2013年福建高考理科数学试卷(带详解)

2013年福建高考理科数学试卷(带详解)2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一．选择题1．已知复数z的共轭复数12iz=+（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【测量目标】复平面【考查方式】给出复数z的共轭复数，判断z在复平面内所在的象限.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由12iz=+，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．已知集合{}1,a=”是“A B⊆”的A a=,{}B=,则“31,2,3（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120第4题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．满足{}a b∈-，且关于x的方程220,1,0,1,2++=有实数解的ax x b有序数对(,)a b的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；（步骤1）a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab0，即ab 1.（步骤2）当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k=，则该算法的功能是（）A．计算数列{}12n-的前10项和B．计算数列{}12n-的前9项和C．计算数列{}n-的前10项和D．计算21数列{}n-的前9项和21第6题图【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项. 【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；…S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．在四边形ABCD中，(1,2)BD=-，则四边形的AC=，(4,2)面积为（）A．5B．25C．5 D．10【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵AC BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD .（步骤1）又|AC |＝2125+，|BD |＝224216425(-)+=+=S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝5.（步骤2） 8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【测量目标】函数单调性的综合应用. 【考查方式】给出函数()f x 的极值点0x0(0)x ≠，判断()f x -及()f x --的极值点.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】选项A ，由极大值的定义知错误；（步骤1） 对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；（步骤2）对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；（步骤3）而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n -+-+-+=∈*N 则以下结论一定正确的是（ ） A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q B ．数列{}nb 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}nc 为等比数列，公比为mm q【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和. 【考查方式】给出由等比数列{}n a 的m 项组成的数列 {}n b ，{}n c ，判断它们的性质【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】∵{a n }是等比数列，∴1mn m m n m aa +(-)+=(1)mn m m n m m q q +---=，（步骤1） ∴1n n cc +＝1211121mn mn mn m m n m n m n m a a a a a a +++(-)+(-)+(-)+……＝(q m )m ＝2m q .（步骤2）10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S到T 的函数()y f x =满足：(i){()|};(ii)T f x x S =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A．,A B ==*N N B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-==-<或C ．{|01},A x x B =<<=RD ．,A B ==Z Q【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S 为函数y ＝f (x )的定义域，T 为函数y ＝f (x )的值域．由(2)可知，函数y ＝f (x )在定义域内单调递增，对于A ，可构造函数y ＝x －1，x ∈N *，y ∈N ，满足条件；（步骤1）对于B ，构造函数8,1,51,13,2x y x x -=-⎧⎪=⎨(+)-<⎪⎩满足条件；（步骤2） 对于C ，构造函数ππtan 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D ，无法构造函数其定义域为Z ，值域为Q 且递增的函数，故选D ．（步骤4）二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率.【难易程度】容易 【参考答案】23 【试题解析】由3a －1＞0得13a >，由几何概型知112313P -==.12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积.【难易程度】容易【参考答案】12π【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径222222212r =++=，所以3r =，故该球的表面积为S 球＝4πr 2＝4π×3＝12π.13．如图ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________第13题图【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长. 【难易程度】中等3【试题解析】∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝π2.（步骤1） ∵sin ∠BAC ＝223，∴π22sin 23BAD ⎛⎫∠+=⎪⎝⎭， ∴cos ∠BAD ＝223.（步骤2）由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB AD cos ∠BAD ＝2(32)＋32－2×323×223＝3.∴BD 3（步骤3） 14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率. 【难易程度】中等31-【试题解析】由直线y 3(x ＋c )知其倾斜角为60°， 由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ．（步骤1） 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴31)c ＝2a ， 即3131e ==+.（步骤2）15．当,1x x ∈<R 时，有如下表达式:211.......1n x xx x+++++=-两边同时积分得：11111222222011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0122311111111C C ()C ()+C ()2223212nn n n n nn +⨯+⨯+⨯+⨯+…【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理. 【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值. 【难易程度】较难【参考答案】113[()1]12n n +-+【试题解析】由0122CC C C n nn n n n x x x++++…＝(1＋x )n ，两边同时积分得：1111012222220C 1CCCn n nnnndx xdx x dx x dx++++⎰⎰⎰⎰…120(1)nx dx =+⎰，2310121111111C C C C 2223212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＝111210111113111112112n n n x n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望. 【难易程度】容易【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X 3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，（步骤1）因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X 3的概率为1115.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．（步骤3）由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.（步骤4） 因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤5）解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．（步骤1）记“这2人的累计得分X 3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，（步骤2）因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，(步骤3) 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X 3的概率为1115.（步骤4）(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X102 4P 194949X203 6P 9251225425（步骤5）所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤6）17．（本小题满分13分）已知函数()ln()f x x a x a=-∈R（1）当2a=时，求曲线()y f x=在点(1,(1))A f处的切线方程；（2）求函数()f x的极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值. 【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值.【难易程度】容易【试题解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，()f x'＝1－a x.（步骤1）(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，()f x '＝1－2x (x ＞0)， 因而f (1)＝1，(1)f '＝－1，（步骤2）所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.（步骤3）(2)由()f x '＝1－a x ＝x ax -，x ＞0知： ①当a 0时，()f x '＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由()f x '＝0，解得x ＝a ．(步骤4)又当x ∈(0，a )时，()f x '＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，()f x '＞0， 从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．（步骤5）综上，当a 0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．（步骤6）18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,A A A …和129,,B B B …，连结iOB ，过iA 做x 轴的垂线与iOB 交于点*(,19)i P i i ∈N ．（1）求证：点*(,19)iP i i ∈N 都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM △与OCN △的面积比为4:1，求直线的方程．第18题图【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程.【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1i 9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10ix .（步骤1）设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1i 9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x 2＝10y .（步骤2） (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.（步骤3） 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .（步骤4）设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.（步骤5） 又x 1x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y－20＝0.（步骤6）19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）第19题图【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题.【难易程度】中等【试题解析】(1)取CD的中点E，连结BE.（步骤1）∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.（步骤2）在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD，（步骤3）又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵AA1⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴AA1⊥CD．又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.（步骤4）第19图(2)以D为原点，DA，DC，DD的方向为x，y，z轴的正1方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0，6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，（步骤5）所以AC＝(－4k,6k,0)，AB＝(0,3k,1)，1AA＝(0,0,1)．1设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．（步骤6）设AA 1与平面AB 1C所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AA n n＝26673613k k =+，解得k ＝1，故所求k 的值为1.（步骤7）第19图(3)共有4种不同的方案． f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩（步骤8）20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为π，图象的一个对称中心为π(,0)4，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0ππ(,)64x ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有2013个零点．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断. 【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在0x ,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系.【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x .（步骤1） 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .（步骤2）(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x 2，0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .（步骤3）问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内是否有解．设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．（步骤4）因为x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增． 又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2>042G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭满足题意．（步骤5） (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z)时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z)不是方程F (x )＝0的解，（步骤6）所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin xa x=-，x ≠k π(k ∈Z)．现研究x ∈(0，π)(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．（步骤7）令()cos2sin xh x x=-，x ∈(0，π) (π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =.（步骤8） 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， π2 ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3π2 3π2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭， h ′(x ) ＋ 0 － － 0＋ h (x )1－1当x＞0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞.（步骤9）故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．（步骤10）由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；（步骤11）又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.（步骤12）综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．（步骤13）解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F(x)＝a sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋a sin x＋1. 现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．设t＝sin x，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1t1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，（步骤1）又p(0)＝1＞0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a＞1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x 2∈(π，2π)； 当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．（步骤2）由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意． 当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，（步骤3）从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤4）21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为直线':1l x by +=．（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若点0(,)p x y 在直线上，且0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，求点p 的坐标．【测量目标】矩阵与行列式初步.【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩（步骤1）又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩（步骤2） （II ）由0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0.（步骤3）又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．（步骤4）（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为π(2,)4，直线的极坐标方程为πcos()4a ρθ-=，且点A 在直线上． （I ）求a 的值及直线的直角坐标方程；（II ）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系． 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由点A π2,4⎛⎫⎪⎝⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a 上，可得2a =.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.（步骤1） （II ）由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，（步骤2） 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝2＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．（步骤3）（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*2()x a a -∈N ＜的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （I ）求a 的值；（II ）求函数()2f x x a x =++-的最小值．【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值. 【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值. 【难易程度】中等【试题解析】（I）因为32∈A，且12∉A，所以32<2a-，且122a-，解得12＜a32.又因为a∈N*，所以a＝1.（步骤1）（II）因为|x＋1|＋|x－2||(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2) 0，即－1x2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.（步骤2）。