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整数的认识与运算整数在数学中起着重要的作用，是我们日常生活中最基本的数学概念之一。
我们通过认识整数的定义和运算规则，可以更好地理解和应用整数。
一、整数的概念整数是由零、正整数和负整数组成的集合，用符号Z表示。
整数的特点是可以无限增加或减少，没有小数部分。
二、整数的分类根据整数的正负性，可以将整数分为正整数和负整数。
正整数是大于零的整数，用正号(+)表示；负整数是小于零的整数，用负号(-)表示。
三、整数的运算规则1. 加法运算：整数相加的结果仍然是整数。
当两个整数符号相同时，将绝对值相加，符号不变；当两个整数符号不同时，将绝对值相减，符号取与绝对值较大数相同。
2. 减法运算：整数相减的结果仍然是整数。
减去一个整数等于加上这个整数的相反数。
3. 乘法运算：整数相乘的结果仍然是整数。
当两个整数符号相同时，结果为正；当两个整数符号不同时，结果为负。
4. 除法运算：整数相除的结果不一定是整数。
若两个整数符号相同，结果为正；若两个整数符号不同时，结果为负。
四、整数运算的实际应用1. 温度计算：温度常用摄氏度表示，正数表示高温，负数表示低温。
当我们计算温差时，需要进行整数的加法运算。
2. 资产负债表：在财务会计中，资产代表了公司的资源，负债代表了公司的债务和负债，通过计算资产与负债的差额，可以得出公司的净资产。
3. 欠款与还款：在日常生活中，借款和还款涉及到整数的加法和减法运算。
借钱是负数，还钱是正数，通过计算欠款和还款的差额，可以了解借贷关系的变化。
五、整数运算的性质1. 交换律：整数加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a×b=b×a。
2. 结合律：整数加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)。
3. 分配律：整数加法和乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
六、小结整数是数学中的基础概念，通过对整数的认识和运算规则的学习，我们可以更好地理解整数的性质和应用。
整数的分类与运算整数是数学中的一种基本数集，它包含了正整数、负整数和零。
在数学运算中，整数具有特定的分类和运算规则。
本文将详细讨论整数的分类与运算，并按照合适的格式进行阐述。
一、整数的分类整数可以分为以下几类：正整数、负整数和零。
1. 正整数：正整数是大于零的整数，用正号表示。
例如，1、2、3等都属于正整数。
2. 负整数：负整数是小于零的整数，用负号表示。
例如，-1、-2、-3等都属于负整数。
3. 零：零表示没有数量的概念，整数中唯一的一个既不属于正整数又不属于负整数的数。
用0表示。
二、整数的运算整数的运算包括加减乘除四则运算和取模运算。
1. 加法运算：整数之间的加法运算可以简单地进行数值相加，符号按照以下规则确定：- 两个正整数相加，结果仍为正整数；- 两个负整数相加，结果仍为负整数；- 正整数和负整数相加，结果的符号由绝对值大的整数决定，绝对值大的整数决定结果的正负；- 加法运算还满足交换律和结合律。
2. 减法运算：整数之间的减法运算可以简单地进行数值相减，符号按照以下规则确定：- 一个整数减去另一个整数，可以转化为加法运算，即加上被减整数的相反数；- 减法运算还满足减法法则，即减数加上差等于被减数。
3. 乘法运算：整数之间的乘法运算结果仍为整数，符号按照以下规则确定：- 两个正整数相乘，结果仍为正整数；- 两个负整数相乘，结果仍为正整数；- 一个正整数和一个负整数相乘，结果仍为负整数；- 乘法运算还满足交换律和结合律。
4. 除法运算：整数之间的除法运算可能会产生小数和余数，符号按照以下规则确定：- 两个正整数相除，结果可以为正整数、小数或分数；- 两个负整数相除，结果可以为正整数、小数或分数；- 正整数除以负整数，结果可以为正整数、小数或分数；- 负整数除以正整数，结果可以为正整数、小数或分数；- 除法运算满足除法法则。
5. 取模运算：整数除法中的取模运算是指在整数除法中求得的余数。
取模运算可以用符号“%”表示。
小学数学“数的认识”-知识点大全一、整数的分类1.自然数表示物体个数的1、2、3、4、5、6、7……都是自然数，一个物体也没有用0表示，0也是自然数。
所有的自然数都是整数。
2.整数的分类整数分为：正整数、0、负整数。
正整数和0就是自然数。
注意：自然数都是整数，但它只是整数的一部分，不能说整数都是自然数。
二、整数的组成1.计数单位。
个（一）、十、百、千、万…亿、十亿、百亿、千亿等都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是十，像这样每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数法。
2.数位和位数在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫数位，同一个数字所在的数位不同，表示的数的大小也就不同。
例如：2002中的左起第一个“2“所在的数位是千位，表示2个一千，左起第二个“2”在个位上表示，2个一。
位数是指一个数用几个数字写出来，最左端也就是最高位不能是0，有几个数字就是几位数，或者说一个自然数含有几个数位就是几位数例如：1358含有四个数位，则1358就是四位数。
下图是整数数位顺序表三、整数的读写1.整数的读法先分级，再从最高级读起，亿级、万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个亿或万字，每级末尾不管有几个零都不读，其他数位上有一个0或连续几个零都读只读一个0，例如，210073210读作：二亿一千零七万三千二百一十。
2.整数的写法。
先分级，再从最高级写起，数位上是几就写几，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
例如：二千二百零三万一千一百写作：22031100。
四、整数的大小比较比较两个整数的大小时，可以按照下面的规则来比较：1.位数不相同的两个数，位数多的数就大。
2.位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。
例如：9800<78320<87320<87460五、整数的改写有时为了读写方便，常常把一些较大的数改写成用“万“或“亿”作单位的数。
数学中数分类在数学中，数的分类是一项基础而重要的工作。
数的分类可以帮助我们更好地理解和运用数学知识，它是数学研究的基础。
一、整数类整数是最基本的数的分类之一。
整数包括正整数、负整数和零。
通过对整数的研究，我们可以了解整数之间的大小关系，以及整数的运算法则。
1. 正整数正整数是指大于零的整数，用正号表示。
正整数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，可以通过数轴来表示其大小关系。
2. 负整数负整数是指小于零的整数，用负号表示。
负整数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
在数轴上，负整数位于原点的左侧，其大小关系也可以通过数轴来表示。
3. 零零是一个独特的整数，它既不是正整数也不是负整数。
零在数轴上位于原点，它是数轴上的一个分界点，用来分割正整数和负整数。
二、有理数类有理数是指可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括整数、分数和小数。
1. 分数分数是有理数的一种形式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是整数。
分数可以表示数的比例关系，例如1/2、3/4等。
在分数中，分子表示被除数，分母表示除数。
2. 小数小数是有理数的另一种形式，它表示整数和分数之间的关系。
小数可以用十进制表示，例如0.5、0.75等。
小数可以进行加减乘除等数学运算。
三、无理数类无理数是指不能表示为有限小数或循环小数的数。
无理数无法精确地表示为分数或小数。
常见的无理数有π和√2等。
无理数在数学中起到了重要的作用，在几何学等领域有广泛的应用。
四、实数类实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
实数包括整数、分数、小数和无理数等。
实数在数学中的应用非常广泛，可以用来描述各种自然现象和物理现象。
总结：数学中的数分类可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。
通过对整数、有理数、无理数和实数等不同类别的数进行研究，我们可以深入了解它们之间的关系和特性。
数的分类为数学的发展提供了基础，也为我们在解决实际问题时提供了有力的工具。
七年级整除知识点整除是小学数学中的一个基础概念，也是七年级数学学习中的一项重要知识点。
下面将通过几个方面来介绍七年级整除知识点。
一、整数的概念和分类整数是由零和自然数组成的数集。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零既不是正整数也不是负整数，但它是整数的一部分。
二、整除的定义对于两个正整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=bc，则称a能被b整除，b能除尽a，也可以说b是a的因数，a是b的倍数。
记作：b|a，读做“b整除a”。
三、判断整除的方法1. 用因数分解法来判断整除，即将被除数分解成若干个质因数的乘积，如果除数也能分解成一样的质因数，那么它就能整除被除数。
例如：90能否被3整除？90=2×3×3×5，3=3×1，因此3整除90。
2. 直接带入法。
如果除数b乘上某个数k等于被除数a，即a=kb，那么b就能整除a，k是除数b除以被除数a得出的商。
例如：24能否被3整除？24÷3=8，因为商8是整数，所以3整除24。
四、整除的性质1. 若a整除b，b整除c，则a整除c。
（除法传递律）2. 若a整除b，b整除a，则a=b或a=-b。
（除法反演、约数定义）五、最大公约数和最小公倍数1. 最大公约数两个数a和b的公约数是同时能够整除它们的数，最大公约数是指所有公约数中最大的那个数。
例如：20和30的公约数有1、2、5、10，其中最大的是10，因此20和30的最大公约数是10。
2. 最小公倍数两个数a和b的公倍数是它们的倍数，最小公倍数是指所有公倍数中最小的那个数。
例如：6和8的公倍数有24、48、72，其中最小的是24，因此6和8的最小公倍数是24。
在日常生活中，我们可以使用最大公约数和最小公倍数的知识来解决一些实际问题，例如求两个数的比例、化简分数等。
六、练习题1. 36能否被2整除？4能否被2整除？2. 求24和32的最大公约数和最小公倍数。
初一数学分类思想方法总结初一数学分类思想方法总结数学是一门抽象而具有普遍适用性的学科，它是联系科学和生活的桥梁。
在初一阶段，学生们接触到了一些基本的数学概念和方法，如整数、分数、小数、图形、代数等。
在这个学习阶段，教师需要采取适当的分类思想方法来帮助学生理解和运用数学知识。
下面是对初一数学分类思想方法的总结。
一、整数的分类思想方法：在初一阶段，整数是一个重要的数学概念。
整数既包括自然数（包括0），也包括负整数。
在整数的学习中，可以采取以下分类思想方法：1. 整数的分类：整数可以分为正整数、负整数和0。
正整数表示有多个对象，负整数表示少于一个对象，而0表示没有对象。
2. 整数的绝对值：整数的绝对值是该整数到0的距离，对于正整数来说，绝对值等于其本身，对于负整数来说，绝对值等于其相反数。
3. 整数的比较与排序：可以采用数轴的方法，将整数按照大小比较并排序。
在比较和排序过程中，需要考虑到整数的正负性和零的特殊性。
二、分数的分类思想方法：分数是初中数学中的一个重要内容，也是一个相对抽象的概念，这就需要采用合适的分类思想方法来帮助学生理解和应用分数。
1. 分数的分类：分数可以分为真分数、假分数和整数。
真分数表示分子小于分母，假分数表示分子大于等于分母，整数表示分子等于分母。
2. 分数的比较与排序：分数的比较需要先将其转化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
在排序中，可以通过将分数转化为小数的方式，从而实现分数的比较排序。
三、小数的分类思想方法：小数是数学中的一个重要概念，它与分数有着密切的联系。
在初一学习阶段，可以采取以下分类思想方法来帮助学生理解和应用小数。
1. 小数的分类：小数可以分为有限小数和无限小数。
有限小数表示小数部分有限位数，无限小数表示小数部分无限位数。
2. 小数的比较与排序：可以将小数转化为分数的形式，然后比较分数的大小。
在排序中，可以将小数转化为数轴上的点，从而实现小数的排序。
四、图形的分类思想方法：图形是初一数学中的一个重要内容，它涉及到平面图形和空间图形。
整数的定义是什么？导读：本文是关于生活中常识的，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
正整数、负整数和0统称为整数。
整数的个数是无限的，没有最小的整数和最大的整数。
一、整数的分类和意义１.自然数的含义：自然数源于数数，在数物体的时候，用来表示物体个数的１，２，３，…99，100…都叫做自然数。
一个物体也没有，用０表示（0也是自然数）。
最小的自然数是０，最小的一位数是１，自然数的单位是１。
２.自然数（０除外）的两方面意义（１）用来表示事物多少的叫基数。
例："７本书"中的"７"是基数；（２）用来表示事物次序（顺序）的叫序数。
例："第９天"中的"９"是序数。
３.０的意义（０的作用）（１）在计数时０起占位作用，表示该位上没有单位；（２）表示起点，如零刻度；（３）计数，如果一个物体也没有，用０表示；（４）表示界线，如温度计，数轴上的０，表示正、负数的分界线；（５）０是一个完全有确定意义的数；（６）０不能作除法的除数、分数的分母、比的后项；（７）０是最小的自然数，是一个偶数；是任何自然数（０除外）的倍数。
４.整数的含义像-５，-２，０，２，５，10，……这样的数统称整数。
整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数。
（１）正整数：大于０的自然数或整数。
（２）负整数：像-１，-２，-３，……这样的数叫做负整数。
它是与正整数表示相反意义的量。
（小于０的整数。
）（３）０既不是正数也不是负数，它是最小的自然数。
１是最小的一位数。
5.整数的分类６.正数和负数（１）正数的含义像以前学过的+１、+200、+、+4.8、+24％，……这样的数叫做正数。
正数前面的"+"号，称为正号，也可以省去不写。
（２）负数的含义小于０的数叫做负数。
像-5、-7.8、-、-500、-35％，……这样的数都是负数。
７.负数在日常生活中的应用正、负数是表示两种具有相反意义的量。
整数的分类和表示方法整数是数学中最基本的概念之一，它们用于表示数量和实际物体的数量。
整数的分类和表示方法是数学研究的重要方向，同时也是计算机科学、物理学等众多学科领域的基础。
本文将探讨整数的分类和表示方法，以及它们在实际应用中的作用。
一、整数的分类在数学中，整数可以按照多种分类方式进行划分。
其中最常用的一种是：正整数、负整数和零。
正整数通常表示计数（例如你有3个苹果），而负整数表示欠债（例如你欠了2美元）。
零则表示数量为零，或无法表示的数量。
另一种分类方式是基于整数的奇偶性质。
一个整数如果可以被2整除，那么它就是偶数；否则，它就是奇数。
接下来是一些整数分类的特例：素数：只有1和自己本身能够整除该整数的正整数称为素数。
例如2、3、5、7、11、13等。
合数：除了1和它本身以外还有其他因数的正整数称为合数。
例如4、6、8、9、10等。
一些有趣的数字分类：完全数：如果一个正整数等于它的所有因数之和，那么它就是完全数。
例如6、28、496等。
阶乘数：一个整数的阶乘是所有小于或等于它的正整数的乘积。
例如5的阶乘是5×4×3×2×1=120，120就是5的阶乘数。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
例如1、1、2、3、5、8、13等数字都属于斐波那契数列。
这个数列在自然科学、金融学等领域都有广泛的应用。
二、整数的表示方法在计算机科学领域中，整数的表示方法非常关键。
简单来说，计算机必须将整数转换为它内部理解的二进制形式，才能进行运算。
在这种表示方法中，每一位要么是0，要么是1，表示2的幂次方。
例如，十进制数55可以用二进制表示为00110111。
其中，第一位表示2的6次方，第二位表示2的5次方，以此类推。
对于二进制数的每一位，它的值要么是0，要么是1，因此表示的数值有限。
在计算机中，整数通常有一个固定的位数。
这个位数称为整数的位宽。
常见的位宽有8、16、32和64位。
神奇的数字认识整数的特性整数是数学中最基本的概念之一，它们在我们的日常生活中起着至关重要的作用。
本文将探讨整数的特性，介绍一些有趣的数字，并探索它们背后的数学原理。
一、整数的定义与分类整数是由正整数、负整数和零组成的数集。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零则是既不是正整数也不是负整数的特殊数值。
二、整数的基本运算整数可以进行四则运算：加法、减法、乘法和除法。
其中，加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法则不存在交换律。
三、整数的特性1. 整数的奇偶性整数可以分为奇数和偶数两类。
如果一个整数能被2整除，那么它就是偶数；否则，它就是奇数。
例如，2、4和6都是偶数，而1、3和5则是奇数。
2. 整数的因数与倍数整数的因数是能够整除它的数，而整数的倍数是能够被它整除的数。
例如，整数12的因数有1、2、3、4、6和12，而它的倍数有12、24、36等等。
3. 整数的质数与合数如果一个整数大于1且除了1和它本身外没有其他因数，那么它就是一个质数；反之，如果一个整数大于1且有除了1和它本身之外的因数，那么它就是一个合数。
例如，2、3、5和7都是质数，而4、6和8则是合数。
4. 整数的绝对值与相反数整数的绝对值是它离零的距离，而整数的相反数则是与它绝对值相等但符号相反的数。
例如，整数-3的绝对值是3，而它的相反数是3。
5. 整数的倒数整数的倒数是指把1除以这个整数所得到的结果。
然而，需要注意的是，只有整数1和-1的倒数是整数本身。
四、有趣的数字1. 十进制与二进制十进制是我们平常使用的基数为10的计数系统，而二进制则是一种基数为2的计数系统。
在二进制系统中，只有0和1两个数字，每一位数字称为一个比特（bit），能够表示的数值范围比十进制系统更加紧凑。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是由0和1开始，之后的每一项都是前两项之和的数列。
也就是说，斐波那契数列的前几项依次为0、1、1、2、3、5、8、13、21等等。
整数的概念与性质整数是数学中的一个基本概念，代表了没有小数部分的数。
它包括正整数、负整数和零，其性质和特点在数学中有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数的概念、分类和性质，并探讨整数的运算法则、整数的因数与倍数以及整数的特殊性质。
一、整数的概念整数是数学中的一个基本概念，用于描述没有小数部分的数。
整数可以分为三类：正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是既不大于零也不小于零的整数。
整数可以用符号表示，正整数用"+"表示，负整数用"-"表示，零用"0"表示。
二、整数的分类根据整数的大小和性质，整数可以进一步分类。
1. 自然数：自然数是大于零的正整数，用符号N表示，N = {1, 2, 3, ......}。
2. 整数：整数是包括正整数、负整数和零的数，用符号Z表示，Z = {......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......}。
3. 偶数：能被2整除的整数称为偶数，用符号E表示，E = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}。
4. 奇数：不能被2整除的整数称为奇数，用符号O表示，O = {..., -3, -1, 1, 3, 5, ...}。
三、整数的性质整数具有一些独特的性质和特点，这些性质对于整数的运算和应用非常重要。
1. 密集性：整数在数轴上分布密集，不存在两个整数之间没有其他整数的情况。
2. 闭性：整数对于加法和乘法都是封闭的，即两个整数相加、相乘的结果还是一个整数。
3. 排序性：整数可以按照大小进行排序，对于任意两个整数，其中一个一定大于另一个。
4. 唯一性：整数的加法和乘法运算都有唯一的零元素和相反元素。
四、整数的运算法则整数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整数的运算法则如下：1. 加法：整数的加法满足交换律和结合律，即对于任意整数a、b 和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
整数的分类
我们以0为界限，将整数分为三大类
1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。
2.0 ，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。
3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。
正整数
它是从古代以来人类计数的工具。
可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。
正整数也可分成奇数和偶数两类
零
不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。
中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。
印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
负整数
中国最早引进了负数。
《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。
减法的需要也促进了负整数的引入。
减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。
为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
奇数
在整数中，不能被2整除的数叫做奇数，它跟偶数是相对的。
日常生活中，人们通常把正奇数叫做单数，它跟双数是相对的。
偶数
整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。
偶数包括正偶数（俗称双数）、负偶数和0。
所有整数不是奇数，就是偶数。
当n是整数时，偶数可表示为2n（n为整数）；奇数则可表示为2n+1（或2n-1）。
在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。
备注：现中学数学教材中规定：零和正整数为自然数。
广义整数
将整数与半整数统称为广义整数，应量子力学的需要将整数扩展为广义整数，数值逻辑公理系统提供理论支持，量子力学的半整数提供客观的科学支持！（作者：奇东）
代数性质
下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。
整数的性质及应用
整除的概念及其性质
如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。
整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595 ，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
整数的奇偶性
(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数；
（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；
（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
奇偶性的哲学内涵
（作者：奇东，单位：奇东）
偶数能被2自然整除，奇数不能被2自然整除。
奇数却能被2“相对整除”，如果定义小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…拥有“相对整”性质的话。
其哲学意义：传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下“相对整除”是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性，恰好与哲学的对立统一规律相吻合，因此说，奇数与偶数（或整数与半整数）相反相成，蕴涵着哲学的对立统一规律！常言道，最简单的、最质朴恰恰是最深奥的。
一个最简单的数值逻辑，蕴涵着最深刻的真理----对立统一规律。
整数拥有单位“1”，“相对整”分数拥有分数单位“1/2”。
依照逻辑、概念、定义，分数就是分数。
半整数拥有分数性质，然而却偏偏冒出一个“相对整”性质，考验人类科学的勇气与智慧。
完全平方数
完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。
因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a,b）=1，则a,b都是整数的k次方幂。
一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。
