与三角形有关角的计算与证明

专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（ ）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==； 五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==； 六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=， 解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠． 【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒， 由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（ ）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（ ）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形 为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案． 【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可． 【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数） ．。

三角形内角和定理知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而三角形内角和定理则是三角形相关知识中的核心定理之一。

下面我们来详细总结一下三角形内角和定理的相关知识点。

一、三角形内角和定理的内容三角形内角和定理指的是：三角形的三个内角之和等于 180 度。

无论三角形的形状、大小如何变化，其内角和始终保持不变，都是180 度。

二、定理的证明方法1、剪拼法将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，可以拼成一个平角，从而证明三角形内角和为 180 度。

2、作平行线法过三角形的一个顶点作其对边的平行线，利用平行线的性质来证明。

例如，在三角形 ABC 中，过点 A 作直线 DE 平行于 BC。

因为 DE平行于 BC，所以∠DAB ＝∠B，∠EAC ＝∠C。

又因为∠DAB ＋∠BAC ＋∠EAC ＝ 180 度，所以∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝ 180 度，证明了三角形内角和为 180 度。

三、三角形内角和定理的应用1、求三角形中未知角的度数已知三角形中两个角的度数，可以通过三角形内角和定理求出第三个角的度数。

例如，在三角形 ABC 中，∠A ＝ 50 度，∠B ＝ 60 度，那么∠C＝ 180 50 60 ＝ 70 度。

2、判断三角形的类型根据三角形内角的度数，可以判断三角形的类型。

（1）如果三角形的三个角都小于 90 度，那么这个三角形是锐角三角形。

（2）如果三角形有一个角等于 90 度，那么这个三角形是直角三角形。

（3）如果三角形有一个角大于 90 度，那么这个三角形是钝角三角形。

3、解决实际问题在实际生活中，很多问题都可以转化为三角形内角和的问题来解决。

比如，测量建筑物的角度、计算道路拐弯的角度等。

四、与三角形内角和定理相关的拓展知识1、三角形的外角和定理三角形的外角和等于 360 度。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2、多边形内角和公式（1）n 边形的内角和公式为：（n 2) × 180 度。

三角形的内角和公式及其应用三角形是几何学中最基础的图形之一，拥有丰富的性质和应用。

其中一个重要的性质是三角形的内角和公式，它能够帮助我们计算三角形内角的大小，并且在解决实际问题中起到重要的作用。

本文将详细介绍三角形的内角和公式，以及它在实际中的应用。

1. 三角形的内角和公式对于任意一个三角形，其内角和公式可以简洁地表达为：三角形的内角和等于180度。

即：角A + 角B + 角C = 180°其中，角A、角B和角C分别表示三角形的三个内角。

此公式成立于任何三角形，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形都适用。

2. 三角形的内角和公式的推导要理解三角形的内角和公式，可以通过以下推导来加深理解。

考虑任意一个三角形ABC，我们可以将其划分为两个锐角三角形，如下所示：A/ \C—B根据锐角三角形的内角和等于180度的性质，我们可以得出以下两个等式：角ABC + 角ACB = 180° -- (1)角ACB + 角BAC = 180° -- (2)将（1）式中的角ACB代入（2）式中，可得：角ABC + (180° - 角ABC) = 180°化简后得到：角ABC = 角ABC这就证明了三角形ABC的内角和等于180度。

3. 三角形内角和公式的应用三角形的内角和公式在解决各种实际问题中起到重要的作用，下面将介绍一些常见的应用场景。

3.1 三角形内角的计算通过三角形的内角和公式，我们可以很容易地计算出三角形中任意一个内角的大小。

例如，如果我们已知三角形的另外两个内角的度数，就可以通过内角和公式求解出第三个内角的度数。

3.2 三角形分类根据三角形的内角和公式，我们可以将三角形进行分类。

当三角形的三个内角和为180度时，可以得到以下结论：- 如果三角形的三个内角都小于90度，称为锐角三角形。

- 如果三角形中存在一个内角为90度，称为直角三角形。

- 如果三角形的三个内角中至少有一个大于90度，称为钝角三角形。

三角形的内角和定理三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它由三条边和三个内角组成。

在研究三角形的性质时，内角和定理是一个非常基础且重要的定理。

接下来，本文将对三角形的内角和定理进行详细的介绍和论述。

1. 内角和定理的数学表述内角和定理是指：任意一个三角形的三个内角之和等于180度。

数学表达式为：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

2. 内角和定理的证明要证明内角和定理，可以使用几何推理和数学推导。

这里以几何推理为例进行证明。

假设有一个三角形ABC，作三角形的高AD，将三角形分成两个直角三角形ABD和ACD。

由于直角三角形ABD的内角和为90度，直角三角形ACD的内角和也为90度。

而三角形ABC的内角和等于直角三角形ABD和ACD的内角和之和，即∠A + ∠B + ∠C = 90° + 90° = 180°。

因此可以得出结论，任意一个三角形的三个内角之和等于180度。

3. 内角和定理的应用内角和定理是解决三角形相关问题的基础。

它常常被用于以下几个方面：3.1 判断三角形类型根据内角和定理，可以判断三角形的类型。

例如，如果一个三角形的三个内角之和为180度，则可以确定这是一个普通三角形。

如果三个内角之和小于180度，则是一个锐角三角形；如果三个内角之和大于180度，则是一个钝角三角形。

3.2 计算已知内角求未知内角当已知两个内角的度数时，可以利用内角和定理求出第三个内角的度数。

例如，已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，可以通过内角和定理计算出第三个内角的度数为180° - 60° - 80° = 40°。

3.3 解决平行线与三角形的问题在研究平行线与三角形的关系时，内角和定理也是一个重要工具。

例如，当一条直线与两条平行线相交时，所形成的两个内角和为180度。

4. 总结三角形的内角和定理是初中数学中的基础概念之一，它在解决三角形相关问题时起着重要的作用。