双弹簧振子横向振动的理论研究
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弹 簧方 向作 横 向 自由振 动 ， 弹簧 的质量 忽 略不计 ． 建立图 １ （ ｂ ） 所示坐标系， 设 任一 时 刻 ｔ 质 点 的 坐标 为 （ ￡ ） ， 弹簧 与水 平方 向的夹 角 为 ， 则由 牛 顿第 二运 动定 律得
Ｍ 一 一 ２ Ｋ（ ～ Ｚ ） ｓ ｉ ｎ ０， （ １ ）
第 ２ ７卷 第 ２期 ２ Ｏ ｌ ３年 ３月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｉ ｉ ａ ｎ ｈ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
的振 动 即纵 向振 动 ， 但 实 际 工程 问题 中有 时需 要 研究 质 点在 不 同 于 弹 簧方 向 的振 动 问题 ， 如研 究 纺织 生 产 中纱线 上 的粗 细 和纤 维上 的杂 质对 纺纱 加＿ Ｔ 的影 响［ Ｉ ｔ ． 对 此类 问题 可 以建 立 双 弹 簧 振 子 模型． 研 究 它在 横 向 的小 振 幅振 动． 本 文首先 运 用 牛 顿 力学 建立 了双 弹簧 振子 横 向振 动 时 的运 动 方 程， 该方程 为一 非 线性 微分 方程 ， 表 明此 时 的振 动
摘 要 ： 建 立 了 双 弹 簧 振 子横 向 振 动 的 运 动 微 分 方 程 ， 该方 程 为一非线性 方程 ， 表 明此 时 振 子 的 运 动 不 是 简 谐
振动． 然 后 采 用 同 伦 分 析 法 求 得 了 该 问 题 的 高精 度 近 似 解 析 解 和 周 期 ， 结 果 表 明横 向振 动 时 的 圆 频 率 正 比 于 弹 簧 振 子 作 纵 向简 谐 振 动 时 的 固有 频 率 ， 在 小 振 幅振 动 时 该 频 率 正 比 于振 幅 ．所 得 近 似 解 与 数 值 解 吻 合 地 很 好 ． 关键词 ： 同伦分析法 ； 双弹簧振子 ； 近 似 解 析 解
初始 条件 可取 为 （ ０ ） 一Ａ， ２ ｃ （ ｏ ） 一ｏ ， 此 时 Ａ 即为
振 幅．
Ｅ ｍｄ ｅ ｎ方 程口 。 等 ．关 于 该 方 法 的详 模 型 简 介 及 运 动 方 程
考虑 图 １ 所 示 的 双 弹 簧 振 子 振 动 系 统． 设 两 轻质 弹簧 的参数 相 同 ， 劲度系数 为 Ｋ， 固有长度 为
量纲量 ｚ 一 ／ 并 略去 变量上 的撇 号后 ， 方 程 （ ３ ） 可 简 化 为
界层 流动 ＇ ，非 牛 顿 磁 流 体 流 动 ］ ，深 水 中 的
非 线 性 波【 ，Ｔｈ ｏ ｍａ ｓ —Ｆ ｅ ｒ ｍｉ 方程＿ ９ 一 ，Ｌ ａ ｎ ｅ —
Ｍ ＝ － ２ Ｋ ｘ （ １ ～ ） ．
方程为 Ｄ ｕ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ方 程 ， 对 该 方 程 已有 大 量 学 者做
图 ｌ 双 弹 簧 振 子 横 向 振 动 示 意 图
了很 多研 究 ， 并 形 成 了较 为 成熟 的解 法． 为提 高所
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ２ — ２ ０ ．
作者简介 ： 王红艳（ １ ９ ７ ７） ， 女， 湖北宜都人 ， 中学 一 级 教 师 ， 主要 研 究 中 学 物 理 教 育
将式（ ４ ） 右 端展 开为 泰勒 级数 ，有
； 一 一 ｃ ｕ 。 十 号 叫 ９ ￣ Ｕ ５ ｍ ５ 十 ∞ ＿ ． － ・
（ ５）
其 中 ｃ ｏ ／ ＝ √ ， 为 弹 簧 振 子 作 纵 向 振 动 时 的 固 有
角频率 ． 若式（ ５ ） 中略去 以及更 高 次项 ， 则 所得
中 图分 类 号 ： Ｏ３ ２ １ 文献标识码 ： Ａ
ｚ 。 ， 中间 连 接 一 质 量 为 Ｍ 的质 点 ； 质 点 在 垂 直 于
Ｕ 弓ｉ 吾 振 动是 自然 界一 种非 常 常 见 的物 理 现 象．在 物理 教 学 巾 ， 一 般情 况 下仅 讨 论 质 点沿 弹 簧方 向
式 中点 号 表示 对 时间 ｔ 求导，
一
、 ／ ／ ＋ ｍ 一 志
’
把式（ ２ ） 代入式（ １ ） 中， 得
并 非简 谐振 动 ； 然 后 采 用 同伦 分 析 法 得 到 了 它 的近似 解 析解 ．文 中求 得 的 近似 解 和 数值 解 吻 合 地 很 好． 同伦 分 析 法 是 一 种新 的 、 一 般 性 地 求 解
第 ２期
王红艳 ： 双 弹 簧 振 子 横 向振 动 的 理 论 研 究
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得 解 的精 度 ， 我们 保 留方 程 （ ５ ） 中
． 『 以及更 高次项 ， 便 得
的 项 并 略 去
。
＋ ∑ ．
（ １ ４ ）
其 中
； 一一 ∞ 。 ＋÷叫 ｚ 。 ．
分 析 法求其 解 析解 ．
Ｖｏ １ ． ２ ７ ＮＯ ． ２
Ｍ ａｒ ． ２０１ ３
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ２ — ６ ９ Ｉ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ ９ ６ ０ ４
双 弹 簧振 子 横 向振 动 的理 论 研 究
王 红 艳
（ 兰 州 市 第 二 十 二 中学 ，甘 肃 兰 州 ７ ３ ０ ０ ５ ０ ）
强 非线 性 问题 的解 析 近似 方 法．该 方 法被 成 功 用
于 解 决 许 多 非 线 性 问 题 ，如 非 线 性 振 动 ’ ，边
肼＝ － ２ Ｋ ｘ （ 卜
） ＿ ㈦
方程 （ ３ ） 是一 非线 性常 微分 方程 ， 表 明 弹簧振 子 的横 向振动 并 非简谐 振 动． 为研 究方便 ， 引入 无
（ ６ ）
方程（ ６ ） 仍 是 一 非 线 性 常 微 分 方 程 ，下 面 用 同伦
