05.01 10.98 2007.12.21 7.47 1996.08.23 10.08 2008.09.16 7.20 1997.10.23 8.64 2008.10.09 6.93 1998.03.25 7.92 2008.10.30 6.66 1998.07.01 6.93 2008.11.27 5.58 1998.12.07 6.39 2008.12.23 5.31 1999.06.10 5.58 2010.10.19 5.56 2002.02.21 5.31 2010.12.26 5.81 2004.10.29 5.58 2011.02.09 6.06 2006.04.28 5.85 2011.04.06 6.31 2006.08.19 6.12 2011.07.07 6.566. 问题一的解答6.1模型一的建立 6.1.1确定目标函数对于目标函数的建立，首先通过每一年年初可用于投资的金额来分类讨论如下表一。

表一：每年年初可用于投资的金额 （单位：万元）每年年初可用于投资的金额第一年 51210Q =⨯第二年 28211111(1)i i i i i Q Q ur u ===++-∑∑第三年 42832122311(1)(1)i i i i i i i i Q Q ur ur u ====++++-∑∑∑第四年 64284312335311(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i Q Q ur ur ur u =====++++++-∑∑∑∑第五年64285423445311(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i Q Q ur ur ur u =====++++++-∑∑∑∑第五年年末的本利为:26572783851(1)(1)i ii Q Q u u u r ur ==+++++∑第五年年末所得利润即:61y Q Q =-综上所述，得到问题一的目标函数为： 61m ax y Q Q =- 6.1.2确定约束条件每个项目在运行期间进行投资时要小于其投资上限，并且每年年初的投资金额要满足小于等于每年年初可用于投资的金额，其中，各个投资项目的投资上限是在任一项目的运行期（指从投资开始到回收本利的这段时间）间公司对该项目投资金额不能超过该项目的投资上限，每年可用投资金额等于上一年可用投资金额减去上一年的总投资再加上上一年年末个项目回收的本利，因此得到问题一的约束条件如下：,1,1,2728() (1,2;1,2,3,4,5)() (3,4;2,3,4,5)..() (5,6;3,4,5)(7)8:ijij i j ij i j i j u s i i j u u s i i j s t u u u s i i j u s u ---≤==+≤==++≤==≤项目1、项目2每年的投资金额限制:项目3、项目4在两年运行期的投资金额限制:项目5、项目6在三年运行期的投资金额限制:项目7的投资金额限制:项目的投资金额限制3(8)s ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⎩81118221833184418551..i i i i i i i i i i u Q u Q s t u Q u Q u Q =====⎧≤⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎪⎪≤⎪⎩∑∑∑∑∑6.1.3综上所述，得到问题一的最优化模型目标函数： 61m ax y Q Q =-265727838516428542344531164284312335311283212211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Q Q u u u r urQ Q ur ur ur uQ Q ur ur ur u Q Q ur ur u==============+++++=++++++-=++++++-=++++-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑其中，432821111151(1)210i i i i i Q Q ur uQ ==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=++-⎪⎪=⨯⎩∑∑∑,1,1,2728() (1,2;1,2,3,4,5)() (3,4;2,3,4,5)..() (5,6;3,4,5)(7)8:ijij i j ij i j i j u s i i j u u s i i j s t u u u s i i j u s u ---≤==+≤==++≤==≤项目1、项目2每年的投资金额限制:项目3、项目4在两年运行期的投资金额限制:项目5、项目6在三年运行期的投资金额限制:项目7的投资金额限制:项目的投资金额限制3(8)s ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⎩81118221833184418551..i i i i i i i i i i u Q u Q s t u Q u Q u Q =====⎧≤⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎪⎪≤⎪⎩∑∑∑∑∑6.2模型一的求解根据以上建立的模型，利用LINGO 软件包求得每一年每个项目的投资金额、如下表二，每年年初的投资总金额如下表三，每年年初的可用投资金额如下表四：表二 ：每年每个项目的投资金额 （单位：万元）项目投资金额 年份第一年第二年第三年第四年第五年项目一 60000 45544.44 60000 60000 60000 项目二 30000 30000 30000 30000 30000 项目三 40000 0 040000 0 项目四 30000 0 25254.44 4745.556 0 项目五 3755.556 0 26244.44 0 0 项目六 20000 00 0 0 项目七 0 40000 00 0 项目八30000表三：每年年初的投资总金额 （单位：万元）100002000030000400005000060000投资金额第一年第二年第三年第四年第五年年数每年每个项目的投资金额项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 年初投资总金额 163755.556 105544.44 171498.88 17745.556 90000表四：每年年初可用金额 （单位：万元） 年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年每年年初可用金额 200000 115544.4 171498.9 134745.6 131373.1在第五年年末，得到的本利P 为35325.44万元。