整数划分问题

整数划分问题动态规划ACM，OI等⽐赛，整数划分为常见的⼊门题，许久没打⽐赛，最近做笔试题突然碰到，磕磕绊绊了很久才搞清楚，现在做个笔记。

-------------------------------------------------------------------------------------题⽬可见 , 简单的讲：数字N，整数划分的组合数为多少。

整数划分表⽰正整数的和集为N，⽐如N=4时：4 = 4;4 = 3 + 1;4 = 2 + 2;4 = 2 + 1 + 1;4 = 1 + 1 + 1 + 1;有这5中情况，所以N=4的整数划分的组合数为5。

-------------------------------------------------------------------------------------解题，开始DP，先对DP进⾏状态的设计：思考的第⼀步：考虑到是组合，不能出现重复的情况，⽐如4=3+1与4=1+3是⼀种，所以采⽤“划分数中的最⼤值”来限定重复状态。

思考的第⼆步：状态设计：dp[n][n]表⽰“和为n、最⼤划分数为m”时，组合的数量。

思考的第三步：状态转移：由划分数中是否包含m分为两种状态，当前组合数等于这两种状态下的组合数之和。

1. n=1时，⽆论m等于多少，都只有⼀种{1}的划分，dp[1][m] = 12. m=1时，⽆论n等于多少，都只有⼀种{1,1,1,,,,,,}的划分，dp[n][1] = 13. n==m时，分两种情况，dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1]：1. 划分数中包含m时，只有⼀种{m}2. 划分数中不包含m时，那最⼤值只能是m-1，为dp[n][m-1]4. n>m时，m最⼤也只能取n，dp[n][m] = dp[n][n]5. n<m时，分两种情况，dp[n][m] = dp[n-m][m] + dp[n][m-1]:1. 划分数中包含m时，最后⼀个划分数必须为m（前⾯也可以有m）sum{........m}=n，dp[n-m][m]2. 划分数中不包含m时，那最⼤划分数只能是m-1，dp[n][m-1]递归⽐较⽅便，先放记忆化递归的代码：#include<iostream>using namespace std;const int MAXN = 128;int dp[MAXN][MAXN] = {0};int DP(int n, int m){// 不合法情况if (n <= 0 || m <= 0) return0;// 记忆化if (dp[n][m] > 0) return dp[n][m];// 1. n=1只有⼀种{1};// 2. m=1只有⼀种{1,1,1,,,,,,}if (n == 1 || m == 1) return dp[n][m] = 1;// 1. 包含m只有⼀种{m}// 2. 不包含m, dp[n][m-1]// n==m,这两种情况为所有情况if (n == m) return dp[n][m] = 1 + DP(n, m - 1);// m最⼤也只能是nif (n < m) return dp[n][m] = DP(n, n);// 1. 包含m, 将最后⼀个数定为m, dp[n-m][m]// 2. 不包含m, 最⼤的数为m-1, do[n][m-1]// n>m,这两种情况为所有情况if (n > m) return dp[n][m] = DP(n - m, m) + DP(n, m - 1);// 不合法情况return dp[n][m] = 0;}int main(){int n;while (cin >> n) {cout << DP(n, n) << endl;}return0;}DP递推版#include<iostream>using namespace std;const int MAXN = 128;int dp[MAXN][MAXN] = { 0 };void init(int maxn){for (int n = 1; n <= maxn; n++) {for (int m = 1; m <= maxn; m++) {// n=1时，⽆论m等于多少，都只有⼀种{1}的划分，dp[1][m] = 1// m = 1时，⽆论n等于多少，都只有⼀种{ 1,1,1,,,,,, }的划分，dp[n][1] = 1if (n == 1 || m == 1) dp[n][m] = 1;// n==m时，分两种情况，dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1]：// 1. 划分数中包含m时，只有⼀种{ m }// 2. 划分数中不包含m时，那最⼤值只能是m - 1，为dp[n][m - 1]else if (n == m) dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1];// n>m时，m最⼤也只能取n，dp[n][m] = dp[n][n]else if (n < m) dp[n][m] = dp[n][n];// n<m时，分两种情况，dp[n][m] = dp[n-m][m] + dp[n][m-1]:// 1. 划分数中包含m时，最后⼀个划分数必须为m（前⾯也可以有m）sum{........m}=n，dp[n-m][m] // 2. 划分数中不包含m时，那最⼤划分数只能是m-1，dp[n][m-1]else if (n > m) dp[n][m] = dp[n - m][m] + dp[n][m - 1];}}}int main(){init(120);int n;while (cin >> n) {cout << dp[n][n] << endl;}return0;}-------------------------------------------------------------------------------------现在考虑⼀些更加复杂的情况第⼀⾏: N划分成K个正整数之和的划分数⽬第⼆⾏: N划分成若⼲个不同正整数之和的划分数⽬第三⾏: N划分成若⼲个奇正整数之和的划分数⽬具体举例：对于N=5，K=2第⼀⾏: 4+1, 3+2,第⼆⾏: 5，4+1，3+2第三⾏: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1#include<iostream>using namespace std;const int MAXN = 55;int dp1[MAXN][MAXN] = { 0 };void init1(int maxn){// DP状态设计，dp[n][k]表⽰数字n，被划分成k个数的组合情况数,初始化为0// 定下了K个数，那么以这K个数中包不包括1分为两个情况，这样都能做状态转移for (int n = 1; n <= maxn; n++) {for (int k = 1; k <= maxn; k++) {// 1. k=1时只有⼀种,{n}// 2. k=n时只有⼀种,{1,1,1,,,,,,}if (k == 1 || k == n) dp1[n][k] = 1;// 1. 这k个数字中没有1, dp[n-k][k]为每个数字减1的情况数// 2. 这k个数字中有1, dp[n-1][k-1]该情况下加上数字1if (n > k) dp1[n][k] = dp1[n - k][k] + dp1[n - 1][k - 1];// n < k 为0}}}int init2(int maxn){}int main(){init1(50);int n, k;while (cin >> n >> k) {cout << dp1[n][k] << endl;}return0;}-------------------------------------------------------------------------------------。

整数划分问题整数划分是一个经典的问题。

希望这道题会对你的组合数学的解题能力有所帮助。

Input每组输入是两个整数n和k。

(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)Output对于每组输入，请输出六行。

第一行：将n划分成若干正整数之和的划分数。

第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。

第三行：将n划分成最大数不超过k的划分数。

第四行：将n划分成若干奇正整数之和的划分数。

第五行：将n划分成若干不同整数之和的划分数。

第六行：打印一个空行。

Sample Input5 2Sample Output72333Hint:1、将5划分成若干正整数之和的划分为：5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+12、将5划分成2个正整数之和的划分为：3+2, 4+13、将5划分成最大数不超过2的划分为：1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+24、将5划分成若干奇正整数之和的划分为：5, 1+1+3, 1+1+1+1+15、将5划分成若干不同整数之和的划分为：5, 1+4, 2+3来源：/ojs/show.php?Proid=1402&Contestid=0最新评论发表评论您尚未登陆本站，不能发表评论，请登陆else{min=n-(int)(n/k)*(k-1);for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++){counter+=Func_b(n-i,k-1,i);}return counter;}}int Func_c(int n,int max) //将n划分成若干奇正整数之和的划分数。

{int counter=0;int i;if(max<=1){return 1;}else{for(i=1;2*i<=max+1;i++){counter+=Func_c(n-2*i+1,(i<n-2*i+1)?i:(n-2*i+1));}}int Func_d(int n,int max) // 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

将正整数n划分成k个奇数的方法正整数n可以被认为是一个由n个单位整数组成的集合，我们的目标是将这n个单位整数划分成k个奇数。

在此文章中，我们将讨论几种不同的方法，使得n可以被划分成k个奇数。

1. 动态规划动态规划是一种常用的解决划分整数问题的方法。

我们可以使用动态规划来求解将正整数n划分成k个奇数的方法。

具体步骤如下：（1）定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将正整数i划分成j个奇数的方法数。

（2）初始化dp数组，令dp[i][1] = 1，表示将正整数i划分成1个奇数的方法数为1。

（3）使用动态规划的思想进行状态转移，对于每个dp[i][j]，可以将正整数i划分成j个奇数的方法数分为两种情况：一种是i不包含在划分中，另一种是i包含在划分中。

具体转移方程如下：dp[i][j] = dp[i-2][j-1] + dp[i-4][j-1] + ... + dp[i-(2*j-2)][j-1]（i-(2*j-2)大于等于0）（4）最终得到dp[n][k]即为将正整数n划分成k个奇数的方法数。

2. 递归递归是另一种解决划分整数问题的方法。

我们可以使用递归来求解将正整数n划分成k个奇数的方法。

具体步骤如下：（1）定义一个递归函数countWays(n, k)，表示将正整数n划分成k 个奇数的方法数。

（2）递归的终止条件为当n=0且k=0时，返回1；当n小于0或k 小于0时，返回0。

（3）递归的具体实现为countWays(n-1, k-1) + countWays(n-2, k-1) + ... + countWays(n-(2*k-2), k-1)（n-(2*k-2)大于等于0）。

（4）最终得到countWays(n, k)即为将正整数n划分成k个奇数的方法数。

3. 数学公式除了动态规划和递归外，我们还可以利用数学知识得出一些关于将正整数n划分成k个奇数的方法数的数学公式。

具体步骤如下：（1）首先我们可以知道，如果正整数n为偶数且k为奇数，或者正整数n为奇数且k为偶数时，将无法将正整数n划分成k个奇数。

百练04简单的整数划分问题原⽂地址：/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html描述整数划分是⼀个经典的问题。

请写⼀个程序,完成以下要求.输⼊每组输⼊是两个整数n和k。

(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)输出对于输⼊的 n,k;第⼀⾏：将n划分成若⼲正整数之和的划分数。

第⼆⾏：将n划分成k个正整数之和的划分数。

第三⾏：将n划分成最⼤数不超过k的划分数。

第四⾏：将n划分成若⼲个奇正整数之和的划分数。

第五⾏：将n划分成若⼲不同整数之和的划分数。

第六⾏：打印⼀个空⾏样例输⼊5 2样例输出72333提⽰样例输出提⽰:1.将5划分成若⼲正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+12.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+13.将5划分成最⼤数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+24.将5划分成若⼲奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+15.将5划分成若⼲不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3本题使⽤动态规划（Dynamic Programming）⽅法解决⼀求将n划分为若⼲正整数之和的划分数1. 若划分的多个整数可以相同 设dp[i][j]为将i划分为不⼤于j的划分数 (1) 当i<j 时，i不能划分为⼤于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]； (2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。

若划分中含有j，划分⽅案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不⼤于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。

所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]； (3) 当i=j 时，若划分中含有j只有⼀种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不⼤于j-1的划分数。

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。

也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。

3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。

如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。

6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。

典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。

【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。

则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。

实验一 整数划分问题一、问题描述将正整数n 表示成一系列正整数之和，k n n n n +++= 21，其中.1,121>=>=>=>=>=k n n n k 正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数，记作)(n p 。

例如正整数6有如下11种不同的划分，所以)6(p =11 。

6;5+1;4+2,4+1+1;3+3,3+2+1,3+1+1+1;2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1.二、问题分析如果设)(n p 为正整数n 的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数1n 不大于m 的划分个数记作),(m n q 。

根据n 和m 的关系，考虑以下几种情况：（1）当1=n 时，不论m 的值为多少)0(>m ，只有一种划分即{}1;（2）当1=m 时，不论n 的值为多少，只有一种划分即n 个1，{}1,1,1,1 ;（3）当m n =时，根据划分中是否包含n ，可以分为两种情况：（a ）划分中包含n 的情况，只有一个即{}n ；（b ）划分中不包含n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比n 小，即n 的所有)1(-n 划分。

因此, )1,(1),(-+=n n q n n q ;（4）当m n <时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于),(n n q ;（5）但m n >时，根据划分中是否包含最大值m ，可以分为两种情况： （a ）划分中包含m 的情况，即{}{}i x x x m ,,,,21 , 其中{}i x x x ,,,21 的和为m n -，可能再次出现m ，因此是m n -的m 划分，因此这种划分个数为),(m m n q -;（b ）划分中不包含m 的情况，则划分中所有值都比m 小，即n 的1-m 划分，个数为)1,(-m n q ;因此)1,(),(),(-+-=m n q m m n q m n q ;综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于边界条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。

贝蒂瑞利定理整数划分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：贝蒂瑞利定理是数学中一个非常重要的定理，它关于整数划分的性质给出了重要的结论。

整数划分是一个古老而重要的数论问题，它研究如何将一个正整数表示为一系列正整数之和的形式。

在整数划分中，我们通常会遇到一些有趣的问题和挑战，而贝蒂瑞利定理的提出正是为了解决整数划分中的一些问题。

整数划分问题最早可以追溯到欧几里得时代，当时欧几里得就曾对整数划分进行了研究。

整数划分问题的研究并没有停留在欧几里得时代，而是一直延续至今。

贝蒂瑞利定理就是在这样一个背景下应运而生的。

贝蒂瑞利定理的表述比较简单，它指出任意一个正整数n可以表示为以下形式的整数划分个数：n = p(1) + p(2) + ... + p(k)其中p(1), p(2), ..., p(k)都是正整数，且满足p(1) ≤ p(2) ≤ ... ≤ p(k)。

换句话说，贝蒂瑞利定理给出了整数划分的一种特殊表示方式。

贝蒂瑞利定理的证明并不难，主要是通过对整数划分的性质进行分析和推导。

在证明过程中，我们需要借助一些数论的基本知识，例如贝努利数的性质、斯特林数的性质等。

通过这些基本知识，我们可以比较容易地证明贝蒂瑞利定理的正确性。

贝蒂瑞利定理在数论中有着广泛的应用，特别是在组合数学和数论分析领域。

通过贝蒂瑞利定理，我们可以更好地理解整数划分的性质和规律，从而解决一些相关的数学问题。

贝蒂瑞利定理还可以用来推导一些数学恒等式，为数学研究提供重要的参考。

第二篇示例：贝蒂瑞利定理，又称为整数划分定理，是分析数论中一个重要的定理，它探讨了整数划分的问题。

整数划分是指将一个正整数n表示为一系列整数之和的过程。

整数4可以划分为1+1+1+1、2+1+1和2+2这几种分法。

整数划分在数学领域有着广泛的应用，涵盖了许多重要领域，如组合数学、代数、数论等。

贝蒂瑞利定理的内容比较复杂，但其基本思想是：一个正整数n的整数划分种数，等于n的分解中最大加数不超过m的整数划分种数的总和，其中m为正整数。

整数划分问题问题：将以正整数n 表示成一系列正整数之和表示成一系列正整数之和.n=n1+n2+n3+...+nk (.n=n1+n2+n3+...+nk (.n=n1+n2+n3+...+nk (其中其中n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)这就是正整数这就是正整数n 的一个划分，正整数n 不同的划分个数称为正整数n 的划分数的划分数, , , 记作记作p(n)分析：在正整数n 的所有不同的划分中的所有不同的划分中,,将最大加数n1不大于m 的的划分个数记为q(n,m),q(n,m),可以建立如下递归关系可以建立如下递归关系可以建立如下递归关系1、 q(n,1)=1,n>=1;当最大加数n1不大于1的时候，任何正整数只有一种划分，即n=1+1+1+n=1+1+1+……+1+1，，其中有n 个12、 q(n,m)=q(n,n),m>=n;最大加数n1实际上不能大于n 。

特殊的，。

特殊的， q(1,m)=1 q(1,m)=13、 q(n,n)=1+q(n,n-1)q(n,n)=1+q(n,n-1)；；正整数n 的划分由n1=n 的一种还有最大划分小于等于n-1的划分组成的划分组成4、 q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1；；正整数n 的最大加数n1不大于m 的划分由n1=m 的划分和n1<=m-1的划分组成的划分组成递归式为递归式为: : 1;(n=1 or m=1)q(n, n);(n<m) q (n, m)=q(n, m)= 1+ q(n, n-1);(n=m) q(n,m-1)+q(n-m,m);(n>m) 伪代码伪代码: :q(n,m)/* q(n,m)/*求解整数求解整数n 的划分数的划分数*/ */{ if(n<1||m<1) return 0; if(n==1||m==1) return 1; else if(n<m) return q(n,n); else if(n==m) return 1+q(n,n-1); else return q(n,m-1)+q(n-m,m); } 的具体划分伪代码整数n的具体划分伪代码start: input：n part: { int i,j; for(i=x;i>=1;i--) if(i+total<=n) { a[t++]=i; total+=i; goto part; } if(total==n) print: { count++; print(n=a[0]+a[1]+...+a[t-1]) if (a[k]中，中，k != t-1) print("+"); else print(" "); if(a[1]==a[2]==a[3]==...a[t-1]==1) print("\n"); } } t=t-1 total=total-a[t]; } 程序代码如下：程序代码如下：#include "stdio.h" #define N 100 int a[N]; int t=0;//t作为数组a[]的下标的下标int total=0; int count=0;//划分数的计数器划分数的计数器划分数的计数器void part(int x,int n) { int i,j; for(i=x;i>=1;i--) if(i+total<=n) { a[t++]=i; //将n 的划分由大到小给数组a[] total+=i;//total 的值逐渐向n 靠拢，当n==total 时就是打印的时候时就是打印的时候 part(i,n); //递归调用，直到满足n==total } if(total==n)//等式两边n=total 时打印时打印{ count++; //计数，每打印一次增1，最终结果即为划分数，最终结果即为划分数printf("%d=",n);//打印等式左边的n 及= for(j=0;j<t;j++) { printf("%d",a[j]);//依次输出a[0],a[1],a[2]..... if(j<t-1) printf("+");//如果如果a[j]不是最后一个加数，那么打印+号 else { if(a[1]==1||a[0]==n) if(a[1]==1||a[0]==n) printf("\n");//printf("\n");//唯有n=n 或者a[1]为1，即除a[0]以外都为1的情况，进行下一行输出的情况，进行下一行输出else printf(" ");//同行等式间分割号同行等式间分割号} } } t--;//回到上一步t 值total-=a[t];//回到上一步total 值} void main() { int n; printf("输入是n:"); scanf("%d",&n); part(n,n);// 将n 划分成若干正整数之和的划分数。

整数划分问题（续）在前⾯已经提到了整数划分的问题，在那个问题中，只需要求出整数划分的个数，如果要求将整数划分的所有划分⽅法也输出，该如何求解？如对于整数6，输出的结果就应该是：65+14+2 4+1+13+3 3+2+1 3+1+12+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+11+1+1+1+1+1我们可以采⽤集合的思维去考虑，⽐如对于整数6，则初始集合相当于{1，1，1，1，1，1}从1+1+1+1+1+1到2+1+1+1+1实际上就相当于我从左边那⼀堆{1,1,1,1,1,1}的集合中拿两个1出来相加然后再把结果放回集合当中得到{2,1,1,1,1}.若这个时候我继续拿集合⾥⾯的两个1相加再放回去就可以得到{2,2,1,1},同理再做同样的处理的话我们会得到{2,2,2}。

⽽对于第三层,我们可以先从{1,1,1,1,1,1}⾥⾯拿三个1,相加之后放回去得到{3,1,1,1},对于{3,1,1,1}来说,剩下的三个1可以有两种不同的拿的策略第⼀种是⼀次性拿三个1得到{3,3}第⼆种是拿两个1得到{3,2,1}这些正好是3+3, 3+2+1, 3+1+1+1⽽从集合⾥⾯拿1这样的操作,利⽤堆栈就可以很容易的实现,我拿⼏个就弹出⼏个,然后把结果压回栈中.但是这样的话并不是很直观,实际上使⽤两个栈来操作的话效果会更好.现在假设有两个栈S1和S2.将S1栈全部压⼊1,S2栈为空.S1栈元素的个数就是我们输⼊要分解的整数,就像题⽬输⼊的是6,那么S1栈⾥⾯就是6个1. 现在我们要做的事情就是从S1栈⾥⾯弹出N个1然后相加把结果压⼊S2栈中,⼀直到S1栈空的时候,就将S2栈中的元素作为结果输出.从前⾯的分析,我们可以把递归分成两个⽅⾯的,⼀个⽅⾯是深度的递归,就是不同层次之间的转变的递归,另外⼀⽅⾯的递归是⼴度的递归,把同⼀层中的⼤数再分⼩,直⾄不能再分.举例⼦来说就是6 -> 5+1 -> 4+2 -> 3+3这⾥是深度递归3+3 -> 3+2+1 -> 3+1+1+1 这⾥是⼴度递归运⽤到我们从S1栈弹出的元素来说,那么第⼀次弹⼏个元素就代表着深度,⽽第⼆次弹出的元素个数只能是<=第⼀次弹出的元素的个数.第三次弹出的⼜要<=第⼆次弹出的⼀直到S1栈空为⽌.举例⼦来说假设我们输⼊的是6,即我们要把6拿来分解.S1就应该有6个1 S2开始的时候是空.1.第⼀次弹6个1,把6压⼊S2,这个时候S1空 ->输出62.第⼀次弹5个1,把5压⼊S2,这时候S1还剩下⼀个1,S2有⼀个5. 下⼀次弹出栈时候我只能弹出⼀个1,压⼊S2,现在S1空 S2内为{1,5} 输出5+13.第⼀次弹4个1,S2{4},这⾥因为S1剩下的元素个数>1所以会出现不同的弹出的策略(⼴度递归分解)①第⼆次弹出两个1,S1空 S2{2,4} 输出 4 + 2②第⼆次弹出⼀个1,第三次弹出⼀个1, S1空 S2{1,1,4}输出4+1+14.第⼀次弹出三个1, S1{1,1,1} S2{3} 因为S1剩下的元素个数⼤于1产⽣不同的弹出策略①第⼆次弹出三个1,S1空 S2{3,3} 输出3+3②第⼆次弹出两个1,S1{1} S2{2,3} ,继续弹出⼀个1 S1空 S2{1,2,3} 输出 3+2+1③第⼆次弹出⼀个1,S1{1,1} S2{1,3},弹出⼀个1 S1{1} S2{1,1,3}, 弹出⼀个1 S1空S2{1,1,1,3}......如此⼀直到第⼀次弹出⼀个1 S1{1,1,1,1,1,1} S2{1},弹出⼀个1 S1{1,1,1,1} S2{1,1} 弹出⼀个S1{1,1,1} S2{1,1,1} ......最后S1空 S2{1,1,1,1,1,1} 输出1+1+1+1+1+1#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void output(int *a,int top2) //输出结果{int i;for(i=0;i<top2-1;i++){printf("%d+",a[i]);}printf("%d\n",a[i]);}void partion(int top1,int top2,int *a){if(top1==0) //如果s1中已⽆元素，则划分完毕，输出{output(a,top2);}else{for(int i=top1;i>=1;i--){if(top2==0||i<=a[top2-1]){a[top2]=i; //从s1中取出的1的个数压⼊s2partion(top1-i,top2+1,a); //对s1中剩下的1再次进⾏取栈操作}}}}int main(void){int top1,top2;int *a;while(scanf("%d",&top1)==1&&top1>=0) {top2=0;a=(int *)malloc(top1*sizeof(int));partion(top1,top2,a);}return0;}。

整数的分类技巧整数是数学中的一种基本概念，是没有小数部分的数字。

根据整数的性质和特点，可以将整数进行分类。

下面将介绍一些整数的分类技巧。

1. 正整数和负整数：正整数指大于零的整数，用“+”表示，如1、2、3等。

而负整数指小于零的整数，用“-”表示，如-1、-2、-3等。

正整数和负整数的关系是相对的，即一个数的相反数是另一个数。

例如5和-5就是正整数和负整数的关系。

2. 偶数和奇数：整数可以进一步分类为偶数和奇数。

当一个整数可以被2整除时，就是偶数；否则就是奇数。

例如4、-6和10都是偶数，而5、-7和11是奇数。

偶数和奇数的关系是相对的，即一个偶数加一个偶数或者一个奇数加一个奇数，最终结果一定是偶数。

3. 质数和合数：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。

例如2、3、5、7等都是质数。

而合数是指除了1和自身外，还能被其他数整除的整数。

例如4、6、8、9等都是合数。

质数和合数是整数的另一种分类方式。

4. 完全数和亲和数：完全数是指一个数的所有真因子（不包括自身）之和等于它本身的数。

例如6的真因子是1、2、3，而1+2+3=6，所以6是一个完全数。

亲和数是指两个数互为对方的真因子之和的数。

例如220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，这些数字之和正好为284，而284的真因子是1、2、4、71、142，这些数字之和又正好为220，所以220和284是一对亲和数。

5. 自然数和整数：自然数是指从1开始一直往上的整数序列，即1、2、3、4、5等。

而整数包括自然数以及它们的相反数和0，即-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5等。

6. 正因数和真因数：正因数是指一个数的所有因数，包括1和它本身。

例如12的正因数是1、2、3、4、6、12。

而真因数是指一个数的所有正因数，不包括1和它本身。

例如12的真因数是2、3、4、6。

正因数和真因数的关系是相对的。

7. 完全平方数和非完全平方数：完全平方数是指能够找到一个整数，使得这个整数的平方等于给定的数。