2013年福建省高考理科数学试题及答案(word版)

11224S h Sh =【提示】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的【解析】由题意212112()++323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-=-，（步骤2【提示】由题意和向量的运算可得12+63DE AB AC =-，结合12+DE AB AC λλ=，可得【考点】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算． 5,0)(5,+)∞先求出函数()f x 在R 2()x =--5,0)(5,+)∞（步骤时，()f x 的图象，根据6bca．所以3132++n a =21nn a a q =12++n n a a a a >可得21(2232⎫⎪，整理得22． （步骤3）12++n n a a a a >，故n 的最大值为++n a 及12n a a 的表达式，化简可得关于【考点】等比数列的通项公式，求和公式以及不等式的性质．2||2a b -=，即222()2+2a b a a b b -=-=．（步骤又因为2222||||1a b a b ====，所以22a b =，即0a b =，故a b ⊥．（步骤）因为+(cos )(0,1)a b α==，所以cos +cos 0,sin +sin 1,αβαβ=⎧⎨=⎩+sin 1β=，得2由给出的向量a ，b 的坐标，求出a b -的坐标，）由向量坐标的加法运算求出+a b ，由+(0,1)a b =列式整理得到EFEG E =，所以SBC ，且交线为5）AF BC ⊥．AFAB A =，因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）63651260sin C B =63651260sin A B =550(m)，还需走50071014b b ，又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）a b c d ⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎦⎣⎦12=，（步骤{}1,,AB AC AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系∴1(2,0,A B =，1(1,C D =-111111,20A B C DA B C D A B C D <>==1与1D 所成角的余弦值为）(0,2,0)AC =的法向量为(,,m x y =∵(1,1,0)AD =，1(0,2,4)AC =由m AD ⊥，1m AC ⊥，∴⎧⎨的法向量为(2,2,1)m =-4,2||||AC m AC m AC m -<>==⨯所成二面角的正弦值为311a ，440S a =，551S a =，662S a =，11111S a =，（步骤(2+1)m m 故原式成立．则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1)i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)i i j a i j i +==，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=（），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231+1+47=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10）【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之．【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2．已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）（A ）25 （B ）4 （C ） （D ）4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）（A ）588 （B ）480 （C ）450 （D ）1205．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为（ ）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）106．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ） （A ）计算数列{}12n -的前10项和（B ）计算数列{}12n -的前9项和 （C ）计算数列{}21n -的前10项和 （D ）计算数列{}21n -的前9项和7．在四边形ABCD 中，()1,2AC =，()4,2BD =-，则四边形的面积为（ ）（A （B ） （C ）5 （D ）108．设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） （A ）()()0,x R f x f x ∀∈≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点（C ）0x -是()f x -的极小值点 （D ）0x -是()f x --的极小值点9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记()()()11121n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++， ()()()()11121,n m n m n m n m c a a a m n N +-+-+-+=⋅⋅⋅∈。

2013年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内，3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）B由对称性可取双曲线的顶点（，渐近线的顶点（，渐近线d=4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的B中，，的对角线互相垂直，又该四边形的面积：8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n*①=①，当时，，，此时，∴==，10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．＞=故答案为：．12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．2r=r=13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．BAD=AB=3．故答案为：14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．可知斜率为可得进而与斜率有关系，，则，解得故答案为15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先，）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，∴=的概率为．））×=×=，，17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．，）由，18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．）由题意，求出过且与的方程为．联立方程）证明：由题意，过且与的方程为，解得，即都在同一条抛物线上，抛物线消去，解得的方程为19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）、、的方向为，的一个法向量为=，取．∴==20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．=（，）时，＜＜在（，）在（，）内单调递增，而（，=2）×+=个单位长度后得到函数）的图象，，）时，，＜，）内是否有解．（，（））在（，）内单调递增，）﹣（＞）在（，）内存在唯一零点，，，或，，（，），本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．得，则有=，，又点，解得得22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．A上，得，＜23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．且。

【提示】由对称性可取双曲线2241x y -＝的顶点()2,0±，渐近线12y x =±，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【考点】双曲线的简单几何性质 4.【答案】B【解析】由频率分布直方图40~60分的频率为0.0050.01510)0.(2+⨯=，故估计不少于60分的学生人数为60010().2480⨯-=．【提示】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率⨯总数可求出所求． 【考点】频率分布直方图 5.【答案】B【解析】0a =时，方程变为20x b +=，则b 为1-，0，1，2都有解；0a ≠时，若方程220ax x b +=+有实数解，则2240ab =-∆≥，即1ab ≤．当1a =-时，b 可取1-，0，1，2．当1a =时，b 可取1-，0，1． 当2a =时，b 可取1-，0，故满足条件的有序对(),a b 的个数为443213+++=．【提示】由于关于x 的方程220ax x b +=+有实数根，所以分两种情况：（Ⅰ）当0a =时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（Ⅱ）当0a ≠时，方程为20x b +=，此时一定有解．【考点】实系数一元二次方程 6.【答案】A【解析】当10k =时，执行程序框图如下：01S i ==，； 12S i ==，； 123S i =+=，；21224S i =++=，；…28122210S i =++⋯++=，；29122211S i =++⋯++=，【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解法二：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则事件A 包含有“0X =”，“2X =”，“3X =”三个两两互斥的事件，因为221()113550P X ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，222()13255P X ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=，222()135135P X ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭=，所以011()()(23)()15P A P X P X P X =====++， 即这2人的累计得分3X ≤的概率为1115． （Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则1X ，X 的分布列如下：所以102()49993E X ⨯+⨯+⨯==，29124120362525255()E X ⨯⨯⨯==＋＋ 因为12()()E X E X >，【提示】（Ⅰ）把2a =代入原函数解析式中，求出函数在1x =时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当0a ≤时，()0f x '>，函数在定义域(0,)+∞上单调递增，函数无极值，当0a >时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的【提示】（Ⅰ）由题意，求出过,1()9i A i i *∈≤≤N 且与x 轴垂直的直线方程为x i =，i B 的坐标为(10,)i ，即可得到直线i OB 的方程为10i y x =．联立方程10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即可得到i P 满足的方程；（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为10y kx =+，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式4OCM OCN S S =△△，可得124|||x x =．即124x x =-．联立即可得到k ，进而得到直线方程．【考点】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系 19.【答案】（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE ．∵AB DE ∥，3AB DE k ==，∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE AD ∥且4BE AD k ==．在BCE △中，∵4BE k =35CE k BC k ==，，∴222BE CE BC +=，∴90BEC ∠=︒，即BE CD ⊥， 又∵BE AD ∥，∴CD AD ⊥．∵1AA ABCD 平面⊥，CD ABCD ⊂平面，∴1AA CD ⊥．又1AA AD A =I ，∴11CD ADD A ⊥平面（Ⅱ）以D 为原点，DA u u u r ，DC u u u r ，1DD u u u ur 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，解得1k=，故所求k的值为1．【提示】（Ⅰ）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE CD⊥，即CD AD⊥，又侧棱1AA ABCD⊥底面，可得1AA DC⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明．（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（Ⅲ）由题意可与左右平面1111ADD A BCC B，，上或下面1111ABCD A B C D，拼接得到方案，新四棱柱共有4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出()f k．当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向-∞， 当πx <且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞， 当πx >且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞， 当2πx <且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞．故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =(0,π)内无交点，在(π,2π)内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内有2个交点．由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内恰有2013个交点； 又11a a ==-或时，直线y a =与曲线()y h x =在()(0,ππ),2πU 内有3个交点， 由周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）依题意，2()sin cos22sin sin 1F x a x x x a x =+=-++现研究函数()F x 在(0,2π]上的零点的情况．设sin t x =，2()2111()p t t at t =-++-≤≤，则函数()p t 的图象是开口向下的抛物线，又(0)10p =>，(1)1p a -=-，(1)1p a =-当1a >时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-(另一个零点21t >，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12(π),2πx x ∈，；当1a <-时，函数()p t 有一个零点11(0),t ∈(另一个零点21t <-，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12)0,π(x x ∈，；当11a -<<时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21()0,t ∈，()F x 在(0,π)和(0,2π]分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当1a ≠±时，函数()F x 在(0,)πn 内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21t =； 当1a =-时，函数()p t 有一个零点11t =-，另一个零点t 2∈(0，1)，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 【提示】（Ⅰ）依题意，可求得2ω=，π2ϕ=，利用三角函数的图象变换可求得()sin g x x =； （Ⅱ）依题意，ππ,64x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 2x <10cos sin cos2sin cos22x x x x x <<⇒>＞，问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．通过()0G x '>，可知()G x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，而π06G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，π04G ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而可得答案；。