2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45C ．255D ．455【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式0022Ax Bx C d A B ++=+=2222551(2)±=+±． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b Q 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10 【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC =，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=•••∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,Q同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=•=•112...m c a a a =•••,212...,m m m m c a a a +++=•••321222...,m m m m c a a a +++=•••2213c c c ∴=•∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++•••••••====••••••Q 故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ． 二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>Q a Q 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴== 12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，22323412R S R ππ⨯∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin 32,3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________3【解析】22sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=Q ∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=• 22222(32)332323BD BD +-==⨯⨯14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________ 31 【解析】由直线方程3()y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）Q12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,3F F c F M c F M c ===∴由椭圆的第一定义可得233113c a c c a =∴==-+15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=Q P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>Q E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈Q x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)Q i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=Q OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<Q x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分．解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内，3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）B由对称性可取双曲线的顶点（，渐近线的顶点（，渐近线d=4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的B中，，的对角线互相垂直，又该四边形的面积：8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n*①=①，当时，，，此时，∴==，10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．＞=故答案为：．12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．2r=r=13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．BAD=AB=3．故答案为：14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．可知斜率为可得进而与斜率有关系，，则，解得故答案为15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先，）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，∴=的概率为．））×=×=，，17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．，）由，18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．）由题意，求出过且与的方程为．联立方程）证明：由题意，过且与的方程为，解得，即都在同一条抛物线上，抛物线消去，解得的方程为19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）、、的方向为，的一个法向量为=，取．∴==20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．=（，）时，＜＜在（，）在（，）内单调递增，而（，=2）×+=个单位长度后得到函数）的图象，，）时，，＜，）内是否有解．（，（））在（，）内单调递增，）﹣（＞）在（，）内存在唯一零点，，，或，，（，），本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．得，则有=，，又点，解得得22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．A上，得，＜23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．且。
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013福建，理1)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2013福建，理2)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A B ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2013福建，理3)双曲线24x －y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )．A ．25B ．45 C． D．4．(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )．A ．588B ．480C ．450D ．1205．(2013福建，理5)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )．A ．14B ．13C ．12D ．106．(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )．A ．计算数列{2n －1}的前10项和B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n －1}的前10项和D ．计算数列{2n －1}的前9项和 7．(2013福建，理7)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )．A．．5 D ．108．(2013福建，理8)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x0)B ．－x0是f(－x)的极小值点C ．－x0是－f(x)的极小值点D ．－x0是－f(－x)的极小值点 9．(2013福建，理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )．A ．数列{bn}为等差数列，公差为qmB ．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC ．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D ．数列{cn}为等比数列，公比为qmm10．(2013福建，理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以2下集合对不是“保序同构”的是( )．A ．A ＝N*，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013福建，理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为________．12．(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．13．(2013福建，理13)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC＝，AB＝AD ＝3，则BD 的长为________．14．(2013福建，理14)椭圆Γ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C ．若直线yx ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．15．(2013福建，理15)当x ∈R ，|x|＜1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11x-. 两边同时积分得：11111222222011d d d d d 1nx x x x x x x x x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰， 从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17．(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．2013 福建理科数学第3页18．(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连结OB i，过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．419．(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB ∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCD－A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)．20．(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．2013 福建理科数学第5页621．(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵 1 20 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点P 的坐标． (2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ，且点A 在直线l 上． ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程； ②圆C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ． ①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：由z＝1＋2i，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．答案：A解析：若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，故a＝3是A⊆B的充分条件；而若A⊆B，则a不一定为3，当a＝2时，也有A⊆B．故a＝3不是A⊆B的必要条件．故选A．3．答案：C解析：双曲线24x－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x=±，即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离d===.4．答案：B解析：由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．答案：B解析：a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b 可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．答案：A解析：当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；……S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．解析：∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD.又|AC|＝，|BD|＝=S四边形ABCD＝12|AC||BD|＝5.8．答案：D解析：选项A，由极大值的定义知错误；对于选项B，函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点，故不正确；对于C选项，函数f(x)与－f(x)图象关于x轴对称，x0应是－f(x)的极小值点，故不正确；而对于选项D，函数f(x)与－f(－x)的图象关于原点成中心对称，故正确．9．答案：C解析：∵{a n}是等比数列，∴1mn mm n maa+(-)+＝q mn＋m－m(n－1)－m＝q m，∴1nncc+＝1211121··mn mn mn mm n m n m n ma a aa a a+++(-)+(-)+(-)+⋅⋅⋅⋅＝(q m)m＝qm2.10．答案：D解析：由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y∈N，满足条件；2013 福建理科数学第7页对于B，构造函数8,1,51,13,2xyx x-=-⎧⎪=⎨(+)-<≤⎪⎩满足条件；对于C，构造函数ππtan22y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈(0,1)，满足条件；对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．答案：2 3解析：由3a－1＞0得13a>，由几何概型知112313P-==.12．答案：12π解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r==，所以r=S球＝4πr2＝4π×3＝12π. 13．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2.∵sin∠BAC＝3，∴πsin23BAD⎛⎫∠+=⎪⎝⎭，∴cos∠BAD＝3.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝2＋32－2×3＝3.∴BD14．1解析：由直线yx＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|．又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.15．答案：113112nn+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：由0122C C C C n nn n n nx x x++++…＝(1＋x)n，两边同时积分得：1111012222220000C1d C d C d C dn nn n n nx x x x x x x++++⎰⎰⎰⎰12(1)d nx x=+⎰，2310121111111C C C C2223212nnn n n nn+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭8＝111121111131|11112112n nnxn n n n+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝2243515⨯=，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B22,3⎛⎫⎪⎝⎭，X2～B22,5⎛⎫⎪⎝⎭，所以E(X1)＝24233⨯=，E(X2)＝24255⨯=，从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.因为E(2X1)＞E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P(X＝2)＝2221355⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，P(X＝3)＝22213515⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝11 15，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝3，E(X2)＝0×25＋3×25＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．17．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.2013 福建理科数学第9页10(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x a x-，x ＞0知： ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝A ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．18．解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10. 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N . 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为2,10i i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)同解法一． 19．解：(1)取CD 的中点E ，连结BE .2013 福建理科数学 第11页∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈1AA ，n〉|＝11||||AA AA ⋅⋅n n 67=， 解得k ＝1，故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩20．解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x . 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x ＜2，0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．12设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．因为x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增． 又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π>042G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0， 即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x =-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)∪(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况． 令()cos2sin x h x x=-，x ∈(0，π)∪(π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =. 当x当x ＞0且x 当x ＜π且x 趋近于π时，h (x )趋向于－∞，当x ＞π且x 趋近于π时，h (x )趋向于＋∞，当x ＜2π且x 趋近于2π时，h (x )趋向于＋∞.故当a ＞1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a ＜－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a ＜1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h (x )的周期性，可知当a ≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内恰有2 013个交点；又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1.现研究函数F (x )在(0,2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p (t )＝－2t 2＋at ＋1(－1≤t ≤1)，则函数p (t )的图象是开口向下的抛物线，又p (0)＝1＞0，p (－1)＝－a －1，p (1)＝a －1.当a ＞1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)(另一个零点t 2＞1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点2013 福建理科数学 第13页 x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．21．解：①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩ ②由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．(2)选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d＝2＜1， 所以直线l 与圆C 相交．(3)选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -≥， 解得12＜a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. ②因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.。
2013年福建省高考数学试卷及解析（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位）、则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+、则12z i =-、对应点的坐标为(1,2)-、故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=、或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45 CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±、渐近线为2204x y -=、即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生、将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计、得到如图所示的频率分布直方图、已知高一年级共有学生600名、据此估计、该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和、由图知道(0.030.0250.0150.01)*P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-、且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解、分析讨论①当0a =时、很显然为垂直于x 轴的直线方程、有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时、需要440ab ∆=-≥、即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意、分别为（1,2）、（2,1）、（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对、故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图、若输入的10k =、则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==、10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>、输出S ．根据选项、101(12)12S -=-、故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中、(1,2)AC =、(4,2)BD =-、则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意、容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点、则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==、则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R 、00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤、错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像、故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像、故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象、再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q 、记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列、公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列、公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列、公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列、公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列、2221212211212............m m m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C10．设S 、T 、是R 的两个非空子集、如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时、恒有12()()f x f x <、那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A NB N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知、令()1f x x =-、则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩、则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-、则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a 、则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体、如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示、且图中的四边形是边长为2的正方形、则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知、图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体、24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中、已知点D 在BC 边上、AD ⊥AC、sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F 、焦距为2c 、若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠、则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c +⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或、且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴== 15．当,1x R x ∈<时、有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法、计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n n n n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题 16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动、举办方设置了甲．乙两种抽奖方案、方案甲的中奖率为23、中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25、中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会、每次抽奖中将与否互不影响、晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖、小红选择方案乙抽奖、记他们的累计得分为,X Y 、求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖、问：他们选择何种方案抽奖、累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识、考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识、考查必然和或然思想、满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23、小红中奖的概率为25、两人中奖与否互不影响、记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A 、则A 事件的对立事件为“5=X ”、224(5)3515==⨯=P X 、11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X 、都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X 、则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X 、选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B 、22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X 、224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X 、2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时、累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时、求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查函数与方程思想．分类与整合思想、数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞、()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时、()2ln =-f x x x 、2()1(0)'=->f x x x、 (1)1,(1)1'∴==-f f 、()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x 、即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时、()0'>f x 、函数()f x 为(0,)+∞上的增函数、函数()f x 无极值； ②当0>a 时、由()0'=f x 、解得=x a ；(0,)∈x a 时、()0'<f x 、(,)∈+∞x a 时、()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值、且极小值为()ln =-f a a a a 、无极大值．综上：当0≤a 时、函数()f x 无极值当0>a 时、函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a 、无极大值．18．（本小题满分13分）如图、在正方形OABC 中、O 为坐标原点、点A 的坐标为(10,0)、点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分、分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B 、连结i OB 、过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤． （1）求证：点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上、并求该抛物线E 的方程； （2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N 、若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1、求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识、考查运算求解能力．推理论证能力、考查化归与转化思想、数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意、过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i 、∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y 、由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x 、即210=x y 、 ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上、且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在、设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k 、直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y 、则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x 、∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y、解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x 、即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．（本小题满分13分）如图、在四棱柱1111ABCD A B C D -中、侧棱1AA ABCD ⊥底面、//AB DC 、11AA =、3AB k =、4AD k =、5BC k =、6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67、求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱、规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同、则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中、记其中最小的表面积为()f k 、写出()f k 的表达式（直接写出答案、不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识、考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力、考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想、满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E 、连接BE//AB DE Q 、3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形//BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中、4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥、又//BE AD Q 、所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD 、CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥、又1AA AD A =I 、CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点、1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k 、(0,6,0)C k 、1(4,3,1)B k k 、1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r 、1(0,3,1)AB k =u u u r 、1(0,0,1)AA =u u u r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =、则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =、得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ、则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==、解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π、图像的一个对称中心为(,0)4π、将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）、在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈、使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在、请确定0x 的个数； 若不存在、说明理由．（3）求实数a 与正整数n 、使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识、考查运算求解能力．抽象概括能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想．化归与转化思想、满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π、0ω>、得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π、(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=、得2πϕ=、所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象、再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时、1sin 2x <<、10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-、(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈、所以()0G x '>、()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<、()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断、故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x 、 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意、()sin cos 2F x a x x =+、令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =、即()x k k Z π=∈时、cos 21x =、从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解、所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-、()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-、(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=、令()0h x '=、得2x π=或32x π= 当x 变化时、()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时、()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时、()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时、()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时、()h x 趋向于+∞故当1a >时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点、在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性、可知当1a ≠±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点、从而不存在正整数n 、使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点、由周期性、20133671=⨯、所以67121342n =⨯=综上、当1a =±、1342n =时、函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上、且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识、考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上、所以1x by ''+=、即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩、解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上、所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中、以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π、直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=、且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩、（α为参数）、试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上、可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)、半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<、所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A 、且32A ∈、12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈、且12A ∉、所以322a -<、且122a -≥解得1322a <≤、又因为*a N ∈、所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤、即12x -≤≤时取得等号、所以()f x 的最小值为3。
