高中物理双弹簧振子问题研究

用v—t图像破解弹簧双振子问题作者：武莲实来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期弹簧双振子是高中物理的重要物理模型之一其特点是质点在振动过程中无固定的悬点。

本模型涉及力和运动动量和能量等多方面的联系。

下面就常见的三类弹簧双振子问题来分析它们运动的一般规律。

一、系统质心静止不动质心系中物体相对质心做简谐振动图例如图所示两物体A、用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上现同时对A、两物体施加等大反向的水平恒力F、F使A、同时由静止开始运动在运动过程中对A、两物体及弹簧组成的系统正确的说法是整个过程中弹簧不超过其弹性限度））。

A。

机械能守恒。

机械能不断增加C。

当弹簧伸长到最长时系统的机械能最大D。

当弹簧弹力的大小与F、F的大小相等时A、两物体速度为零。

解析：F、F加在A、上以后A、向两侧做加速度a=F-kx减小的加速运动。

当F=kx后加速度为零速度达到最大以后kx>FA、向两侧做减速运动到速度减为零时弹簧伸长到最长以后弹簧伸长量减小F、F开始做负功则系统的机械能减少。

从A、开始运动到弹簧伸长到最长的过程F、F都一直做正功使系统的机械能增加以后再分别沿原来的反方向先做加速运动再做减速运动速度同时减小到零后重复上述过程显然在F=F=kx时A、两物体的速度最大动能最大。

在整个过程中F与F既有做正功的过程也有做负功的过程所以机械能既有增加的过程又有减少的过程则只有C正确。

v-t如图所示图在t=0时刻A向左运动向右运动t时刻两个速度均达最大t时刻两物速度均为零弹簧拉到最长F、F做正功系统的机械能最大t3到t时间内F、F均做负功t时刻两物体回到原位置。

答案为C。

二、系统质心做匀速直线运动质心系中物体相对质心做简谐振动图3例如图3所示质量相等的a、b两木块用轻弹簧连接静止在光滑的水平面上现给木块b一个向左的初速度此后）。

A。

弹簧有最大压缩量时a的速度一定比b的速度大。

弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于零C。

“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。

“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。

该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。

笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。

标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能一、“弹簧双振子模型”的含义振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。

实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。

例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。

对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。

“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。

振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。

弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。

如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。

近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。

二、高中物理中弹簧特性在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。

其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。

中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。

关于实际弹簧振子运动特性的研究摘要：本文分析和研究了实际弹簧振子的运动特性，即在考虑弹簧振子自身的质量和在运动过程中遇到摩擦阻力等情况下，对其振动的性质、周期、振幅等特性的影响，并得出了定量的表达式，同时文中对弹簧振子运动时所具有的能量也作了比较全面的论述。

这将为物理课程中该问题的教学提供了良好的参考作用。

关键词：弹簧；质量；摩擦力；系统能量等。

0 引言在一般的物理书籍中，当述及到弹簧振子的特性时，为了讨论问题的方便，往往都是忽略了弹簧振子的质量和物体在运动时所受到的摩擦阻力的,但在实际问题中却往往不是这样，下面我们将对上述两个因素对弹簧振子运动特性的影响作系统的分析和研究，同时对平时较为少见的实际弹簧振子运动时所具有的能量问题也作了全面的论述。

1 实际弹簧振子的运动特性在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常都是指轻弹簧[1]，即在这种理想条件下抽象出弹性集中于弹簧，质量集中于振子，没有运动阻力的理想弹簧振子模型。

分析它的动力学特点，易知弹簧振子系统在运动中只受到回复力F=－kx的作用，简谐振动的固有周期公式T=2πm 。

如果弹簧振子受到的摩擦力或弹簧质量不能忽略，那么这两种因素k对弹簧振子的振动[2]到底会有什么影响呢？下面我们分别加以讨论。

1.1摩擦力对弹簧振子振动的影响为简化该问题的讨论，我们不考虑弹簧质量对系统振动的影响，即忽略弹簧质量。

设弹簧的倔强系数为k，振子与杆的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为μ'，弹簧振子的质量为m，x轴方向如图弹簧振子在运动过程中所受摩擦力大小f=μmg，其方向与振子运动方向相反。

如果我们用符号SignA表示某任意值A的正负号，则f=-μmg（Sign这样，当dx）dtdxdx>0时，f=-μmg；当<0时，f=μmg； dtdtdxdxd2x当≠O时，弹簧振子的运动方程为：-kx-μmg（Sign）=m dtdtdt2kdxd2x即2+（）x=-μg（Sign） mdtdtkdxd2x2令ω=，则有2+ωx=-μg（Sign）（1） mdtdt2设t=0时，x=x0，dx=0（此时摩擦力不应超过最大静摩擦力μ'mg，因为dtμ<μ'），为了使振子开始运动，必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力大小超过静摩擦力，即k |x0|>μ'mg，|x0|>μ'mgk0这个不等式的成立表明振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。

弹簧振子一种复杂实验现象的机理分析与改进拓展摘要]：笔者通过对一个课堂实验案例的反思，提出教师应该合理看待课本实验，要善于发现问题、善于多思多做找出实验中可能出现的现象，同时能应用创造性思路改进开发实验，找到一个清晰、简单的符合学生学习实际的实验装置。

本文结合笔者自身的教学实际，是运用科学的方法解决问题，挖掘拓展课本素材的一个很好典范。

[关键词]：弹簧振子弹簧摆机理分析改进拓展一、问题的提出课堂案例：笔者曾在一位新教师的课堂听课时，恰好遇到该老师讲弹簧振子固有周期，老师照搬了人教版选修3-4课本p6的随堂实验，但在实验过程中却出现了当弹簧振子上下振动一定次数就会开始左右摆动，然后又上下振动相同次数再左右摆动……如此往复的现象。

遇到此现象时学生追问原因，老师可能没有备好课就说是铁架台不稳定晃动造成的。

接着老师要求同学硬着头皮数下去，把左右摆动和上下振动的次数加在一起作为全振动的次数算周期。

但教室里面学生的学习情绪分明已经不好了，甚至有学生嘀咕“研究竖直和左右振动交替的现象与原因，比老师想演示与分析的实验好多了”。

为什么一个好好的本该精彩的实验却出现了问题呢？教材再现：人教版选修3-4课本p6的“做一做”：如图1，弹簧上端固定，下端悬吊钢球。

把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动，A就是振动的振幅。

用秒表测出钢球完成n个全振动所用的时间他t，就是振动的周期。

n的值取的大一些可以减少周期的测量误差。

再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动扽年的周期。

通过这个实验你有什么发现？由此你对简谐运动的周期与振幅的关系有什么猜想？问题发现：但笔者在反复的试验和教学中发现该实验有以下问题:问题一:书上前一节是以水平弹簧振子为例，而本实验却以竖直弹簧振子为例。

竖直弹簧振子的振动是否为简谐振动，这对学生难于理解，形成教学难点。

问题二:通过竖直弹簧振子得出的结果能否对各种弹簧振子成立，是否对所有简谐运动都成立，若教师只以一个实验结果作为普遍结论未免显得太单薄。

弹簧振子的实验观察与分析弹簧振子是物理学中经常进行实验观察与分析的一个经典实验。

在这个实验中，我们通过悬挂一个质点与弹簧相连接的系统，并给质点一个初始位移，观察质点的运动情况并进行分析。

本文将对弹簧振子的实验观察与分析进行详细阐述。

首先，我们通过实验搭建一个弹簧振子的实验装置。

装置主要包括一个弹簧、一个挂钩和一个质点。

我们将弹簧的一端固定在一个支撑物上，将挂钩与质点连接，并将挂钩悬挂在弹簧的另一端。

然后，我们给质点一个初始位移，使其偏离平衡位置。

接下来，我们记录下质点在不同时间点的位置，并观察其振动的性质。

在实验过程中，我们可以观察到弹簧振子的几个重要现象。

首先，我们看到质点在偏离平衡位置时会产生一个向平衡位置回复的力。

这个力称为恢复力，它的大小与质点的位移成正比。

当质点偏离平衡位置越远时，恢复力越大，使得质点的振动幅度减小。

其次，我们注意到质点在运动过程中会以一定的频率来回振动，这个频率称为振动频率。

振动频率与弹簧的劲度系数和质点的质量有关。

最后，我们还可以观察到质点在振动过程中具有一个最大位移，这个最大位移称为振幅，它决定了质点振动的强弱。

下面，我们对弹簧振子的观察现象进行进一步分析。

我们可以根据牛顿第二定律来解释弹簧振子的运动。

根据牛顿第二定律，质点所受的合力等于质量乘以加速度。

在弹簧振子中，质点所受的合力可以分解为重力和弹簧的恢复力两部分。

因为质点的运动是在竖直方向上进行的，所以我们只需要考虑竖直方向上的受力。

合力等于重力减去恢复力，即m * a = m * g - k * x其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点的位移。

根据上面的方程，我们可以解析地求解质点的振动情况。

从方程可以看出，质点的振动频率与弹簧的劲度系数和质点的质量有关，而与质点的振幅无关。

这意味着，不论质点的振幅大小如何，其振动频率始终保持不变。

这个现象被称为弹簧振子的简谐性。

难点挑战Җ㊀湖南㊀胡连冬㊀㊀弹簧振子的运动问题涉及运动和力的关系㊁动量能量观念．尤其是 弹簧双振子 运动问题,其运动情况较为复杂,物理情境难以想象,因此 弹簧双振子运动问题往往成为历年中学物理竞赛的题型之一．１㊀弹簧振子的定义如图１所示,把轻弹簧的一端固定,另一端连接小球(或滑块),当轻弹簧发生形变后,小球或滑块就在平衡位置附近做往复运动,这种现象叫简谐振动,其中弹簧和小球(或滑块)组成的系统称为弹簧振子．如图２所示,在轻弹簧的两端各连接一个小球,当弹簧发生形变后,该系统中的两个小球就相对系统的质心做简谐振动,这样的系统称为 弹簧双振子模型 ,弹簧振子是一种理想化模型．图１图２２㊀弹簧振子的运动问题２ １㊀弹簧单振子运动规律在如图１所示的弹簧单振子模型中,振子在回复力作用下做简谐振动,振子相对平衡位置的位移和速度可分别表示为x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),其中A 为振子的振幅,振子的频率ω＝k m ,振子的周期T ＝２πmk ,φ０为初相,t 为振动时间,k 为弹簧劲度系数．A 和φ０由初始条件决定．２ ２㊀弹簧双振子运动规律１)弹簧双振子系统质心处于静止状态例１㊀将原长为l ０㊁劲度系数为k 的轻弹簧连接A ㊁B 两振子,A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２．将弹簧压缩为l 后锁定置于光滑水平面上,如图３所示．当弹簧突然解除锁定后,试分析振子A ㊁B 的运动情况．图３压缩的弹簧解除锁定后,系统在水平方向上不受外力,且系统的总动量为零,根据动量守恒定律可知,系统质心C 的速度为零．若弹簧锁定时质心C 到两振子的距离分别为l １和l ２．如图３所示,由系统质心位置分布规律得m １l １＝m ２l ２,l １＋l ２＝l ,则l １＝m ２l m １＋m ２,l ２＝m １lm １＋m ２．当弹簧处于原长时,质心C 到两振子的距离分别为l １０和l ２０．如图４所示,同理可得弹簧处于原长时,两振子离质心C 的距离l １０＝m ２l ０m １＋m ２,l ２０＝m １l ０m １＋m ２．图４把两振子之间的轻弹簧等效为两根原长分别为l １０和l ２０的轻弹簧在质心C 处串联,两根轻弹簧对应的劲度系数分别为k １和k ２．这两根轻弹簧的形变量为x １＝l １０－l １,x ２＝l ２０－l ２．整根弹簧的形变量x ＝x １＋x ２．由胡克定律得F ＝k １x １＝k ２x ２＝k x ,①则１k ＝１k １＋１k ２．②结合质心位置分布规律有m １x １＝m ２x ２．③由式①③得k １m １＝k ２m ２．④由式②④得k １＝m １＋m ２m ２k ,k ２＝m １＋m ２m １k ．⑤㊀㊀弹簧解除锁定后,振子A ㊁B 分别在质心C 两边２４难点挑战轻弹簧的弹力作用下相对质心C 做简谐振动,两振子振动的频率和周期均相同,即ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以水平向右为x 轴正方向,根据弹簧单振子的振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合两振子的初始条件x A ０＝m ２m １＋m ２(l ０－l ),v A ０＝０,x B ０＝－m １m １＋m ２(l ０－l ),v B ０＝０．分别求得两振子振动的位移和速度:x A ＝m ２(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v A ＝－m ２ω(l ０－l )m １＋m ２s i n ωt ,x B ＝－m １(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v B ＝m １ω(l ０－l )m １＋m ２si n ωt ．㊀㊀图５㊀㊀A ㊁B 两振子的速度 时间图象如图５所示(振幅不一定相同,由振子质量决定)．２)弹簧双振子系统质心处于匀速直线运动状态例２㊀如图６所示,振子A ㊁B 和轻弹簧连接静止在光滑水平面上,两振子A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２,C 表示系统的质心位置,现给A 一个水平向右大小为v ０的初速度,试分析A ㊁B 两物块的运动情况．图６A ㊁B 和弹簧组成的系统动量和能量守恒,即m １v ０＝(m １＋m ２)v C ．质心C 做匀速直线运动的速度v C ＝m １v ０m １＋m ２．由例１分析可知A ㊁B 两物块相对质心做简谐振动,振动的频率和周期均不变,其中ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以质心C 为坐标原点O ᶄ,v ０的方向为正方向,建立质心坐标系,如图７所示．在任意时刻t ,A 相对质心C 的速度v A 相＝v ０－v C ＝m ２v ０m １＋m ２,A 在质心坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x A 相＝０．图７由单振子振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合初始条件可以得到物块A 相对质心C 的振动方程为x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωc o s (ωt ＋３π２),v A 相＝－m ２v ０m １＋m ２s i n (ωt ＋３π２)．即x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v A 相＝m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．A 相对质心C 的位置为x ᶄA ＝m ２l ０m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．如果以t ＝０时刻B 物块所在位置为坐标原点,向右为x 正方向建立如图７所示的地面坐标系,则在任意时刻A 的坐标x A ＝x ᶄA ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x A ＝l ０＋m １v ０t m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．⑥A 相对地面坐标系的速度v A ＝m １v ０m １＋m ２＋m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑦㊀㊀在t ＝０时刻,B 物块相对质心C 振动的初始条件为v B 相＝－m １v ０m １＋m ２,x B 相＝０,则B 相对质心C 的振动方程x B 相＝－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v B 相＝－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．同理可得B 物块在任意时刻t 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置x ᶄB ＝－m １l ０m １＋m ２－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,B 相对地面参考系O x 的位置为x B ＝x ᶄB ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x B ＝m １v ０m １＋m ２t －m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,⑧B 物块相对地面参考系的速度v B ＝m １v ０m １＋m ２－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑨３４难点挑战㊀㊀由式⑦⑨可作出A ㊁B 物块在质量m １＝m ２时相对地面的v Ｇt 图象,如图所示．图８３)弹簧双振子系统质心处于匀变速直线运动状态㊀㊀图９例３㊀劲度系数为k 的轻弹簧两端各系质量为m A 和m B 的小球A ㊁B ,A 用细线悬于天花板上,系统处于静止状态．如图９所示,此时弹簧长度为l ,现将细线烧断,并以此时为计时起点,试分析任意时刻两小球的运动情况(系统距地面足够高)．㊀图１０若弹簧的自由长度为l ０,细线烧断前弹簧的伸长量Δl ＝l －l ０＝m Bg k．细线烧断后系统做自由落体运动,即质心C 做自由落体运动,小球A ㊁B 相对质心C 做简谐振动,它们的频率和周期均相同,其中ω＝m A ＋m Bm A m Bk ,T ＝２πm A m B(m A ＋m B )k ,以质心C 为坐标原点,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的质心参考坐标系O ᶄx ᶄ．以烧断细线瞬间为计时起点,在t ＝０时刻小球A 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x ０＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B ＝m ２Bg k (m A ＋m B )．A 相对平衡位置的速度v ０＝０．由弹簧单振子的振动方程可得A 球相对质心的振动方程分别为x A 相＝m ２Bgk (m A ＋m B )c o s (ωt ＋π)＝－m ２Bgk (m A ＋m B )c o s ωt ,v A 相＝－m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n (ωt ＋π)＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀在任意时刻t ,A 球在质心坐标系O ᶄx ᶄ中的位置和速度分别为x ᶄA ＝－m B l ０m A ＋m B －m ２Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄA ＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀以烧断细线时A 所在位置为坐标原点O ,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的地面参考坐标系O x ．则在任意时刻A 在O x 坐标系中的位置和速度分别为x A ＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B －m ２B gk (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２g t ２＝m ２B g k (m A ＋m B )(１－c o s ωt )＋１２g t ２,v A ＝m ２B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．㊀㊀以烧断细线时刻为计时起点,B 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离和速度分别为x ０＝m A l m A ＋m B －m A l ０m A ＋m B ＝m A m B g k (m A ＋m B )．v ０＝０．㊀㊀同理可得B 相对质心的振动方程分别为x B 相＝m A m Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v B 相＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀任意时刻B 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置和速度分别为x ᶄB ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄB ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀因此任意时刻t ,B 相对地面坐标系O x 的位置为x B ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋m B l m A ＋m B ＋１２gt ２．把l ０＝l －Δl 及Δl ＝m Bg k代入得x B ＝l －m A m B g (m A ＋m B )k ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２gt ２．B 相对地面坐标系O x 的速度为v B ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．综上所述,弹簧双振子具有相似的运动规律,双振子的运动是振子相对系统质心的简谐振动和系统质心某种运动的合运动．(作者单位:湖南长沙宁乡市第七高级中学)４４。

作者： 黄书鹏
作者机构： 漳州一中,福建漳州363000
出版物刊名： 物理教师：高中版
页码： 7-9页
主题词： 弹簧双振子问题 物理模型 模型应用 简谐振动 弹簧问题 变力作用 牛顿定律 相互作用
摘要：一轻质弹簧，两端连着两个物块（质点）A、B，两物块可相对系统质心做简谐振动，这一系统就构成弹簧双振子．弹簧双振子是中学弹簧问题中较复杂的一类问题．在这类问题中，物块受变力作用，相对地面和质心都有运动，如采用牛顿定律处理往往难以奏效．仔细分析，若双振子不受外力或合外力为零时，是一个孤立的相互作用系统，此时若将碰撞的物理模型应用于该问题上，会有事半功倍的效果．。

弹簧振子问题的解题技巧弹簧振子是物理学中一种常见的振动系统，研究弹簧振子的解题技巧对于物理学的学习和应用具有重要意义。

本文将介绍弹簧振子问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一物理概念。

1. 弹簧振子的基本概念弹簧振子是由质量、弹簧和振幅组成的一个振动系统。

其基本方程可以表示为：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m是质量，k是弹簧的弹性系数，x是振子离开平衡位置的位移。

2. 弹簧振子问题的求解步骤（1）列出物体所受合力的方程：根据受力分析，我们可以列出弹簧振子所受合力的方程，这将有助于我们求解振子的运动方程。

（2）解微分方程：将合力的方程代入到弹簧振子的基本方程中，我们可以得到一个二阶线性非齐次常微分方程。

根据方程的特征根，可以得到振子的解。

（3）给定初始条件：根据问题的给定条件，我们可以确定振子的初始位移和初始速度。

将这些初始条件代入到方程的解中，可以得到具体的解析解。

3. 弹簧振子问题的常见解题技巧（1）频率和周期的计算：弹簧振子的频率和周期是解题中常见的要求。

根据振子的质量和弹簧的弹性系数，可以通过公式计算出频率和周期。

（2）阻尼振动的考虑：在实际情况中，弹簧振子往往存在阻尼。

考虑阻尼时，振子的运动方程将包含阻尼系数。

根据阻尼的不同情况，振子可能会呈现过阻尼、临界阻尼和欠阻尼等不同的振动形态。

（3）受迫振动的分析：在某些情况下，弹簧振子可能会受到外力的作用，形成受迫振动。

受迫振动的解题过程需要考虑外力的特性和振子自身的特性，找到受迫振动的解析解。

4. 弹簧振子问题的应用弹簧振子是物理学中一种重要的振动现象，其应用广泛。

在工程领域中，弹簧振子的特性常常被用于设计和优化机械系统；在科学研究中，弹簧振子的模型也被用于解释和预测自然界中的一些现象。

例如，在建筑工程中，设计人员需要考虑弹簧振子的特性，以确保建筑物在地震等外力作用下的稳定性。

在电子设备中，弹簧振子常被用于防震设计，以减小设备在运动中受到的震动。

双弹簧振子固有频率
双弹簧振子固有频率是指在没有外力作用下，双弹簧振子自由振动的频率。

这个频率是由振子的质量、弹簧的劲度系数和长度等因素决定的。

在物理学中，双弹簧振子是一个经典的物理模型，它被广泛应用于机械振动、电路振动、量子力学等领域。

双弹簧振子的固有频率可以通过简单的公式计算得出。

假设双弹簧振子的质量为m，两个弹簧的劲度系数分别为k1和k2，长度分别为l1和l2。

那么，双弹簧振子的固有频率ω可以表示为：
ω = sqrt((k1 + k2) / m) * sqrt(1 + (4 * k1 * k2) / ((k1 + k2)^2 * l^2))其中，l = l1 + l2是双弹簧振子的总长度。

从这个公式可以看出，双弹簧振子的固有频率与振子的质量、弹簧的劲度系数和长度等因素密切相关。

如果振子的质量增加，固有频率会降低；如果弹簧的劲度系数增加，固有频率也会增加；如果长度增加，固有频率也会降低。

双弹簧振子的固有频率对于研究振动现象非常重要。

在机械振动中，固有频率是机械系统的重要参数，它决定了机械系统的稳定性和可靠性。

在电路振动中，固有频率是电路的重要参数，它决定了电路的稳定性和可靠性。

在量子力学中，固有频率是量子系统的重要参数，它决定了量子系统的能级结构和谐振现象。

双弹簧振子的固有频率是一个非常重要的物理概念，它在物理学、工程学和科学研究中都有着广泛的应用。

通过研究双弹簧振子的固有频率，我们可以更好地理解振动现象，掌握振动控制技术，提高机械系统、电路系统和量子系统的性能和可靠性。

弹簧振子的周期与质量关系探究弹簧振子是物理学研究中最基本的力学系统之一。

它由一个质量块连接在一根弹簧上，当块受到外力作用时产生振动。

在这个过程中，周期与质量之间有着密切的关系。

本文将探究弹簧振子的周期与质量之间的关系。

首先，我们需要了解弹簧振子的基本原理。

弹簧振子的振动是由弹簧的弹性势能和质量的动能交换而产生的。

当质量块向下拉伸弹簧时，弹簧储存了弹性势能。

当松开质量块后，弹簧会将弹性势能转化为质量块的动能，使其向上运动。

当质量块抵达最高点时，动能转化为弹性势能，弹簧再次将其拉回，反复往复，形成周期性的振动。

周期是指振动过程中所用的时间，通常用T表示。

根据牛顿第二定律和胡克定律，我们可以得出弹簧振子的周期与质量和弹性系数之间的关系。

牛顿第二定律表明力与加速度成正比，可以表达为：F = ma。

在弹簧振子中，力等于弹簧的弹性力，由胡克定律可以得出：F = kx，其中k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的伸长量。

联立以上两个公式，我们可以得出：kx = ma。

由于振子的振动是以弹性势能和动能之间的转换为基础的，我们可以将这个方程改写为：kx = 1/2 mv²，其中v是质量块的速度。

根据振动的特性，质量块在振动过程中会从最高点归位到最低点，利用这一点，我们可以得到：x = A sin(2πft)，其中A是振幅，f是频率。

根据周期和频率的关系，T = 1/f。

将x 和 v 的值带入方程中，可以得到：kA sin(2πft) = 1/2 m (dx/dt)²。

化简后得到：(2πf)² = (k/m)。

通过以上推导，我们得出了弹簧振子的周期与质量和弹性系数的关系式：T =2π√(m/k)。

从这个关系式可以看出，周期与质量成平方根的反比关系。

这个关系式的意义非常重要，它揭示了弹簧振子的特性。

首先，周期的平方根与质量成正比，也就是说，质量越大，周期越长。

这是因为质量增加会导致向上运动的惯性增加，所以越容易受到重力的影响，振动周期就越长。

弹簧类问题的研究一、命题趋向与考点轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见，引起足够重视。

二、知识概要与方法㈠弹簧问题的处理办法1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。

当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。

在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

2．因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。

因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k = —（21kx 22 —21kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值。

弹性势能的公式E p =21kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论。

因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。

㈡弹簧类问题的分类1．弹簧的瞬时问题弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。

2．弹簧的平衡问题这类题常以单一的问题出现，涉及到的知识是胡克定律，一般用f =kx 或△f =k △x 来求解。

3．弹簧的非平衡问题这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能和合外力等其它物理量发生变化的情况。

4．弹力做功与动量、能量的综合问题在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，一般以综合题出现。

有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一起。

弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响摘 要：从能量的观点出发，通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究，分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。

关 键 词：弹簧振子；弹簧质量；振动周期振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一, 在物理学的基础理论研究中具有显著地位, 正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。

作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子, 由一质量为m 的质点和一劲度系数为k 的无质量理想弹簧所组成, 其振动周期为2T = (1)在高中和大学物理中，弹簧质量对振动的影响往往被忽略。

显然，这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。

但在一些实际问题中，人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。

查阅相关资料可知，由机械能守恒定律计算出有效质量为031m （其中0m 为弹簧质量）；进一步由质心运动定理却得出有效质量为021m ，从而得到 “弹簧振子佯谬”；而利用数值计算解超越方程的方法，得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”，“当振子与弹簧质量比较大时，有效质量可小于031m ”，“不能简单地认为有效质量介于031m 和021m 之间”等结论。

理论繁杂冗乱，令人眼花缭乱。

本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析，并通过解微分方程，得出最终的周期公式。

考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期（弹簧与地面垂直情况）查阅资料可知，弹簧振子的周期T 与劲度系数k 、振子质量m 有关，在弹簧质量不可忽略时，还要考虑弹簧自身质量0m 的影响，则弹簧振子的振动周期公式可写为：k Cm m T 02+=π(2)式中0Cm 即为弹簧的有效质量，C 为待定系数，在下文中称为“有效质量系数”。

为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小，可以对该模型进行进一步分析。

设弹簧质量为M ，劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在平衡位置时弹簧长度为L ，平衡时弹簧的拉伸量为x2，此时由于受力平衡，则20kx mg Mg -++=，则2mg Mg kx +=。

实验二探究弹簧弹力与形变量的关系素养目标1.会通过实验探究弹簧弹力与形变量的关系.2.进一步理解胡克定律，掌握以胡克定律为原理的拓展实验的分析方法.返回导航返回导航一、实验思路与操作装直图与思路思路：需要测量多组弹簧弹力和形变量的数据.弹力的测量：钩码标值.形变量的测量：刻度尺•/(1)测)安图安装实验装置，记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度1。

・(2)测总长和弹力：在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧的总长度并记下钩码的重力.(3)重复：增加钩码的个数，重复上述实验过程，将数据填入表格，以尸表示弹力，/表示弹簧的总长度，x=l~l Q表示弹簧的伸长量.(4)作图：坐标轴标度要适中，单位要标注；连线时采用拟合法减小偶然误差.返回导航二、数据处理及分析1.图像法：根据测量数据，在建好直角坐标系的坐标纸上描点.以弹簧的弹力尸为纵轴，弹簧的伸长量、为横轴，根据描点的情况，作出一条经过原点的直线.2?初表保将实验数据填入表中，研究测量的数据，可发现在实验误差允许的范围内，弹力与弹簧伸长量的比值不变.返回导航注意事项(1)对钩码的要求①所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度.②每次所挂钩码的质量差尽量大一些，从而使坐标上描的点尽可能稀，这样作出的图线更精确.(2)测量与记录数据①测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于平衡状态时测量.②记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位.(3)画图像描点画线时，注意一定要使尽可能多的点落在线上，其余各点均匀分布在线的两侧.返回导航误差分析(1)弹簧所受拉力大小的不稳定易造成误差，使弹簧的一端固定，通过在另一端悬挂钩码来产生对弹簧的拉力，可以提高实验的准确度. (2)弹簧长度的测量是本实验的主要误差来源，测量时尽量精确地测量弹簧的长度.(3)描点、作图不准确也会造成误差.返回导航返回导航考点一教材原型实验例1如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个己知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与形变量的关系.m甲返回导航(1)为完成实验，还需要的实验器材有刻度尺.(2)实验中需要测量的物理量有弹簧原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的伸长量(或对应的弹簧长度). (3)图乙是弹簧弹力尸与弹簧伸长量洛勺F-x图像，由此可求出弹簧的劲度系数为200N/m.图像不过原点的原因是弹簧自身存在重力.解析：(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和形变量.(2)根据实验原理知，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的伸长量(或对应的弹簧长度).(3)取题图乙中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入F=kx,可得200N/m,由于弹簧自身存在重力，使得弹簧不加外力时就有形变量.解析■答案返回导航(4)为完成该实验，设计的实验步骤如下：A.以弹簧伸长量为横坐标，弹力为纵坐标，描出各组3，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；B.记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度/。

双弹簧振子问题的处理如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。

现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为AA m F a =，而B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。

其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。

得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。

但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。

从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。

那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。

设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：a m m F )(+=选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a BB B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a AB A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。

弹簧振子的运动规律解析弹簧振子是物理学中常见的振动系统之一。

通过分析和解析弹簧振子的运动规律，我们可以深入理解振动现象的本质和特性。

本文将从振动的基本原理出发，逐步分析弹簧振子的运动规律，并探讨其在现实生活中的应用。

一、弹簧振子的基本原理弹簧振子是由一根弹性系数为k的弹簧与一质量为m的物体连接而成的振动系统。

弹簧的拉伸或压缩会使系统发生振动，其运动规律可以用弹簧的胡克定律描述。

根据胡克定律，当弹簧拉伸或压缩的长度为x时，弹簧的恢复力F 与其伸长或压缩的长度成正比，满足公式F = -kx。

其中，k为弹簧的弹性系数，是一个常量。

二、弹簧振子的运动方程根据牛顿第二定律，弹簧振子的运动方程为F = ma，其中F为作用在物体上的合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。

对于弹簧振子，合力可以表示为合外力和弹力之和，即F = F外 + F 弹。

由于弹簧振子系统中只有弹力和重力两个力，因此合力可以简化为F = -kx - mg，其中g为重力加速度。

代入牛顿第二定律的公式，可得到弹簧振子的运动方程为：m *d²x/dt² = -kx - mg。

三、弹簧振子的解析解为了解弹簧振子的运动规律，我们可以通过求解运动方程得到其解析解。

假设弹簧振子的解为x = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。

将解代入运动方程，可得到：-mAω²cos(ωt + φ) = -kAcos(ωt + φ) - mg。

化简上式，并整理得到：mω² = k，φ = arctan(-mg/kω²)，A = (mg/k + F外/kω²) / (-mg/kω² + 1)。

由上述解析解可知，弹簧振子的运动规律与质量m、弹性系数k、外力F外以及时间t相关。

四、弹簧振子的周期和频率弹簧振子的周期T和频率f是描述振动的重要参数。

周期T表示振动完成一个完整周期所需的时间，频率f表示单位时间内振动的次数。

双弹簧质量系统在竖直方向振动的实验研究刘艳滔;刘学;毕丽芳;黄焱【摘要】采用实验方法研究双弹簧质量系统在竖直方向的自由振动.结果表明:双弹簧质量系统简谐振动时的等效质量系数小于同种弹簧构成的单弹簧质量系统的等效质量系数;双弹簧质量系统非线性振动的周期随振幅及两根弹簧悬点间距离的增加而增大.【期刊名称】《昆明学院学报》【年(卷),期】2013(035)006【总页数】3页(P112-114)【关键词】双弹簧质量系统;等效质量系数;非线性振动;周期【作者】刘艳滔;刘学;毕丽芳;黄焱【作者单位】昆明学院物理科学与技术系,云南昆明650214;昆明学院物理科学与技术系,云南昆明650214;昆明学院物理科学与技术系,云南昆明650214;昆明学院物理科学与技术系,云南昆明650214【正文语种】中文【中图分类】O322双弹簧振子的横向振动属于典型的非线性振动，近年来已有较多的研究报道［1－5］.这些研究都是在不考虑弹簧质量，即所谓轻质弹簧假设下进行的理论分析，有关实际双弹簧质量系统的研究未见报道.本文拟通过具体实验，研究竖直悬挂的对称双弹簧质量系统在竖直方向的运动性质，希望得出有益的结果.1 实验设计1.1 等效质量系数比较在实际的弹簧质量系统中，弹簧自身的质量不能忽略，它将对系统的振动性质产生影响，研究中常常采用等效质量方法考虑这种影响.即将实际的弹簧质量系统，看成是增加了物体有效质量的弹簧振子.采用该方法进行研究，劲度系数为k，质量为m的弹簧与质量为M的物体构成的系统(如图1所示)，可以看成是劲度系数为k，质量为(M+pm)的弹簧振子，其中的p称为等效质量系数，其值应与弹簧的性质有关.［6］采用此模型，图1所示系统做简谐振动的周期可表示为通过测量系统简谐振动周期，可得出等效质量系数.在具体实验中将分别测量由完全相同的弹簧构成的如图1和图2构成的单弹簧质量系统和“线性”双弹簧质量系统的简谐振动周期，得出它们的等效质量系数，比较弹簧质量对两种系统振动性质的影响程度.1.2 非线性振动观察利用自然长度、劲度系数及质量完全相同的两根弹簧及一个物体构成对称双弹簧质量系统，如图3所示.设两根弹簧的劲度系数均为k，每根弹簧的原长为l，每根弹簧自身的质量为m，物体的质量为M，两根弹簧悬点之间的距离为2s，静止时物体位置(平衡位置)到悬点连线的距离为h.将物体沿竖直方向拉离平衡位置后，系统将在竖直方向振动.实验观察该系统的振动情况，测量周期随振幅及悬点距离2s的变化关系，总结该系统沿竖直方向振动的特点.2 实验安排采用上海复旦天欣科教仪器有限公司生产的FD－GLB－II新型焦利秤实验仪进行实验，利用霍尔传感器测量振动周期，采用FD－CT－II计数计时仪计时，提高测量精度.实验通过测定弹簧不同拉力下的伸长量，利用胡克定律，用逐差法处理数据后得出弹簧的劲度系数.用电子天平称量出弹簧及物体的质量后，测出按图1、图2方式构成的系统的简谐振动周期，算出等效质量系数.按图3组成对称双弹簧质量系统，在保持悬点之间的距离不变的条件下，测量不同振幅(物体向下偏离平衡位置的最大距离)下系统的振动周期;在保持振幅不变的条件下，测量不同悬点距离下系统的振动周期.3 实验数据及处理3.1 测弹簧的劲度系数将待测弹簧悬挂在焦利秤上，弹簧下端仅挂砝码盘时十字线所在位置为零点.之后每增加1.00 g砝码后，升高弹簧悬点，将十字线调回到零点后，读出标尺之值y 加，直至加到10.00 g后再逐次减下来，同时依次记录标尺值y减.数据记录见表1.表1 弹簧劲度系数测量数据砝码质量/g y加y减y y加y减y/mm 1.00 311.18 310.96 311.07 6.00 341.18 341.30 3/mm /mm /mm砝码质量/g /mm /mm 41.24 2.00 317.06 316.98 317.02 7.00 347.06 347.06 347.06 3.00 322.96 322.92 322.94 8.00 353.04 353.30 353.17 4.00 328.70 328.88 328.79 9.00 359.26 359.18 359.22 5.00 335.28 335.16 335.22 10.00 365.42 365.42365.42 将分成两组，用逐差法处理后，可得每增加5.00 g砝码，弹簧平均伸长量为Δy=30.21 mm，利用胡克定律，昆明地区的重力加速度取9.780 m/s2，可得该弹簧的劲度系数为通过测量，在该类弹簧中挑选出质量、自然长度及劲度系数的偏差均小于1/1 000的两根弹簧进行实验.3.2 等效质量系数比较将挑选出的一根弹簧按图1构成单弹簧质量系统，让其沿竖直方向振动，观察到物体振动周期与初始条件无关，通过测量系统振动20次所用时间，得出振动周期，计算出等效质量系数;将挑选出的两根相同弹簧按图2构成“线性”双弹簧质量系统，观察到物体沿竖直方向的振动周期与初始条件无关，通过测量系统振动20次所用时间得出振动周期，计算出有效质量系数.数据记录见下表2.表2 等效质量系数比较类型 20T/s T/s 每根弹簧质量m/g弹簧劲度系数k/(N·m)物体质量M/g 等效质量系数单弹簧质量系统15.821 15.821 15.820 0.79121.120 p=(T2 4π2k－M)/m =0.328 13.790 1.618双弹簧质量系统16.20516.2020.810 48.640 p=(T2 2π2k－M)/(2m)=0.122 16.197从表2计算结果可看出，单弹簧和“线性”双弹簧质量系统的等效质量系数不同，说明弹簧质量对振动周期的影响不仅与弹簧自身的性质有关，而且与系统的结构有关.3.3 对称双弹簧质量系统振动的特点用挑选出的两根相同的弹簧按图3构成对称双弹簧质量系统，将物体竖直向下拉离平衡位置，使其沿竖直方向振动.实验中观察到物体的振动周期与初始条件及两根弹簧悬点之间的距离有关系，属于非线性振动.为观察系统振幅对周期的影响规律，在保持两根弹簧悬点距离2s=15.00 cm不变的情况下，测量不同振幅时系统振动20次所需时间，每个振幅测量3次，取平均后得到对应该振幅的周期.具体数据见下表3.为观察两根弹簧悬点间的距离对周期的影响，在保持振幅A=5.00 cm不变的情况下，测量不同悬点距离时系统振动20次所需时间，每个振幅测量3次，取平均后得到对应该悬点距离的周期.具体数据见表4.表3 对称双弹簧质量系统不同振幅的周期3.000 16.750 16.859 16.860 16.823 0.841 4.000 16.879 16.874 16.883 16.879 0.844 5.000 16.885 16.891 16.88716.888 0.844 6.000 16.901 16.906 16.897 16.901 0.845 7.000 16.905 16.900 16.903 16.903 0.845 8.000 16.916 16.915 16.910 16.914 0.846 s 9.000 16.927 16.933 16.930 16.930 0.847表4 对称双弹簧质量系统不同悬点距离的周期14.500 16.885 16.891 16.88716.888 0.844 18.500 16.991 16.988 16.990 16.990 0.850 22.500 17.08617.084 17.085 17.085 0.854 26.500 17.194 17.192 17.196 17.194 0.860 30.500 17.303 17.300 17.308 17.304 0.865 34.500 17.406 17.411 17.413 17.410 0.871 38.500 17.501 17.507 17.500 17.503 0.875 s 42.500 17.571 17.573 17.572 17.572 0.878从表3及表4的数据可看出，对称双弹簧质量系统沿竖直方向的振动周期随振幅及两根弹簧悬点间的距离的增加而增大，由表3、表4的数据做出变化趋势图(见图4和图5).4 结果及讨论通过对所得实验数据的分析，可以总结出以下实验规律:1)两根完全相同的弹簧相互平行地竖直放置，组成“线性”双弹簧质量系统，该系统沿竖直方向的振动是简谐振动，振动周期与初始条件无关.若将弹簧质量对振动周期的影响折合为等效质量，实验发现“线性”双弹簧质量系统的等效质量系数明显小于同种弹簧构成的单弹簧质量系统的等效质量系数.2)当两根完全相同的弹簧相交地如图3方式构成对称双弹簧质量系统时，该系统沿竖直方向将进行非线性振动，振动周期将随初始条件及两根弹簧悬点之间的距离发生改变.当固定悬点之间的距离时，振动周期将随振幅的增加而增大，但变化规律较复杂.当保持振幅不变时，振动周期随弹簧悬点间距离的增加而增大，且在一定范围内可以近似看成线性关系.通过实验研究，发现了双弹簧质量系统沿竖直方向振动的一些规律，加深了对弹簧质量系统振动性质的认识，但组合弹簧为何改变等效质量系数，在考虑弹簧质量情况下对称双弹簧质量系统振动的理论分析及其与实验结果的比较等许多问题还有待进一步研究.［参考文献］【相关文献】［1］廖旭，任学藻.组合线性弹簧振子中的非线性振动［J］.大学物理，2008，27(2):141 －145. ［2］倪亚贤，董慎行.对称非线性弹簧振子的周期特性［J］.大学物理，2003，22(4):22 －24. ［3］倪致祥，夏大峰.双弹簧振子横振动的自洽场解法［J］.阜阳师范学院学报:自然科学版，2003，20(3):1 －2.［4］王立明，刘景旺.对称双弹簧振子受迫、有阻尼横振动的混沌行为［J］.大学物理，2008，27(10):18 －21.［5］何松林.对称双弹簧振子横向振动的椭圆函数解［J］.大学物理，2011，30(5):27 －31. ［6］杨述武，赵立竹，沈国土.等.普通物理实验(一):力学、热学部分［M］.北京:高等教育出版社，2007:95－99.。